Aula 1 - MAT 153 - 2013-II

5/26/2018 Aula 1 - MAT 153 - 2013-II

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Geometria Euclidiana Plana -Um pouco de historia

Profa. Ariane Piovezan Entringer

Ariane Piovezan Entringer Geometria Euclidiana Plana - Introducao
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Introducao

Daremos incio ao estudo axiomatico da geometria estudada noensino fundamental e medio, a Geometria Euclidiana Plana.

Faremos uso do metodo utilizado por Euclides em seu livro Os

Elementos, o metodo axiomatico.

A palavra geometria vem do grego geometrien

geo : terra

metrien: medida.

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Os Elementos de Euclides

e um tratado matematicoe geometrico consistindo de13 livros escrito pelo matematicogrego Euclides em Alexandriapor volta de 300 a.C. Os

4 primeiros livros, que hoje podeser pensando como captulos,tratam da Geometria Planaconhecida da epoca, enquantoos demais tratam da teoria dosnumeros e da geometria espacial.

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Um pouco de historia

No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da

geometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Planaem sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geometricoscujas propriedades deseja-se estudar. Sao 23 definicoes, entre asquais encontramos as definicoes de ponto, reta, crculo, triangulo,retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 nocoes comuns, quesao afirmacoes admitidas como verdades obvias. Sao elas:

1 Coisas iguais a uma mesma coisa sao tambem iguais.

2 Se iguais sao adicionados a iguais, os totais obtidos sao iguais.

3

Se iguais sao subtrados de iguais, os totais obtidos sao iguais.4 Coisas que coincidem uma com a outra sao iguais.

5 O todo e maior do que qualquer uma de suas partes.


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Metodo Axiomatico

O que Euclides faz e construir axiomaticamente a geometria plana,atravez do metodo axiomatico.

O que e o metodo axiomatico?

A estrutura teorica de cada area da Matematica e disposta em:

O Conceito Primitivo;

Os Axiomas ou Postulados;

As Definicoes; os Teoremas, Lemas e Corolarios.

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Um Conceito e Primitivo quando e tido como verdade e isentode definicao. Os exemplos classicos sao:ponto,reta, plano.Nao os definimos, apenas os aceitamos.

Axiomassao afirmativas (conjunto de regras) aceitas sem

comprovacao e que determinam as propriedades de algunsconceitos primitivos.

Uma teoria e axiomatica quando e construda a partir de axiomasou postulados.

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Uma teoria axiomatica e tanto mais elegante quanto menor for seu

numero de axiomas e estes devem ser escolhidos com apreocupacao de que sejam:

* Consistentes: nao conduz a teoremas contraditorios.

* Suficientes: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidade

de outros axiomas.* Independentes: quando nenhum outro pode ser demonstrado

a partir dos demais.

Conceitos Primitivos Axiomas Teoremas / Lemas

Corolarios

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Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Osaxiomas eram proposicoes evidentes por si mesmas; e postulados,proposicoes que se pediam fossem aceitas sem demonstracao.

Atualmente, axiomas e postulados sao designacoes das proposicoessem demonstracao.

Constituem o ponto de partida de uma teoria dedutiva.


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A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matematica a seraxiomatizada. Ele apresentou, em sua famosa obra Os Elementos,um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados.

Axiomas:

A1 Coisas iguais a uma terceira sao iguais entre si.

A2 Se quantidades iguais sao adicionadas a iguais, os totais saoiguais.

A3 Se quantidades iguais sao subtradas de iguais, os restos saoiguais.

A4 Coisas que coincidem uma com a outra sao iguais.

A5 O todo e maior do que qualquer de suas partes.

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Postulados:

P1 Pode-se tracar uma (unica) reta ligando quaisquer doispontos.

P2 Pode-se continuar (de uma unica maneira) qualquer reta finitacontinuamente em uma reta.

P3 Pode-se tracar um crculo com qualquer centro e comqualquer raio.

P4 Todos os angulos retos sao iguais.

Observacao: Euclides define angulos sem falar em medida e

angulo reto como um angulo que e igual ao seu suplementar.Da, a necessidade do Postulado 4.

