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7/25/2019 Assunto1 Pre Ime 1 Matheus
http://slidepdf.com/reader/full/assunto1-pre-ime-1-matheus 1/22
PRÉ IME 1 - CURSO pH
Professor Matheus Secco
ASSUNTO 1: OS NÚMEROS REAIS
1) INTRODUÇÃO: Neste prieiro assu!to" #ue $ %asta!te e&te!so" estu'areos ua s$rie 'e su%t(picos)*istarei a+ora tais su%t(picos e e&p,icarei por #ue $ to iporta!te o estu'o 'estaat$ria) A#ui" .ereos assu!tos coo pro'utos !ot/.eis e fatora0o" reso,.ereossisteas 'e e#ua0es" e!tre outras coisas) Te!ha e e!te #ue estes assu!tos serocruciais para o seu %o 'ese!.o,.ie!to !a Mate/tica) 2asicae!te" a#ui o !ossoo%3eti.o $ apre!'er a fa4er co!tas rapi'ae!te para #ue .oc5 possa o%ter sucesso eassu!tos #ue sero .istos posteriore!te" coo 6eoetria A!a,7tica e Tri+o!oetria)
2) AXIOMAS:
U axioma ou u postulado e ua certa teoria $ ua proprie'a'e iposta coo.er'a'eira) E Mate/tica" uti,i4aos o $to'o a&io/tico" ou se3a" aceitaos a
priori 8se 'eo!stra0o9 a,+uas .er'a'es para #ue possaos co!struir o resta!te 'ateoria)
No co!3u!to 'os !eros reais" teos 'uas opera0es %/sicas: a a'i0o 8represe!ta'a
por ;9 e a u,tip,ica0o 8represe!ta'a por ou×
9) <ua!'o fi4er se!ti'o" oitireos o
si!a, 'e u,tip,ica0o" ou se3a" escre.eosab
e .e4 'ea b×
) Estas opera0essatisfa4e os se+ui!tes a&ioas:
A19 Coutati.i'a'e: as opera0es ; e so coutati.as" isto $"a b b a+ = +
e
a b b a× = × #uais#uer #ue se3a os reais
"a b)
A=9 Associati.i'a'e: as opera0es ; e so associati.as" isto $"( ) ( )a b c a b c+ + = + +
e( ) ( )a b c a b c× × = ×
#uais#uer #ue se3a os reais" "a b c
)
A>9 ?istri%uti.i'a'e: a opera0o 'e u,tip,ica0o $ 'istri%uti.a co re,a0o @ 'e
a'i0o" isto $" .a,e #ue( )a b c a b a c× + = × +
#uais#uer #ue se3a os reais" "a b c
)
A9 E&ist5!cia 'e e,ee!tos !eutros: os !eros racio!ais B e 1 so e,ee!tos !eutros
respecti.ae!te para as opera0es 'e a'i0o e u,tip,ica0o" ou se3a"B Ba a a+ = + =
e1 1a a a× = × =
para to'o rea,a
)
A9 *ei 'o ca!ce,ae!to: se"a b
so reais tais #ueBa b× =
" e!toBa =
ouBb =
)
7/25/2019 Assunto1 Pre Ime 1 Matheus
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AD9 E&ist5!cia 'os i!.ersos a'iti.o e u,tip,icati.o: sea
$ rea," e!to e&isteb
rea, ta,
#ueBa b+ =
8represe!taos o i!.erso a'iti.o 'ea
pora−
9) Sea
$ rea, !o !u,o"
e!to e&isteb
rea, ta, #ue1a b× = 8represe!taos o i!.erso u,tip,icati.o 'e
a por
1
a
9)
A partir 'a a'i0o e 'a u,tip,ica0o" 'efi!ios outras 'uas opera0es para os !eros
reais: a su%tra0o" represe!ta'a por−
" $ 'efi!i'a por( )a b a b− = + −
) A 'i.iso"
represe!ta'a porE
" $ 'efi!i'a coo
1Ea b a
b= ×
) É ais cou escre.eros" para a
'i.iso"
ab
) Fe3a #ue a 'i.iso s( est/ 'efi!i'a paraBb ≠
)
3) PRODUTOS NOT!"IS
Os pro'utos !ot/.eis so e&presses a,+$%ricas #ue aparece a to'o i!sta!te !aMate/tica) Por isso" chaa-se !ot/.eis e" assi se!'o" $ fu!'ae!ta, eori4ar asi'e!ti'a'es #ue sero aprese!ta'as a#ui) Estas sero 'e'u4i'as uti,i4a!'o a proprie'a'e'istri%uti.a 'a u,tip,ica0o co re,a0o @ a'i0o)
2#1) $UADRADO DA SOMA " DA DI%"R"NÇA D" DOIS T"RMOS:
( ) ( ) ( )= = = = ==a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + +
( ) = = ==a b a ab b+ = + +
