Aula 00 Curso: Estatística p/ SEFAZ PI – Analista · Aula 0 Técnicas de Contagem e Análise Combinatória. Combinações, Arranjos e Permutação. disponível Aula 1 Espaço amostral

Prof. Fábio Amorim 1 de 33

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Aula 00

Curso: Estatística p/ SEFAZ PI – Analista

Professor: Fábio Amorim

Curso: Estatística p/ SEFAZ-PI: Analista Teoria e Questões comentadas

Prof. Fábio Amorim - Aula 00



Olá pessoal!

Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos!

Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso

público de Analista do Tesouro Estadual, da Secretaria de Fazenda do

Estado do Piauí (SEFAZ/PI). Este curso abordará todo o conteúdo exigido pelo

edital, incluindo teoria e questões comentadas.

O objetivo é proporcionar um curso bastante objetivo e didático,

trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de

fazer todas as questões que serão cobradas nesse concurso da SEFAZ/PI.

Para o cargo de Analista do Tesouro Estadual, está contida na disciplina

de “Estatística e Raciocínio Lógico” da Prova de Conhecimentos Gerais (P1).

Essa disciplina conjunta será responsável por 10 questões.

Professor, mas eu nunca estudei Estatística, terei muita dificuldade em acompanhar o curso?

Pelo contrário, o curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo

que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem

menos afinidade com a disciplina, ou nunca a tenham estudado.

O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que serão

disponibilizadas são:

Aula Assunto Data

Aula 0 Técnicas de Contagem e Análise Combinatória. Combinações, Arranjos e Permutação.

disponível

Aula 1 Espaço amostral e probabilidades: conceito,

axiomas.

3/11

Aula 2 Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de

posição e de variabilidade.

6/11

Aula 3 Distribuições de probabilidades discretas e contínuas

(Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Normal,

Qui-quadrado, T-Student e F).

10/11





Aula Assunto Data

Aula 4 Amostragem: amostras casuais e não casuais.

Processos de amostragem, incluindo estimativas de

parâmetros. Inferência: intervalos de confiança.

13/11

Aula 5 Testes de hipóteses para médias e proporções. 17/11

Aula 6 Correlação e Regressão Linear simples 20/11

Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar!

Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo

Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino

Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo

pela Universidade Estácio de Sá (2014).

Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei

por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009,

tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de

Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT.

Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de

Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União - TCU, onde estou até hoje.

Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes:

� ANTT (2008) – Especialista em Regulação;

� MPOG (2008) – Analista de Infraestrutura;

� TCU (2009) – Auditor Federal de Controle Externo.

Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste

curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir

a tão sonhada aprovação.

Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística

aplicadas nos concursos da FCC para Auditores Fiscais, destacando, assim,

aqueles assuntos que são mais importantes para a prova!

APRESENTAÇÃO





O gráfico abaixo mostra a quantidade de questões por assunto. Por esse

gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa

disciplina, que deverá ter 8 preciosas questões na Prova 2.

Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a

metodologia que iremos aplicar neste curso.

Boa sorte a todos e vamos lá!

36%

20%

17%

10%

10%

7%

Distribuição de Questões - FCC

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES - AULA 3

ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - AULA 4

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES - AULA 6

TESTE DE HIPÓTESES - AULA 5

PROBABILIDADES - AULA 1

Histórico e análise das provas Estatística





Assunto Página

1- Introdução 05

2- Princípio Fundamental da Contagem 06

3- Permutações 10

4- Arranjo 14

5- Combinação 16

6- Questões comentadas 17

7- Resumo da aula 29

8- Lista de exercícios 30

9- Gabarito 33

A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como

objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas

de contagem.

Para que a contagem seja viável, é necessário que o conjunto possua:

� Número limitado de elementos;

� Característica específica.

Vejam alguns exemplos de aplicação:

� De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de

identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números?

� Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados,

utilizando-se os números de 0 a 9?

� Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de

sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir?

� Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes

pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares?

Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno,

intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente

1- Introdução

Aula 00 – Técnicas de Contagem e Análise Combinatória





obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um

conjunto mais “populoso” de elementos. A partir dessa dificuldade é que

surgiram, na matemática, as técnicas de contagem.

