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Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Attraction gravitationnelle
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� But du chapitre :
Les 3 lois de Kepler (Noblet)
Chute d’un obus
Diffusion Rutherford
Quelques exemples de forces centrales dans « la vie de tous
les jours »
Lancement d’Ariane V
Chapitre basé sur les lois de conservation (conservation de l’énergie mécanique, conservation du moment cinétique)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� I - Rappels : interactions gravitationnelle et coulombienne
� 1 - La force gravitationnelle :
On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. La force gravitationnelle subie par le point P est :
P(m)
O(M) y
z
rur
rur
mMGf
rr
2−=
r = OP
rdr ru
r
mMGf
rr
2−=
Elle dérive de l’énergie potentielle Ep telle que :
r
pu
dr
dEf
rr−=
r
GmME p −=soit
Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.
02
2
1mE
r
mMGmv =−
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
0
0
2
4
1
2
1mE
r
qQmv =+
πε
� 2 - La force coulombienne :
On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La force coulombienne subie par le point P est :
rur
qQf
rr
204
1
πε=
Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :
mMqQG ⇔−⇔ ;4
1
0πε
rP
P udr
dEfet
r
qQE
rr−==
04
1
πε
L’énergie potentielle coulombienne est alors :
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� II - Forces centrales conservatives :
On considère un point matériel M(m) soumis à une force centrale, c’est-à-dire passant constamment par un point fixe O du référentiel d’étude, choisi ici comme origine du référentiel.
M(m)
O y
z
rur
rurffrr
)(=r = OM
x
rurffrr
)(=
Si f(r) > 0, la force est répulsive.
Si f(r) < 0, la force est attractive.
Elle dérive de l’énergie potentielle EP telle que :
dr
dErf P−=)(
Exemple : interaction moléculaire
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� III - Lois générales de conservation :
Conservation du moment cinétique par rapport au centre de forces O :
Moment cinétique par rapport au centre de forces O :
vmurvmOM rO
rrrr∧=∧=σ
Théorème du moment cinétique :
0)(rrrr
r
=∧=∧= rrO urfurfOM
dt
dσ
Par conséquent : 0σσrr
== csteO
Le moment cinétique par rapport au centre de forces d’un point matériel soumis àune force centrale est une constante du mouvement.
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Le mouvement de la particule est nécessairement plan :
000 )0()0( vtvetOMrtrrrrr
=====
Les conditions initiales du mouvement sont, par exemple, à t = 0 :
La trajectoire du point matériel est donc plane (dans le plan défini par les conditions initiales .
Le moment cinétique par rapport à O, constante du mouvement, peut être évalué à l’instant initial et vaut alors :
000 vmrO
rrrr∧== σσ
Ce vecteur est perpendiculaire à la fois aux deux vecteurs .
A l’instant t, : par conséquent, les vecteurs , perpendiculaires à , sont finalement contenus dans le plan défini par .
00 vetrrr
vmrrrr
∧=0σ vetrrr
0σr
00 vetrrr
00 vetrrr
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
O
M0
M
Trajectoire
Plan de la trajectoire
0vr
0rr
vrr
r0σv
0σv
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
On se place dans le plan de la trajectoire et on y définit les coordonnées polaires de M :
x
y
O
M
θθθθ
x
y
rur
r
xur
yur
θur
+θθ ururv
urr
r
rr&r
&r
rr
+=
=
Le moment cinétique en O vaut alors :
vmOMO
rrr∧== 0σσ
zumrr&r
θσ 20 =
D’où la 1ère relation de conservation :
csterCm
=== θσ &2
00 (C0 est appelée constante des aires)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
La loi des aires :
x
y
O
M
θθθθ
rur
r
θur
θθ drrdrdA2
2
1))((
2
1==
L’aire balayée dA par le rayon vecteur OM entre les instants t et t+dt vaut :
La loi des aires (simulation Java)
drr +
dθθθθ
θrdAire dA
La vitesse aréolaire, dA/dt, vaut :
θθ &22
2
1
2
1r
dt
dr
dt
dA==
Par conséquent : csteCdt
dA== 0
2
1
Loi des aires : le rayon vecteur OM issu du centre de forces O balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.
Loi des aires (G.Tulloue)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Conservation de l’énergie mécanique
L’énergie mécanique du point matériel M est :
0,2
)(2
1mpm ErEvmE =+=
r
C’est une constante du mouvement (la force centrale est conservative).
En utilisant les coordonnées polaires :
PPrm EmrrmEururmE ++=++=2222
0,2
1
2
1)(
2
1θθ θ&&
r&r&
On peut éliminer en remarquant que . L’expression de l’énergie mécanique devient alors :
θ& 20 / mrσθ =&
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
++= Pm E
mrrmE
2
202
0,22
1 σ&
Pm Emr
mrrmE +
+=
2
2
0220,
2
1
2
1 σ&
Energie cinétique radiale
EP,eff : énergie potentielle efficace (ou effective)
PeffP Emr
E +=2
20
,2
σ( est le terme centrifuge)
2
20
2mr
σ
Cette énergie correspond à l’énergie mécanique d’un point matériel de masse m, se déplaçant sur une droite et soumis à une énergie potentielle efficace (ou effective) :
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
L’énergie cinétique radiale étant nécessairement positive ou nulle, on peut en déduire les limites du mouvement de M (voir cours sur l’énergie) :
Limites du mouvement :
02
1,0,
2≥−= effPm EErm&
0,, )( meffP ErE ≤
Pour Em,0,1 :
Pour Em,0,2 :
1rr ≥
32 rrr ≤≤r1
r2 r3r
Ep,eff
Em,0,1
Em,0,2
Etats de diffusion
Etats liés
Applications : interactions gravitationnelle et coulombienne (calculer Ep,eff).
Energie mécanique (G.Tulloue)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� IV - Les formules de Binet :
But : obtenir le rayon vecteur r en tant que fonction de l’angle θθθθ (et non plus du temps t), afin de déterminer l’équation polaire r(θθθθ) de la trajectoire plane.
1ère formule de Binet (pour la vitesse) :
θσ &20 mr=
Le vecteur vitesse s’exprime : θθ ururv r
r&r&
r+=
Le moment cinétique est constant :
rmmrrr
rd
d
md
dr
mrd
dr
dt
d
d
dr
dt
drr
1
1
0
2
0
0
2
0
σσθ
θ
σ
θ
σ
θθ
θ
θ
==
−=====
&
&&
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
En reportant dans l’expression du vecteur vitesse :
D’où la 1ère formule de Binet : (pour le vecteur vitesse)
θ
σ
θ
σu
rmu
rd
d
mv r
rrr 11 00 +
−=
+
−= θ
θ
σu
ru
rd
d
mv r
rrr 110
2ème formule de Binet (pour l‘accélération) :
On calcule l’accélération en remarquant que :
θ
σθ
θ d
vd
mrdt
d
d
vd
dt
vda
rrrr
2
0===
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Or :
+
−==
−
+
−
−=
rr
rr
ur
urd
d
rmd
vd
mrdt
vd
ur
urd
du
rd
du
rd
d
md
vd
rrrr
rrrrr
11
1111
2
2
22
20
2
0
2
20
θ
σ
θ
σ
θθθ
σ
θθθ
D’où la 2nde formule de Binet :
rurrd
d
rma
rr
+
−=
11
2
2
22
20
θ
σ
Olivier GRANIER
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� V - Trajectoires dans un champ de force gravitationnel :
Nature de la trajectoire :
Rappel des notations :
x
y
O (M)
P (m)
θθθθrur
r
θur
rur
GmMf
rr
2−=
On souhaite déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires, soit r(θθθθ).
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Equation différentielle du mouvement :
rur
GmMf
dt
vdm
rrr
2−==
Le PFD, appliqué à la masse P(m) dans le référentiel (supposé galiléen lié à la masse M) donne :
Soit, en utilisant la 2nde formule de Binet :
rr ur
GmMu
rrd
d
rmmam
rrr
22
2
22
20 11
−=
+
−=
θ
σ
En projection sur la direction radiale :
22
2
22
20 11
r
GM
rrd
d
rm=
+
θ
σ
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
D’où l’équation différentielle du mouvement :
20
2
2
211
σθ
GMm
rrd
d=+
Dans la suite, on pose u = 1/r ; l’équation vérifiée par la variable u(θθθθ) devient celle d’un oscillateur harmonique, de pulsation égale à l’unité :
20
2
2
2
σθ
GMmu
d
ud=+
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :
20
2
)cos()(σ
αθθGMm
Au +−=
Où A et αααα sont des constantes d’intégration.
Résolution de l’équation différentielle du mouvement :
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
)cos(1)cos(
1)(
2
20
2
20
20
2
αθσ
σ
σαθ
θ
−+
=
+−
=
GMm
A
GMm
GMmA
r
De l’expression de u, on déduit celle de r(θ(θ(θ(θ) :
Soit :
2
20
2
20
)cos(1)(
GMm
Ae
GMmp
e
pr
σ
σ
αθθ
=
=
−+=
C’est l’équation d’une conique, d’excentricité e, de paramètre p et dont l’axe focal fait un angle αααα avec l’axe polaire (Ox).
Dans la suite, on confondra l’axe focal de la conique avec l’axe polaire (α=α=α=α=0) :
θθ
cos1)(
e
pr
+=
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Si e = 0 : la trajectoire est un cercle
Si 0 < e < 1 : la trajectoire est une ellipse
Si e = 1 : la trajectoire est une parabole
Si e > 1 : la trajectoire est une hyperbole
Représentations graphiques des différents types de trajectoires :
Les coniques (G.Tulloue)
Fichier MAPLE
Fichier Regressi
On retrouve les différents types de trajectoires obtenus de manière qualitative àpartir d’une étude énergétique (utilisant l’énergie potentielle effective)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Energie mécanique et excentricité
Le signe de l’énergie mécanique conditionne la nature de la trajectoire ; on va exprimer Em en fonction de l’excentricité de la conique :
2
202
22
1
mrr
GmMrmEm
σ+−= &
2
2
20
2
2
20
2
22
20
2
2
0
2
2 )()/1(1
=
=
=
=
=
θ
σ
θ
σ
θ
σ
θ
σθ
θ d
ud
md
rd
md
dr
rmd
dr
mrdt
d
d
drr&
L’énergie mécanique s’exprime ainsi en fonction de u et de sa dérivée première :
220
220
22u
mGmMu
d
du
mEm
σ
θ
σ+−
=
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Or : θθ
θθθ sin
)()cos1(
1)(
p
e
d
duete
pu −=+=
L’énergie mécanique étant constante, on peut l’évaluer pour θ = π/θ = π/θ = π/θ = π/2, alors :
p
e
d
duet
pu −== )
2(
1)
2(
π
θ
π
Et :
pGmM
pp
e
mE
pmpGmM
p
e
mE
m
m
11
2
1
2
1
2
22
220
2
20
220
−
+=
+−
−=
σ
σσ
Or , d’où , et finalement : 2
20
GMmp
σ=
2
20
20 111
pmpmppGmM
σσ==
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Soit, finalement :
)1(2
11
2
2
2
20
2
20
22
220 −=−
+= e
mppmpp
e
mEm
σσσ
p
eGmMe
mpEm
1
2)1(
2
22
2
20 −
=−=σ
Le signe de l’énergie mécanique est lié à la valeur de l’excentricité e :
* Em > 0 (soit e > 1) : hyperbole
* Em = 0 (soit e = 1) : parabole
* Em < 0 (soit 0 < e < 1) : ellipse
* (e = 0) : cerclep
GmMEm
2−=
Energie mécanique (Cabri géomètre)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� VI - Planètes du système solaire, les lois de Kepler :
On étudie le mouvement des planètes du système solaire, dans le référentiel de Copernic.
On suppose qu’une planète du système solaire n’est soumise qu’à la seule interaction gravitationnelle du Soleil.
1ère loi de Kepler : les trajectoires des planètes du système solaire sont des ellipses dont un des foyers est le Soleil (excentricité e < 1 et énergie mécanique négative).
Les 3 lois de Kepler (Noblet)
Précession de Mercure
Perturbation en 1/r4
Le problème à 3 corps
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Quelques rappels mathématiques sur les coniques :
a est la longueur du demi-grand axe de l’ellipse et b celle du demi-petit axe.
