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VI Simposio Nacional sobre Taludes y Laderas Inestables
Valencia, 21-24 de Junio de 2005
1. INTRODUCCIN La mayor parte de los problemas de anlisis de
estabilidad de taludes en macizos rocosos, tanto bajo hiptesis de
deslizamiento plano como deslizamiento circular, suelen considerar
el criterio de rotura lineal de Mohr-Coulomb, o el criterio emprico
de rotura no lineal de Hoek & Brown. En general, todos estos
procedimientos suelen suponer una ley de fluencia asociada, lo cual
conlleva la sobreestimacin del valor del coeficiente de seguridad.
En este trabajo se realiza un anlisis terico de estabilidad de
taludes rocosos empleando el criterio de rotura de Hoek & Brown
(1980). Utilizando la forma paramtrica de Serrano &
CLCULO DE TALUDES EN MEDIOS ROCOSOS CON DESLIZAMIENTO PLANO Y
DESLIZAMIENTO CIRCULAR CON EL CRITERIO DE ROTURA DE HOEK &
BROWN MELENTIJEVIC, Svetlana. Laboratorio de Geotecnia, CEDEX
SERRANO, Alcibades. ETSI Caminos, Canales y Puertos, UPM OLALLA,
Claudio. Laboratorio de Geotecnia, CEDEX RESUMEN:
Se realiza un anlisis de estabilidad de taludes en macizos
rocosos homogneos e istropos, suponiendo hiptesis de deslizamiento
plano y deslizamiento circular. Se emplea el criterio de rotura de
Hoek & Brown (1980), con ley de fluencia no asociada y valores
de dilatancia constantes recogidos de la recomendacin de Hoek &
Brown (1997). El anlisis de estabilidad se realiza admitiendo en un
principio las mismas hiptesis que el mtodo de Morgenstern &
Price (1965). Llevando al lmite la anchura de las dovelas ( )dxx ,
se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales, que expresa el
equilibrio horizontal y vertical de fuerzas y el equilibrio de
momentos. Se propone un mtodo general para la integracin numrica
con fuerzas de masa gravitatorias. La hiptesis bsica es que el
deslizamiento pasa por el pie de talud. Los resultados obtenidos se
presentan en forma de bacos que muestran grficamente la influencia
del ngulo de dilatancia. Permiten una estimacin rpida de los datos
geomtricos necesarios para la excavacin de un talud en funcin de
los parmetros geotcnicos. Este procedimiento es adecuado para
medios fuertemente diaclasados y fracturados.
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Olalla (1994) se puede introducir tanto una ley de fluencia
asociada como no asociada. El anlisis es vlido para un macizo
homogneo e istropo, lo cual es imprescindible para la aplicacin del
criterio de rotura de Hoek & Brown. Es decir, es vlido para
macizos rocosos de muy baja calidad que se pueden clasificar casi
como suelos duros, o para macizos rocosos muy fracturados, en los
cuales la estabilidad no est condicionada por unos defectos
singulares.
2. HIPTESIS Se plantea un talud de altura infinita en el cual se
realiza una excavacin de altura finita ( )H . La hiptesis bsica
empleada en este estudio es que el deslizamiento, tanto plano como
circular, se produce pasando por el pie del talud. Partiendo de la
hiptesis de deslizamiento plano, y la superficie psima de
deslizamiento plano que proporciona el valor del factor de
seguridad mnimo del talud, se vara alrededor de ella la posicin de
la superficie de deslizamiento circular hasta conseguir la que
proporciona el valor mnimo del factor de seguridad del talud.
3. CRITERIO DE ROTURA El criterio de rotura empleado en este
trabajo es el de Hoek & Brown (1980). Es un criterio tipo Mohr.
Utilizado conjuntamente con una ley de fluencia no asociada permite
obtener las tensiones de rotura a lo largo de la superficie de
deslizamiento, es decir el criterio de rotura tipo Coulomb (vase
Figura 1). La ley de fluencia introducida supone valores del ngulo
de dilatancia ( ) constantes, cuyas magnitudes vienen recomendadas
por Hoek & Brown (1997) en funcin del estado de fracturacin del
macizo rocoso, dado mediante su ndice de calidad GSI (Geological
Strength Index). A efectos prcticos se admite que el valor de GSI
es aproximadamente igual al valor del ndice de la clasificacin de
Bieniawski RMR (Rock Mass Rating). En este trabajo se ha aplicado
el criterio de rotura en forma paramtrica de Serrano & Olalla
(1994) dado de la siguiente manera:
q2q
p2
+=+
o bien de la siguiente forma: ( ) *2** q2qp2 +=+
siendo *p y *q las variables adimensionales de Lambe ( ( ) 2p 31
+= y ( ) 2q 31 = ):
= 2
2*
sen2sen1p
p ;
sen
sen1qq*
=
donde y representan los parmetros resistentes del criterio de
rotura en forma paramtrica de Serrano & Olalla (1994). Vienen
dados de la siguiente manera:
-
8m C = es la resistencia caracterstica que se utiliza para
adimensionalizar las tensiones.
2ms8 = es el parmetro resistente, se le llama el coeficiente de
tenacidad. El valor de C es la resistencia a compresin simple de la
roca intacta. Los parmetros m y s son los parmetros que dependen de
las propiedades de la roca y del grado de fracturacin y alteracin
(Hoek & Brown, 1980), y se determinan en funcin de RMR :
( )[ ]'a100RMRexpmm 0 = ( )[ ]'b100RMRexps =
siendo 'a y 'b los parmetros que dependen del estado de roca,
tomando valores de 28'a = y 9'b = para la roca no alterada, y 14'a
= y 6'b = para la roca alterada.
Figura 1: Criterios de rotura tipo Mohr y tipo Coulomb
Las expresiones adimensionales de las tensiones normales y
tangenciales a lo largo de la superficie de rotura vienen dadas en
funcin del ngulo de rozamiento ( ) (Serrano & Olalla,
1998):
== sen
sensen1
sen2sen1
senqp 22
*
cos
sensen1
cosq*==
Los valores del ngulo de dilatancia ( ) introducidos en el
clculo se basan en las recomendaciones de Hoek & Brown (1997),
y toman los siguientes valores:
0 para el macizo de muy baja calidad ( )25GSI < , 4 para el
macizo de calidad media ( )75GSI25 .
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Los valores del coeficiente de tenacidad introducidos en el
clculo en este trabajo son: 1.0y01.0;001.0= . De esta manera se
abarca a los efectos prcticos casi la totalidad de
valores posibles y representativos de la calidad de la roca.
Entre la resistencia al corte mxima que se puede movilizar a lo
largo de la superficie potencial de deslizamiento y la resistencia
movilizada se determina la expresin del factor de seguridad:
RFS =
4. GEOMETRA Las geometras supuestas para el deslizamiento plano
y circular se presentan en la Figura 2. El centro de coordenadas se
ha seleccionado por comodidad operativa en el punto ms alto de la
superficie de deslizamiento.
Figura 2: Geometra del deslizamiento plano y circular
Los datos geomtricos ms relevantes de la Figura 2 son: H ; TH ;
h : altura del talud excavado; altura total de la masa deslizante;
altura variable de la cua de la masa deslizante. L ; 0L : longitud
de la proyeccin horizontal de la masa deslizante; longitud de la
proyeccin horizontal de la masa deslizante en la parte del terreno
natural.
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; ; : ngulo de inclinacin del talud excavado; ngulo de la
superficie de deslizamiento plano; ngulo de la ladera natural.
Cuando se considera el ngulo de deslizamiento plano que proporciona
el factor de seguridad mnimo del talud se denomina MIN .
( )xyr ; ( )xyt : ordenadas de la superficie del deslizamiento;
ordenadas de la superficie del terreno natural.
Cx ; Cy : coordenadas del centro del crculo de deslizamiento.
Radio ; Dist : radio del crculo de deslizamiento; distancia entre
el centro del deslizamiento circular ( )C y el punto medio del
deslizamiento plano ( )M .
5. MTODO DE CLCULO El mtodo de clculo desarrollado viene
explicado detalladamente en Melentijevic (2005). Todo el proceso de
clculo y todos los resultados obtenidos en este trabajo se han
elaborado en forma adimensional. La masa deslizante se divide en
rebanadas. En un principio el mtodo admite las mismas hiptesis que
el mtodo de Morgensten & Price (1965), y en general permite
determinar el factor de seguridad de la superficie de deslizamiento
de cualquier forma y con cualquier tipo de solicitaciones externas.