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P5 Se uma reta secante a duas outras forma angulos de ummesmo lado dessa secante, cuja soma e menor que doisangulos retos, entao essas retas, se prolongadas

suficientemente, encontrar-se-ao em um ponto desse mesmolado.

O 5 Postulado e o famoso postulado das paralelas. Atualmente eapresentado com as seguintes palavras:

Por um ponto Pexterior a uma reta m, considerados em ummesmo plano, existe uma unica paralela a reta m.

Muitos acreditavam que quando Euclides chegou ao Postulado 5

nao soube como demonstra-lo e entao resolveu deixa-lo comopostulado.Diferentemente dos demais postulados, este se parece muito maiscom um teorema do que com uma simples afirmacao que podemosaceitar sem demonstracao.


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Renomados matematicos tentaram provar o 5 Postulado deEuclides, pois o consideravam menos intuitivo e de redacao maiscomplicada. Porem, essa pretencao nao foi alcancada, pois o 5

Postulado nao e uma consequencia logicas dos quatro anteriores.Substituindo tal postulado, surgiram as geometrias nao-euclidianas.

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Um fato interessante

A primeira proposicao do livro I de Euclides e a seguinte:

Proposicao

Existe um triangulo equilatero com um lado igual a um segmento

de reta dado.

Demonstracao.

Existe uma falha nesta demonstracao. Se queremos contruir ageometria a partir dos axiomas, precisamos justificar todaafirmacao a partir deles. Nao existe nenhum postulado que garante

que o ponto de intersecao entre os dois crculos existe.

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Vemos, assim, que os postulados de Euclides nao sao suficientespara demonstrar todos os resultados da geometria plana.

Neste curso vamos axiomatizar a geometria de tal forma que osaxiomas sejam suficientes para demonstrar todos os resultadosconhecidos desde o ensino fundamental.


Definicoes Teoremas e Demonstracoes
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Definicoes, Teoremas e Demonstracoes

Uma definicao e um conceito que e feito em funcao de termosconsiderados previamente conhecidos.Por exemplo, um segmento de reta e uma parte ou porcao da

reta limitada por dois pontos. Observe que sao conhecidosos termos ponto, reta e parte, dentre outros.

Partindo-se de uma teoria devidamente axiomatizada, surgem asdefinicoes, as porposicoes ou teoremas, corolarios, leis e regras

matematicas.

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Teorema e uma afirmacao que pode ser provada e de grandeimportancia,

Proposicao e uma sentenca nao associada a algum outro

teorema, de simples prova e de importancia matematica menor,

Lema e um pre-teorema, um teorema que serve para ajudarna prova de outro teorema maior,

Corolario e uma consequencia direta de outro teorema ou deuma definicao, muitas vezes tendo suas demonstracoesomitidas, por serem simples.

conjectura e o termo usado para afirmacoes que ainda naoforam provadas, mas que acredita-se que sao verdadeiras.

Alguns teoremas continuam a ser chamados de conjecturas(Conjectura de Poicare).

Observacao: A distincao entre Lema, Teorema e Proposicao e umtanto quanto arbitraria.

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Um teorema e aceito como logicamente verdadeiro somentemediante uma prova ou demonstracao.

O enunciado de um teorema compreende duas partes distintas:

hipotese: conjunto de condicoes aceitas como verdadeiras;

tese: verdade logica que se pretende demonstrar a partir da

hipotese.O raciocnio que permite concluir o estabelecimento da tese,supondo compreendidas as condicoes da hipotese e chamado dedemonstracao.

Hipotese Demonstracao Tese

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Existem, basicamente, duas formas de demonstrar um teorema. Os

metodos:

Direto - que se utiliza das informacoes contidas na hipotese eoutros resultados pertinentes e que atraves de uma sequencialogica coerente chega ao resultado ou tese.

Indireto - tambem conhecido como metodo de reducao aoabsurdo (ou metodo da contradicao). Sua estrategia ebaseada na negacao logica da proposicao tese e consequentecontradicao da hipotese.

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