Aula 12 { Introdu˘c~ao ao conceito de area · Para semear dois terrenos congruentes (mesmo tamanho e forma), utiliza-se a mesma quantidade de sementes em cada um deles. Se um terreno

Introducao ao conceito de areaMODULO 1 - AULA 12

Aula 12 – Introducao ao conceito de area

Objetivos

• Introduzir o conceito de area de uma figura plana

• Apresentar as formulas para o calculo da area de algumas figuras planas

Introducao

Dentre as figuras abaixo, qual voce diria que e a maior?

Fig. 228: Figuras planas.

Note que os formatos das figuras sao diferentes. Quando se trata de

figuras semelhantes, e natural saber qual e a maior, mas para comparar o

tamanho de figuras de formatos diferentes e preciso um cuidado especial.

Nesta aula vamos iniciar o estudo de areas de figuras planas. Vamos ver que

o conceito de area nos permitira decidir qual o “tamanho” do espaco que

uma figura ocupa no plano. Vamos primeiro ver alguns exemplos.

Considere uma parede quadrada e suponha que um pintor utilize uma

lata de tinta para pintar tal parede. E claro que a quantidade de tinta

necessaria para pintar uma parede depende do tamanho da parede. Se o

pintor cobre as paredes com camadas de tinta sempre da mesma espessura,

entao a quantidade de tinta para pintar uma parede fica bem determinada.

Tal quantidade de tinta pode ser vista como uma medida do tamanho da

parede.

145 CEDERJ

Introducao ao conceito de area

Devemos concordar que:

• Dada qualquer parede, utiliza-se uma quantidade bem determinada de

tinta para pinta-la (com uma camada de tinta da espessura referida).

• Se duas paredes tem o mesmo tamanho e a mesma forma (ou seja, sao

congruentes), utiliza-se a mesma quantidade de tinta para pintar cada

uma delas.

• Se uma parede e a uniao de dois pedacos de parede, de forma que esses

dois pedacos se juntam apenas em beiradas, entao a quantidade de

tinta necessaria para pintar tal parede e a soma das quantidades de

tinta necessarias para pintar cada pedaco.

Vejamos um outro exemplo. Suponha que um agricultor utilize uma

porcao de sementes para semear um terreno que tem a forma de um qua-

drado. Dado qualquer outro terreno de qualquer tamanho e forma, e claro

que existe uma quantidade bem determinada de sementes necessaria para

semea-lo (com a mesma concentracao de sementes do primeiro). Essa quan-

tidade de sementes, comparada com a quantidade de sementes para semear

o terreno quadrado, da uma medida de quao maior (ou menor) esse terreno

e em relacao ao primeiro. Devemos concordar que:

• Dado qualquer terreno, existe uma quantidade bem determinada de

sementes necessaria para semea-lo.

• Para semear dois terrenos congruentes (mesmo tamanho e forma), utiliza-

se a mesma quantidade de sementes em cada um deles.

• Se um terreno e dividido em dois pedacos, a quantidade de sementes

necessaria para semear o terreno e a soma das quantidades de sementes

necessarias para semear cada pedaco.

Com relacao ao primeiro exemplo anterior, o pintor gasta uma lata de

tinta para pintar uma parede quadrada. Entao, se um pintor utiliza 3,5 latas

de tinta para pintar uma determinada parede, pode-se dizer que esta parede e

3,5 vezes maior que a parede quadrada inicial. Dizemos que a area da parede

e 3,5. Assim, para determinar a area de uma parede, bastaria pinta-la e

verificar a quantidade de tinta utilizada.

CEDERJ 146


Da mesma forma, se um agricultor utiliza 1 porcao de semente para

semear um terreno quadrado e utiliza 5,8 porcoes de sementes para semear

um determinado terreno, pode-se dizer que tal terreno e 5,8 vezes maior que

o terreno quadrado inicial, ou que esse terreno ocupa 5,8 vezes mais espaco

que aquele. Dizemos que a area do terreno e 5,8. Assim, para determinar a

area de um terreno, bastaria semea-lo e verificar a quantidade de sementes

utilizada.

Na pratica, porem, deseja-se muitas vezes fazer o caminho contrario: o

pintor gostaria de saber o quanto de tinta seria necessario comprar para pin-

tar uma parede, e o agricultor gostaria de saber quantas porcoes de sementes

vao ser necessarias para semear um dado terreno. Devemos, entao, ser ca-

pazes de determinar a area de paredes e terrenos sem que seja necessario

recorrer a metodos praticos, como pintar ou semear. Para isso, fixamos uma

unidade de comprimento, e escolhemos um quadrado de lado 1 como unidade

de medida de area. Dizemos que esse quadrado tem area igual a 1: se o lado

do quadrado mede 1cm, por exemplo, sua area e 1cm2 (le-se ”um centımetro

quadrado”), se o lado do quadrado mede 1m, sua area e 1m2 (”um metro

quadrado”), e assim por diante. A determinacao da area das figuras planas

sera feita com base nas tres propriedades a seguir:

P1 : “ Toda figura” plana limitada tem uma area. A medida da area

e expressa por um numero real positivo.

P2 : Figuras planas congruentes tem a mesma area (por exemplo,

dois triangulos congruentes ou dois cırculos de mesmo raio).

P3 : Se uma figura plana F e a uniao de duas figuras planas F1 e F2,

onde F1 e F2 se intersectam somente em linhas, entao a area de

F e a soma das areas de F1 e F2.

Partindo dessas propriedades, vamos fazer o calculo da area das prin-

cipais figuras planas. Primeiramente, tomemos o quadrado que escolhemos

como unidade de area. Se dividirmos os lados do quadrado em tres par-

tes iguais, e tracarmos paralelas aos lados, estaremos dividindo o quadrado

inicial em nove partes iguais (veja a figura 229).

147 CEDERJ


Fig. 229: Figura para o calculo da area de um quadrado.

Como todas as nove partes sao congruentes, pelas propriedades anteri-

ores, cada uma delas tem area igual a um nono da area do quadrado inicial.

Como consideramos a area do quadrado inicial igual a 1, cada uma das partes

obtida tera area igual a1

9.

Em geral, dividindo-se os lados do quadrado inicial em n partes iguais,

e tracando-se paralelas aos lados, como no exemplo, obtem-se n2 quadrados

de mesma area. Cada um dos quadrados obtidos tera area igual a1

n2. Com

isso provamos que a area de um quadrado cujo lado mede 1/n e igual a1

n2.

Observe que...

Na figura 230, quando l e h

sao numeros naturais, o

retangulo contem

exatamente l × h quadrados

de lado 1.

Determinaremos agora a area de um retangulo ABCD cujos lados me-

dem l e h (veja a figura 230). Indicaremos tal area por AABCD.

A B

D C

l

h

Fig. 230: Figura para calculo da area de um retangulo.

Para fazer o calculo da area, vamos escolher um numero natural n e

verificar quantos segmentos de comprimento1

ncabem nos segmentos AB

e AD. Pelas extremidades desses segmentos, tracamos retas paralelas aos

lados do retangulo ABCD. Seja p o numero de segmentos de comprimento

1/n que cabem em AB e q o numero desses segmentos que cabem em AD

(na figura 231, por exemplo, tem-se p = 7 e q = 4). Note que nesta figura

231, tomada como exemplo, temos 4 segmentos de comprimento 1/n estao

dentro de AD, enquanto que o quinto segmento nao esta totalmente contido

em AD. O mesmo tipo de situacao ocorre no segmento AB (7 segmentos

dentro e um oitavo saindo).

CEDERJ 148


B 1 n

1 n

A

C D

h

l Fig. 231: Calculo da area do retangulo.

Entao, de modo geral, num retangulo generico, teremos as seguintes

desigualdades envolvendoseus lados:

p1

n≤ l < (p+ 1)

1

n

e

q1

n≤ h < (q + 1)

1

n.

Usando as desigualdades acima concluımos que

pq1

n2≤ lh < (p+ 1)(q + 1)

1

n2. (2)

Por outro lado, considerando o retangulo globalmente, existem pq qua-

drados de lado 1/n inteiramente contidos no retangulo ABCD (marcados na

figura 231). Como cada um desses quadrados tem area 1/n2, concluımos que

a area do retangulo ABCD satisfaz

AABCD ≥ pq1

n2. (3)

Alem disso, o retangulo ABCD esta inteiramente contido no retangulo

formado pela uniao dos (p + 1)(q + 1) quadradinhos (veja de novo a figura

231), e, portanto

AABCD < (p+ 1)(q + 1)1

n2. (4)

Juntando as inequacoes (3) e (4), obtemos

pq1

n2≤ AABCD < (p+ 1)(q + 1)

1

n2. (5)

Das inequacoes (2) e (5), vemos que os dois numeros AABCD e lh estao

compreendidos entre pq1

n2e (p+ 1)(q + 1)

1

n2. Disso concluımos que

|AABCD − lh| < (p+ 1)(q + 1)1

n2− pq 1

n2= (p+ q + 1)

1

n2.

149 CEDERJ


Comop

n≤ l,

q

n≤ h e

1

n≤ 1, concluımos que

|AABCD − lh| < (l + h+ 1)1

n.

