Gert Bär, Karla Nestler

Aufgaben und Lösungen

zum Buch

GeometrieEine Einführung in dieanalytische und konstruktive Geometrie

=x31x30

x10

G1G0

G3

δa

x32

θ1 x12

x13

x22

x33

x11θ3

Kapitel 1

Aufgaben

1.1 Die Punkte (1,1),A = (2,2)B = und (2,3)C = seien gegeben. Man bestimme

a) die Seitenlängen und Innenwinkel des Dreiecks ABC,b) eine Gleichung des Kreises durch C mit dem Mittelpunkt A,

c) die Ecken des Dreiecks ,A B Cδ δ δ das aus dem Dreieck ABC vermittels einer Drehung δ um

den Punkt A durch 60° hervorgeht,d) eine Gleichung und eine Parameterdarstellung der Geraden AC,e) den Schnittpunkt der Geraden AC mit der 1x -Achse.

Lösung

1.2 Welche Geraden können nicht in der expliziten Form y m x n= + der Geradengleichung bzw.

in der Achsenabschnittsgleichung 1yx

a b+ = beschrieben werden?

Welche geometrische Bedeutung haben die Zahlen m, n und a, b?

Lösung

1.3 Man beweise:

a) Zwei Geraden y m x n= + und y m x n′ ′= + stehen senkrecht zueinander, wenn 1m m′ = −ist.

b) Zwei Geraden 0a x b y c+ + = und 0a x b y c′ ′ ′+ + = stehen senkrecht zueinander, wenn

0aa bb′ ′+ = ist.

Lösung

1.4 Bezüglich 1PKS( ; )O x haben die Punkte 1P und 2P die Polarkoordinaten 1 1( , )r ϕ und 2 2( , ).r ϕ

Man drücke mit diesen Größen den Punktabstand 1 2P P aus!

Lösung

1.5 Man zeige, dass ein Drehzylinder vom Radius r von einer Ebene, die den Neigungswinkel βgegenüber der Drehzylinderachse besitzt, in einer Elli pse geschnitten wird. Geben Sie derenHalbachsenlängen an!

Lösung

1.6 Man zeige, dass ein Drehkegel mit dem halben Öffnungswinkel α von einer Ebene, die denNeigungswinkel β gegenüber der Drehkegelachse besitzt und nicht durch die Kegelspitzeverläuft, in einer Elli pse ( )α < β , Parabel ( )α = β bzw. Hyperbel ( )α > β geschnitten wird!

Lösung

1.7a) Welche Kegelschnitte definieren die folgenden Gleichungen:

(1) 2 24 16,x y+ = (2) 22 8 0,y x− =

(3) 2 216 9 144,x y− = (4) 24 4 1 0x x− + = ?

b) Skizzieren Sie die Kegelschnitte!c) Bestimmen Sie die Koordinaten p, q jeweils derart, dass die Punkte (3, ),P p= und 1

2( , )Q q=

auf den Kegelschnitten liegen!c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von Kegelschnitt (1) mit den anderen!

Lösung

1.8 Mit Hil fe von 3 Messstationen 1 (10,0),F = 2 ( 40,0)F = − und 3 (0,0)F = (bezüglich der Län-

geneinheit 1 km ) soll ein Sender Q geortet werden.

Ein Signal mit der Geschwindigkeit 1300000 kmsc −= aus Q legt die Wege zu den Messstationen

in den Zeiten 1,t 2t bzw. 3t zurück, jedoch kann man nur die Laufzeitunterschiede5

1 3 1 10 st t −∆ = − = und 42 2 3 10 st t −∆ = − = messen. Welche Koordinaten hat der Sender Q?

Lösung

1.9 In Anlehnung an den Beweis des Satzes über die Parabeltangente in 1.5.1 beweise man dieKonstruktionen für die

a) Elli psentangente Xt in Fig. 1.5 (bzw. Fig. 1.6),

b) Hyperbeltangente Xt in Fig. 1.7.

Lösung

1.10 In der Ebene sei ein KS( ; , )O x y und das Polarkoordinatensystem PKS( , )O x gegeben. Eine

Kurve kann durch eine Gleichung ( , ) 0F x y = bzw. ( , ) 0G r ϕ = festgelegt werden, welche die kar-

tesischen Koordinaten ( , )x y bzw. Polarkoordinaten ( , )r ϕ ihrer Punkte erfüllen müssen.

a) Aus der Gleichung der Zissoide 3 2( 2) 0x y x+ − = bestimme man die Gleichung dieser

Kurve in Polarkoordinaten.

b) Aus der Gleichung (1 cos ) 2 0r − ϕ − = einer Kurve in Polarkoordinaten bestimme man ihre

Gleichung in kartesischen Koordinaten.Lösung

Kapitel 1

Lösungen

1.1 a) Mit den üblichen Bezeichnungen eines Dreiecks: 1,a = 5,b = 2,c = 18,43 ,α = ° 135 ,β = ° 26,57 ;γ = °

b) 2 21 2( 1) ( 1) 5x x− + − = ;

c) ,δ =a a ( )T3 31 13 32 2 2 2, ,δ = − +b ( )T3 12 23, 2 3 ;δ−= +c

d) 1 22 1 0,x x− − = ( ) ( )1 1 ,1 2r= +x ;r−∞ < < ∞

e) ( )12 ,0 .S = Aufgabe

1.2 Anstieg m, Achsabschnitt n auf der 2x -Achse : Achsabschnitte auf der ,a b 1x - bzw. 2x -Achse. Aufgabe

1.3 Zwei zueinander senkrechte Geraden unterscheiden sich in ihren Anstiegswinkeln und α ′α um 2

π oder 23 .π Mit und tanm = α ( ) 12tan tan mm π′ ′= α = α+ = = −… folgt die erste Be-

hauptung. Aufgabe

1.4 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 cos( )P P r r r r= + − .ϕ −ϕ Aufgabe

1.5 Halbachslängen: ,sin

ra =β

Aufgabe .b r=

1.7 a) Ellipse, Parabel, Hyperbel

c) Zu (2): 2 3,p = ± 116 ;q = zu (4): nicht lösbar.

