Upload
guglielmo-lolli
View
234
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 1
Meccanica
Riepilogo
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 2
I tre principi della dinamica
Primo PrincipioUn sistema permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme se esso è isolato (su di esso non agisce alcuna forza), ovvero è soggetto a una risultante di forze nulle.
Secondo Principio
Un corpo di massa m, su cui agisce una risultante di forze F, è soggetto a una accelerazione proporzionale a F:
F = m a
In un sistema di riferimento inerziale.
Terzo Principio (principio di azione e reazione)
Quando due sistemi A e B interagiscono, il sistema A esercita sul sistema B una forza FB e il sistema B agisce sul sistema A con una forza FA che sono uguali in modulo, agiscono sulla stessa retta e hanno verso opposto: FB = - FA
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 3
I tre principi della dinamica
Primo Principio- sistema di riferimento inerziale - stato di moto (velocità)- per modificare lo stato di moto interazioni
Secondo Principio
F = m a (F: risultante delle forze)
Nota la risultante delle forze nota l’accelerazione (è definito il modello fisico)
Date le condizioni iniziali legge oraria ; traiettoria (è definito lo specifico processo)
In un sistema di riferimento inerziale.
Terzo Principio (principio di azione e reazione)- Indica come si costruisce il modello di una interazione- Reciprocità delle forze; azione e reazione agiscono su corpi diversi;FB= -FA
- Principio di conservazione quantità di moto per sistemi isolati- Principio di conservazione del momento della quantità di moto per sistemi isolati, ovvero per forze centrali.
F= ma
sufficiente per la fisica del punto materiale.
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 4
Equilibrio
Statica – Moto rettilineo uniforme
R = 0
Rx = 0
Ry = 0
Rz = 0
Dinamica
R = m a
Rx = m ax
Ry = m ay
Rz = m az
ax = Rx / m
ay = Ry / m
az = Rz / m
Note le condizioni iniziali (posizione iniziale e velocità iniziale), si può determinare l’evoluzione del sistema nel tempo (r = r (t); v = v (t))
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 5
Sistema di n punti materiali
Fi = mi ai R = i Fi = i mi ai
R = Fext= ------- = -----------t t
Q i mi vi
Prima equazione cardinale della dinamica.
Centro di massa:
OG = ---------i mi ri
i mi
vG = ---------- i mi vi
i mi
R = Fext= ------------ M vG
t
rG=
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 6
Sistema di n punti materiali soggetto a forze esterne con vettore risultante nullo.
------- = ----------- = ----------- = 0t t
Q i mi vi M vG
t
R =0
Qiniziale = Qfinale
Sistema isolato
Sistema soggetto a un vettore risultante di forze nullo
Q = costanteConservazione della quantità di moto
Principio di conservazione della quantità di moto:
In un sistema isolato o soggetto a un sistema di forze con vettore risultante nullo,
La quantità di moto del sistema si conserva:
Q = i mi vi= cost
vG = cost
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 7
Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto
O
x
y
z
ri
Pi
Fi M = i ri Λ Fi
M
Or1
F1
P1
P2
F2
Fn
rn
Pn
Dal terzo principio della dinamica
M = Mext = i ri Λ Fexti
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 8
Il momento di un sistema di forze rispetto a asse
O
ri
Pi
Fi
Mn =(M·n) n = [(i ri Λ Fi)·n]n
= ( i bi Fi)n
r1
F1
P1
P2
F2
Fn
rn
Pn
n
bi
b2
b1
bn
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 9
M =Mext = ------- L
t
L = (ri Λ (mi vi)Momento angolare o della quantità di moto
M = i ri Λ FiRisultante dei momenti
Seconda equazione cardinale della dinamica
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 10
Seconda equazione cardinale della dinamica
Mext = ---- L
t
Nei corpi rigidi in rotazione intorno ad un asse
L = I Mext =I -------
t
momento di inerzia
I = i mi ri2
con ri distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione
: velocità angolare (in generale non costante)
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 11
Principio di conservazione del momento angolare o momento della quantità di moto
Mext = ---- L
t
si ha: Mext = 0
- sistema isolato
- forze centrali
- forze uniformi
Conservazione di L
Mext = ----d L
d t
Dalla seconda equazione cardinale della dinamica
Se Mext = 0 Liniziale = L finale L = cost
Da III legge dinamica
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 12
m
T1
Il sistema
T2 T3
Condizione di equilibrio della puleggia
R = 0
T1 + T2 + T3=0
T1 = kx1 T2 = kx2 T3=mg
Molla di costante elastica k
Allungamento x1
Molla di costante elastica k
Allungamento x2
Funi inestensibili
Puleggia di massa m1
trascurabile Moduli delle forze
T1 : tensione esercitata dalla fune che sorregge la puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 1.
Molla 1
Molla 2
T2 : tensione esercitata dalla parte sinistra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 2.
T3 : tensione esercitata dalla parte destra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza peso mg.
Allungamento delle molle all’equilibrio?