Nesta aula, iremos aprender as seguintes técnicas:

� Princípio Fundamental da Contagem

� Diagrama de Árvore

� Permutação

� Permutação com repetição de elementos

� Arranjo

� Combinação

Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma

técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por

isso, precisamos compreendê-lo bem.

Suponhamos que existam:

- “N” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T1 e,

- “M” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2.

Então,

- o número de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa

T2 é obtido pela multiplicação N × M.

Vamos aos exemplos:

� Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto formado pelos resultados possíveis desses lançamentos é formado por quantos elementos?

Resolução:

Ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos “N”

resultados são possíveis? Logicamente, 6 resultados.

Ao lançarmos o dado pela segunda vez (tarefa T2), o número “M” de

resultados possíveis também será 6, correto?

Assim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de

resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será

obtido pela multiplicação N × M, ou seja, 6 × 6 = 36.

Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles:

2- Princípio Fundamental da Contagem





(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6).

� Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse pedido poderá ser feito?

Resolução:

O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma

sobremesa (tarefa T2).

O número de resultados possíveis “N” do prato principal é 4. E o número

de resultados possíveis “M” para a sobremesa é 3.

Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser

feito de N × M maneiras diferentes, ou seja, 4 × 3 = 12 maneiras.

Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama

sequencial ou diagrama de árvore:

Tarefa T1

'N' resultados possíveis

Tarefa T2

'M' resultados possíveis

Executando

T1 e depois T2

'N x M' resultados possíveis





*Diagrama de Árvore

Fácil, não é pessoal? Agora, se o número de tarefas for superior a 2?

Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter

N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então:

- Ao se realizar em sequência as tarefas T1, T2, até Tk, o número de

resultados possíveis será N1 x N2 x ... x Nk.

Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da

aula.

� De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números?

Prato Principal 1

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

Prato Principal 2

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

Prato Principal 3

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

Prato Principal 4

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

12 possibilidades





Resolução:

Vamos convencionar que:

� Escolher a primeira letra é a tarefa T1,

� Escolher a segunda letra é a T2,

� Escolher a terceira letra é a T3,

� Escolher o primeiro dígito é a T4,

� Escolher o segundo dígito é a T5,

� Escolher o terceiro dígito é a T6,

� Escolher o quarto dígito é a T7.

O número de letras possíveis de serem colocadas na tarefa T1 é igual a

26 (chamamos de N1).

O mesmo número se aplica a “N2” e a “N3”, correto?

No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1, 2, ..., 9), o mesmo

número se aplica a N5, N6, e N7.

Dessa forma temos:

Tarefa (T1)

Letra

(T2)

letra

(T3)

letra

(T4)

número

(T5)

número

(T6)

número

(T7)

número

Número de resultados possíveis

(N1)

26

(N2)

26

(N3)

26

(N4)

10

(N5)

10

(N6)

10

(N7)

10

Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados

possíveis é:

�1 × �2 × �3 × �4 × �5 × �6 × �7 = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = � �. ��. ��. Dessa forma, podemos confeccionar as placas de veículos de

175.760.000 maneiras diferentes!

Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da

contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais

técnicas. A partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas

desta: a permutação, o arranjo e a combinação.





Suponhamos que um determinado conjunto possua “n” elementos. A

permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto.

Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor.

� João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida pode acontecer?

Resolução:

Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João,

Pedro, Marcos), ou seja, � = 3.

Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse

caso, temos:

Assim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados

possíveis.

Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio

fundamental da contagem, vamos ver como?

3º Lugar

________

_

2º Lugar

________

_

1º Lugar

________

_

3 - Permutação





Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a

posição de 1º lugar.

Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João, Pedro e Marcos,

então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição. Assim, temos três

possibilidades.

Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos

corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o

número de possibilidades é igual dois.

Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar,

quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um

corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra.

Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é

obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela

multiplicação das possibilidades:

Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de

contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras diferentes de ordenar um conjunto.

Para calcularmos o número de permutações no nosso problema,

utilizamos a seguinte fórmula:

Permutação de 3 elementos:

�� = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 ��çõ� .

Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3

elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que resulta um total de

6 permutações.

Agora, se nosso conjunto for formado por um número maior de

elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da

contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso.

Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da

permutação.

1º Lugar 2º lugar 3º lugar

3 x 2 x 1 = 6 possibilidades _________ _________ _________

(fatorial do número 3)





Dado um conjunto de “n” elementos, o número de permutações

possíveis nesse conjunto é representado pela expressão:

!" = "! Onde �! é o fatorial do número “n”, representado pela expressão:

�! = � × #� − 1% × #� − 2% × #� − 3% × … × 1

Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo?

� De quantas formas 6 pessoas podem ser ordenadas em fila indiana?

Resolução:

Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de

quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados.

Como o número de elementos coincide com o número de posições,

temos uma permutação.

Assim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com

6 elementos. Aplicando a fórmula �' = �!, temos:

�( = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 )*�� +,)�� .

� Agora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila indiana?

Resolução:

Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da

fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse

lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições,

temos que permutar as cinco pessoas restantes.





Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de

possibilidade é dado por pela multiplicação:

� = 3 × 5! = 3 × #5 × 4 × 3 × 2 × 1% = 360 �* ,-,.,+�+�

3.1 – Permutações com elementos repetidos

Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde

existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar.

Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4,

5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis neste

conjunto, teremos um problema, já que o número “3” repete-se duas vezes

nesse conjunto.

Para esses problemas com repetição, o número de permutações deve

ser calculado pela expressão:

!"#/,1,… % = "!/! 1! … Onde:

- “n” é o número total de elementos,

- “a” representa o número de repetições que possui um determinado

elemento, e

- “b” representa o número de repetições de outro elemento, e, assim,

sucessivamente.

Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto.

� Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente?

Resolução:

O número de elementos do conjunto é 6. Então � = 6. Existe apenas

um elemento repetido, o elemento “3”, o qual se repete duas vezes, então � = 2.

Aplicando-se a fórmula da permutação com repetição:

�'#3% = �(#4% = 6!2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360 �* ,-,.,+�+�

Agora, o mesmo problema, com um conjunto maior:

� Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente?





Resolução:

Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10.

Então, � = 10. Existem três elementos que se repetem: as letras “P”, “R” e

“W”. Assim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é

representado por:

5� = 2- = 36 = 3 Conhecidos os valores de “n”, e do número de repetições, podemos

aplicar a fórmula:

�'#3,7,8% = �9:#4,�,�% = 10!2! 3! 3! =

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1#2 × 1% × #3 × 2 × 1% × #3 × 2 × 1% = 50.400

Portanto, podemos ordenar esse conjunto de 50.400 maneiras

diferentes.

O Arranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos

contar o número de maneiras diferentes de selecionar “=” elementos, em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “"” elementos. Neste caso � ≥ � (“�” representa todo o conjunto e “�” uma parte

dele).

Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição.

� Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos. Quantos são os resultados possíveis dessa eleição?

Resolução:

Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da

contagem.

Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de

síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades.

Subsíndico (T2)

_________

Síndico (T1)

_________

4 - Arranjo





Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico,

quantos candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram

cinco candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2).

Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, o número total

de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das duas tarefas:

Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem

chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos “r” elementos em uma

determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos, o

número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula:

?", = = "!#" − =%! Em que a expressão @', A significa: arranjo de “n” elementos, tomados

“r” a “r”.

Aplicando essa fórmula para o nosso problema, temos:

@', A = @(, 4 = 6!#6 − 2%! = 6!4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 30 �* ,-,.,+�+�

Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo,

é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a contagem.

Em outras palavras, a situação em que o candidato “A” seja eleito

síndico, e o candidato “B”, subsíndico, é diferente da situação em que o

candidato “B” seja eleito síndico, e o candidato “A”, o subsíndico. Assim, a ordem dos elementos altera o resultado!

Síndico Subsíndico

6 x 5 = 30 possibilidades _________ _________





A combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível

contar o número de maneiras diferentes de selecionar “=” elementos, pertencentes a um conjunto com “"” elementos (� ≤ �%.

Percebam que esta definição é semelhante a do Arranjo, no entanto, a

diferença é que, para a combinação, não importa a ordem de retirada dos elementos, haja vista que não interfere na contagem.

Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento:

� Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?

