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Matemática I
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
FACULDADE DE ECONOMIA
Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
CONTINUAÇÃO DO TÓPICO 4
A Função Quadrática(2º Grau)
Próxima Aula:
Inequações do segundo grau
uso do software Octave
- Introdução
- Operações básicas
- Plotar gráficos de funções
Algumas aplicações de funções polinomiais de grau superior a 2.
Função Exponencial
As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:
>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente
com {a, b, c} As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de
Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
O gráfico da equação será então:
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Assim o conjunto solução será:
S = {x | -7/3 < x < -1}
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Agora resolvendo o exemplo, a inequação é responder a pergunta: “existe x real tal que seja positiva”
A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de , podemos ter uma das respostas seguintes:
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Vamos agora resolver em R a inequação
A melhor forma de se resolver tal equação e verificar o comportamento do sinal de cada uma das equações, vamos denominar a primeira parte de f(x)= e a segunda parte de
As raízes de f serão
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Graficamente temos
O ponto de variação do sinal seria:
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Já para as raízes de g teríamos:
O gráfico seria
E a variação do sinal seria
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Representando no eixo real a variação de sinal de f e g e fg, temos:
Assim nosso conjunto solução seria:
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
Como ficaria a solução para a seguinte inequação:
Analisando os sinais do numerador e denominador temos:
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
2( ) 2 1f x x x
2( ) 2g x x x
Fazendo o quadro quociente, tem-se
4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau
2( ) 2 1f x x x
2( ) 2g x x x
( )
( )
f x
g g
FIM DO TÓPICO 4
4 – A Função Quadrática (2º Grau)
OCTAVE
OCTAVE
INÍCIO DO TÓPICO 5
A Função Exponencial
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
5.1.1) Definição: Chama-se função exponencial toda função f: R , tal que , em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
5.1.2) Domínio: Com relação ao domínio da função exponencial, pode-se afirmar que todos os valores reais.
5.1.3) Imagem: São todos os reais positivos não nulos.
5.1.4) Gráfico: Podemos demonstrar a função exponencial com os seguintes gráficos:
*R
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Imagine as seguintes funções:
e
Graficamente temos:
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Uma máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua compra, é dado por , em que é uma constante real. Se após 10 anos , a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 48.000
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Crescimento e decrescimento da função exponencial
para qualquer função exponencial e qualquer número real x,
Se a > 0 e b >1, então a função f é crescente e é uma função de crescimento exponencial. A base b é o seu fator de crescimento.
Se a > 0 e b < l, então a função f é decrescente e é uma função de decaimento exponencial. A base b é o seu fator de decaimento.
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Transformação das funções exponenciais
Partindo de uma dada função exponencial , a mesma pode ser modificada e apresentar o seguinte comportamento:
, , h a mudança está abaixo:
Visualizando no Octave teríamos:
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
A base da função dada pelo número e.
A função é uma função de crescimento exponencial. Sua configuração é semelhante as demais funções exponenciais observadas, a diferença é que sua base é dada pelo componente de Euler.
Taxa percentual constante de crescimento: Aqui temos um exemplo do que será aplicado na matemática financeira, trata-se de um exemplo dos juros compostos.
O exemplo dado é de uma população que está se modificando a uma taxa percentual constante r, onde r é a taxa percentual da mudança em forma decimal. A população então segue o padrão mostrado:
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Nesse caso temos uma população expressa em uma função exponencial em função do tempo.
5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Exemplos:
Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares?
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
Podemos também simular tal situação no Octave
5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais
As equações exponenciais envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente.
A melhor forma de solucionar uma equação exponencial é colocar as equações com a mesma base, portanto
Exemplo
* 1R
5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais
Encontre algumas soluções:
5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais
Inequação exponencial: é toda inequação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo:
Resolução de uma inequação exponencial
Imagine que tenhamos a seguinte desigualdade:
Logo
5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais
Agora imagine a seguinte inequação:
Solução:
+1
Considerando que podemos formar a seguinte equação quadrática:
5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais
O gráfico da função será:
5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais
Assim teremos
logo (I)
logo (II)
Com isso o conjunto solução será:
Com isso,
INÍCIO DO TÓPICO 6
A Função Logarítmica
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
6.1.1) Definição: Chama-se de função logarítmica toda função f: R tal que , com b e b1.