( ) ( )( ) ( ) ( )== == = == =a b a b a a b b a ab b− = + − = + × − + − = − +
( ) = = =
=a b a ab b− = − +
E&ep,os:
( ) = = = => = > > D Ga a a a a+ = + × × + = + +
( ) = = = =G = G G 1H H1a a a a a− = − × × + = − +
2#2) $UADRADO DA SOMA D" TR&S T"RMOS:
( ) ( )( ) ( ) ( )== = = = = == = = =a b c a b c a b a b c c a b c ab ac bc+ + = + + = + + + + = + + + + +
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( ) = = = =
= = =a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
E&ep,os:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = ==
= = =
A A = = A = A
1D = H H
a b c a b c a b a c b c
a b c ab ac bc− + = + − + + × − + × + × − ×+ + − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = ==
= = =
= > = > = = = > = = >
A G A D 1=
a b c a b c a b a c b c
a b c ab ac bc
+ − = + + − + × + × − + × × −
+ + + − −
O'S"R!AÇÃO: S( uis(*mos +al+ula* o uad*ado da soma d( mais t(*mos, op*o+(dim(-to . +ompl(tam(-t( a-/lo0o# T(mos
( ) = = = =
1 = 1 = 1 = 1 = > = 1= = = = =n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a−
+ + + = + + + + + + + + + + +K K K K K
, ou s(a, o uad*ado da soma . i0ual soma dos uad*ados mais duas (4(s asoma dos p*odutos dos t(*mos tomados dois a dois#
2#3) PRODUTO DA SOMA P"5A DI%"R"NÇA:
( ) ( ) = = = =a b a b a ab ba b a b+ − = − + − = −
( ) ( ) = =a b a b a b+ − = −
E&ep,o:
( ) ( ) ( ) == = =
C C C =C x y x y x y x y+ − = − = −
2#6) 7U'O DA SOMA " DA DI%"R"NÇA D" DOIS T"RMOS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )> = = = > = = = = >
> = = >
= = =
> >
a b a b a b a ab b a b a a b a b ab b a b
a a b ab b
+ = + + = + + + = + + + + + =
+ + +
( ) > > = = >> >a b a a b ab b+ = + + +
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )>> = >> = > = = >
> > > >a b a b a a b a b b a a b ab b− = + − = + × − + × − + − = − + −
( ) > > = = >
> >a b a a b ab b− = − + −
E&ep,os:
( ) > > = = > > => > > > > > G =I =I x x x x x x x+ = + × + × + = + + +
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( ) ( ) ( ) ( )> = >> = > = = >> > > > > > G =I =Ia b a a b a b b a a b ab b− = − × + × − = − + −
O'S"R!AÇÃO: . (xt*(mam(-t( 8til (s+*((* (st(s p*odutos -ot/(is dass(0ui-t(s 9o*mas:
( ) ( )
> > > >a b a b ab a b+ = + + +
( ) ( )> > >
>a b a b ab a b− = − − −
2#) TRI;N<U5O D" PAS7A5:
Po'eos +e!era,i4ar os pro'utos !ot/.eis =)1 e =) para ca,cu,ar e&presses coo
( ) ( ) ( )A C D
" " "a b a b a b+ + + K
) Para isso" usareos o triJ!+u,o 'e Pasca, 8associa'o ao %i!Kio 'e NeLto! #ue ser/ estu'a'o !o = a!o9:
1
1 1
1 = 1
1 > > 1
1 A D A 1
1 C 1B 1B C 1
1 D 1C =B 1C D 11 I =1 >C >C =1 I 1
Ua ,i!ha 'o triJ!+u,o 'e Pasca, $ fora'a a partir 'a soa 'e e,ee!tos co!secuti.os'a ,i!ha a!terior) Fe3a" por e&ep,o" #ue 1 ; " 1B ; D" 1B D; " ; 1 e
assi por 'ia!te) A ,i!ha 'e !erok
correspo!'e aos coeficie!tes 'a e&pa!so 'e
( ) k
a b+ ) Teos assi:
( ) A A > = = > A
A D Aa b a a b a b ab b+ = + + + +
( ) C C A > = = > A C
C 1B 1B Ca b a a b a b a b ab b+ = + + + + +
( ) D D C A = > > = A C DD 1C =B 1C Da b a a b a b a b a b ab b+ = + + + + + +
E&ep,o:
( ) C C A > = = > A C C A > =1 C 1 1B 1 1B 1 C 1 1 C 1B 1B C 1a a a a a a a a a a a+ = + × + × + × + × + = + + + +