d) Zu (1) mit (3): 51 7312 ,x = − 7

1 734y = ± ; 52 7312 ,x = 7

2 734 .y = ± Aufgabe

1.8 Q liegt in den Schnittpunkten zweier Hyperbeln entweder bei (0,75; 12,64)± oder [km]. Erste Lösung entfällt wegen (13,42; 26,33)± 2 0.Δ > Aufgabe

1.10 a) 2sin tanr = ϕ ϕ 2 2( π π− < ϕ <

.

wegen 0)r >

b) Aufgabe 2 4 4 0y x− − =

Kapitel 2

Aufgaben

2.1 Beweisen Sie Satz 2 im Abschnitt 2.1.5!

Lösung

2.2 Man beweise:

Ein Punkt T einer Strecke AB teilt diese im Goldenen Schnitt, wenn : :AB TB TB AT= gilt; dann ist

( )12TV( , ; ) 5 1 .A B T = − −

Lösung

2.3 Man beweise denSatz von CEVA: Ein Punkt P liege auf keiner der drei Dreieckseiten eines Dreiecks ABC.Wir betrachten die Schnittpunkte : ,A AP BC′ = ∩ :B BP CA′ = ∩ und : .C CP AB′ = ∩ Dann gilt

TV( , ; )TV( , ; )TV( , ; ) 1.A B C B C A C A B′ ′ ′ = −

Lösung

2.4 Man beweise denSatz von MENELAOS: Eine Gerade g enthalte keinen der Eckpunkte des Dreiecks ABC.Es gelte : ,A g BC′ = ∩ :B g CA′ = ∩ und : .C g AB′ = ∩ Dann ist

TV( , ; )TV( , ; )TV( , ; ) 1.A B C B C A C A B′ ′ ′ =

Lösung

2.5 Man beweise:In einem räumlichen Viereck ABCD schneiden sich die Verbindungsstrecken gegenüberliegenderSeitenmittelpunkte und werden von diesem Schnittpunkt halbiert.

Lösung

2.6 Man beweise mit Eigenschaften des Skalarproduktes:

a) Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

b) Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Lösung

2.7 Man beweise:Der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt M eines Dreiecks liegenauf einer Geraden – der sogenannten EULER-Geraden des Dreiecks.

Lösung

2.8 Zu den Vektoren 11 ,2

=

a 12 ,1

=

b 211

=

c des 3IR berechne man den Winkel <) ( , )a b , die

Orthogonalprojektion von a auf c, den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Dreiecksund das Volumen des Tetraeders mit den Kanten a, b und c.

Lösung

2.9 Man beweise:

Die Summe der Normalprojektionen zweier Vektoren des IRd auf einen dritten Vektor ist gleichder Normalprojektion ihrer Summe.

Lösung

2.10 Prüfen Sie, ob die Vektoren 32 ,1

=

a 12 ,3

=

b 312

=

c linear unabhängig sind und stellen

Sie gegebenenfalls den Vektor 212

=

x als Linearkombination aus a, b und c dar!

Bilden a, b, c ein Rechts- oder Linksdreibein?Lösung

2.11 Man beweise für 3, , , IR∈a b c d

a) ( ) ( ) ( ) ,× × = ⋅ − ⋅a a b a b a a a b

b) den GRASSMANNschen Entwicklungssatz ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅a b c a c b a b c sowie

c) die Identität von LAGRANGE : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅a b c d a c b d a d b c

Lösung

2.12 Unter welchen notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind die zwei Ebenen

1 0 1 1 2 2 3 3

2 0 1 1 2 2 3 3

: 0,: 0

n n x n x n xm m x m x m x

Σ + + + =Σ + + + =

a) parallel und verschieden,

b) identisch,

d) nicht parallel?Lösung

2.13a) Wie lautet eine Gleichung der Ebene ABCΣ durch die drei Punkte (1, 1, 1),A = − −

(3, 3, 2)B = − − und (2,1, 3)C = − ?

b) Wie lautet eine Parameterdarstellung der Geraden g durch den Punkt (2, 2, 6),P = − − die auf

ABCΣ senkrecht steht?

c) Welchen Abstand hat der Punkt P von ABCΣ ?

d) Bestimmen Sie den Fußpunkt der Normalen durch den Ursprung in der Ebene ABCΣ !

e) Bestimmen Sie einen Punkt S auf der Geraden g, so dass das Tetraeder ABCS das Volumen 1hat!

Lösung

2.14 Durch Spiegelung an der Ebene ABCΣ geht ein Punkt P in seinen Spiegelpunkt Q über.

Gesucht sind die Koordinaten von Q, ausgedrückt durch die von A, B, C und P.

Lösung

2.15 Eine Gerade T T: ( 9, 41, 1) (4,13,1)g = − − − + λx und eine Ebene 1 2 3: 4 6 2 9 0x x xΣ − + − − =sind gegeben. Gesucht sind

a) der Schnittpunkt ,S g= ∩ Σ

b) das Spiegelbild gσ der Geraden g an der Ebene Σ,

c) eine Gleichung der Verbindungsebene ggσ und

d) der Punkt R auf g mit dem Abstand ( , ) 1d R Σ = − .

Lösung

2.16

a) Geben Sie die Schnittgerade der Ebene ABCΣ aus Aufgabe 2.13 und der Ebene Σ aus Aufgabe

2.15 an!

b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel dieser Ebenen!

c) Wie groß sind die Neigungswinkel ) 1( , )ABCx< Σ und ) 1( , )x< Σ dieser Ebenen gegenüber der

1x -Achse?

Lösung

2.17 Beweisen Sie:

Sind :g = + λx a v und :h = + µx b w windschiefe Geraden des 3-Raumes, dann haben sie den

(kürzesten) Abstand 0 ( )gh = ⋅ −n b a mit 0 : .×=×

wnw

vv

Lösung

2.18 Sind ( , , )α β γ baryzentrische Koordinaten eines Punktes X bezüglich des Dreiecks ABC in der

Ebene 2,E dann gilt:

a) X liegt in der Dreiecksfläche oder auf dem Rand des Dreiecks ABC genau dann, wenn, , 0.α β γ ≥

b) Mit der Bezeichnung ( , , )X Y Z∆ für den Flächeninhalt eines Dreiecks XYZ ist

( , , ),

( , , )X B CA B C

∆α = ∆ ( , , )( , , )A X CA B C

∆β = ∆ und ( , , )

.( , , )A B XA B C

∆γ = ∆Lösung

Kapitel 2

Lösungen

2.8 ) 5( , ) arccos 33,56 ,6

< = = °a b T56 (2,1,1) , 1( ) 11,

2I ∆ = 2

3. Aufgabe

2.10 det( , , ) 12,=a b c deshalb linear unabhängig und 1 1 212 4 3 ,= − + +x a b c Rechtsdreibein.

