VI Simposio Nacional sobre Taludes y Laderas Inestables Valencia, 21-24 de Junio de 2005

1. INTRODUCCIN La mayor parte de los problemas de anlisis de estabilidad de taludes en macizos rocosos, tanto bajo hiptesis de deslizamiento plano como deslizamiento circular, suelen considerar el criterio de rotura lineal de Mohr-Coulomb, o el criterio emprico de rotura no lineal de Hoek & Brown. En general, todos estos procedimientos suelen suponer una ley de fluencia asociada, lo cual conlleva la sobreestimacin del valor del coeficiente de seguridad. En este trabajo se realiza un anlisis terico de estabilidad de taludes rocosos empleando el criterio de rotura de Hoek & Brown (1980). Utilizando la forma paramtrica de Serrano &

CLCULO DE TALUDES EN MEDIOS ROCOSOS CON DESLIZAMIENTO PLANO Y DESLIZAMIENTO CIRCULAR CON EL CRITERIO DE ROTURA DE HOEK & BROWN MELENTIJEVIC, Svetlana. Laboratorio de Geotecnia, CEDEX SERRANO, Alcibades. ETSI Caminos, Canales y Puertos, UPM OLALLA, Claudio. Laboratorio de Geotecnia, CEDEX RESUMEN:

Se realiza un anlisis de estabilidad de taludes en macizos rocosos homogneos e istropos, suponiendo hiptesis de deslizamiento plano y deslizamiento circular. Se emplea el criterio de rotura de Hoek & Brown (1980), con ley de fluencia no asociada y valores de dilatancia constantes recogidos de la recomendacin de Hoek & Brown (1997). El anlisis de estabilidad se realiza admitiendo en un principio las mismas hiptesis que el mtodo de Morgenstern & Price (1965). Llevando al lmite la anchura de las dovelas ( )dxx , se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales, que expresa el equilibrio horizontal y vertical de fuerzas y el equilibrio de momentos. Se propone un mtodo general para la integracin numrica con fuerzas de masa gravitatorias. La hiptesis bsica es que el deslizamiento pasa por el pie de talud. Los resultados obtenidos se presentan en forma de bacos que muestran grficamente la influencia del ngulo de dilatancia. Permiten una estimacin rpida de los datos geomtricos necesarios para la excavacin de un talud en funcin de los parmetros geotcnicos. Este procedimiento es adecuado para medios fuertemente diaclasados y fracturados.

Olalla (1994) se puede introducir tanto una ley de fluencia asociada como no asociada. El anlisis es vlido para un macizo homogneo e istropo, lo cual es imprescindible para la aplicacin del criterio de rotura de Hoek & Brown. Es decir, es vlido para macizos rocosos de muy baja calidad que se pueden clasificar casi como suelos duros, o para macizos rocosos muy fracturados, en los cuales la estabilidad no est condicionada por unos defectos singulares.

2. HIPTESIS Se plantea un talud de altura infinita en el cual se realiza una excavacin de altura finita ( )H . La hiptesis bsica empleada en este estudio es que el deslizamiento, tanto plano como circular, se produce pasando por el pie del talud. Partiendo de la hiptesis de deslizamiento plano, y la superficie psima de deslizamiento plano que proporciona el valor del factor de seguridad mnimo del talud, se vara alrededor de ella la posicin de la superficie de deslizamiento circular hasta conseguir la que proporciona el valor mnimo del factor de seguridad del talud.