Também as funções logarítmicas são conhecidas como as funções inversas das exponenciais.
Podemos também verificar 5 importantes propriedades das funções logarítmicas:
i) e
ii) A função logarítmica é crescente em todo seu domínio se, e somente se, b>1.
*R*R
*R
iii) A função logarítmica é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < b < 1.
iv) Toda função logarítmica, isto é, , com b e b1, é bijetora.
v) A função logarítmica é inversa da função exponencial , b e b1.
*R
*R
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Observe os gráficos de e
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
vi) Para números reais positivos a, b e x com , temos
Bem como:
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Algumas mudanças gráficas:
As características básicas das funções logarítmicas são:
Domínio: ]0, +[Imagem: R
É contínua em ]0, + [É crescente em ]0, + [Não é não é limitada nem inferior nem superiormente
Não tem extremos locais
Não tem assíntotas horizontais
Assíntota vertical é em x = 0
Comportamento no extremo do domínio
Os gráficos no ln são as mais comumentemente utilizadas em economia.
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Partindo sempre de uma função y=lnx ou y=logx, vejamos os seguintes comportamentos:
a)
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
( ) ln( )f x x
( ) ln( 2)g x x
Partindo sempre de uma função y=lnx ou y=logx, vejamos os seguintes comportamentos:
b) h
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
( )h x
( ) ln( )f x x
Partindo sempre de uma função y=lnx ou y=logx, vejamos os seguintes comportamentos:
c) z
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
( ) ln( )f x x
( )z x
Partindo sempre de uma função y=lnx ou y=logx, vejamos os seguintes comportamentos:
d) k
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
( ) ln( )f x x
( )k x
Vamos elaborar a última função k(x) no octave:
6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem
Equação: Chama-se “equação logarítmica” aquela que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logarítmo.
Por exemplo, vamos resolver a equação:
Primeiramente temos que verificar a condição de existência, portanto:
O segundo passo é transformar todos os membros em logaritmos de mesma base, assim:Com isso teremos:
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Como x=2 está dentro do intervalo x > -6, então satisfaz a condição de existência, portanto,
S={2}
Agora vejamos o exemplo:
Primeira coisa a se fazer é verificar a condição de existência:
> 0
> 0
Então nosso conjunto de condição de existência será
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Logo;
CE -3 < x < 0
Assim, usando a propriedade logarítmica da subtração teremos:
Portanto, as duas raízes serão:
x= -1 ou x= 18/5
Porém, apenas -1 encontra-se dentro do intervalo de CE, logo
S={-1}
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Como ficaria a equação:
A CE será: x > 0 e x1
Podemos afirmar que:
Resolvendo a equação teremos:
Porém, pela condição de existência, apenas o 3 faz parte da solução, portanto:
S={3}
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Inequação Logarítmica: toda equação que apresenta a incógnita no logaritmado ou na base de um logaritmo.
Exemplos:
Vamos verificar então como fica a resolução para cada uma das equações acima:
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Da primeira equação verificamos que: CE será x > 0 e x1
E que:
Porém devemos admitir algumas hipóteses:
1ª - Se 0 < x < 1, então o “sentido” (>) da desigualdade deve ser invertido (<) para os logaritmandos. Isto é:
Portanto, x < -3 e x > 3
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Portanto, teremos a seguinte configuração:
Como observa-se acima, dada a CE e os possíveis intervalos do conjunto solução, temos para a 1ª hipótese um conjunto vazio
S1=2ª - Para a segundo hipótese, temos o valor de x > 1
Se a base do log é maior que 1 então a restrição não é invertida, portanto:
O que graficamente teremos
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Portanto, -3 < x < 3
Assim o conjunto solução para a segunda hipótese será:
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Logo S2 = {xR| 1 < x < 3}
Portanto.
S = S1 S2
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Considerando agora
Como o log é na base ½, ou seja 0 < x < 1, então temos que inverter a restrição.
logo teremos:
Portanto, x -7 ou x 3
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Logo, S={ x R| x 3}
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Para a inequação
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Preparando a equação teremos:
Verificando o sinal teremos:
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
Pelo estudo do sinal verificamos que -8 < x 1, porém temos a CE para x > -1/2, ou seja:
Assim, S =
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica
6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica