C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 191–194, 2001Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations

Asymptotique de la densité d’états intégréedes opérateurs acoustiques aléatoiresHatem NAJAR

Département de mathématiques, Institut Galilée, Université de Paris-Nord, FranceCourriel : najar@math.univ-paris13.fr

(Reçu le 22 février 2001, accepté après révision le 11 juin 2001)

Résumé. Le but de ce travail est d’étudier le comportement de Lifshitz pour l’opérateurAω =−∇ 1

�ω∇. En utilisant les techniques de [5] on démontre que la densité d’états intégrée de

Aω a un comportement de Lifshitz au voisinage des lacunes si celle d’un certain opérateurpériodique est non dégénérée au voisinage de la même lacune spectrale. On applique cerésultat pour en déduire la localisation au voisinage des lacunes. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Asymptotic of the integrated density of states of random acousticoperators

Abstract. The goal of this work is to study the Lifshitz behavior for the operatorAω = −∇ 1�ω

∇.Using techniques developed in[5], we prove that the integrated density of states hasa Lifshitz behavior in the neighborhood of the internal spectral gaps if and only if theintegrated density of states of well chosen periodic operator is nondegenerated on the sameedge of the spectral gaps. We apply this result to deduce the spectral localization at the edgeof the spectrum ofAω. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SAS

1. Introduction

On considèreAω , l’opérateur auto-adjoint surL2(Rd) formellement défini par :

Aω =A(�ω) =−∇ 1�ω(x)

∇=−d∑

i=1

∂xi

1�ω(x)

∂xi , (1.1)

où�ω(x) satisfait0< �− � �ω(x)� �+ <∞, pour des constantes�− et�+.On commence par définir l’objet essentiel de notre étude, la densité d’états intégrée. On considère un

cubeΛ ⊂ Rd ; on note parAω,Λ la restriction deAω à Λ avec des conditions de Dirichlet aux bords.CommeAω est un opérateur elliptique, la résolvante deAω,Λ est compacte et par conséquent, le spectredeAω,Λ est discret ; il est formé de valeurs propres isolées de multiplicités finies [11]. Pour un intervalledonnéI ⊂ R, on peut compter le nombre des valeurs propres deAω,Λ dansI. Soit kΛ(I) le nombre desvaleurs propres (comptées avec leur multiplicité) deAω,Λ dansI. On définit

Note présentée par Gilles LEBEAU.

S0764-4442(01)02038-9/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 191

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NΛ(I) =kΛ(I)vol(Λ)

. (1.2)

Ici le volume du cubeΛ est pris au sens de Lebesgue.On poseNΛ(E) =NΛ((−∞,E]). CommeAω,Λ est positif et que le seul point d’accumulation de son

spectre est+∞, NΛ(E) est bien défini. Il est connu que la limite deNΛ(E) quandΛ tends vers l’espacetout entier, existe presque sûrement et qu’elle est indépendante des conditions aux bords.Voir [9,3]. Onl’appelledensité d’états intégréedeAω (abrégé en DEI) et on la note parN .

On s’intéresse au comportement deN aux bords des lacunes spectrales.

1.1. Comportement de la DEI. –Dans les années60, Lifshitz [7] a conjecturé que, pour un opérateur deSchrödingerHω =−∆+ Vω, il existec1, c2 > 0 tel queN(E) vérifie l’asymptotique :

N(E)� c1 exp(−c2(E −E0)−d/2

), E→E0. (1.3)

Ici E0 est le fond du spectre deHω . Le comportement (1.3) est connu sous le nom decomportement deLifshitzou asymptotique de Lifshitz(pour plus de détailsvoir IV.9.A de [10]). Lifshitz a prédit (1.3) nonseulement au fond du spectre mais aussi pour les bords fluctuants à l’intérieur du spectre. On appelle cephénomèneasymptotique de Lifshitz intérieure.

Les principaux résultats sur le comportement de Lifshitz sont démontrés pour des opérateurs deSchrödinger. (Voir par exemple [3,5,8,9,11].)

Le comportement de Lifshitz pour un opérateur de type (1.1), n’a, à notre connaissance, jamais été étudié.Cependant Kozlov dans [6] donne l’asymptotique de WeylN(E) au voisinage de0.

2. Le modèle

Dans ce paragraphe on décrit précisément notre modèle.Soit�ω(x) une fonction qui satisfait

(H.0) �ω(x) = �0(x)(1+

∑γ∈Zd

ωγuγ(x)),

où(i) �0(x) ∈C∞(Rd) etZd périodique.(ii) Pourγ ∈ Zd, on poseuγ(x) = u(x− γ). On suppose queu est une fonction positive deC∞

0 (Rd).(iii) (ωγ)γ∈Zd est une famille de variables aléatoires indépendantes, identiquement et uniformément

distribuées sur[0,1].On définit la forme quadratiqueA(�ω) par : pouru ∈H1(Rd) =D(A(�ω))

A(�ω)[u,u] =∫

Rd

1�ω(x)

∇u(x)∇u(x) dx.

A(�ω) est une forme quadratique symétrique fermée et positive.Aω donné par (1.1) est défini commel’opérateur auto-adjoint associé àA(�ω) [11]. (H.0) implique queAω est une famille mesurable etergodique d’opérateurs auto-adjoint [2]. De [4] on conclut qu’il existeΣ, Σpp, Σac et Σsc des sous-ensembles fermés et non aléatoires deR tel queΣ est le spectre deAω avec probabilité1 et tels que siσpp (resp.σac etσsc) désigne le spectre purement ponctuel (resp. le spectre absolument continu et singuliercontinu) deAω , alorsΣpp = σpp, Σac = σac etΣsc = σsc.