Aufgabe

2.11 b) Im Fall der linearen Abhängigkeit von b und c ist entweder =c o – dann ist die Behaup-

tung trivial – oder es ist .= λb c Dann folgt die Behauptung durch Ausrechnen der linken

und rechten Seite.Im Fall der linearen Unabhängigkeit von b und c benutze man die Basis b, c, ×b c undstelle alle am Entwicklungssatz beteili gten Vektoren nach dem Komponentensatz (2.43)dar.

c) Setze ,= ×x a b dann lautet die Behauptung ( ) , , ( ) .⋅ × = = × ⋅x c d x c d x c d Nach a) er-

gibt sich ( ) ( )× = − ⋅ + ⋅x c b c a a c b . Dies oben eingesetzt liefert die Behauptung.

Aufgabe

2.13 a) 1 2 31 2 2 0;x x x+ + + =

b) T( ) (2, 2, 6) (2,1, 2);λ = − − + λx

c) 3. Aufgabe

2.15 a) (3, 2, 2);S = − d) (7,11, 3);R = Aufgabe

2.16 a) T T1 (0,1, 2) (1, 6, 2) ;5

+ λ −

b) 75,97 ;°

c) 41,81 und 33,06 .° ° Aufgabe

Kapitel 3

Aufgaben3.1 Man beweise, dass die Tangentialebene an die Kugel 2: ( ) ( ) rΦ − ⋅ − =x m x m im Punkt

A ∈Φ auch die Gleichung 2( ) ( ) r− ⋅ − =x m a m hat.Lösung

3.2 Der Tangentialkegel mit der Spitze :S s an die Kugel 2 2: rΦ − =x m berührt die Kugel in

einem Kreis. Man beweise, dass dieser Berührkreis durch die Ebene 2: ( ) ( ) rΣ − ⋅ − =x m s m aus Φausgeschnitten wird.

Lösung

3.3 Die Punkte (4,0,0),P = (0,3,0),Q = (0,0,2)R = sind gegeben. Bestimmen Sie eine Para-meterdarstellung

a) des Kreises k, der in der Ebene PQRΣ liegt, den Mittelpunkt P und den Radius PQ hat;

b) des Kreiszylinders, dessen Erzeugenden zur 2x -Koordinatenachse parallel liegen und den un-ter a) bestimmten Kreis k als Leitkreis besitzt;

c) des Drehzylinders, der den unter a) bestimmten Kreis k als Leitkreis besitzt;

d) des Kegels, der die Ellipse 2 2

1 22 2

( 4) 14 3

x x− + = als Leitkurve und die Spitze (0,0,8)S = besitzt;

e) des Drehkegels mit dem Leitkreis k, dessen Spitze im I. Oktanten im Abstand 9PQRSΣ = liegt.

Lösung

3.4 Begründen Sie, dass eine Ebene 0: ( ) 0Σ ⋅ − =n x a ( )0 1=n eine Kugel 2 2: rΦ − =x m

in einem Kreis ( , , )k k F= Σ ρ schneidet, dessen Kreisachse durch den Kugelmittelpunkt M verläuft

und der den Radius 2 2rρ = − δ mit 0 ( )δ = ⋅ −n m a besitzt, wenn rδ < gilt. Geben Sie den

Mittelpunkt F von k analytisch an! (Geht Σ durch M, so heißt k ein Großkreis, andernfalls einKleinkreis der Kugel.)

Lösung

3.5 Betrachten Sie die von einer Ecke 1A ausgehenden Kanten 1 2 ,A A 1 4 ,A A und 1 5A A einesWürfels. Mit ikM wird die Mitte von i kA A bezeichnet.Beweisen Sie, dass die Verbindungsebene 2 14 15A M M eine Tangentialebene an die Inkugel desWürfels ist. Berechnen Sie den Berührpunkt der Tangentialebene!

Lösung

3.6 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene

a) an die Kugel 3=x im Punkt (1, 2, 2),P = −

b) an die Fläche 2 25z x y= − im Punkt (1,1, 4)Q = − ?Lösung

3.7 Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Flächenkurven, die von den beiden Ebenen

1x = und 4y = aus der Fläche 2 23 16 8z x y= + ausgeschnitten werden?

Lösung

3.8 Beschreiben Sie die Leitkurve und das sphärische Bild der RegelflächeT T: ( , ) ( cos , sin , 0) ( sin , cos , ) ,u a u b u a u b u cΓ = + −x v v , , 0,a b c > ( , ) [0,2 ) IR.u ∈ π ×v

Beweisen Sie, dass Γ auch durch die Gleichung 22 231 2

2 2 2 1xx xa b c

+ − = (Definitionsgleichung des ein-

schaligen Hyperboloids) beschrieben werden kann. Gibt es torsale Erzeugende auf Γ?Lösung

Lösungen

3.1 Beweis: Nach (3.4) gilt für diese Tangentialebene ( ) ( ) 0.− ⋅ − =a m x a Deshalb folgt2

20 ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .r

= − ⋅ − = − − − ⋅ − = − ⋅ − − −= − ⋅ − −

x a a m x m a m a m x m a m a mx m a m

Aufgabe

3.2 Eine Tangentialebene Σ durch S berühre in A die Kugel Φ, dann gilt

: ( ) ( ) 0.Σ − ⋅ − =a m x a (1)

Nach Voraussetzung sei

: ( ) ( ) 0S ∈Σ − ⋅ − =a m s a (2)

2: ( ) ( ) .A r∈Φ − ⋅ − =a m a m (3)

2

(2) 0 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ).

r

⇒ = − ⋅ − − − = − ⋅ − − − ⋅ −a m s m a m a m s m a m a m� � � � � � �

Mit (3) folgt die Behauptung.

