Atwood‘sche Fallmaschine · Praktikumsanleitung Atwood’sche Fallmaschine NTB Interstaatliche Hochschule für Technik Buchs Werdenbergstrasse 4 CH‐9471 Buchs 1/10

Praktikumsanleitung Atwood’sche Fallmaschine

NTB Interstaatliche Hochschule für Technik Buchs Werdenbergstrasse 4

CH‐9471 Buchs 1/10

Atwood‘scheFallmaschine

Die Atwood’sche Fallmaschine kann zum Bestimmen der Erdbeschleunigung und zum Darstellen der

Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung verwendet werden.

1) Aufgaben

a) Stellen Sie das Diagramm Geschwindigkeits‐Zeit‐Diagramm für eine geeignete

Kombination von Massen und dar.

b) Berechnen Sie aus v(t) den zurückgelegten Weg und stellen diesen in einem Diagramm s=s(t)

dar.

c) Stellen Sie den Weg als Funktion der Zeit im Quardrat als Diagramm dar.

Welche physikalische Erkenntnis kann aus dem Diagramm gewonnen werden?

d) Bestimmen Sie möglichst genau die Erdbeschleunigung aus den Messungen der

Beschleunigung der Massen für vier verschiedene Massenverhältnisse.

e) Berechnen der Seilkraft während der Bewegung (für alle gemessenen

Massenkombinationen)

f) Durch welche systematischen Messfehler wird die Messung der Erdbeschleunigung

beeinflusst?

2) Theorie

a) Kinematische Zusammenhänge:

Aus der Kinematik ist bekannt, dass bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung der Weg s

durch folgende Beziehung gegeben ist.

12

∙

Dabei ist a Beschleunigung in [m/s2], s der Weg in [m] und t die Zeit in [s].

Die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung Δ pro Zeiteinheit Δ .

ΔΔ



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Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit für verschiedene Bewegungszeiten gemessen wird, kann die

Abhängigkeit

~

einfach gezeigt werden.

b) Zusammenhang der Erdbeschleunigung und der Massen an der Atwood‘schen

Fallmaschine

An einem Seil, das über eine reibungsfreie Rolle mit vernachlässigbarer

Masse geführt wird, hängen die ungleichen Massen und mit

(Abb. 1). Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die

Massen, wenn sie losgelassen werden und wie gross sind die Seilkräfte

und ?

Man geht nach folgendem Rezept vor:

1. die Körper m1 und m2 separat freimachen d.h. die

Umgebung der Körper durch die auf die Körper ausgeübten

Kräfte (= äusseren Kräfte) ersetzen

2. ein geeignetes Koordinatensystem einführen

3. die resultierenden Kräfte auf und bestimmen

4. das Aktionsprinzip formulieren

5. die Kopplung der beiden Massen über das Seil

berücksichtigen

Abbildung 1: Atwood’sche Fallmaschine

Auf die Masse m1 wirkt die Seilkraft und entgegengesetzt dazu das Gewicht . Die Summe der

beiden Kräfte bewirkt die Beschleunigung von nach oben:

⋅

Wir wählen als Koordinatenachse das Seil, mit der in Abbildung 1 eingezeichneten Richtung und

bezeichnen die Beträge der Vektoren mit S1, G1 und a1. Damit erhalten wir in

Komponentenschreibweise:

⋅

Auf die Masse wirkt die Summe der Kräfte ⋅ bzw. in Komponentenschreibweise:

⋅

Das Seil, das die Körper miteinander verbindet, hält den Abstand der Massen konstant. Die Massen

und bewegen sich daher in jedem Moment mit gleicher Geschwindigkeit und mit gleicher

Beschleunigung:



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Ferner gilt nach dem Reaktionsprinzip:

.

Somit lautet das Aktionsprinzip für die beiden Massen:

⋅ ⋅ (1)

⋅ ⋅ (2)

Dies sind 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten und . Ein solches Gleichungssystem kann

standardmässig mit den Hilfsmitteln der Mathematik gelöst werden. Ein eleganter Weg besteht z.B.

darin, die beiden Gleichungen zu addieren (3):

⋅ ⋅ (3)

⋅

Damit ist die erste Unbekannte bestimmt. Einsetzen des Ergebnisses für a in die Gleichung (1) ergibt

dann den Ausdruck für die gesuchte zweite Unbekannte :

⋅

2⋅

Zum Schluss noch eine Plausibilitätsprüfung der gewonnenen Ergebnisse:

1. Fall: ⟹ 0 und ⋅ (ok.)

2. Fall: → 0 ⟹ → 0 und → 0 (ok.)

Das Resultat (3):

⋅

lässt sich auch als

schreiben und kann damit folgendermassen interpretiert werden:

Die totale Masse wird durch die Gewichtsdifferenz

beschleunigt.



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3) Versuchsaufbau

Der Versuchsaufbau besteht aus zwei konfigurierbaren Gewichten an einer Schnur, welche über zwei

leichte Rollen geführt werden. Die Massenverhältnisse der beiden Massen kann einfach variiert

werden, indem an der einen oder anderen Seite Einheitsmassen hinzugefügt oder entfernt werden.

An einer dieser Rollen ist eine Lichtschranke angebracht, mit welcher die Geschwindigkeit der Schnur

gemessen werden kann. Die Lichtschranke wird über einen Mess‐PC ausgelesen.

Abbildung 2: Prinzip der Atwood’schen Maschine

Abbildung 3: Aufbau der Atwood’schen Maschine mit Mess‐PC.



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PASCO stellt ein Messprogramm zur Verfügung, in welchem die Daten einfach erfasst und dargestellt

werden können. Das Messprogramm atwood.db stellt direkt die Geschwindigkeit der

verschiedenen Experimente als Funktion der Zeit dar. Mit einem Cursor‐Tool kann die Steigung dieser

Geschwindigkeitskurven und damit die Beschleunigung der beiden Massen und direkt

ermittelt werden.