2.1. Opérateur de référence. –Maintenant on introduit un opérateur de référence. En effet, il est pratiquede considérer l’opérateurAω définit par (1.1) comme une perturbation de l’opérateur périodiqueAω+ . Plusprécisément, pour�ω+(x) = �0(x)

(1 +

∑γ∈Zd uγ(x)

), on écrit :

Aω =Aω+ +∆Aω ,

192

Asymptotique de la densité d’états intégrée

avec

Aω+ =A(�ω+) et ∆Aω =Aω −Aω+ =−∇�ω+ − �ω

�ω+�ω∇� 0.

Le spectreσ(Aω+) deAω+ est formé de bandes, i.e.

σ(Aω+) =⋃n∈N

En

(T∗).

On suppose que :(H.1) il existeE+, a > 0 et δ > 0 tel que

σ(Aω+)∩ [E+,E+ + a) = [E+,E+ + a) et σ(Aω+)∩ (E+ − δ,E+] = ∅.L’opérateur périodiqueAω+ a une DEI qui sera notée parn (voir [12]) ; elle est définie de la même façon

que la DEI deAω .Comme on s’intéresse au comportement de la DEI au voisinage deE+, on demande queE+ soit aussi

le bord d’une lacune spectrale deΣ. Plus précisément, on suppose que :(H.2) il existeδ′ > 0 tel queΣ∩ [E+ − δ′,E+) = ∅.

Le résultat principal de ce travail est :

THÉORÈME 2.1. – Soit Aω l’opérateur défini par(1.1). Supposons que(H.0), (H.1) et (H.2) sontsatisfaites,E+ est un point de continuité deN , et on a

lim infε→0+

log | log(N(E+ + ε)−N(E+)

)|

logε� −d

2et

limε→0+

log | log(N(E+ + ε)−N(E+)

)|

log ε=−d

2⇔ lim

ε→0+

log(n(E+ + ε)− n(E+)

)log ε

=d

2.

Remarque2.2. – Le même résultat est valable pour le bord inférieur de la lacune. Il est vrai sous deshypothèses plus faibles. Afin de simplifier et raccourcir la Note on a fait des hypothèses restrictives.

2.2. Idée de la preuve. –Pour prouver le théorème 2.1, on utilise la méthode des approximationspériodiques [5]. La minoration et la majoration deN(E)−N(E+) sont prouvées séparément.

Pour la majoration, on compare le comportement deN(E) − N(E+) à celui de la DEI d’un modèled’Anderson discret bien choisit. Plus précisément, on peut voir que pour une énergie procheE+,N(E)−N(E+) peut être majoré parN0(E), la DEI de l’opérateurA0

ω =Π0AωΠ0. Ici Π0 est la projectionspectrale pourAω+ sur la bande qui commence enE+.

Pour étudier le comportement deN(E)−N(E+) pourE dans un voisinage deE+, on a seulement àétudier le comportement deN0(E). Ceci présente plusieurs avantages : le premier est queA0

ω , présentédans une base bien choisie, est un opérateur discret, i.e.A0

ω est équivalent à une matrice de Jacobi agissantsurL2(T∗)⊗Cn. Le deuxième avantage est que, siE+ est un bord intérieur d’une lacune spectrale deAω ,il devient le fond du spectre pourA0

ω .

On démontre que dans le cas oùlimε→0+log

(n(E++ε)−n(E+)

)log ε = d

2 , A0ω est minoré par le Laplacien

discret dont le comportement de la DEI à l’approche des lacunes spectrales est connu.La minoration est prouvée en construisant suffisamment de fonctions propres approchées deAω,Λ

associées à des valeurs propres approchées dans[E+ − ε,E+ + ε]. Ceci nous permet de minorer le nombredes valeurs propres deAω,Λ dans l’intervalle[E+ − ε,E+ + ε].

2.3. Application: localisation. – Considérons l’équation des ondes

∂2v

∂t2=−Aωv, v(0) = v0,

∂v

∂t

∣∣∣t=0

= v1. (2.4)

193

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La solution de l’équation (2.4) est donnée par :

v(t) = cos(t√Aω

)v0 + sin

(t√Aω

)w1,

oùv1 =√Aωw1 etv0,w1 sont dans le domaine de

√Aω .

La localisation au bord du spectre a été d’abord conjecturée par les physiciens à la fin des années 50, pourdes opérateurs de Schrödinger. Un tel phénomène se produit dans différents cas de figures (grand désordre,energies extrêmes, asymptotique de Lifshitz. . .).

THÉORÈME 2.3. – SoitAω l’opérateur défini par(1.1). On suppose que les hypothèses(H.1) et (H.2)sont satisfaites et que• n est non dégénérée près deE+.Il existeε0 > 0 tel que(i) Σ∩ [E+,E+ + ε0]⊂Σpp ;(ii) les fonctions propres correspondant à des valeurs propres dans[E+,E+ + ε0] décroissent exponen-

tiellement;(iii) il existep > 0 tel que

E

{supt>0

∥∥|X |p cos(t√Aω

)P[E+,E++ε0](Aω)χK

∥∥}<∞

et

E

{supt>0

∥∥|X |p sin(t√Aω

)P[E+,E++ε0](Aω)χK

∥∥}<∞,

oùPI(Aω) est la projection spectrale sur l’intervalleI, χK est la fonction caractéristique deK , Kest un compact deRd etX est l’opérateur de position.

En utilisant le travail de Damanik et Stollman [1], la preuve du théorème 2.3 se réduit à une simplevérification des deux estimées initiales de l’analyse multi-échelles. Celles-ci sont des conséquences del’asymptotique de Lifshitz (voir [14] pour le cas de Schrödinger).

Références bibliographiques

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