Aufgabe

3.3 a) Leitkreis 4 4 18

1: ( ) 0 3 cos 24 sin ;610 0 25

k u u u− −

= + + −

k

b) 0

( , ) ( ) 1 ;0

u u = +

x kv v

c) ( , ) ( )u u= + ⋅x k zv v mit T(3,4,6) ;=z

d) T( , ) (4 4 cos , 3 sin ,8(1 )) ;u u u= + −x v v v v

e) ( , ) ( ( ) )u u= + −x s k sv v mit 09 .= +s p z

Aufgabe

3.4 0.= − δf m n Aufgabe

3.5 O. B. d. A. sei die Inkugel die Einheitssphäre und 2 (1,1,1).A = Die Normale aus O auf

2 14 15A M M hat den Fußpunkt T13 ( 2,1, 2)= − −f mit 1.=f

Aufgabe

3.6 a) ⋅ = ⋅n x n p mit =n p ergibt 1 2 32 2 9.x x x− + =

b) T T( , ,1) ( 2,10,1)x yf f= − − = −n und ⋅ = ⋅n x n q ergibt 1 2 32 10 4.x x x− + + =

Aufgabe

3.7 Schnittpunkt der Schnittkurven ist 31, 4, 2 .6

S = +

Tangentenvektoren: 13

3(1, 0, ),t = ( )T

2 0,1,1 .t =

Kosinus des Schnittwinkels: 14cos 2ϕ = . Schnittwinkel: 69,3 .ϕ = °

Aufgabe

Kapitel 4

Aufgaben

4.1 In dem gegebenen Schrägriss eines Würfels konstruiere man das Bild jener ebenen Figur, diedie Seitenflächen des Würfels in der Verbindungsebene ABC ausschneiden.

Bα

CαAα

Lösung

4.2 Der gegebene Schrägriss zeigt die Schnittgeraden (Spuren) 1 ,sα 2sα bzw. 3sα einer Ebene Σ mitden Koordinatenebenen 1,Π 2Π bzw. 3Π eines kartesischen Koordinatensystems sowie einen

Punkt ,X α dessen Urbild in der Ebene Σ liege.Man konstruiere die Schrägrisse der Normalprojektionen des Punktes X auf die Koordinatenebenen.

Lösung

O

Xα

x2α

x1α

x3α

s2α

s1α

s3α

4.3 Konstruieren Sie im Schrägriss die Durchdringung des gegebenen Quaders mit der Pyramide,die das in 1Π liegende Basisdreieck ABC besitzt und deren Spitze S in 2Π liegt.

Lösung

1010

10

Aα

Bα

Sα

C α

3xα

2xα

1xα

4.4 Konstruieren Sie die Schnittfigur, die die durch A, B und C verlaufende Ebene aus demdargestellten ebenflächig begrenzten Körper ausschneidet.

Lösung

10

1010

Aα

Bα

x1α

x2α

x3α

C α

70

100

4.5 Konstruieren Siea) ein Netz (Abwicklung) des Quaders aus Aufgabe 4.3, und schraffieren Sie die durch die Py-

ramide ausgeschnittenen Flächenstücke, Lösungb) die wahre Gestalt der ebenen Schnittfigur, die sich in Aufgabe 4.4 ergeben hat. Lösung

(Bemerkung: In den Schrägrissen sind die 10fachen Verzerrungseinheiten markiert; Einheit: 1 mm.)

4.6 Eine quadratische Pyramide mit den Ecken (0,0,0),A = (8,0,0),B = (8,8,0),C =(0,8,0)D = und der Spitze (4,4,12)S = wird durch die Verbindungsebene der Punkte

(9,15, 3),P = − (14,10, 2)Q = − und (15,17, 5)R = − in einer ebenen Figur geschnitten.

a) Man bestimme die Schnittfigur mit Hilfe einer Dimetrie. Lösungb) Man bestimme die Schnittfigur mit Hilfe zugeordneter Normalrisse (vgl. Anhang 3). Lösung

4.7 In der nebenstehenden Figur sind

0,MCuuuuur

1MCuuuuur

konjugierte Ellipsenhalb-messer. Beweisen Sie, dass 0,MB

uuuuur

1MBuuuur

ebenfalls konjugierte Ellipsen-halbmesser der gleichen Ellipse sind,wenn diese durch folgende Konstruk-tionsschritte bestimmt werden:

1. Man konstruiert die Dia-gonallänge d MH= eines Quadrates mit der Seite 0.MC

2. Auf der Geraden 0MC werden 0V und 2V mit 0 2d MV MV= = festgelegt.

3. Die Parallele zu 0 1C C durch 0V schneidet 1MC in 1.V

4. 0B bzw. 1B werden als Mittelpunkte der Strecke 0 1V V bzw. 1 2V V bestimmt.Lösung

4.8 Man konstruiere den Aufriss des Umkreises des Dreiecks aus den Einheitspunkten eines1 2 3KS( ; , , ).O E E E

Lösung

4.9 Der Drehzylinder 2 2 21 2: 5x xΦ + = wird von der Ebene 31 2: 19 9 5

xx xΣ + + = in einer Ellipse

geschnitten. Man konstruiere in einer Dimetrie die Schnittkurven ,i ik = Φ ∩ Π i is = Σ ∩ Π undc = Φ ∩Σ unter Verwendung von Kurventangenten in markanten Kurvenpunkten.

Lösung

H

C1

C2

B1

C3

Q1

Q2

B0

Q3

C0

Q0

V2

V1

V0

V3

M

Kapitel 4

Lösungen

4.1

Aufgabe

4.2

AαCα

Bα

O

X α

′X

′′X′′′X

x2α

x1α

x3α

s2α

s1α

s3α

Aufgabe

4.3

Sα

′S

Aα

Bα

Cα

x2α

x3α

x1α Aufgabe

4.4

x1α

x2α

x3α

s1α

s2α

s3α

Aα

Bα

Cα

Aufgabe

4.5 a

Aufgabe

4.6 a

Lösung wurde auf 80% verkleinert!

A

B

C

D

P

′P

Q

′Q

R

′R

′′R

′′Q

x1

x2

x3 S

Aufgabe

4.6 b

Lösung wurde auf 50% verkleinert!

′′S

′′′S

′S

′A′′A

′′′A

′B

′′B

′′′B

′C

′′C′′′C

′D

′′′D

′′D

′P

′′P′′Q

′Q

′′R

′R

x12

x13

s2

s1

s3

.

Aufgabe

4.7

4.8

Lösung wurde auf 300% vergrößert!