Resolução:

Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas (� = 3)

dentro de um conjunto de cinco pessoas (� = 5). Para essa situação, a ordem

de escolha não interfere na contagem que se pretende fazer. Interessa,

apenas, os funcionários escolhidos para a comissão, e não a ordem de

escolha.

Para essas situações, a técnica da combinação é utilizada.

A combinação de “r” elementos a partir de um conjunto com “n”

elementos é dado pela expressão:

C', A = D��E = �!#� − �%! �! Em que a expressão C', A significa: combinação de “n” elementos,

tomados “r” a “r”.

Aplicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto:

C', A = CF, � = 5!#5 − 3%! 3! = 5!2! 3! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1#2 × 1% × #3 × 2 × 1% = 10 �* ,-,.,+�+�

Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes.

Supondo-se um conjunto com os cinco funcionários {A, B, C, D, E}, as

combinações possíveis são:

{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D},

{B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}.

5 - Combinação





Pessoal, como vocês irão observar, existem poucas questões elaboradas pela FCC para essa parte da matéria. Assim, fiz uma complementação com algumas questões do CESPE para vocês praticarem mais!

1. (FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de

comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa

como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos

algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e

alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as

casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam

que o total de possibilidades era suficiente para identificar

(A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas.

Resolução:

Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o número total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem.

Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve ser calculado pela multiplicação dessas possibilidades.

Resposta, letra B.

2. (FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua

lanchonete. Ela serve:

− cinco variedades de chás;

− três sabores de pãezinhos;

− quatro qualidades de geleias;

Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia.

Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O

número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é

(A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40.

1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito

3 x 3 x 3 = 27 casas _________ _________ _________

6- Questões Comentadas





Resolução:

Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das possibilidades de cada item, assim:

Resposta, letra A.

3. (FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro

turmas de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas

entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os

outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes

de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a

(A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72.

Resolução:

Vamos chamar os professores de A, B e C.

Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas uma turma. Nessas condições, vamos supor que o professor A assuma essas duas turmas, desse modo, teríamos o conjunto {A, A, B, C}, onde a 1ª posição se refere à 1ª turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente.

A partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes que esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir entre as turmas.

Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição do professor A:

��çã* +� “�” �.��* = �'#3,7,… % = �!�! -! …

��çã* +� 4 �.��* = �J#4% = 4!2! = 12 �* ,-,.,+�+�

Desse modo, se o professor A for contemplado com duas turmas, o número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O

Chá Pão Geleia

5 x 3 x 4 = 60 possibilidades ________ _________ _________





mesmo número se aplica caso um dos professores B e C sejam contemplados com duas turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a 12 +12 + 12 = 36.

Resposta, letra C. 4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao

cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos

disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares

disponíveis?

(A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720.

Resolução:

Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes lugares, quatro serão ocupados pelos amigos. Assim, supondo que o conjunto seja representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas quatro delas.

Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a configuração:

Cadeira 1

Cadeira 2

Cadeira 3

Cadeira 4

Leonardo Amigo A Amigo B Amigo C

É diferente, por exemplo, da configuração:

Cadeira 1

Cadeira 2

Cadeira 3

Cadeira 4

Amigo A Leonardo Amigo B Amigo C

Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de Arranjo, onde o conjunto com 6 cadeiras “n=6” será arranjado em 4 posições “r=4”, por meio da seguinte expressão:

AM, N = A(, J = 6!#6 − 4%! = 6!2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360 possibilidades Resposta, letra D.

5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta

velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de

plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas

não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da

parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o





da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades

para o número da placa de tal automóvel é

(A) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100.

Resolução:

Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da contagem. A nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim, temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8).

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de cada tarefa. Deste modo:

Resposta, letra A.

6. (FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão

magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9

999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o

primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a

(A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728.

Resolução:

Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3, nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2), (6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6), (4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0, _,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000 a 9999.

Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas, portanto, para o segundo algarismo temos 8 possibilidades. Consequentemente, para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades.

1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 4º Dígito

5 x 10 x 10 x 5 = 2500 possibilidades

________ ________ _______ _______





Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem:

Resposta, letra E.

7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática

e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de

Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno?

(A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680.

Resolução:

Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim, podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de matemática.

