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8/18/2019 Aula 05 - Tensões Principais e de Cisalhamento Máximo
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Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
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.
O estado geral de tensões em um ponto podeser representado por 6 componentes
, , , ,
( , , )
σ σ σ
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ = = =
O mesmo estado de tensões pode serrepresentado por um conjunto diferente decomponentes se os eixos forem rotacionados.
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.
Seja o Ponto Q, sujeito a um Estado Plano deTensões:
Determinar as componentes de tensão
No caso de uma rotação em torno do eixo z
, , σ σ τ
', ', ' σ σ τ θ
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.
'
'
=
=
∑∑
'
σ σ σ σ σ θ τ θ
+ −= + +
' '
σ σ τ θ τ θ
−= − +
'
σ σ σ σ σ θ τ θ
+ −= − −
σ σ σ σ +=+ ''
Equações deTransformação
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. ( )
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.
Equações de Transformação paratensão plana mostram que:
' ' ' ', σ σ τ θ
Tensões normais e de Cisalhamentoatingem valores máximos e mínimos
em intervalos de 90º; Valores máximos e mínimos sãonecessários para o dimensionamentode estruturas em geral.
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1. No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Umexemplo típico é a função velocidade querepresenta a taxa de variação (derivada) dafunção deslocamento. Do mesmo modo, a
função aceleração é a derivada da função velocidade;
2.A derivada é a inclinação de uma reta tangentea função em um dado ponto;
3.Quando ela é igual a zero, marca pontos demáximo e mínimo de uma função
4.Derivadas de funções Trigonométricas:
'
'
== −
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.
Tensões máxima e mínimas são chamadas de tensões principais;
Obtidas através das equações de transformação:
'
σ σ σ σ σ θ τ θ
+ −= + +
( )
( )
'
σ σ σ θ τ θ
θ
σ σ θ τ θ
−= ⋅ − + =
= − − + ⋅
( )
τ θ
σ σ
⋅=
−θ
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.
Dois valores de θ no intervalo de , que diferem por ,com um valor entre e outro entre ;
Logo, θ tem dois valores que diferem por , sendo um entre
e outro entre .
( )
τ θ
σ σ
⋅=
−
( ) ( )
α α α α α α
α
⋅= ∴ ⋅ + ⋅ − =−
( ) ( )( ),
α α α
α
− ± − ⋅ ⋅ − = ⋅
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.
Como os valores θ e θ diferem por , conclui-se que:
“As Tensões Principais ocorrem em planosmutuamente perpendiculares”.
( )
τ θ
σ σ ⋅=−
( ) σ σ
τ −
= +
σ σ θ
τ θ
−=
⋅
=
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.
Substituindo θ e θ em:
( ) σ σ τ − = +
σ σ θ
τ
θ
−=
⋅
=
'
'
σ σ σ σ σ σ θ τ θ
σ σ σ σ σ σ τ σ σ τ
+ −= = + +
+ − − = = + ⋅ +
⋅
Após substituir e fazer manipulações algébricas:
( )
σ σ σ σ σ τ
+ − = + +
σ σ σ σ + = +
( )
σ σ σ σ
σ τ + −
= − +
( ),
σ σ σ σ σ τ
+ − = ± +
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.
( ) σ σ θ τ θ = − − + ⋅Se fizermos , obtém-se a equação:' ' τ =
( )'
σ σ σ θ τ θ
θ
−= ⋅ − + =
Anteriormente, ao derivar a tensãonormal em relação ao ângulo:
Obteve-se a mesma Equação:
Resolvendo-se a equação para θ , obtém-se amesma expressão para θ ( )
τ θ
σ σ
⋅
= −
' '
σ σ τ θ τ θ
−= − +
Uma importante característica do planode tensões principais pode ser obtidaatravés da Equação:
( ) σ σ θ τ θ = − − + ⋅
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.
“Os ângulos em relação aos planos de tensão decisalhamento nulas são os mesmos ângulos em
relação aos planos de tensões principais”;
“As tensões de cisalhamento são nulas no plano principal”.
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.
( )
( )
' '
' '
σ σ τ θ τ θ
τ σ σ θ τ θ
θ
τ θ σ σ θ
−
= − +
= − − − ⋅ =
− ⋅ = −
Para determinar as Tensões de Cisalhamento Máximas e os planos queelas agem, deve-se adotar o mesmo procedimento, e derivar a equaçãode transformação obtida anteriormente:
σ σ θ
τ
−= −
⋅
θ
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.
Comparando as equações para obter os ângulos , vê-se que:
σ σ θ
τ
−= −
⋅
θ θ
( )
τ θ
σ σ
⋅=
−
θ θ θ
= − = −
É possível então estabelecer uma relação entre os ângulos : θ θ
( )
( )
θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
+ = × ⋅
⋅ + ⋅ =− =
− = ±
θ θ = ±
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.
Mostra que os planos de tensão de cisalhamento máximaocorrem a em relação aos planos principais. θ θ = ±
σ σ θ
τ
−= −
⋅
τ θ =
σ σ θ
−= −
⋅ ( ) σ σ
τ −
= +
' '
σ σ τ θ τ θ
−= − +
Com a equação da tangente de podem ser obtidas novas relações senoe cosseno:
θ
Substituindo R e seno e cosseno na equação abaixo:
( )
σ σ τ τ
− = +
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.
σ σ
τ −=
Alternativamente, a tensão de cisalhamento máxima pode ser calculadaem função das tensões principais:
Nos planos das tensões de cisalhamento máximo existem também tensõesnormais;
Essas tensões podem ser determinadas com a equação:
σ σ σ
+=