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2#=) 7U'O DA SOMA D" TR&S T"RMOS:
6e!era,i4a!'o u pouco =)" teos o se+ui!te pro'uto !ot/.e,:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )> = = = =
> > > = = = = = =
= = =
> > > > > > D
a b c a b c a b c a b c ab ac bc a b c
a b c a b a c b a b c c a c b abc
+ + = + + + + = + + + + + + + =
+ + + + + + + + +
Po'eos reescre.er ai!'a ta, pro'uto !ot/.e, !a se+ui!te fora" %asta!te ti,:
( ) ( ) ( ) ( )> > > >
>a b c a b c a b a c b c+ + = + + + + + +
E&ep,o:
( ) ( ) ( ) ( )> > >1 1 > 1 1a b a b a b a b+ + = + + + + + +
Fe3aos a+ora a,+u!s e&erc7cios reso,.i'os:
"R 1: Se3a" " x y z
reais !o to'os !u,os tais #ueB x y z + + =
) Ca,cu,e os poss7.eis
.a,ores 'a e&presso
= = = x y z
xy yz zx
+ ++ +
)
SO5UÇÃO:
CooB x y z + + = " se+ue #ue ( )
=
B x y z + + = ) ?esta fora" teos #ue= = = = = = B x y z xy xz yz + + + + + =
) Assi"( )= = = = x y z xy yz zx+ + = − + +
) Coo
B xy yz zx+ + ≠ 8te!te .er por #u59" se+ue #ue
= = =
= x y z
xy yz zx
+ += −
+ + )
"R 2: Se3aa
eb
racio!ais positi.os tais #ueab
$ irracio!a,) Pro.e #uea b+
$
irracio!a,)SO5UÇÃO:
Supo!ha por a%sur'o #ue s a b= +
$ racio!a,) E,e.a!'o ao #ua'ra'o esta ,tia
i+ua,'a'e" teos #ue
== s a b ab= + +
e 'a7 se+ue #ue
=
=
s a bab
− −=
) Coo
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" " s a b so racio!ais" ter7aos #ue
=
=
s a bab
− −=
$ racio!a," o #ue co!tra'i4 a
hip(tese 'o e!u!cia'o) *o+oa b+
$ irracio!a,)
"R 3: Se3a" "a b c
reais tais #ueBa b c+ + =
) Pro.e #ue> > > >a b c abc+ + =
)
SO5UÇÃO:
A!tes 'e coe0aros a reso,u0o" te!ha e e!te #ue este fato $ MUITO MUITOiporta!te) Faos a+ora @ so,u0o:
CooBa b c+ + =
" teos #uea b c+ = −
) E,e.a!'o ao cu%o esta ,tia re,a0o" teos:
( ) ( ) ( )
> > > > >
>a b c a b ab a b c+ = − ⇔ + + + = − ) Su%stitui!'oa b+ por
c− " teos #ue> > > >a b c abc+ + =
" coo #uer7aos)
"R 6: Se3a" " "a b c d
reais tais #ue> > > > Ba b c d a b c d + + + = + + + =
) Pro.e #ue asoa 'e 'ois 'estes !eros $ i+ua, a B)
SO5UÇÃO:
Teos #ue
a b c d + + = −
) E,e.a!'o ao cu%o esta ,tia re,a0o e usa!'o o cu%o 'asoa 'e tr5s teros" teos #ue
( ) ( ) ( ) ( ) ( )> > > > > >>a b c d a b c a b a c b c d + + = − ⇔ + + + + + + = −
) Assi" se+ue #ue
( ) ( ) ( ) ( )> > > >> Ba b a c b c a b c d + + + = − + + + =" 'o!'e o%teos #ue
( ) ( ) ( ) Ba b a c b c+ + + = ) ?esta fora"
Ba b+ = "
Ba c+ = ou
Bb c+ = " isto $" a
soa 'e 'ois 'estes !eros $ i+ua, a B)
6) %ATORAÇÃO:
atorar ua e&presso si+!ifica escre.5-,a coo pro'uto 'e teros ais sip,es 8oschaa'os fatores9) Fe3aos a+ora 'ifere!tes t$c!icas 'e fatora0o e fatora0es c,/ssicas#ue 'e.e ser co!heci'as)
T>7NI7A 1 ?7O5O7AR "M "!ID&N7IA): <ua!'o u tero aparece e to'as as parce,as 'e ua e&presso a,+$%rica" $ poss7.e, co,oca-,o e e.i'5!cia)Mateaticae!te" teos o se+ui!te:
( )ab ac a b c+ = +
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E&ep,o:( )A = = > = x x y xy x x xy y+ + = + +
T>7NI7A 2 ?A<RUPAM"NTO): Esta t$c!ica $ uito uti,i4a'a e co!siste !a
se+ui!te i'eia:
( ) ( ) ( ) ( )ab ac bd cd a b c d b c b c a d + + + = + + + = + + ) Fe3a #ue o
a+rupae!to $ ua ap,ica0o sucessi.a 'a t$c!ica 'e co,ocar e e.i'5!cia)