C', A ⇒ C(, J = 6!#6 − 4%! 4! = 6!2! 4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1#2 × 1% × #4 × 3 × 2 × 1% = 15 �* ,-,.,+�+�

Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7 questões. Aplicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física.

C', A ⇒ CY, 4 = 7!#7 − 2%! 2! = 7!5! 2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1#5 × 4 × 3 × 2 × 1% × #2 × 1% = 21 �* ,-,.,+�+�

Aplicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa.

Resposta, letra D.

Matemática Física

15 x 21 = 315 possibilidades ________ ________

1º Dígito e 4º Dígito 2º Dígito 3º Dígito

13 x 8 x 7 = 728 possibilidades

________________ ________ _______





8. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - TCDF/DF – 2014) De um grupo de seis servidores de uma organização, três

serão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os

outros três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro

titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente.

Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.

O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos suplentes é superior a 100.

R.

Membros titulares

De início, precisamos escolher três membros titulares entre seis servidores de uma organização. Nesta situação, a ordem de escolha não interfere na contagem que precisamos fazer.

Em outras palavras, supondo que sejam escolhidos os servidores A, B e C, não importa a ordem de escolha: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB ou CBA.

Para esses casos em que precisamos escolher “r” elementos de um conjunto de “n” elementos, independentemente da ordem de escolha, a técnica de contagem adequada é a combinação.

Nesse problema, devemos utilizar a combinação de 6 elementos, tomados 3 a 3: C6, 3.

C', A = �!#� − �%! �! C(, � = 6!#6 − 3%! 3! = 6!3! 3! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1#3 × 2 × 1% × #3 × 2 × 1% = 20 �* ,-,.,+�+�

Para visualizarmos essa contagem, supondo que os servidores sejam A, B, C, D, E e F, as 20 possibilidades de escolha dos titulares são:

ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF, CDE, CDF, CEF, DEF.

Suplentes

Escolhidos os membros titulares, restam os suplentes. Para eles, a ordem de escolha interfere na contagem, haja vista que “em caso de falta do membro titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente”.

Para esses problemas em que precisamos escolher “r” elementos de um conjunto de “n” elementos, em uma determinada ordem, a técnica de contagem adequada é o Arranjo.

Assim, o número de maneiras diferentes de escolher três suplentes entre três servidores restantes é:

@', A = �!#� − �%! @�, � = 3!#3 − 3%! = 3!0! = 3 × 2 × 11 = 6 �* ,-,.,+�+�





Para visualizarmos essa contagem, supondo que os servidores ABC sejam os titulares, os suplentes podem ser distribuídos como:

DEF, DFE, EFD, EDF, FED, FDE.

Contagem Final

Portanto, para calcularmos o número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos suplentes, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Se, para a escolha dos titulares temos 20 possibilidades (tarefa T1), e para a escolha dos suplentes, 6 possibilidades (tarefa T2), o número total será obtido pela multiplicação dessas quantidades:

Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos suplentes é superior a 100.

Resposta, CERTO.

9. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - TCDF/DF – 2014)-CONTINUAÇÃO Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os suplentes.

R. Conforme o exercício anterior, escolhidos os titulares, temos 6 possibilidades de escolher os suplentes.

Resposta, ERRADO.

10. (CESPE - Analista Técnico Administrativo - Suframa/AM – 2014) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.

A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.

R. Em síntese, precisamos selecionar:

- 4 entre 10 servidoras do sexo feminino, e

- 1 entre 20 servidores do sexo masculino.

Para fazer essa escolha, percebam que a ordem não irá interferir na contagem. Por isso, a técnica de contagem adequada é a Combinação.

C', A = �!#� − �%! �! Para a escolha das servidoras, vamos calcular o número de combinações de 10 elementos, tomados 4 a 4: C10, 4.

Titulares Suplentes






C9:, J = 10!#10 − 4%! 4! = 10!6! 4! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6!6! × #4 × 3 × 2 × 1% = 210 �* ,-,.,+�+� Para a escolha dos servidores, vamos calcular o número de combinações de 20 elementos, tomados 1 a 1: C20, 1.