′E1

′′E1 E2

′′E3

E10

M0

′′M rba r=

b

k0′k

x12

..

s2

Aufgabe

C1

C2

Q3

C0

Q1 Q0

Q2

V3

V0

V2

B0B1

M

C3

V1

Aufgabe

4.9

k3

k1

k2

k2

c

k3

s1

s2

x3

s3

x2

x1

Aufgabe

Kapitel 5

Aufgaben

5.1 Beweisen Sie in Analogie zu Satz 1 in Abschnitt 4.1.3, dass der Zentralriss c0t der Tangente 0t

einer Kurve k im Punkt 0X mit der Kurventangente an den Zentralriss ck im Punkt c0X

übereinstimmt.Lösung

5.2 Bei einer Zentralprojektion 3c : Eα → Π mit dem Zentrum C und dem Hauptpunkt H be-

trachten wir den Distanzkreis c ( , , )k k H d= Π in der Bildebene Π um H mit dem Radius d der Dis-tanzkreis von c.α

a) Charakterisieren Sie die Geraden, deren Fluchtpunkte auf ck liegen.b) Es sei uG ( )H≠ der Fluchtpunkt einer Geraden g und A der Schnittpunkt der Normalen zu

uG H durch H mit dem Distanzkreis. Beweisen Sie, dass c cu uG C G A= gilt.

Lösung

5.3 Bezüglich 1 2 3KS( ; , , )O x x x wird der Einheitskreis 2 21 2: 1k x x+ = mit einer Zentralprojektion

aus (0,0,1)C = auf verschiedene Bildebenen abgebildet.Welchen Zentralriss hat der Einheitskreis, wenn die Bildebenengleichunga) 2 32 0,x x− = b) 2 3 0,x x− = c) 2 32 0x x− = lautet?

Lösung

5.4 Es sei 1 2 3 4: DV( , ; , )d X X X X= das Doppelverhältnis von 4 Punkten 1 2 3 4, , , .X X X XGeben Sie alle Werte an, die sich für alle Reihenfolgen der 4 Punkte ergeben!

Lösung

5.5 Vier kollineare Punkte iX bzw. Geraden ig ( 1,2,3,4i = ) eines Büschels heißen in harmoni-scher Lage, wenn 1 2 3 4DV( , ; , ) 1X X X X = − bzw. 1 2 3 4DV( , ; , ) 1g g g g = − gilt. Man sagt dann auch,dass 1 2( , )X X und 3 4( , )X X bzw. 1 2( , )g g und 3 4( , )g g einander harmonisch trennen.Zeigen Sie, dassa) ein eigentliches Punktepaar ( , )A B von seiner Mitte und dem Fernpunkt der Geraden AB har-

monisch getrennt wird;b) das Geradenpaar 1 2( , )g g durch seine Winkelhalbierenden 1 2( , )w w harmonisch getrennt wird.

Lösung

5.6 Wie weit ist es bis zum Ziel, wenn der Radstand des Wagens mit 4 m bekannt ist?

Lösung

5.7 Die Figur ist das Foto einer Wandtafel mit DIN A4-Blatt und Dart-Pfeil.

a) Hat der Pfeil oberhalb der Blattmitte getroffen?b) Wie weit ist die Pfeilspitze vom rechten bzw. unteren Blattrand entfernt?c) Ist die Wandtafel quadratisch?

Lösung

ZIEL

Kapitel 5

Lösungen

5.2 a) Alle Geraden mit dem Neigungswinkel von 45° gegenüber der Bildebene.

b) CuG A ist ebenso lang wie die Hypotenuse des Dreiecks .CuCHG

Aufgabe

5.3 a) Hyperbel, b) Parabel, c) Ellipse.Aufgabe

5.4 1 2 3 4DV( , ; , ) ,X X X X d= 1 2 4 31DV( , ; , ) ,X X X X d=

1 3 2 4DV( , ; , ) 1 ,X X X X d= − 1 3 4 21DV( , ; , ) ,1X X X X d= −

1 4 3 2DV( , ; , ) ,1dX X X X d= − 1 3 2 3

1DV( , 4 ; , ) .dX X X X d−=

Aufgabe

5.6 44 m. Aufgabe

Kapitel 6

Aufgaben

6.1 Sind die Vektoren T(2, 2,1) ,= −a T(4,2, 4) ,= −b T(1,2,2)=c linear unabhängig? Wenn ja,

welche Koordinaten hat dann der Vektor T(4, 4,11)= −x bezüglich der Basis , ,a b c ?Lösung

6.2 Mit Bezug auf die natürliche Basis 1 2 3, ,e e e kann jeder neue Basisvektor iv einer Orthonor-malbasis 1 2 3, ,v v v durch seine Richtungskosinuswerte festgelegt werden. Wie lautet dieBasistransformationsmatrix?

Lösung

6.3 Bezüglich 1 2 3KS( ; , , )O x x x seien die Punkte (3,4,0),A = ( 4,3, 2)B = − − bzw. (0,0, 2)U = −gegeben.

a) Bestimmen Sie die Punktkoordinatentransformation zu einem neuen 1 2 3KS( ; , , ),U x x x′ ′ ′ vondem U der Nullpunkt sei und dessen 1x′ - bzw. 2x′ -Achse durch den Punkt A bzw. B verläuft.

b) Unter welchen Bedingungen ist 1 2 3KS( ; , , )U x x x′ ′ ′ kartesisch?Lösung

6.4 Die Figur zeigt ein räumliches 4-Gelenk-Getriebe vom Typ RSSR.Die Abmessungen

1 0 ,r A A= 2 0 ,r B B=

1 0 ,s OA= 2 0,s O B′=

,k AB= ) 0 0( , )OA O B′δ =< und

e OO′=

des RSSR-Getriebes seien bekannt.

Man finde die Übertragungsfunktion( , ) 0.f ϕ ψ =

Lösung

x10

A

s1s2 B0

x20

r2k

Oe

O′

r1

A0

ψ

δϕ

23

1

Bx30

Kapitel 6

Lösungen

6.1 T(3, 1,2) .′ = −x Aufgabe

6.2 Um eine Orthonormalbasis 1 2 3, ,v v v bezüglich einer Orthonormalbasis 1,e 2 ,e 3e darzustel-len, können vorteilhaft die Richtungskosinuswerte (2.30) verwendet werden. Es sei hierzu mit

dem Ansatz (6.6) 1 12 23 3

coscoscos

i i ii i ii i i

α = ⋅ = β = ⋅ = γ = ⋅ =

eee

vvv

vvv

der Richtungskosinus von 123

vvv

bezüglich .ie

Dann ergibt sich die Transformationsmatrix 1 1 12 2 23 3 3

cos cos coscos cos cos .cos cos cos

α β γ = α β γ α β γ

V

Wegen (6.9) ist T ,=VV E d. h. ( ) ( ),i k⋅ = δikv v deshalb besteht zwischen den Richtungsko-sinuswerten die Beziehung cos cos cos cos cos cos .i k i k i k ikα α + β β + γ γ = δ

Aufgabe

6.3 a) Beispielsweise ,′= +x u V x T(0,0, 2) ,= −u

1 2 3( ),=V v v v 1

34 ,2

=

v 2

43 ,0

− =

v

3

001

=

v (affine Punktkoordinaten-

transformation).

b) Wegen 1 2×v v bilde man 01

31 4 ,29 2

=

v

02

41 3 ,5 0

− =

v und 0 03 1 2 .×=v v v Dann ist 0 0 0

1 2 3, ,v v v

ein orthonormiertes Rechtsdreibein.Aufgabe

6.4 1 2 3( , ) cos sinf f f fϕ ψ = ψ + ψ +

1 2 1 1

2 2 12 2 2 2 2 2

3 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 ( sin cos cos )2 ( sin )

2 cos 2 sin cos 2 sin .

f r s rf r e rf s s r r k s s r s e r e

= δ − δ ϕ= − ϕ= + + + − − δ − δ ϕ − ϕ +

Aufgabe

Kapitel 7

Aufgaben

7.1 Berechnen Sie die Matrixdarstellung

a) der Geradenspiegelung an ( ) ( )1 4: ,0 3g = + λx

b) der Ebenenspiegelung an 1 2 3: 9 2 0x x xΣ − − + = !Lösung

7.2 Beweisen Sie, dass jede Spiegelungsmatrix S orthonormal ist und dass 2 =S E gilt.Lösung

7.3 Eine affine Abbildung 2 2: : :E E X X α αα → =x A xa mit dem Fixpunkt O heißt(1) EULER-Affinität, wenn sie zwei verschiedene reelle Eigenwerte,(2) Streckscherung, wenn sie einen (doppelt zählenden) Eigenwert,(3) Affindrehung, wenn sie keinen reellen Eigenwert besitzt.

a) Zu welchem Typ gehört die durch ( )11 12 0=A bzw. ( )2

1 11 1

−=A bzw. ( )33 22 7= −A fest-

gelegte affine Abbildung?b) Welche Fixpunktmengen treten bei den oben genannten Typen von Affinitäten auf?

Lösung

7.4 Beweisen Sie, dass eine affine Abbildung der Ebene, die nicht die Identität ist, entweder genaueinen Fixpunkt, eine Fixpunktgerade oder keinen Fixpunkt besitzt!

Lösung

7.5 Von einer affinen Abbildung : αα = +x A x a der Ebene ist bekannt, dass sie die Punkte

0 (1,0),P = 1 (4,1)P = und 2 ( ,1)P = λ auf 0 (2,1),Pα = 1 (5, 2)Pα = − und 2 (1, )Pα = µ abbildet, wobei, IRλ µ ∈ freie Parameter sind.

Man bestimme ,λ µ derart, dass die affine Abbildung αa) genau einen Fixpunkt,b) eine Fixpunktgerade,c) keinen Fixpunkt besitzt.

Lösung

7.6 Beweisen Sie:Jede kongruente Abbildung in der Ebene ist das Produkt von zwei oder drei Geradenspiegelungen.

Lösung

7.7 Beweisen Sie:a) Die ähnlichen Abbildungen des dE auf sich bilden mit der Hintereinanderausführung (Pro-

dukt) als innerer Verknüpfung eine Gruppe HG ,I die als Hauptgruppe bezeichnet wird.

b) Die kongruenten Abbildungen des dE sind eine Untergruppe von HG .I

Lösung

7.8 Wie ändert sich die Darstellung einer affinen Abbildung des dE in sich bei einem Wechseldes Koordinatensystems?

Lösung

Kapitel 7

Lösungen

7.1 a) ( ) ( )7 24 181 1 ;24 14 2425 25σ = +−x x b)

2 1 2 31 11 2 2 3 .3 252 2 1 6σ

− = − + − −

x x Aufgabe

7.2 T T T T T T 1( 2 ) 2( ) 2 −= − = − = − = =S E nn E nn E nn S S2 1 .−= = =S S S S S E Aufgabe

7.3 a) 1A : EULER-Affinität, 2A : Affindrehung, 3A : Streckscherung;b) (1) : 2 Fixgeraden, (2) : 1 Fixgerade, (3) : keine Fixgerade. Aufgabe

7.4 a) 2;λ = b) 4 , 2;3λ = − µ = c) 3, 3.λ = µ = Aufgabe

Kapitel 8

Aufgaben

8.1 In der projektiv erweiterten Ebene 2E ist T(1,2,3)a =%

ein homogener Koordinatenvektoreines Punktes A. Welche der folgenden homogenen Koordinatenvektoren stellen ebenfalls A dar?

1

2,4

6a

= %

2

2,4

6a

= − %

3

2,4

6a

− = − − %

4

10.12

13a

= %

Lösung

8.2 Welche der folgenden Punkte der Ebene 2E liegen mit den Punkten 1

: 23

A

und 3

: 21

B

auf

einer Geraden?

1 1

2: ,4

6A a

= %

2 2

4: ,0

4A a

− = %

3 3

8: ,4

0A a

= %

4 4

0: .1

3A a

= %

Lösung

8.3 Bestimmen Sie homogene Geradenkoordinatenvektoren für folgende Geraden der Ebene 2E :

a) die Verbindungsgerade 1g der Punkte 2

: 46

A

und 1

: ;51

B

b) die Verbindungsgerade 2g der Punkte 1

: 11

E

und u

0: ;1

3G

c) die Ferngerade f.Lösung

8.4 Welche homogenen Koordinaten besitzt der Schnittpunkt der Geraden 1g aus 8.3a) mit derGeraden 2g aus 8.3b) bzw. mit der Geraden f aus 8.3c) ?