E&ep,o:( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 xy x y x y y x y+ + + = + + + = + +
)
E&ep,o =: Coo co!se#u5!cia 'o a+rupae!to" po'eos 'e'u4ir o chaa'o Pro'uto
'e Ste.i!:( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = x a b x ab x ax bx ab x x a b x a x a x b+ + + = + + + = + + + = + +
)
%ATORAÇÃO 1 ?DI%"R"NÇA D" $UADRADOS): Esta fatora0o $ sip,ese!te
o pro'uto !ot/.e, >)> 8PRODUTO DA SOMA P"5A DI%"R"NÇA9) Por sua +ra!'eiportJ!cia" ressa,taos !o.ae!te:
( ) ( )= =a b a b a b− = + −
E&ep,o:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
A = = = = = = = =1D A A A = A = = A x x x x x x x x x− = − = − + = − + = − + +)
%ATORAÇÃO 2 ?SOMA D" 7U'OS): O o%3eti.o a#ui $ fatorar a e&presso
> >
a b+ )
Para isso" ,e%re #ue( ) ( )
> > >>a b a b ab a b+ = + + +
8escre.e!'o !a fora
e&treae!te ti,9 ) Coo #uereos fatorar
> >a b+" $ !atura, iso,ar esta e&presso 'e
u 'os ,a'os 'a ,tia i+ua,a'e) Assi" teos #ue( ) ( )
>> > >a b a b ab a b+ = + − +)
Co,oca!'o( )a b+
e e.i'5!cia" teos #ue
( ) ( )( ) ( ) ( )=> > = =>a b a b a b ab a b a ab b+ = + + − = + − +
) Assi" che+aos @ se+ui!tefatora0o:
( ) ( )> > = =a b a b a ab b+ = + − +
E&ep,o:( ) ( )> > > =H = = = A x x x x x+ = + = + − +
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%ATORAÇÃO 3 ?DI%"R"NÇA D" 7U'OS): A+ora" #uereos fatorar a e&presso> >a b−
) Para isso" .aos apro.eitar a fatora0o a!terior:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )> => > > = = =a b a b a b a a b b a b a ab b− = + − = + − − × − + − = − + +
) Assi"teos:
( ) ( )> > = =a b a b a ab b− = − + +
E&ep,o:( ) ( )> > > =1=C C C C =C x x x x x− = − = − + +
%ATORAÇÃO 6 ?SOMA " DI%"R"NÇA D" POT&N7IAS): 6e!era,i4a!'o as 'uas,tias fatora0es" teos os se+ui!tes resu,ta'os:
Paran
i!teiro positi.o #ua,#uer" .a,e:
( ) ( )1 = = 1n n n n n n x a x a x x a xa a− − − −− = − + + + +K
O%ser.e #ue as pot5!cias 'e x .o 'ii!ui!'o 'e 1 e 1 e as 'e a .o aue!ta!'o 'e 1e 1)
E&ep,o:
( ) ( ) ( ) ( )C C C A > = = > A A > =
>= = = = = = = = = A H 1D x x x x x x x x x x x x− = − = − + × + × + × + = − + + + +
Para n i!teiro positi.o @MPAR " .a,e:
( ) ( )1 = = 1n n n n n n x a x a x x a xa a− − − −+ = + − + − +K
O%ser.e #ue as pot5!cias 'e x .o cai!'o 'e 1 e 1 e as 'e a .o aue!ta!'o 'e 1 e1) A,$ 'isso" !ote #ue os si!ais a,ter!a)
E&ep,o:
( ) ( ) ( ) ( )C C C A > = = > A A > =>= = = = = = = = = A H 1D x x x x x x x x x x x x+ = + = + − × + × − × + = + − + − +
T>7NI7A 3 ?7OMP5"TANDO $UADRADOS): Esta t$c!ica $ uito ti, #ua!'oteos ua e&presso #ue $ #uase u #ua'ra'o perfeito) Fe3aos 'ois e&ep,os parafi&ar as i'eias:
E&ep,os:
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8I'e!ti'a'e 'e Sophie 6erai!9 A e&presso a ser fatora'a $
A AAa b+
) Fe3a #ue
( ) ( )= =
A A = =A =a b a b+ = +) ?a fora #ue escre.eos" a e&presso ,e%ra uito o
#ua'ra'o 'e ua soa 8'e fato 3/ teos o #ua'ra'o 'o prieiro tero e o 'o se+u!'otero9) Pe!se a+ora: o #ue est/ fa,ta!'o para isto ser o #ua'ra'o 'e ua soa Est/fa,ta!'o o tero 'o eioQQ Para co!sertar isso" .aos soar e su%trair o tero 'o eio"
#ue $( )= = = == = Aa b a b× × =
) Assi" teos #ue
( ) ( )= =A A A = = A = = = =A A A A = =a b a a b b a b a b ab+ = + + − = + −
) A+ora" teos ua 'ifere!0a'e #ua'ra'os e po'eos fatorar !ossa e&presso" o%te!'o o se+ui!te:
( ) ( )
A A = = = =A = = = =a b a ab b a ab b+ = + + − +
Fe3aos ais u e&ep,o:
A e&presso a ser fatora'a $
A =1 x x+ +
)
Esta e&presso $" ais ua .e4" #uase o #ua'ra'o 'e ua soa) Cop,eta!'o assi o
#ua'ra'o" teos:( )
=A = A = = = =1 = 1 1 x x x x x x x+ + = + + − = + −
) Mais ua .e4" che+aos
a ua 'ifere!0a 'e #ua'ra'os e o%teos:
( ) ( )A = = =1 1 1 x x x x x x+ + = + + − +
T>7NI7A 6 ?"XPR"SS"S DO S"<UNDO <RAU): É fre#ue!te !os 'epararos
co e&presses 'a fora
=ax bx c+ + pe,a fre!te) O $to'o para fatorar tais e&presses
$ o se+ui!te:
19 E!co!trar as ra74es
1 x
e
= x
'a e#ua0o
= Bax bx c+ + =
usa!'o a f(ru,a 'e
2hasara" por e&ep,o)
=
1"=
A
=
b b ac x
a
− ± −= ÷
÷
=9 eito isso" teos a se+ui!te fatora0o:( ) ( )=
1 =ax bx c a x x x x+ + = − −
Fe3aos u e&ep,o para fi&ar a i'eia:
E&ep,o: atore
=1C = x x+ −
)
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Faos se+uir o $to'o:
19 As ra74es so
( )=
1
1 1 A 1C = 1 11 1
= 1C >B > x
− + − × × − − += = =
× e
( )=
=
1 1 A 1C = 1 11 =
= 1C >B C x
− − − × × − − −= = = −
× )
=9 ?esta fora" teos #ue:
( ) ( )= 1 = 1 =1C = 1C > C > 1 C =
> C > C x x x x x x x x
+ − = − − − = − + = − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
)
T>7NI7A ?"N7ONTRANDO RA@B"S D" UMA "XPR"SSÃO A5<>'RI7A):
O se+ui!te resu,ta'o $ e&treae!te ti,: se ua e&presso a,+$%rica e x se a!u,a
para x a=
" e!to x a−
'e.e ser u fator 'a e&presso) Fe3aos u e&ep,o:
E&ep,o: atore
> =D 11 D x x x− + −
)
Fe3a #ue su%stitui!'o x
por 1" teos #ue a e&presso se a!u,a) ?esta fora"1 x −
'e.eser u fator) Sa%e!'o 'esta i!fora0o" .aos for0ar a apari0o 'este fator:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
> = > = = = =
D 11 D C C D D 1 C 1 D 1 1 C D x x x x x x x x x x x x x x x x− + − = − − + + − = − − − + − = − − +
) Ai!'a po'eos fatorar( ) ( )=
C D = > x x x x− + = − −" o%te!'o assi #ue
( ) ( ) ( )> =D 11 D 1 = > x x x x x x− + − = − − −)
%ATORAÇÃO : <uereos fatorar a+ora a e&presso> > > >a b c abc+ + −
) Para isso"usareos o artif7cio 'e cop,etar o cu%o 8see,ha!te ao cop,etae!to 'e #ua'ra'os9)
Escre.a ( ) ( )
>> > > >
> > >a b c abc a b ab a b c abc+ + − = + − + + − ) u!ta!'o o prieiro fator co o terceiro e o se+u!'o co o #uarto" teos:
( ) ( ) ( )( ) ( )=> > > => >a b c abc a b c a b a b c c ab a b c+ + − = + + + − + + − + +
) i!a,e!te"
co,oca!'oa b c+ +
e e.i'5!cia" se+ue #ue:
( ) ( )> > > = = =>a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = + + + + − − −
7/25/2019 Assunto1 Pre Ime 1 Matheus
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T>7NI7A = ?ADI!INCANDO %ATOR"S): Esta t$c!ica $ uito ap,ica'a parafatorar e&presses 'e +rau " #ua!'o !o co!heceos !e!hua rai4 'e ta, e&presso)Fe3aos u e&ep,o para i,ustrar a t$c!ica:
<uereos fatorar
A > => = = x x x x− − − +
) I!fe,i4e!te" !o $ poss7.e, e!co!trar!e!hua rai4 'este po,i!Kio" o #ue ipossi%i,ita o uso 'a t$c!ica ) ?esta fora"
precisareos 'e u artif7cio !o.o) A i'eia a#ui ser/ escre.erA > => = = x x x x− − − +
coo pro'uto 'e 'ois fatores 'e +rau = co coeficie!tes i!teiros 8!e sepre ser/
poss7.e, fa4er isso" as $ sepre %o te!tarQ9) Fe3aos:
( ) ( )A > = = => = = x x x x x ax b x cx d − − − + = + + + +
Copara!'o os coeficie!tes 'e a%os os ,a'os" teos as se+ui!tes e#ua0es:
>
1
=
=
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = − + + = − + = − =
Se te!taros reso,.er este sistea pe,as .ias tra'icio!ais" aca%areos .o,ta!'o ao po,i!Kio ori+i!a,) ?esta fora" 'e.eos !os apro.eitar 'o fato 'e #ue estaos
chuta!'o #ue os coeficie!tes" " "a b c d
so i!teiros) E +era," $ ua %oa i'eia
coe0ar pe,a ,tia e#ua0o: coo=bd = " teos poucas possi%i,i'a'es para
b e
d :
po'eos ter( ) ( ) ( )" ="1 " =" 1b d = − −
8.e3a #ue po'er7aos ter por e&ep,o( ) ( )" 1" =b d =
" as coo a or'e 'a fatora0o !o iporta" po'eos supor #ue( ) ( )" ="1b d =
9)
Faos te!tar e!to=b =
e1d =
) Co isso" as e#ua0es fica:
>
A
= =
a c
ac
a c
+ = − = − + = −
Reso,.e!'o este sistea 8%e ais f/ci, #ue o a!terior9" se+ue #ue1c =
eAa = −
8,e%re-se sepre 'e co!ferir se os .a,ores e!co!tra'os satisfa4e TODAS ase#ua0es9)
Co isso" o%teos a se+ui!te fatora0o:( ) ( )A > = = => = = A = 1 x x x x x x x x− − − + = − + + +
)
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Fe3aos ais a,+u!s e&erc7cios reso,.i'os:
"R : Se a e b so !eros reais tais #ue a - b = e a2b - ab2 = =1B" 'eteri!e o .a,or'e ab)SO5UÇÃO:
Po'eos co,ocarab
e e.i'5!cia !a e&presso= =a b ab− " o%te!'o #ue
( ) =1Bab a b− = ) Coo
I=− ba" teos #ue
>B=1BI =⇒= abab)
"R =: ?eteri!e #ua!tos pares 'e i!teiros( )" x y
so tais #ue1 1GGD 1GGH x y xy+ + =
)
SO5UÇÃO:
A e#ua0o $ e#ui.a,e!te a1GGD 1GGH 1 xy x y− − =
) Fe3a #ue( )1GGD 1GGD xy x x y− = −
)
Para cop,etar a fatora0o" soareos porta!to1GGD 1GGH×
aos 'ois ,a'os 'a
i+ua,'a'e" o%te!'o assi1GGD 1GGH 1GGD 1GGH 1GGD 1GGH 1 xy x y− − + × = × +
) ?esta
fora" se+ue #ue( ) ( )1GGD 1GGH 1GGD 1GGD 1GGH 1 x y y− − − = × +
) Usa!'o #ue1GGD 1GGI 1= −
e1GGH 1GGI 1= +
" pe,a 'ifere!0a 'e #ua'ra'os" teos #ue a e#ua0o
fica:( ) ( )
=
1GGH 1GGD 1GGI x y− − =) Coo 1GG $ prio 8.erifi#ueQ9" teos as se+ui!tes
possi%i,i'a'es:
=
=
=
=
1GGH 1" 1GGD 1GGI
1GGH 1GGI" 1GGD 1GGI
1GGH 1GGI " 1GGD 1
1GGH 1" 1GGD 1GGI
1GGH 1GGI" 1GGD 1GGI
1GGH 1GGI " 1GGD 1
x y
x y
x y
x y
x y
x y
− = − =− = − =
− = − =
− = − − = −− = − − = −
− = − − = −
?esta fora" h/ D pares 'e i!teiros #ue satisfa4e a e#ua0o)
"R : Se3ar
u rea, ta, #ue
>
>
1>r
r + =
) Ca,cu,e o .a,or 'e
=
=
1r
r +
)
SO5UÇÃO:
E,e.a!'o ao cu%o a re,a0o 'a'a" teos #ue:
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>
>> > >
> > >
1 1 1 1> > =Ir r r r
r r r r
+ = ⇔ + + × × + = ÷ ÷
Su%stitui!'o !a ,tia i+ua,'a'e
>
>
1>r
r + =
" teos #ue
1
=I > > 1Hr r + = − × = )
E,e.a!'o a+ora ao #ua'ra'o esta ,tia i+ua,'a'e" teos:
=
= = =
= =
1 1 1 11H = >=A >==r r r r
r r r r
+ = ⇔ + + × = ⇔ + = ÷
)
"X"R7@7IOS:
19 ?a'o #ue
1> x
x
+ =
" o .a,or 'e
=
=
1 x
x
+
$:
a9
%9 D
c9
'9
e9 G
=9 SeV9WV8W9VW8 baba +=+
" co a e % !o !u,os" e!to o .a,or !u$rico 'eab
ba +
$:a91 %9= c91= '9=> e9>=
>9 ?a'o #ue xy y x D
== =+ 8
B>> y x
9" o .a,or 'e y x
y x
−+
$:a9 1
%9
=
c9>
'9 =
e9
9 Sa%e!'o #ue
= >& X 1+ = e
A D& X =+ =" o .a,or 'e
( )=
= > A = > D& X & =& X X− − − − $