C4:, 9 = 20!#20 − 1%! 1! = 20!19! 1! = 20 × 19!19! 1! = 20 �* ,-,.,+�+� Portanto, para calcularmos o número total de possibilidades de escolha servidores e servidoras, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Se, para a escolha das servidoras temos 210 possibilidades (tarefa T1), e para a escolha dos servidores, 20 possibilidades (tarefa T2), o número total será obtido pela multiplicação dessas quantidades:

Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os servidores é superior a 4.000.

Resposta, ERRADO.

11. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) A análise de requerimentos de certificação de entidades educacionais, no âmbito do Ministério da Educação, será realizada por uma equipe formada por, no mínimo, um analista contábil, um analista educacional e um analista processual.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos.

A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas processuais, a quantidade de maneiras distintas de se formar equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe é superior a 5.000.

R. Considerando que cada equipe deve ter exatamente três analistas de cada especialidade, precisamos escolher, separadamente:

- 3 analistas contábeis entre 5 existentes;

- 3 analistas educacionais entre 7 existentes;

- 3 analistas processuais entre 6 existentes.

Para cada um desses grupos, a ordem de escolha dos analistas não interfere na contagem, por isso, vamos utilizar a técnica de Combinação:

C', A = �!#� − �%! �! O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas contábeis entre 5 existentes é: C5, 3

CF, � = 5!#5 − 3%! 3! = 5!2! 3! = 5 × 4 × 3!#2 × 1% × 3! = 10 �* ,-,.,+�+�

Servidoras Servidores






O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas educacionais entre 7 existentes é: C7, 3

CY, � = 7!#7 − 3%! 3! = 7!4! 3! = 7 × 6 × 5 × 4!4! × #3 × 2 × 1% = 35 �* ,-,.,+�+� O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas processuais entre 6 existentes é: C6, 3

C(, � = 6!#6 − 3%! 3! = 6!3! 3! = 6 × 5 × 4 × 3!#3 × 2 × 1% × 3! = 20 �* ,-,.,+�+�

Portanto, para calcularmos o número total de possibilidades de montar a equipe de analistas, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Se, para a escolha dos analistas contábeis temos 10 possibilidades (tarefa T1), para a escolha dos analistas educacionais, 35 possibilidades (tarefa T2), e, para a escolha dos analistas processuais, 20 possibilidades (tarefa T3), o número total de possibilidades será obtido pela multiplicação dessas quantidades:

Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os analistas para essa equipe é superior a 5.000.

Resposta, CERTO.

12. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) –CONTINUAÇÃO A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente um analista de cada especialidade em cada equipe.

R. Sendo a equipe formada por um analista de cada especialidade, precisamos contar o número de maneiras diferentes de escolher:

- 1 analista contábil entre 5 existentes: C5, 1

- 1 analista educacional entre 7 existentes: C7, 1

- 1 analista processual entre 6 existentes. C6, 1

Utilizando, da mesma forma, a técnica da combinação:

CF, 9 = 5!#5 − 1%! 1! = 5!4! 1! = 5 �* ,-,.,+�+� CY, 9 = 7!#7 − 1%! 1! = 7!6! 1! = 7 �* ,-,.,+�+� C(, 9 = 6!#6 − 1%! 1! = 6!5! 1! = 6 �* ,-,.,+�+�

Contábeis Educacionais Processuais

10 x 35 x 20 = 7000 possibilidades _______ _______ _______





Por fim, considerando o princípio multiplicativo, ou princípio fundamental da contagem:

Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os analistas para essa equipe é inferior a 300.

Resposta, ERRADO.

13. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas de Informação - STF - 2013) A presidência de determinado tribunal é apoiada por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram indicados, do quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres, então será superior a 400 o número de maneiras de se selecionar, entre os 12 candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias.

R.

Se quatro assessorias forem chefiadas por mulheres, e, consequentemente, duas por homens, precisamos contar as possibilidades de escolhas, considerando um total de 8 mulheres e 4 homens.

Assim, inicialmente, vamos calcular as possibilidades de escolha das funcionárias. Neste caso, não importa a ordem de escolha, correto? Por isso, podemos utilizar a técnica da Combinação:

- O número de possibilidades diferentes de escolher 4 funcionárias entre 8 existentes é: C8, 4.

CZ, J = 8!#8 − 4%! 4! = 8!4! 4! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4!4! × 4! = 70 �* ,-,.,+�+� - O número de possibilidades diferentes de escolher 2 funcionários entre 4 existentes é: C4, 2.

CJ, 4 = 4!#4 − 2%! 2! = 4!2! 2! = 4 × 3 × 2!#2 × 1% × 2! = 6 �* ,-,.,+�+� Assim, temos 70 possibilidades de escolha das funcionárias e 6 possibilidades de escolha dos funcionários.

Utilizando o princípio multiplicativo para calcular o número de possibilidades diferentes de escolher os funcionários e as funcionárias:

Contábeis Educacionais Processuais

5 x 7 x 6 = 210 possibilidades _______ _______ _______





Portanto, o número de maneiras possíveis de se escolher a chefia das assessorias é superior a 400.

Resposta, CERTO.

14. (CESPE - Auditor de Controle Externo - Área Ciências Contábeis - TCE/RO - 2013) Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10 notebooks, todos distintos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10 homens e 10 mulheres —, de modo que cada empregado receba um único equipamento, julgue o seguinte item.

A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de forma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 × (9!)2.

R.

Precisamos distribuir 10 desktops para 10 empregados homens, e 10 notebooks para 10 empregadas mulheres.

Conforme dito no enunciado, esses equipamentos são distintos. Essa informação é importante pois irá influenciar na contagem que precisamos fazer.

Assim, dados que os desktops são representados pelos elementos {D1, D2, ..., D10}, distribuir o equipamento D1, por exemplo, para um empregado A, representa uma situação diferente de distribuir D1 para o empregado B.

A partir dessas considerações, vamos iniciar com os desktops. Supondo que os empregados homens estejam alocados em estaçõs de trabalhos dispostas lado a lado:

_A__/__B__/__C__/__D__/__E__/__F__/__G__/__H__/__I__/__J__

Para os desktops {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10}, precisamos calcular o número de maneiras diferentes que podemos ordenar esses desktops, a partir da disposição das estações de trabalho. Isso nada mais é do que calcular o número de permutações dos elementos do conjunto de 10 desktops. Portanto:

�' = �! �9: = 10! �* ,-,.,+�+�

A mesma situação ocorre na distribuição de 10 notebooks para as 10 empregadas mulheres, portanto, o número de possibilidades também é o mesmo: �9: = 10!

Funcionárias Funcionários

70 x 6 = 420 possibilidades _______ _______





Utilizando o princípio multiplicativo, fundamental da contagem, para calcularmos o número total de maneiras de distribuirmos 10 desktops para 10 empregados homens e 10 notebooks para 10 empregadas mulheres:

Portanto, o número de maneiras diferentes #2 × 10!% é superior a #2 × 9!%. Resposta, CERTO.

15. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas – CNJ – 2013) Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E) estão ligados em uma rede. Devido a problemas com os softwares de proteção da rede, o computador A está infectado com algum vírus; consequentemente, o computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o computador C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão infectados com o mesmo vírus. Cada computador pode ser infectado isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus que os limpa de qualquer infecção por vírus.

Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas relativas à proteção e segurança de redes, julgue os itens a seguir.

Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem disponíveis para uso e cinco pessoas entrarem na sala, ocupando todos os computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas escolherem os computadores para utilização será inferior a 100.

R.

De acordo com o enunciado, precisamos distribuir 5 computadores para 5 pessoas. O número de maneiras diferentes de efetuarmos essa distribuição equivale a calcularmos o número de maneiras diferentes de ordenarmos os 5 computadores.

Para realizar essa contagem, devemos utilizar a técnica da Permutação.

�' = �! �F = 5! = 120 �* ,-,.,+�+�

Assim, o número de possibilidades é superior a 100.

Resposta, ERRADO.

Desktops Notebooks

10! x 10! = 2 × 10! possibilidades _______ _______





Vimos nesta aula 0 as seguintes técnicas de contagem:

� Princípio Fundamental da Contagem;

� Permutação;

� Permutação com repetição;

� Arranjo;

� Combinação.