Lösung

8.5 Bestimmen Sie den Schnittpunkt :S s%

der zwei Geraden 1

: 23

u

und 1

: .51

v Können sie alle

Geradenkoordinatenvektoren von Geraden angeben, auf denen der Schnittpunkt S von u und vliegt?

Lösung

8.6 Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems im E3 seien gegeben:

A B C( , , ), ( , , ), ( , , )− − −1 1 5 2 1 3 2 0 4 , Σ ∆: , :x y z y z+ − − = + + =2 9 0 3 2 0.Berechnen Sie unter Verwendung homogener Koordinatenvektoren im projektiv erweiterten Raum

3Ea) die Gleichung der Ebene durch den Punkt A, die zu der Ebene Σ parallel ist,b) die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt B geht sowie durch die Schnittgerade der Ebe-

nen Σ und ∆,c) die Gleichung der Ebene ABC.

Lösung

8.7 Von einer Geraden g sind die PLÜCKERschen Geradenkoordinaten T( 3,2,1,0, 3,6)g = − −%

be-

kannt. Bestimmen Siea) zwei Punkte A, B, so dass g ihre Verbindungsgerade ist undb) zwei Ebenen Σ und ∆, so dass g ihre Schnittgerade ist.

Lösung

8.8 Im projektiv-abgeschlossenen Raum E3 seien gegeben:T: (1,0, 1, 3) ,A a = − −

% T: (5,5,5,0) ,B b =

% T: (1,0,1,0) ,C c =

% T: (3,6,0,12) ,D d =

%T: (1,2,3,0, 3,2) .g g = −

%a) Bestätigen Sie, dass sich die Verbindungsgerade h der Punkte A und B mit der gegebenen Ge-

raden g in einem Punkt S schneidet.b) Gesucht ist der Schnittpunkt der x3-Achse des Koordinatensystems mit der Verbindungsebene

SCD.Lösung

8.9 Mit der Bildebene : uΠ%

und dem Augpunkt :S s%

wird eine Zentral- oder Parallelprojektion

: x x∗ζ a% %

durch T T( )x s uE su x∗ = −% % % % % %

beschrieben.Wie spezialisiert sich diese Abbildungsgleichung für

a) die Zentralprojektion auf 0 1: 0x xΠ + = mit T(1,2,0,0) ,s =%

b) die Parallelprojektion auf 0 1: 0x xΠ + = mit T1 2 3(0, , , ) ,s r r r=

% T T

1 2 3( , , ) (0,0,0) ,r r r ≠

c) die spezielle Parallelprojektion � den so genannten Grundriss � auf Π : x3 0= mitT(0,0,0,1)s =

%?

Lösung

8.10 Wie lautet die Normalform des Kegelschnitts 2 29 12 4 30 20 25 0x x y y x y− + + − + = ?Fertigen Sie eine Skizze dieser Kurve an!

Lösung

8.11 Es sei der Kegelschnitt 2 2: 4 4q x y+ = gegeben.

a) Geben Sie die Gleichung der Tangente im Punkt 12(1, 3)P an.

b) Geben Sie die Gleichung der Polaren S zu dem Punkt (1,2)S an.

c) Zeigen Sie, dass die Schnittpunkte der Polaren S mit q die Berührpunkte der aus S an q ge-legten Tangenten sind.

Lösung

8.12 Ein und dieselbe Gerade g werde durch PLÜCKERsche Geradenkoordinatenmatrizen G%

und �G%

bzw. entsprechenden PLÜCKERschen Geradenkoordinatenvektoren ( )1

1�g = g

g% und ( )2

2� �g = g

g%beschrieben.

a) Beweisen Sie, dass �GG O=% % %

gilt.

b) Beweisen Sie unter Verwendung von � ,GG O=% % %

dass gilt:

1 2�=g g , 1 2� .=g gLösung

Kapitel 8

Lösungen

8.1 1a%

und 3.a%

Aufgabe

8.2 1 2 3, , .A A A Aufgabe

8.3 T T T1 1 2 2: ( 13, 2, 3) , : (2, 3,1) , : (1, 0, 0) .g u g u f= − − = −

% % Aufgabe

8.4 T T: (7,19, 43) ; : (0, 3, 2) .fS S Aufgabe

8.5 T: ( 13, 2, 3) ;S − T T: (1, 2, 3) (1, 5,1) ,g α +β ( , ) (0,0).α β ≠ Aufgabe

8.6 a) 0 1 2 310 2 0;x x x x+ + − = b) 0 1 2 319 3 7 6 0;x x x x− + + + = c) 0 1 2 38 2 0.x x x x+ − − =

Aufgabe

8.7 a) T T(1,0,2,1) , (2,3,2,1) ;a b= =% %

b) T T( 3,1,1,1) , ( 9,3,4,1) .u = − = −v%%

Aufgabe

8.8 b) T(5,0,0,2) .s =%

Aufgabe

8.9 a)2 1 0 02 1 0 0 ;0 0 3 00 0 0 3

x x∗−

−=

% % b)

112 2 13 3 1

0 0 00 0 0 ;0

0

rrx xr r rr r r

∗

− = − − − − % %

c) 1 0 0 00 1 0 0 .0 0 1 00 0 0 0

x x∗ =

% %

Aufgabe

Kapitel 9

Aufgaben9.1 Die Gleichung einer ebenen Kurve sei in Polarkoordinaten gegeben: ( ).r f= ϕ

a) Drücken Sie den Anstieg tan ,α wobei α der Neigungswinkel der Kurventangente gegenüberder 1x -Achse ist, durch die Funktion ( )f ϕ und ihre 1. Ableitung aus.

b) Man löse die Aufgabe analog für tan ,β wobei β der Winkel zwischen dem Polarstrahl und derTangente ist.

c) Bestimmen Sie alle Kurven, für die tan const.aβ = = gilt. Lösung

9.2 Wie lang ist die Kurve ( )T3 1( ) , , ,3 2uu u u=x 0,u > zwischen den Ebenen 1 1x = und 1 2x = ?

Lösung

9.3 Bestimmen Sie den Scheitel der Kurve 2 T( ) ( , ) ,u a u a u a u= +x IR,u ∈ const. 0,a = > indem per Definition ( ) 0u′ρ = gilt! Wie groß ist der Krümmungsradius ρ im Scheitel?