a9 B
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%91
c91−
'9 =
e9=−
9 O pro'uto( ) ( ) ( ) ( )C D I C D I C D I C D I P = + + + − − + − + +
$:
a9 1BB
%9 1B1
c9 1B=
'9 1B>
e9 1B
D9 O .a,or 'e
= = =1GGG1GGH1GGI = 1GGG1GGH1GGA 1GGG1GGH1GG1− × +
$ i+ua, a:
a9 1= %9 1 c9 1D '9 1 e9 =B
9 Ca,cu,e
=1=>ACD 1=>ACD 1=>ACI+ +
)
9 <ua, o .a,or 'e= = = = = ==BBH =BBI =BBD =BBC = 1− + − + + −K
G9 ?eteri!e o .a,or 'as e&presses a%ai&o:
a9
CG>= DBB1 DG
CG>= DBB1 CG>1
× −+ ×
%9
( ) ( )= ==BBA =B1B =BBA ABBH > =BBC
=BB1 =BB> =BBD =BBI
− × + − ×
× × ×
c9
> > >AB1G =B1A =B1C
AB1G =B1A =B1C
− −× ×
1B9 Se3a" x y
i!teiros positi.os tais #ue>A x y xy+ + =
) ?eteri!e o .a,or 'e x y+
)
119 Se> x y xy+ = =
" 'eteri!e o .a,or 'e
> > x y+)
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1=9 Seα
$ ua 'as ra74es 'a e#ua0o=
1 B x x+ − =" 'eteri!e o .a,or 'e
C Cα α −)
1>9 Sip,ifi#ue:
a9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
a b a c b a b c c a c b+ +− − − − − − )
%9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
> > >a b c
a b a c b a b c c a c b+ +
− − − − − −
19 SeB x >
e
1C x
x+ =
" 'eteri!e
C
C
1 x
x+
)
19 Se"a b
so i!teiros co!secuti.os" ostre #ue( ) == =a b ab+ +
$ u #ua'ra'o perfeito)
1D9 Ca,cu,e( ) ( ) ( ) ( )1BBBBBB 1BBBBB1 1BBBBB= 1BBBBB> 1× × ×
)
19 Se=
1 B x x+ + = " ca,cu,e o .a,or !u$rico 'e
= = = =
= > =I
= > =I
1 1 1 1
x x x x x x x x
+ + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ K
19 atore as se+ui!tes e&presses:
a) > = = = = = > = >
ab x a b x ab x a bx− + −
E)
> = > = = = = = = =1C C 1C Ca bx y a bxy a b x y a b xy− − +
+)
A > = = >C > AC =Ia a b a b ab− − +
d) A = 1Da a− +
()
C C A A x y xy x y+ − −
9)A =1B =B x x x− + +
0)
( ) ( )= == =
C A = x y xy+ − − +
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F)( ) ( ) ( ) ( )
= == = = =1 1 A A 1 1 x y xy x y y x + + − − + − +
i)
( ) ( ) ( )= = = = = => xyz x y z y z x z x y+ + + + + +
)( ) ( ) ( ) =bc b c ca c a ab a b abc+ + + + + +
G)( ) ( ) ( )
> > > x y y z z x− + − + −
l)( ) ( )= = = =ab c d cd a b+ + +
m) ( ) ( )
=
1 1 1 y x xy+ + +
-)1B C 1 x x+ +
1G9 8O2M9 ?eteri!e x y+
" sa%e!'o #ue
> > G x y+ ="
= = D x y xy+ = e #ue x e y so
!eros reais)
a9 1
%9 =c9 >
'9
e9
=B9 8O2M9 Se3aa
eb
reais positi.os tais #ue
=a b a b
b a
+ +=
) O .a,or 'e
( ) =
a b
ab
+
$:
a9
%9> >+
c9= = =+
'9= C+
e9
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=19 Pro.e #ue se" "a b c
so i!teiros cu3a soa $ 4ero" e!to( )A A A= a b c+ +
$ u#ua'ra'o perfeito)
==9 SeB x y z + + =
" pro.e #ueG
y z z x x y x y z
x y z y z z x x y
− − −
+ + + + = ÷ ÷− − − )
=>9 ?a'o #ue1 xyz =
" 'eteri!e o .a,or 'e
1 1 1
1 1 1
x y z
xy x yz y zx z
+ + ++ +
+ + + + + + )
=9 Se" "a b c
so racio!ais tais #ue
1 1 1B
a b b c c a+ + =
− − −" ostre #ue
( ) ( ) ( )= = =
1 1 1
a b b c c a+ +− − − $ o #ua'ra'o 'e u racio!a,)
=9 8AIME9 Se3a" " "a b x y
!eros reais tais #ue
= =
> >
A A
>
I
1D
A=
ax by
ax by
ax by
ax by
+ =
+ =
+ =
+ =
?eteri!e o .a,or 'e
C Cax by+)
D"SA%IOS:
19 Se3a x
e y
!eros reais tais #ue
>
>
1> >
> 1>
x x y
y x y
= +
= + " co
x y≠) ?eteri!e o
.a,or 'e ( )
== =
x y− )
=9 8O2M 1B9 Ca,cu,e