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 13
m
T1
Il sistema
T2 T3
Condizione di equilibrio della puleggia
R = 0
T1 + T2 + T3=0
T3=T2 kx2 = mg
Condizione di equilibrio della massa m:
x1 = 2x2 = 2(mg/k)
Molla di costante elastica k
Allungamento x1
Molla di costante elastica k
Allungamento x2
Funi inestensibili
Puleggia di massa m1
trascurabile
kx1 =mg + kx2
x2 = (mg/k)
T1x = -kx1 T2x = kx2 T3x=mgComponenti x delle forze
Rx =0
x
y z
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 14
m2
m1
La macchina di Atwood
Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile
Puleggia di massa M e raggio R
Momento di inerzia: I = M R2/2
A
Prima equazione cardinale applicata alla puleggia
R = m a
T3
T1 T2
0 = m az
0 = m ay
T1x +T2x +T3x = m ax
x
yz
gm1 +gm2 –T3 =0Se il pignone A intorno a cui ruota la puleggia sta fermo: Rx=0
T3 = gm1 +gm2
Imporre il vettore risultante R=0 non è sufficiente per determinare la dinamica del sistema.
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 15
m2
m1
La macchina di Atwood
Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile
Puleggia di massa M e raggio R
Momento di inerzia: I = M R2/2
A
Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia
T3
T1 T2 x
yz
T3 = gm1 +gm2
M = T2 r k – T1 r k
Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia
k : versore asse z piano x,y su cui giacciono i vettori T1, T2 e r.
M = d L / dt
L = I k + (r m2 v2 - r m1 v1 ) k= = I k + ( m2 r2 - m1 r2 ) k=
= (I + m2 r2 - m1 r2 ) k
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 16
m2
m1
La macchina di Atwood
Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile
Puleggia di massa M e raggio R
Momento di inerzia: I = M R2/2
A
Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia
T3
T1 T2 x
yz
T3 = gm1 +gm2
M = T2 r k – T1 r k
Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia
k : versore asse z piano x,y su cui giacciono i vettori T1, T2 e r.
M = d L / dt
L = I k + (r m2 v2 - r m1 v1 ) k= = I k + ( m2 r2 - m1 r2 ) k=
= (I + m2 r2 - m1 r2 ) k
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 17
m2
m1
La macchina di Atwood
Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile
Puleggia di massa M e raggio R
Momento di inerzia: I = M R2/2
A
Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia
T3
T1 T2 x
yz
T3 = gm1 +gm2
Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia
M = d L / dt
T2 r k – T1 r k = (I + m2 r2 - m1 r2 ) (d/dt) k
d/dt = (T2 – T1)r / (I + m2 r2 - m1 r2 )
La puleggia si muove con accelerazione angolare costante
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 18
Teorema dell’energia cinetica
L = K (i Fi· Ri)
Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ
Somma su K = A, B,…..ZSomma dei contributi relativi
a ciascuna massa
Somma su i =1…n, sugli spostamenti Ri cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima).
L = K (1/2 mK VKf2
- 1/2 mK VKo2)
L = K (1/2 mK VKf2) - K (1/2 mK VKo
2)
Ec = K (1/2 mK VK2) L = Ecf – Ec0= Ec
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 19
Energia cinetica di un sistema
Ec = K (1/2 mK VK2)
VK2 = vG
2 + vK
2 +2 (vK · vG)
x
y
z MB
MK
MZMA
G
Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK
2)
L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa.
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 20
Energia cinetica di un corpo rigido.
Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi.
r v
Ec = 1/2 (K mK rK2)2
Ec = 1/2 I 2
I = K mK rK2
Momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione
È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse.
Tutti i punti del sistema si muovono con la stessa velocità angolare
Hanno velocità lineari diverse date da v = r..
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 21
Teorema di Huygens- Steiner
A1AG
d
Corpo rigido di massa M
Momento di inerzia IG rispetto all’asse AG passante per il baricentro del sistema.
IA1 = IG + M d2
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 22
Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso
(es un cilindro che rotola su un piano inclinato).
Ec = ½ M vG2 + ½ I 2
vG: velocità del centro di massa
M : massa del sistema
I : momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro)
: velocità angolare di rotazione intorno all’asse (in generale non è costante)
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 23
Energia potenziale
Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento.
Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…)
L = - (Uf – Ui)
Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra l’energia potenziale del sistema nella posizione finale e l’energia potenziale nella posizione iniziale.
Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo
Ui = mghi Uf = mghf En. Pot. gravitazionale
Ui = 1/2 k xi2 Ui = 1/2 k xf
2 En. Pot. elastica
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 24
Principio di conservazione dell’energia meccanica
Dal teorema dell’energia cinetica : L = Ecf – Eci
Nel caso in cui si abbiano forze conservative:
L = - (Uf – Ui)
- (Uf – Ui) = Ecf – Eci
Eci + Ui = Ecf + Uf
E = Ec + U = costante
Punto materiale: E = U + ½ M v2
Corpo rigido in rotazione intorno a un asse passante per G che trasla:
E = U + ½ M vG2 + ½ I 2
A.Stefanel - Riepilogo meccanica 25
Principio di conservazione dell’energia meccanica
Nel caso in cui su un sistema agiscano solo forze conservative:
Eci + Ui = Ecf + Uf
E = Ec + U = costante
N.B. Non vale nel caso in cui al lavoro della risultante di forze contribuiscano forze d’attrito.