Constatamos que, por meio delas, é possível contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Em resumo, as principais

características dessas técnicas são:

Pois bem, pessoal, com este resumo encerramos a Aula 0. Na próxima aula conversaremos sobre o estudo das probabilidades. Bons estudos a todos e até a próxima!

Princípio Fundamental da Contagem

O número de maneiras de se realizar uma tarefa T1, seguida da tarefa T2, é obtido pela multiplicação do número de maneiras de se

fazer cada uma dessas tarefas.

Permutação

Permite contar o número de maneiras diferentes que os elementos de um conjunto

podem estar ordenados.

Pn=n! (simples)

Pna,b,... = n! /(a! b!...) (com repetição)

Arranjo

Permite contar, em uma determinada ordem, o número de maneiras diferentes de

selecionar “r” elementos dentro de um conjunto com “n” elementos.

An, r=n!/(n-r)!

Combinação

Permite contar, independente da ordem, o número de maneiras diferentes de selecionar

“r” elementos dentro de um conjunto com “n” elementos.

Cn, r=n!/(n-r)!r!

7- Resumo da aula





1. (FCC / SEPLAG / 2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de

comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa

como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos

algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e

alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as

casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam

que o total de possibilidades era suficiente para identificar

(A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas.

2. (FCC / SEPLAG / 2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua

lanchonete. Ela serve:

− cinco variedades de chás;

− três sabores de pãezinhos;

− quatro qualidades de geleias;

Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia.

Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O

número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é

(A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40.

3. (FCC-SABESP/2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas

de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três

professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois

assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir

essas aulas, respeitando tais condições, é igual a

(A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72.

4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema.

Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De

quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis?

(A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720.

5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade

por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no

local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu

fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte

numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da

8- Lista de Exercícios





direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o

número da placa de tal automóvel é

(A) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100.

6. (FCC-BACEN/2006) Os clientes de um banco contam com um cartão

magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9

999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o

primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a

(A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728.

7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7

de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física

para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno?

(A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680.

8. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - TCDF/DF – 2014) De um grupo de seis servidores de uma organização, três

serão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os

outros três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro

titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente.

Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.

O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos suplentes é superior a 100.

9. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - TCDF/DF – 2014)-CONTINUAÇÃO Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os suplentes.

10. (CESPE - Analista Técnico Administrativo - Suframa/AM – 2014) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.

A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.

11. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) A análise de requerimentos de certificação de entidades educacionais, no âmbito do Ministério da Educação, será realizada por uma equipe formada por, no mínimo, um analista contábil, um analista educacional e um analista processual.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos.





A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas processuais, a quantidade de maneiras distintas de se formar equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe é superior a 5.000.

12. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) –CONTINUAÇÃO A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente um analista de cada especialidade em cada equipe.

13. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas de Informação - STF - 2013) A presidência de determinado tribunal é apoiada por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram indicados, do quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres, então será superior a 400 o número de maneiras de se selecionar, entre os 12 candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias.

14. (CESPE - Auditor de Controle Externo - Área Ciências Contábeis - TCE/RO - 2013) Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10 notebooks, todos distintos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10 homens e 10 mulheres —, de modo que cada empregado receba um único equipamento, julgue o seguinte item.

A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de forma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 × (9!)2.

15. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas – CNJ – 2013) Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E) estão ligados em uma rede. Devido a problemas com os softwares de proteção da rede, o computador A está infectado com algum vírus; consequentemente, o computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o computador C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão infectados com o mesmo vírus. Cada computador pode ser infectado isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus que os limpa de qualquer infecção por vírus.

Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas relativas à proteção e segurança de redes, julgue os itens a seguir.

Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem disponíveis para uso e cinco pessoas entrarem na sala, ocupando todos os computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas escolherem os computadores para utilização será inferior a 100.





1 B 5 A 9 ERRADO 13 CERTO

2 A 6 E 10 ERRADO 14 CERTO

3 C 7 D 11 CERTO 15 ERRADO

4 D 8 CERTO 12 ERRADO

9- Gabarito

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Aula 00 Curso: Estatística p/ SEFAZ PI – Analista · Aula 0 Técnicas de Contagem e Análise Combinatória. Combinações, Arranjos e Permutação. disponível Aula 1 Espaço amostral