3. CRITERIO DE ROTURA El criterio de rotura empleado en este trabajo es el de Hoek & Brown (1980). Es un criterio tipo Mohr. Utilizado conjuntamente con una ley de fluencia no asociada permite obtener las tensiones de rotura a lo largo de la superficie de deslizamiento, es decir el criterio de rotura tipo Coulomb (vase Figura 1). La ley de fluencia introducida supone valores del ngulo de dilatancia ( ) constantes, cuyas magnitudes vienen recomendadas por Hoek & Brown (1997) en funcin del estado de fracturacin del macizo rocoso, dado mediante su ndice de calidad GSI (Geological Strength Index). A efectos prcticos se admite que el valor de GSI es aproximadamente igual al valor del ndice de la clasificacin de Bieniawski RMR (Rock Mass Rating). En este trabajo se ha aplicado el criterio de rotura en forma paramtrica de Serrano & Olalla (1994) dado de la siguiente manera:

q2q

p2

+=+

o bien de la siguiente forma: ( ) *2** q2qp2 +=+

siendo *p y *q las variables adimensionales de Lambe ( ( ) 2p 31 += y ( ) 2q 31 = ):

= 2

2*

sen2sen1p

p ;

sen

sen1qq*

=

donde y representan los parmetros resistentes del criterio de rotura en forma paramtrica de Serrano & Olalla (1994). Vienen dados de la siguiente manera:

8m C = es la resistencia caracterstica que se utiliza para adimensionalizar las tensiones.

2ms8 = es el parmetro resistente, se le llama el coeficiente de tenacidad. El valor de C es la resistencia a compresin simple de la roca intacta. Los parmetros m y s son los parmetros que dependen de las propiedades de la roca y del grado de fracturacin y alteracin (Hoek & Brown, 1980), y se determinan en funcin de RMR :

( )[ ]'a100RMRexpmm 0 = ( )[ ]'b100RMRexps =

siendo 'a y 'b los parmetros que dependen del estado de roca, tomando valores de 28'a = y 9'b = para la roca no alterada, y 14'a = y 6'b = para la roca alterada.

Figura 1: Criterios de rotura tipo Mohr y tipo Coulomb

Las expresiones adimensionales de las tensiones normales y tangenciales a lo largo de la superficie de rotura vienen dadas en funcin del ngulo de rozamiento ( ) (Serrano & Olalla, 1998):

== sen

sensen1

sen2sen1

senqp 22

*

cos

sensen1

cosq*==

Los valores del ngulo de dilatancia ( ) introducidos en el clculo se basan en las recomendaciones de Hoek & Brown (1997), y toman los siguientes valores:

0 para el macizo de muy baja calidad ( )25GSI < , 4 para el macizo de calidad media ( )75GSI25 .

Los valores del coeficiente de tenacidad introducidos en el clculo en este trabajo son: 1.0y01.0;001.0= . De esta manera se abarca a los efectos prcticos casi la totalidad de

valores posibles y representativos de la calidad de la roca. Entre la resistencia al corte mxima que se puede movilizar a lo largo de la superficie potencial de deslizamiento y la resistencia movilizada se determina la expresin del factor de seguridad:

RFS =

4. GEOMETRA Las geometras supuestas para el deslizamiento plano y circular se presentan en la Figura 2. El centro de coordenadas se ha seleccionado por comodidad operativa en el punto ms alto de la superficie de deslizamiento.

Figura 2: Geometra del deslizamiento plano y circular

Los datos geomtricos ms relevantes de la Figura 2 son: H ; TH ; h : altura del talud excavado; altura total de la masa deslizante; altura variable de la cua de la masa deslizante. L ; 0L : longitud de la proyeccin horizontal de la masa deslizante; longitud de la proyeccin horizontal de la masa deslizante en la parte del terreno natural.

; ; : ngulo de inclinacin del talud excavado; ngulo de la superficie de deslizamiento plano; ngulo de la ladera natural. Cuando se considera el ngulo de deslizamiento plano que proporciona el factor de seguridad mnimo del talud se denomina MIN .

( )xyr ; ( )xyt : ordenadas de la superficie del deslizamiento; ordenadas de la superficie del terreno natural.

Cx ; Cy : coordenadas del centro del crculo de deslizamiento. Radio ; Dist : radio del crculo de deslizamiento; distancia entre el centro del deslizamiento circular ( )C y el punto medio del deslizamiento plano ( )M .

5. MTODO DE CLCULO El mtodo de clculo desarrollado viene explicado detalladamente en Melentijevic (2005). Todo el proceso de clculo y todos los resultados obtenidos en este trabajo se han elaborado en forma adimensional. La masa deslizante se divide en rebanadas. En un principio el mtodo admite las mismas hiptesis que el mtodo de Morgensten & Price (1965), y en general permite determinar el factor de seguridad de la superficie de deslizamiento de cualquier forma y con cualquier tipo de solicitaciones externas. Posteriormente se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales para definir el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales y el equilibrio de momentos haciendo tender a cero la anchura de las rebanadas ( )dxx . En este trabajo se ha desarrollado slo el caso de deslizamiento plano y circular con fuerzas de masa gravitatorias. Las ecuaciones diferenciales de equilibrio de fuerzas horizontales ( )in y verticales ( )it y el equilibrio de momentos ( )im para cada rebanada se presentan mediante las siguientes expresiones:

FStg

dxdn R

n

= ; )tgFS

(hdxdt R

n += ; tgnt

dxdm

ii =

siendo: iii m,t,n - fuerza normal, tangencial y momento en las interfaces de cada rebanada; - peso especfico del material; - inclinacin de la superficie de deslizamiento, variable en el caso de deslizamiento circular. El clculo se ha efectuado en una hoja de Excel, programando las ecuaciones diferenciales mediante Visual Basic for Applications. La hiptesis bsica del mtodo de Morgenstern & Price (1965) respecto a la relacin entre las fuerzas horizontales ( )in y verticales ( )it en las caras verticales entre rebanadas es la siguiente:

ii

i tgnt = ; ii ftg = ; iii nft =

siendo: i - ngulo de inclinacin de la fuerza total entre rebanadas respecto a la horizontal;

if - funcin de distribucin de las solicitaciones en las interfaces de rebanadas escogida a

priori, en este caso se ha empleado la funcin de medio-seno: ( ) ( )Lxsenxf = ; - parmetro de Morgenstern & Price que representa el porcentaje del valor de la funcin ( )xf utilizada. Despus de resolver las condiciones de contorno referentes a la primera rebanada en el punto ms alto de la superficie de deslizamiento, se ha procedido al clculo realizando los siguientes pasos:

(1) Obtener el ngulo de rozamiento ( )i en la base de cada rebanada y a partir de l obtener valores de las tensiones normales y tangenciales adimensionales que actan precisamente en el plano de rotura.

(2) Obtener el valor de la fuerza horizontal ( )in en la interfaz de cada rebanada. (3) Obtener el valor de la fuerza vertical ( )it en la interfaz de cada rebanada. (4) Obtener el valor del momento ( )im en la interfaz de cada rebanada. (5) Calcular el valor del factor de seguridad ( )FS para distintos ngulos de inclinacin

de la superficie de deslizamiento ( )i y entre ellos obtener el valor mnimo correspondiente a la superficie psima de deslizamiento plano ( )MIN . A partir de este valor del ngulo de deslizamiento plano se varia la superficie de deslizamiento circular alrededor de la superficie psima de deslizamiento plano hasta conseguir la que proporciona el valor mnimo del factor de seguridad del talud.

Estos cinco pasos se han aplicado a distintas geometras del talud, es decir, taludes con distintas alturas adimensionales del talud ( )*H con distintos ngulos de inclinacin ( ) , para obtener sus coeficientes de seguridad ( )FS . Para pasar de los valores adimensionales a dimensionales y al revs se utilizan las unidades intrnsecas bsicas ( ) , empleadas en el clculo, cuyo significado se ha mencionado anteriormente. Conjugando estos dos valores se obtiene la longitud intrnseca ( )=eL que permite adimensionalizar las longitudes (distinguidas con asterisco) y se aplica de la siguiente manera:

e* LHH = ; e

* LLL = ; e0*

0 LLL =

6. RESULTADOS OBTENIDOS Los resultados obtenidos se proporcionan en la forma de distintos bacos para distintos datos de partida en funcin de los distintos aspectos que influyen en el valor del factor de seguridad. Con carcter general, se ha encontrado que los resultados obtenidos difieren muy poco utilizando valores del parmetro del Morgenstern & Price distintos de 25.0= en el caso de deslizamiento plano (Melentijevic, 2005). Tambin se demuestra que la influencia del ngulo

de la ladera natural ( ) es nula en el caso de deslizamiento plano. Esta conclusin tambin viene dada en Serrano & Olalla (1998) y Serrano et al. (2002). Uno de los bacos aportados se presenta en la Figura 3 mostrando la correlacin, para el deslizamiento plano, entre el factor de seguridad y el ngulo de inclinacin del talud para distintas alturas adimensionales del mismo, para un valor del ngulo de dilatancia ( ) y un valor del coeficiente de tenacidad ( ) .

Figura 3: Deslizamiento plano. Correlacin de factor de seguridad ( )FS y ngulo de inclinacin del talud ( ) para distintas alturas adimensionales del talud ( )= HH *

A titulo de ejemplo en la Figura 4 se proporciona el baco para deslizamiento plano que aporta la correlacin de un rango de valores del factor de seguridad ( )FS con el ngulo de inclinacin del talud ( ) y su correspondiente ngulo de la superficie de deslizamiento plano psima ( )MIN para una determinada altura adimensional del talud ( )10H * = , tres valores del ngulo de dilatancia ( )5.11,4,0= y un nico valor del coeficiente de tenacidad ( )001.0= . En la Figura 5 se muestra la diferencia del factor de seguridad ( )FS obtenida entre el deslizamiento plano y circular para un rango de valores del ngulo de inclinacin del talud

FS vs. =4 =0.001 =0.25 =0

20

30

40

50

60

70

80

90

0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6FS (factor de seguridad)

(

ngul

o de

incl

inac

in

del t

alud

)

H*=0.01H*=0.025H*=0.05H*=0.1H*=0.5H*=1H*=2.5H*=5H*=10H*=12.5H*=25

( ) , para una determinada altura adimensional del talud ( )10H * = , tres valores del ngulo de dilatancia ( )5.11,4,0= y un nico valor de coeficiente de tenacidad" ( )001.0= . Sirve de referencia para destacar la diferencia entre distintos ngulos de inclinacin del talud ( ) obtenidos para una misma altura del talud ( )H y un mismo valor del factor de seguridad ( )FS bajo hiptesis de deslizamiento plano y circular.

Figura 4: Deslizamiento plano. Correlacin de factor de seguridad ( )FS con ngulo de inclinacin del talud ( ) y su correspondiente ngulo de la superficie de deslizamiento psima ( )MIN para el caso ( )10H;001.0 * ==

Figura 5: Deslizamiento plano y circular. Correlacin de factor de seguridad ( )FS y ngulo de inclinacin ( ) del talud para el caso ( )10H;001.0 * ==

FS vs. , , , , ( ( ( (DP))))H*=10 =0,4,11.5 =0.001 =0.25 =0

20

30

40

50

60

0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6FS (factor de seguridad)

(

ngul

o de

incl

inac

in

del t

alud

)

MIN

(ng

ulo

de s

uper

ficie

de

desl

izam

ient

o)

=0

=4

=11.5

=0

=4

=11.5

=0.001

MIN

FS vs. ( ( ( (DP, DC))))H*=10 =0,4,11.5 =0.001 =0

15

25

35

45

55

0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6FS (factor de seguridad)

(

ngul

o de

incl

inac

in

del t

alud

)

=0

=4

=11.5

=0

=4

=11.5

Deslizamiento Plano

DeslizamientoCircular

=0.001

La Figura 6 muestra de manera comparativa la correlacin entre la altura adimensional del talud ( )*H y el ngulo de inclinacin del talud ( ) para el caso de equilibrio lmite ( )1FS = , tres distintos valores del coeficiente de tenacidad ( )1.0,01.0,001.0= y un nico valor del ngulo de dilatancia ( ) , para casos bajo hiptesis de deslizamiento plano y circular. Se observa que la diferencia entre los valores de los ngulos de inclinacin del talud ( ) requeridos para un mismo valor de la altura ( )H bajo hiptesis de deslizamiento plano y circular es tanto mayor cuanto mayor es la altura adimensional del talud. Para alturas adimensionales pequeas la diferencia entre las curvas de correlacin bajo estas dos hiptesis para un mismo valor del coeficiente de tenacidad ( ) es pequea. Para alturas adimensionales grandes ( )10H * > las curvas de correlacin prcticamente se superponen. Lgicamente, cuanto mayor es el valor del coeficiente de tenacidad ( ) tanto mayor es el ngulo de inclinacin del talud ( ) para un mismo valor del coeficiente de seguridad ( )FS y altura del talud ( )H .

Figura 6: Deslizamiento plano y circular. Correlacin de altura adimensional del talud ( )*H y ngulo de inclinacin del talud ( ) para equilibrio lmite ( )1FS =

En la Figura 7 se presenta la correlacin entre la altura adimensional del talud ( )*H y el ngulo de inclinacin del talud ( ) para el caso de equilibrio lmite ( )1FS = , tres distintos

H* vs. =4 =0.001,0.01,0.1 FS=1 =0

0,001

0,01

0,1

1

10

100

20 30 40 50 60 70 80 90 (ngulo de inclinacin del talud)

H*

(altu

ra a

dim

ensi

onal

)

DeslizamientoCircularDeslizamientoCircularDeslizamientoCircularDeslizamientoPlanoDeslizamientoPlanoDeslizamientoPlano

=0.001=0.001=0.001=0.001

=0.01=0.01=0.01=0.01

=0.1=0.1=0.1=0.1

valores del coeficiente de tenacidad ( )1.0,01.0,001.0= y tres diferentes valores del ngulo de dilatancia ( ) , para caso de deslizamiento circular. Se observa que para una altura del talud ( )H , un mismo valor del parmetro llamado coeficiente de tenacidad ( ) y para distintos valores del ngulo de dilatancia ( ) , existen variaciones en el valor del ngulo de inclinacin del talud ( ) de hasta aproximadamente 10. Estas diferencias en dichos ngulos aumentan segn disminuye la altura adimensional del talud ( )*H . Es decir, la influencia del ngulo de dilatancia ( ) es muy grande para taludes de alturas adimensionales menores, pero tiene poca influencia en los taludes de alturas adimensionales muy grandes, es decir aproximadamente para los valores de la altura adimensional del talud 10H * > . Se nota que cuanto mayor es el valor del coeficiente de tenacidad ( ) tanto mayor es el ngulo de inclinacin del talud ( ) para una misma altura adimensional ( )*H y un mismo valor del ngulo de dilatancia ( ) , siendo su influencia despreciable para alturas adimensionales del talud muy grandes 10H * > . Es decir, para todos los valores del ngulo de dilatancia ( ) y para todos los valores del coeficiente de tenacidad ( ) las curvas de dicha correlacin prcticamente se superponen para los valores de la altura adimensional 10H * > .

Figura 7: Deslizamiento circular. Correlacin de altura adimensional del talud ( )*H y ngulo de inclinacin del talud ( ) para equilibrio lmite ( )1FS =

H* vs. FS=1 =0,4,11.5 =0

0,001

0,01

0,1

1

10

100

20 30 40 50 60 70 80 90 (ngulo de inclinacin del talud)

H*

(altu

ra a

dim

ensi

onal

)

=0;=0.001=0;=0.01=0;=0.1=4;=0.001=4;=0.01=4;=0.1=11.5;=0.001=11.5;=0.01=11.5;=0.1

=0.001=0.001=0.001=0.001

=0.01=0.01=0.01=0.01

=0.1=0.1=0.1=0.1

7. EJEMPLO DE APLICACIN Se excava un talud de altura m250H = en un material con los siguientes datos de partida: material areniscoso ( )19m0 = en un estado de fracturacin prximo a 50RMR = , con una resistencia a compresin simple MPa15C = y un peso especfico de

3m/kN25= . Se estiman los siguientes datos intermedios: ngulo de dilatancia ( )4= , y valores de

28'a = y 9'b = para una roca no perturbada. A partir de ellos se calculan los valores de los siguientes parmetros:

19.3m = ; 00387.0s = MPa97.5= ; 00305.0= 046.1H * =

De la Figura 6 se obtienen los siguientes valores del ngulo de inclinacin del talud necesario en el caso de deslizamiento plano ( )PL y circular ( )CIR para la altura adimensional requerida de 046.1H * = , en el caso de equilibrio lmite ( )1FS = :

001.0= ; 50PL = ; 48CIR = 01.0= ; 58PL = ; 54CIR = 1.0= ; 88PL = ; 84CIR =

Interpolando para el valor requerido del coeficiente de tenacidad de 00305.0= , se obtiene los valores de 52PL = y 50CIR = , para el ngulo de inclinacin del talud en el caso de deslizamiento plano y circular, respectivamente.

8. CONCLUSIONES Los bacos presentados representan una herramienta fcil para una estimacin rpida de la geometra necesaria para la excavacin de un talud. Demuestran grficamente la importante influencia de distintos valores del ngulo de dilatancia ( ) en los ngulos de inclinacin del talud ( ) obtenidos para un mismo valor del factor de seguridad ( )FS , una misma altura del talud ( )H y un mismo valor del coeficiente de tenacidad ( ) . La influencia del parmetro resistente representativo de la calidad de roca ( ) (coeficiente de tenacidad) y del ngulo de dilatancia ( ) es despreciable para alturas adimensionales del talud grandes.

9. BIBLIOGRAFA HOEK, E. & BROWN, E. T. (1980) Empirical Strength Criterion for Rock Masses, J. Geotech. Engrg. Div., ASCE, Vol. 106, No. GT9, pp. 1013-1035 HOEK, E. & BROWN, E. T. (1997) Practical Estimates of Rock Mass Strength, Int. J. Rock Mech. & Min. Sci., Vol. 34, No. 8, pp. 1165-1186 MELENTIJEVIC, S. (2005) Estabilidad de Taludes en Macizos Rocosos con Criterios de Rotura no Lineales y Leyes de Fluencia no Asociada, Tesis Doctoral, ETSI Caminos, Canales y Puertos, UPM, 450 pp. MORGENSTERN, N. R. & PRICE, V. E. (1965) The Analysis of the Stability of General Slip Surfaces, Geotechnique, Vol. 15, No. 1, pp. 79-93 SERRANO, A. & OLALLA, C. (1994) Ultimate Bearing Capacity of Rock Masses, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., Vol. 31, No. 2, pp. 93-106 SERRANO, A. & OLALLA, C. (1998) Propiedades Geotcnicas de Materiales Canarios y Problemas de Cimentaciones y Estabilidad de Laderas en Obras Viales, Proc. III Encuentro Nacional de la Carretera, Islas Canarias, pp. 175-212 SERRANO, A., OLALLA, C. & PERUCHO, A. (2002) Planar Failure Surfaces on Rock Assuming a Non Linear Strength Law and Constant Dilatancy, Proc. Int. Symp. on Rock Engrg. for Mountainous Regions, EuRock 2002, ISRM, Funchal, pp. 179-186