Abbildung 4: Darstellung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit für zwei Experimente mit unterschiedlichen

Massenverhältnissen m1:m2.



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4) Messungen und Messresultate

Messungen:

a) Messen Sie für 4 verschiedene Massekombinationen zu die Geschwindigkeit als

Funktion der Zeit mit dem PASCO‐Messprogramm atwood.db.

b) Wählen Sie für die steilste Kurve acht verschiedene Zeitpunkte t1,t2,….t8 und lesen Sie die

entsprechende Geschwindigkeit v(t) ab. Tragen Sie diese Wertepaare , mit 1. .8in ein Excel‐Sheet ein und stellen Sie die die Werte als Liniengrafik dar. Wählen Sie einen

geeigneten Massstab und geben Sie die Einheiten an.

c) Bestimmen Sie für die restlichen Massekombinationen die Geschwindigkeit mit Hilfe des

Cursor‐Tools im PASCO‐Messprogramm und tragen Sie die Resultate in eine weitere Tabelle

in Excel ein

d) Bestimmen Sie die Beschleunigung durch Differenzbildung: Die Beschleunigung ist die

zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit.

ΔΔ

Oder allgemein für den Index der acht Messungen ( 1…8 :

ΔΔ

e) Bestimmen Sie die Beschleunigung für die verschiedenen Massekombinationen als

Geradensteigung durch lineare Regression. D.h. mittels eines Kurvenfits mit einem Polynom

erster Ordnung in Excel und tragen sie die Steigungen in Tabelle 2 ein.

4 a) v‐t Diagramm

Tabelle 1: Geschwindigkeit v als Funktion der Zeit t für ein Masseverhältnis (steilste Kurve)

Zeit (s) v (m/s) t=tk+1‐tk v =vk+1‐vk a=v/t

t1 1 v1

t2 2 v2

t3 3 v3

t4 4 v4

t5 5 v5

t6 6 v6

t7 7 v7

t8 8 v8

Mittelwert:



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Masse m1 Masse m2 Zeit Geschw. Beschleunigung

in g in g t v av/t50 100

100 150

150 200

200 250 Tabelle 2: Berechnung der Beschleunigung für die vier Masseverhältnisse

4 b) s‐t Diagramm

Aus den Messdaten der steilsten Kurve lässt sich nun der zurückgelegte Weg berechnen:

12

∙

Erstellen Sie in Excel ein Diagramm für die acht Zeitpunkte den zurückgelegten Weg ein.

Verwenden Sie für die Beschleunigung entweder den Mittelwert der Beschleunigungen oder den

Wert der Geradensteigung aus dem Kurvenfit.

Excel‐Hints:

Der Mittelwert der Beschleunigung lässt sich in Excel durch die Funktion

«=Mittelwert(Startzelle:Endzelle)» berechnen.

Der Weg kann ebenfalls mit einer Formel in Excel berechnet werden. Der Befehl, der in Zelle

G18 eingetragen werden muss, lautet beispielsweise so: «=0.5*$G$13*C18^2». Dabei

befindet sich der Mittelwert der Beschleunigung in Zelle G13 und die Zeit in Zelle C18.

Durch Herunterziehen der Zelle G18 mit der Maus bis Zelle G25 kann diese Formel auf die

übrigen Zellen übertragen werden.

Tabelle 3: Weg s(t) als Funktion der Zeit t.

4 c) s‐t2 Diagramm



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Wird der Weg s(t) nicht gegen die Zeit t, sondern gegen die Zeit im Quadrat t2 aufgetragen, so ergibt

sich eine Gerade. Dies besagt, dass der Weg proportional zur Zeit im Quadrat ist, oder in Formeln

ausgedrückt:

~

Zeit Zeit2

Geschw. Weg s

[s] [s2] [m/s] [m]

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

Weg

(s)

Zeit2 (t2)

Tabelle 4: Weg s als Funktion der Zeit im Quadrat



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4 d) Berechnen der Beschleunigungen für alle 4 gemessenen Massekombinationen

Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall:

ΔΔ

Die Beschleunigungen für die verschiedenen Massenverhältnisse werden in der folgenden Tabelle

eingetragen. Aus der Theorie (Gleichung 3) kann die Beschleunigung berechnet werden.

∙

Wird die Beschleunigung a gegen das Masseverhältnis (Differenz der Massen durch die Summe der

Massen) dargestellt, so ergibt sich eine Gerade, deren Steigung gerade der Erdbeschleunigung g

entspricht. Die Beschleunigungen haben Sie bereits in Tabelle 2 berechnet.

Bestimmen Sie die Erdbeschleunigung g graphisch aus den vier Messpunkten, indem Sie eine

möglichst passende Gerade durch diese vier Punkte legen. Wenn Sie wollen, können Sie die

Messpunkte auch in ein xls‐Sheet eintragen, und eine Regressionsgerade bestimmen.

Zeit Geschw. Beschl. Masse 1 Masse 2 Masseverhältnis

t [s] v [m/s] a=v/t [m/s2] kg kg (m2‐m1)/(m1+m2)

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

Beschleu

nigu

ng a [m/s

2]

Massenverhältnis

Tabelle 5: Beschleunigung a versus Masseverhältnis.

4 e) Berechnung der Seilkräfte



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Berechnen Sie die Seilkräfte für die vier gewählten Masseverhältnisse. Die Seilkräfte können nach

folgender Beziehung berechnet werden.

∙∙

Messung Nr. Masse 1 Masse 2 Erdbeschleunigung Seilkraft S

kg kg m/s2

N

1

2

3

4

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