Lösung

9.4 Für die Ellipse T( ) (3cos ,2sin ) ,u u u=x 0 2 ,u≤ < π ist die Evolute aufzustellen.Man gebe ihre Gleichung (implizite Form) an!

Lösung

9.5 Von der Kettenlinie cosh xy a a= ( const. 0)a = ≠ bestimme man

a) die Krümmung, insbesondere im Scheitel,b) die Evolute,c) die Bogenlänge. Lösung

9.6 Eine Uhrfeder aus 1 mm dickem Stahlblech füllt im gespannten Zustand eine Trommel von 5mm Innenradius und 25 mm Außenradius aus. Dabei hat die Feder näherungsweise die Form einerarchimedischen Spirale ( )r f a b= ϕ = + ϕ , wobei die Konstanten a und b durch die o. g. Abmes-sungen zu bestimmen sind. Wie lang ist die Uhrfeder?

Lösung

9.7 Die Kugel 2 2 2 21 2 3: x x x rΦ + + = und der Zylinder 2 2

1 2 1: x x r xΨ + = ( 0)r > schneiden sich inder so genannten VIVIANIschen Kurve, von dera) ein Schrägriss,

b) eine Parameterdarstellung (Hinweis: Man setze 21 sin ,x r u= 0 2 .u≤ < π ) und

c) das begleitende Dreibein im Punkt 0 4u π= angegeben werden sollen. Lösung

Kapitel 9

Lösungen

9.1 a) d ( ) tan ( )tan ;d ( ) ( ) tany f fx f f

′ ϕ ϕ + ϕα = = ′ ϕ − ϕ ϕ

b) ( )tan tan( ) ;( )ff

ϕβ = α − ϕ = ′ ϕ

c) ( ) 1 .( )ff a′ ϕ =ϕ Diese Differentialgleichung 1. Ordnung löst man durch Trennen der Variab-

len: 1

( )) ar f Ceϕ

= ϕ (Logarithmische Spirale).

Aufgabe

9.22 2 2

4 24 2

11 1

311 1( ) d 1 d d .124 2s u u u u u u

u u = = + + = + = ∫ ∫ ∫x& Aufgabe

9.33

2 2( ) 2 (2 2 1) .u a u uρ = − + + Es gilt ( ) 0u′ρ = für 10 2 .u u= = −

Scheitel: ( )T1 10 4 2( ) , .u a= − −x Scheitelkrümmungsradius: 0 2( ) .auρ = −

Aufgabe

9.4 2 2 351 3

13

( ) 3cos (9sin 4 cos )cos cosx u u u u u u= − + =

2 2 31 52 2 2( ) 2sin (9sin 4 cos )sin sinx u u u u u u= − + = −

( ) ( )2 23 23 31 25 5 1x x+ = (Astroide).

Aufgabe

9.5 a)2

1 1( ) .cosh

x a xa

κ = Scheitel: 0 0,x = 1(0) ;aκ =

b) ( )T2( ) sinh , 2 cosh ;2a x xx x aa a= −y

c) 2

01 ( ) d sinh .

x xs y t t a a′= + =∫ Aufgabe

9.6 Wegen (0) 5r = und (19 2 ) 24r ⋅ π = folgt 5,a = 1 .2b = π

Federlänge: [ ]238

20

15 d 1730 mm .2 4s

π ϕ = + + ϕ = π π ∫

Hinweis: Substitution 10ψ = ϕ + π anwenden. Aufgabe

9.7 b) 2 T( ) ( sin , sin cos , cos ) ;x u r u r u u r u=

c)T

0 , , ,2 2 2r r r =

x

T2 1, 0, ,3 3

= − t

T31 2, 2 , ,39 13 39

= − − − h

T1 1 22 , , 2 .13 13 13

= − − b

Aufgabe

Kapitel 10

Aufgaben

10.1 Bestimmen Sie die LAGRANGEsche Tensorprodukt-Interpolationsfläche vom Grad (1,1) durchdie Stützpunkte

T T00 01

T T10 11

(0, 0, 0) (0,1,1)(1, 0,1)) (1,1, 0)

= == =

p pp p

mit den Stützparameterwerten 0 0 0,u = =v 1 1 0.u = =v

Lösung

10.2 Betrachten Sie den Einheitswürfel mit den Ecken 1 2 3, , , , , , ,O E E E E E E E′ ′′′ ′′ , wobei iE derEinheitspunkt der ix -Achse, , ,E E E′ ′′ ′′′ der axonometrische Grund-, Aufriss- und Kreuzriss desEinheitspunktes (1,1,1)E = sind.

Man bestimme eine BÉZIER-Fläche möglichst niedrigen Grades, die in den Punkten , ,O E E′′′ und

2E die Verbindungsebenen 1 2OE E , 1E E E′′′ ′ und EE E′ ′′ und 2 3E E E ′′ als Tangentialebenen be-sitzt.

Lösung

10.3 Bestimmen Sie den größten Quader, der dem Ellipsoid 22 2

2 2 2 1yx za b c

+ + = einbeschrieben wer-

den kann!Lösung

10.4 Das hyperbolische Paraboloid 2 236 4 9 0z x y− + = wird von den Ebenen 1,z = 1,y = 1,x =y mx= geschnitten. Welche Schnittkurven entstehen?

Lösung

Kapitel 10

Lösungen

10.10 0 1 11 11 1( , ) 0 1 0 11 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0

u u u uu − −− − = + + +− − − −

x v v v vv

( 1)

( 1) .( 1) ( 1) 2

uu uu u

u u u u

− − + = − − + = − − − − − +

v vv v v

v v v v

Aufgabe

10.2 Man wähle das BÉZIER-Netz

202 12 2201 11 21 300 10 20 1

,E E EE M EO E E

∧′′

′ = ′′′

b b bb b bb b b

worin M frei wählbar ist, z. B. aus Symmetriegründen ( )1 1 1, , .2 2 2M = Aufgabe

10.322

2 28 1 ,yxV c x ya b

= − − max8 3.9V a bc= Aufgabe

10.4 Hyperbel, Parabel, Parabel, Gerade ,y m x= falls 2 ,3m = ± andernfalls die Parabel

2 2(4 9 ) .y m x= − Aufgabe