))2
((cos1
pre
pSPr ==
+==
πθ
θ
O S
P (m)
Ap Pé
a
b
c
rAp rPé
x
y
rθθθθ
a
12
2
2
2
=+b
y
a
x
S est un des deux foyers de l’ellipse ; on note c = OS, où O est le centre de l’ellipse (origine du repère (Oxy)) :
eacetcba =+=222
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Quelques rappels mathématiques sur les coniques :
Les rayons de l’apogée et du périgée vérifient :
)0(1
)(1
=+
==
=−
==
θ
πθ
e
pSPér
e
pSApr
Pé
Ap
O S
P (m)
Ap Pé
a
b
c
rAp rPé
x
y
rθθθθ
a
En ces deux points, la vitesse radiale est nulle.
Relation entre a, p et e :
PéAp rra +=22
1 e
pa
−=d’où
Relation entre b, p et e : 22222)1( aecab −=−=
21 e
pb
−
=d’où
Relation entre a,b et p : pa
b=
2
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
2ème loi de Kepler : le rayon vecteur issu du Soleil balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux (loi des aires).
3ème loi de Kepler : les carrés des périodes de révolution des planètes autour du Soleil sont proportionnels au cubes des longueurs des grands axes des ellipses trajectoires.
222
1 002 C
mdt
dr
dt
dA===
σθ
σσσσ0 étant le moment cinétique par rapport au Soleil, m la masse de la planète et C0la constante des aires.
32
2 4a
GMT
S
π=
où MS est la masse du Soleil.
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Démonstration de la 3ème loi de Kepler :
mT
ab
T
ellipseldeaire
dt
dA
2
' 0σπ===
Or : , par conséquent :2
202
mGMpetapb
S
σ==
)(442 22
20
2222
20
22
0
apam
bam
Tetabm
T πσ
πσ
πσ
===
Soit : 32
2
32222
20
22 41
4)(4
aGMmGM
amapam
TSS
πππ
σ===
32
2 4a
GMT
S
π=
Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du centre attracteur, et non de la planète considérée.
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Energie d’une planète :
Pour une trajectoire elliptique : 2
1 e
pa
−=
L’énergie d’une planète vaut :
a
GmM
p
eGmME SS
m
1
2
1
2
2
0, −=−
=
L’énergie de la planète ne dépend que de la longueur du demi-grand axe, et non de l’excentricité de l’ellipse trajectoire :
a
GmME S
m
1
20, −=
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Cas d’un mouvement circulaire :
Pour une trajectoire circulaire :
0,0,0, ;2;1
2mcmP
Sm EEEE
R
GmME −==−=
SGMR
T2
3
24π
=
Les expressions de la 3ème loi de Kepler et de l’énergie mécanique sont identiques àcelles obtenues dans la cas d’un mouvement elliptique, à condition de remplacer la longueur a du demi grand axe par le rayon R de la trajectoire.
R
GMv S=
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Rôle des autres planètes :
Au milieu du XIXème siècle, on constata que l’orbite d’Uranus ne correspondait pas la théorie : l’astronome Le Verrier postula l’existence d’une nouvelle planète (Neptune) qui devait perturber l’orbite d’Uranus.
L’existence de Neptune fut mise en évidence expérimentalement en 1846.
En 1930, la même méthode a conduit Lowell à la découverte de Pluton qui troublait la trajectoire de Neptune.
Mercure – Vénus – Terre – Mars – Jupiter – Saturne – Uranus – Neptune - Pluton
Précession de Mercure
Perturbation en 1/r4
Le problème à 3 corps
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� VII - Trajectoires dans un champ de force coulombien :
Animation Java : Diffusion Rutherford
Exercice n°9 (Mouvements d'une charge ponctuelle) :
Une charge ponctuelle Q est placée en O.
Une charge ponctuelle q est lancée en un point A avec une vitesse v0perpendiculaire à OA.
On pose OA = r0.
Discuter, selon les valeurs de r0, v0, q et Q les différentes trajectoires possibles de la charge q.