Posteriormente se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales
para definir el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales y
el equilibrio de momentos haciendo tender a cero la anchura de las
rebanadas ( )dxx . En este trabajo se ha desarrollado slo el caso
de deslizamiento plano y circular con fuerzas de masa
gravitatorias. Las ecuaciones diferenciales de equilibrio de
fuerzas horizontales ( )in y verticales ( )it y el equilibrio de
momentos ( )im para cada rebanada se presentan mediante las
siguientes expresiones:
FStg
dxdn R
n
= ; )tgFS
(hdxdt R
n += ; tgnt
dxdm
ii =
siendo: iii m,t,n - fuerza normal, tangencial y momento en las
interfaces de cada rebanada; - peso especfico del material; -
inclinacin de la superficie de deslizamiento, variable en el caso
de deslizamiento circular. El clculo se ha efectuado en una hoja de
Excel, programando las ecuaciones diferenciales mediante Visual
Basic for Applications. La hiptesis bsica del mtodo de Morgenstern
& Price (1965) respecto a la relacin entre las fuerzas
horizontales ( )in y verticales ( )it en las caras verticales entre
rebanadas es la siguiente:
ii
i tgnt = ; ii ftg = ; iii nft =
-
siendo: i - ngulo de inclinacin de la fuerza total entre
rebanadas respecto a la horizontal;
if - funcin de distribucin de las solicitaciones en las
interfaces de rebanadas escogida a
priori, en este caso se ha empleado la funcin de medio-seno: ( )
( )Lxsenxf = ; - parmetro de Morgenstern & Price que representa
el porcentaje del valor de la funcin ( )xf utilizada. Despus de
resolver las condiciones de contorno referentes a la primera
rebanada en el punto ms alto de la superficie de deslizamiento, se
ha procedido al clculo realizando los siguientes pasos:
(1) Obtener el ngulo de rozamiento ( )i en la base de cada
rebanada y a partir de l obtener valores de las tensiones normales
y tangenciales adimensionales que actan precisamente en el plano de
rotura.
(2) Obtener el valor de la fuerza horizontal ( )in en la
interfaz de cada rebanada. (3) Obtener el valor de la fuerza
vertical ( )it en la interfaz de cada rebanada. (4) Obtener el
valor del momento ( )im en la interfaz de cada rebanada. (5)
Calcular el valor del factor de seguridad ( )FS para distintos
ngulos de inclinacin
de la superficie de deslizamiento ( )i y entre ellos obtener el
valor mnimo correspondiente a la superficie psima de deslizamiento
plano ( )MIN . A partir de este valor del ngulo de deslizamiento
plano se varia la superficie de deslizamiento circular alrededor de
la superficie psima de deslizamiento plano hasta conseguir la que
proporciona el valor mnimo del factor de seguridad del talud.
Estos cinco pasos se han aplicado a distintas geometras del
talud, es decir, taludes con distintas alturas adimensionales del
talud ( )*H con distintos ngulos de inclinacin ( ) , para obtener
sus coeficientes de seguridad ( )FS . Para pasar de los valores
adimensionales a dimensionales y al revs se utilizan las unidades
intrnsecas bsicas ( ) , empleadas en el clculo, cuyo significado se
ha mencionado anteriormente. Conjugando estos dos valores se
obtiene la longitud intrnseca ( )=eL que permite adimensionalizar
las longitudes (distinguidas con asterisco) y se aplica de la
siguiente manera:
e* LHH = ; e
* LLL = ; e0*
0 LLL =
6. RESULTADOS OBTENIDOS Los resultados obtenidos se proporcionan
en la forma de distintos bacos para distintos datos de partida en
funcin de los distintos aspectos que influyen en el valor del
factor de seguridad. Con carcter general, se ha encontrado que los
resultados obtenidos difieren muy poco utilizando valores del
parmetro del Morgenstern & Price distintos de 25.0= en el caso
de deslizamiento plano (Melentijevic, 2005). Tambin se demuestra
que la influencia del ngulo
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de la ladera natural ( ) es nula en el caso de deslizamiento
plano. Esta conclusin tambin viene dada en Serrano & Olalla
(1998) y Serrano et al. (2002). Uno de los bacos aportados se
presenta en la Figura 3 mostrando la correlacin, para el
deslizamiento plano, entre el factor de seguridad y el ngulo de
inclinacin del talud para distintas alturas adimensionales del
mismo, para un valor del ngulo de dilatancia ( ) y un valor del
coeficiente de tenacidad ( ) .
Figura 3: Deslizamiento plano. Correlacin de factor de seguridad
( )FS y ngulo de inclinacin del talud ( ) para distintas alturas
adimensionales del talud ( )= HH *
A titulo de ejemplo en la Figura 4 se proporciona el baco para
deslizamiento plano que aporta la correlacin de un rango de valores
del factor de seguridad ( )FS con el ngulo de inclinacin del talud
( ) y su correspondiente ngulo de la superficie de deslizamiento
plano psima ( )MIN para una determinada altura adimensional del
talud ( )10H * = , tres valores del ngulo de dilatancia (
)5.11,4,0= y un nico valor del coeficiente de tenacidad ( )001.0= .
En la Figura 5 se muestra la diferencia del factor de seguridad (
)FS obtenida entre el deslizamiento plano y circular para un rango
de valores del ngulo de inclinacin del talud
FS vs. =4 =0.001 =0.25 =0
20
30
40
50
60
70
80
90
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6FS (factor de seguridad)
(
ngul
o de
incl
inac
in
del t
alud
)
H*=0.01H*=0.025H*=0.05H*=0.1H*=0.5H*=1H*=2.5H*=5H*=10H*=12.5H*=25
-
( ) , para una determinada altura adimensional del talud ( )10H
* = , tres valores del ngulo de dilatancia ( )5.11,4,0= y un nico
valor de coeficiente de tenacidad" ( )001.0= . Sirve de referencia
para destacar la diferencia entre distintos ngulos de inclinacin
del talud ( ) obtenidos para una misma altura del talud ( )H y un
mismo valor del factor de seguridad ( )FS bajo hiptesis de
deslizamiento plano y circular.
Figura 4: Deslizamiento plano. Correlacin de factor de seguridad
( )FS con ngulo de inclinacin del talud ( ) y su correspondiente
ngulo de la superficie de deslizamiento psima ( )MIN para el caso (
)10H;001.0 * ==
Figura 5: Deslizamiento plano y circular. Correlacin de factor
de seguridad ( )FS y ngulo de inclinacin ( ) del talud para el caso
( )10H;001.0 * ==
FS vs. , , , , ( ( ( (DP))))H*=10 =0,4,11.5 =0.001 =0.25 =0
20
30
40
50
60
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6FS (factor de seguridad)
(
ngul
o de
incl
inac
in
del t
alud
)
MIN
(ng
ulo
de s
uper
ficie
de
desl
izam
ient
o)
=0
=4
=11.5
=0
=4
=11.5
=0.001
MIN
FS vs. ( ( ( (DP, DC))))H*=10 =0,4,11.5 =0.001 =0
15
25
35
45
55
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6FS (factor de seguridad)
(
ngul
o de
incl
inac
in
del t
alud
)
=0
=4
=11.5
=0
=4
=11.5
Deslizamiento Plano
DeslizamientoCircular
=0.001
-
La Figura 6 muestra de manera comparativa la correlacin entre la
altura adimensional del talud ( )*H y el ngulo de inclinacin del
talud ( ) para el caso de equilibrio lmite ( )1FS = , tres
distintos valores del coeficiente de tenacidad ( )1.0,01.0,001.0= y
un nico valor del ngulo de dilatancia ( ) , para casos bajo
hiptesis de deslizamiento plano y circular. Se observa que la
diferencia entre los valores de los ngulos de inclinacin del talud
( ) requeridos para un mismo valor de la altura ( )H bajo hiptesis
de deslizamiento plano y circular es tanto mayor cuanto mayor es la
altura adimensional del talud. Para alturas adimensionales pequeas
la diferencia entre las curvas de correlacin bajo estas dos
hiptesis para un mismo valor del coeficiente de tenacidad ( ) es
pequea. Para alturas adimensionales grandes ( )10H * > las
curvas de correlacin prcticamente se superponen. Lgicamente, cuanto
mayor es el valor del coeficiente de tenacidad ( ) tanto mayor es
el ngulo de inclinacin del talud ( ) para un mismo valor del
coeficiente de seguridad ( )FS y altura del talud ( )H .
Figura 6: Deslizamiento plano y circular. Correlacin de altura
adimensional del talud ( )*H y ngulo de inclinacin del talud ( )
para equilibrio lmite ( )1FS =
En la Figura 7 se presenta la correlacin entre la altura
adimensional del talud ( )*H y el ngulo de inclinacin del talud ( )
para el caso de equilibrio lmite ( )1FS = , tres distintos
H* vs. =4 =0.001,0.01,0.1 FS=1 =0
0,001
0,01
0,1
1
10
100
20 30 40 50 60 70 80 90 (ngulo de inclinacin del talud)
H*
(altu
ra a
dim
ensi
onal
)
DeslizamientoCircularDeslizamientoCircularDeslizamientoCircularDeslizamientoPlanoDeslizamientoPlanoDeslizamientoPlano
=0.001=0.001=0.001=0.001
=0.01=0.01=0.01=0.01
=0.1=0.1=0.1=0.1
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valores del coeficiente de tenacidad ( )1.0,01.0,001.0= y tres
diferentes valores del ngulo de dilatancia ( ) , para caso de
deslizamiento circular. Se observa que para una altura del talud (
)H , un mismo valor del parmetro llamado coeficiente de tenacidad (
) y para distintos valores del ngulo de dilatancia ( ) , existen
variaciones en el valor del ngulo de inclinacin del talud ( ) de
hasta aproximadamente 10. Estas diferencias en dichos ngulos
aumentan segn disminuye la altura adimensional del talud ( )*H . Es
decir, la influencia del ngulo de dilatancia ( ) es muy grande para
taludes de alturas adimensionales menores, pero tiene poca
influencia en los taludes de alturas adimensionales muy grandes, es
decir aproximadamente para los valores de la altura adimensional
del talud 10H * > . Se nota que cuanto mayor es el valor del
coeficiente de tenacidad ( ) tanto mayor es el ngulo de inclinacin
del talud ( ) para una misma altura adimensional ( )*H y un mismo
valor del ngulo de dilatancia ( ) , siendo su influencia
despreciable para alturas adimensionales del talud muy grandes 10H
* > . Es decir, para todos los valores del ngulo de dilatancia (
) y para todos los valores del coeficiente de tenacidad ( ) las
curvas de dicha correlacin prcticamente se superponen para los
valores de la altura adimensional 10H * > .
Figura 7: Deslizamiento circular. Correlacin de altura
adimensional del talud ( )*H y ngulo de inclinacin del talud ( )
para equilibrio lmite ( )1FS =
H* vs. FS=1 =0,4,11.5 =0
0,001
0,01
0,1
1
10
100
20 30 40 50 60 70 80 90 (ngulo de inclinacin del talud)
H*
(altu
ra a
dim
ensi
onal
)
=0;=0.001=0;=0.01=0;=0.1=4;=0.001=4;=0.01=4;=0.1=11.5;=0.001=11.5;=0.01=11.5;=0.1
=0.001=0.001=0.001=0.001
=0.01=0.01=0.01=0.01
=0.1=0.1=0.1=0.1
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7. EJEMPLO DE APLICACIN Se excava un talud de altura m250H = en
un material con los siguientes datos de partida: material
areniscoso ( )19m0 = en un estado de fracturacin prximo a 50RMR = ,
con una resistencia a compresin simple MPa15C = y un peso especfico
de
3m/kN25= . Se estiman los siguientes datos intermedios: ngulo de
dilatancia ( )4= , y valores de
28'a = y 9'b = para una roca no perturbada. A partir de ellos se
calculan los valores de los siguientes parmetros:
19.3m = ; 00387.0s = MPa97.5= ; 00305.0= 046.1H * =
De la Figura 6 se obtienen los siguientes valores del ngulo de
inclinacin del talud necesario en el caso de deslizamiento plano (
)PL y circular ( )CIR para la altura adimensional requerida de
046.1H * = , en el caso de equilibrio lmite ( )1FS = :
001.0= ; 50PL = ; 48CIR = 01.0= ; 58PL = ; 54CIR = 1.0= ; 88PL =
; 84CIR =
Interpolando para el valor requerido del coeficiente de
tenacidad de 00305.0= , se obtiene los valores de 52PL = y 50CIR =
, para el ngulo de inclinacin del talud en el caso de deslizamiento
plano y circular, respectivamente.
8. CONCLUSIONES Los bacos presentados representan una
herramienta fcil para una estimacin rpida de la geometra necesaria
para la excavacin de un talud. Demuestran grficamente la importante
influencia de distintos valores del ngulo de dilatancia ( ) en los
ngulos de inclinacin del talud ( ) obtenidos para un mismo valor
del factor de seguridad ( )FS , una misma altura del talud ( )H y
un mismo valor del coeficiente de tenacidad ( ) . La influencia del
parmetro resistente representativo de la calidad de roca ( )
(coeficiente de tenacidad) y del ngulo de dilatancia ( ) es
despreciable para alturas adimensionales del talud grandes.
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