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )1>1>11CC1>>111
1>=>=1DD1AA1===A=A=A=A
=A=A=A=A
++++++++++++++++
>9 8AIME 9 Ca,cu,e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A A A A A
A A A A A
1B >=A == >=A >A >=A AD >=A CH >=A
A >=A 1D >=A =H >=A AB >=A C= >=A
+ + + + +
+ + + + +
)
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9 Ca,cu,e
1 1
1 1= 1
1 1> 1
1 1A >
1 1
A 1=BBC
=BBC
++ +
+ ++ +
+ + +K
K
)
9 Reso,.a o sistea 'e e#ua0es:
= =
= =
>>
>B
x y x
x y
x y y
x y
− + = + + − = +
D9 Se3a" " x y z
!eros tais #ue= x y z + + =
"
= = => x y z + + =
eA xyz =
) Ca,cu,e o.a,or 'e
1 1 1
1 1 1S
xy z yz x zx y= + +
+ − + − + −
9 ?eteri!e !eros racio!ais" "a b c
tais #ue
> > > > >= 1 a b c− = + +)
9 Se" "a b c
so i!teiros positi.os tais #ue1BBBabc ab ac bc a b c+ + + + + + =
"
'eteri!e o .a,or 'ea b c+ +
)
G9 8Co!e Su,9 Pe'ro e Cec7,ia participa 'e u 3o+o co as se+ui!tes re+ras: Pe'roesco,he u i!teiro positi.o a e Cec7,ia +a!ha 'e,e se pu'er e!co!trar u i!teiro positi.o
b" prio e!tre si co a" ta, #ue> >a b+
co!te!ha ao e!os tr5s prios 'isti!tos) Mostre#ue Cec7,ia sepre po'e +a!har)
1B9 Se3a" "a b c
reais !o !u,os tais #ueBa b c+ + =
) ?eteri!e os poss7.eis .a,ores'e
( ) ( )
( )
=> > > A A A
=C C C
a b c a b c
a b c
+ + + +
+ +
119 8O2M9 Se3aa
eb
reais tais #ue( ) ( ) ( )1 1 =a b a b+ + + =
e> > 1a b+ =
) E!co!tre
o .a,or 'ea b+ )
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1=9 Se3a" "a b c
!eros reais tais #ue
1a b c
b c c a a b+ + =
+ + +) Ca,cu,e
= = =a b c
b c c a a b+ +
+ + + )
1>9 8Trei!ae!to 2rasi, Co!e Su,9 Se3a" " " " "a b c x y z
reais 'isti!tos tais #ue
Bax by cz + + =) Pro.e #ue a e&presso
( ) ( ) ( )
= = =
= = =
ax by cz
bc y z ca z x ab x y
+ +
− + − + − !o
'epe!'e !e 'e x" !e 'e y" !e 'e z )
19 E!co!tre to'os os pares 'e i!teiros ( )" x y tais #ue
> >
=BBI>
x y xy
++ =
)
19 Se3aa
eb
reais tais #ue
( )
( )
> =
> =
> 1
> 1
a ab
b a b
= +
= −
?eteri!e o .a,or 'e
= =a b+
)
1D9 8O2M9 Se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=B1B
=B11
a b b c c a
a b b c c a
− − −=
+ + + , 'eteri!e o .a,or 'e
a b c
a b b c c a+ +
+ + +
)
<A'ARITO:
"X"R7@7IOS:
19 C
=9 ?
>9 2
9 ?
9 E
D9 ?
9 1=>
9 =B1B>DG9
7/25/2019 Assunto1 Pre Ime 1 Matheus
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a9 1
%9 =BB
c9 >
1B9 1B119 B
1=9 Y >
1>9
a9 B
%9a b c+ +
19 ==19 ?EMONSTRAZ[O
1D91= D1B > 1B 1+ × +
19
19
a9( ) ( )=abx b a b x− +
%9( ) ( )=C >a bxy a b x y− −
c9( ) ( ) ( )> > C >a a b a b a b− + −
'9( ) ( )= => A > Aa a a a+ + − +
e9( ) ( ) ( )
= = = x y x y x y+ − +
f9( ) ( )= =A C x x x x− − + −
+9( ) ( ) ( ) ( )1 1 > > x y x y x y x y+ + + − − + − −
h9( ) ( ) ( ) ( )
= = = =1 1 1 1 x x y y+ − + −
i9( ) ( ) x y z xy xz yz + + + +
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39( ) ( ) ( )a b a c b c+ + +
9( ) ( ) ( )> x y y z z x− − −
,9( ) ( )ac bd ad bc+ +
9( ) ( )=1 1 xy y x y xy+ + + +
!9( ) ( )= H I C A >1 1 x x x x x x x x+ + − + − + − +
1G9 C
=B9 ?
=19 ?EMONSTRAZ[O
==9 ?EMONSTRAZ[O
=>9 =
=9 ?EMONSTRAZ[O
=9 =B
D"SA%IOS:19 1>>
=9 1B
>9 >>
9 1
9( ) ( )" 1" 1 x y = −
ou( ) ( )" ="1 x y =
D9
=G
−
9
A = 1" "
G G Ga b c= = − =
9 =
G9 ?EMONSTRAZ[O