A ultima desigualdade vale qualquer que tenha sido a escolha inicial de

n. Bom, se o n for escolhido muito grande, o lado direito da inequacao sera

muito pequeno, e a unica possibilidade para que a inequacao seja verdadeira

para qualquer escolha de n e se |AABCD − lh| = 0 (lembre-se de que um

modulo nunca e negativo). Daı, tem-se AABCD = lh.

Provamos assim a seguinte proposicao:

Proposicao 27

A area de um retangulo e o produto da medida da base pela medida da

altura.

Area de um triangulo

Voce conhece como calcular a area de um retangulo. Vamos partir para

outras figuras geometricas?

a) Triangulos Retangulos

Considere um triangulo retangulo ABC, com angulo reto no vertice A

e portanto com catetos b = AC e c = AB. Entao

AreaABC =b · c2.

A prova desta formula segue-se facilmente da observacao que um

triangulo retangulo “e a metade de um retangulo” cujos lados sao os catetos

do triangulo.

Na figura 232, a seguir, esta representado o triangulo retangulo ABC

como parte de um retangulo. Entao,

.

A B

C D

c

b

Fig. 232:

AreaABC =1

2AreaABCD =

1

2b · c.

CEDERJ 150


b) Area de um Triangulo Qualquer

A area de um triangulo arbitrario pode ser calculado como metade do

produto de um lado (referido como base) pela altura do vertice oposto a este

lado.

Na figura 233 abaixo, temos dois triangulos que cobrem os dois casos

possıveis para os triangulos. Em relacao a base BC do triangulo ABC, com

altura h em relacao a base, temos situacoes onde o pe da altura pertence a

base do triangulo ou esta fora do segmento que representa a base.

..

AA

BB CC D

hh

Fig. 233:

No primeiro caso,

AreaABC = AreaBDA + AreaADC

=BD · h

2+DC · h

2=BC · h

2.

No segundo caso,

AreaABC = AreaADC − AreaADB

=DC · h

2− DB · h

2=BC · h

2.

Entao em qualquer caso, a area do triangulo e igual a metade do produto

da base pela altura.

Acabamos de provar uma proposicao.

Proposicao 28

A area de um triangulo e a metade do produto de uma base pela altura

relativa a essa base.

151 CEDERJ


Area de um Paralelogramo

Antes de encontrarmos uma formula para calcular a area de um para-

lelogramo, vamos a algumas ideias de base.

A distancia entre duas retas paralelas r e s e o comprimento AB do

segmento obtido pela intersecao das paralelas com uma reta perpendicular t.

Veja a figura abaixo.

.

.

A

B

t

s

r

Fig. 234:

Note que qualquer que fosse a reta perpendicular o resultado da distancia

entre as paralelas nao muda.

Estamos em condicoes de provar a proxima proposicao.

Proposicao 29

Dado um paralelogramo ABCD, a area pode ser calculada pelo produto de

um lado, pela distancia deste lado ao lado oposto.

Nota: A distancia referida acima e tambem denominada altura do paralelo-

gramo.

Prova:

Observe a figura 235 abaixo, onde esta representado um paralelogramo

ABCD, a diagonal BD e a distancia (altura) entre os lados opostos AB e

DC.

.

A B

CD

h

Fig. 235:

CEDERJ 152


Entao,

AreaABCD = AreaABD + AreaBCD.

Mas,

AreaABD =1

2AB × h , AreaBCD =

1

2DC × h.

Note que h representa, ao mesmo tempo, a altura do triangulo ABD

relativa ao lado AB e a altura do triangulo BCD relativa ao lado DC.

Como DC = AB, entao

AreaABCD = AB × h.

�

Para concluir esta aula, vamos calcular a area de um tipo especial de

quadrilatero: o trapezio. O trapezio, como vimos na aula 7, e um quadrilatero

que possui dois lados paralelos. Esses dois lados sao chamados bases do

trapezio. A altura do trapezio e sempre tomada com relacao as bases.

Proposicao 30

A area de um trapezio e o produto da sua altura pela media aritmetica das

medidas de suas bases.

Prova:

Seja ABCD um trapezio cujos lados paralelos sao AB e DC. Pelo

ponto B, tracemos a perpendicular a reta←→DC, obtendo o ponto F , e pelo

ponto D, tracemos a perpendicular a reta←→AB, obtendo o ponto E, como na

figura 236.

Curiosidade

A formula que os babilonicosusavam para calcular a areade um quadrilatero convexoABCD qualquer era

m(AB) +m(CD)

2.m(BC) +m(AD)

2.

Pode-se provar que essa

formula so e correta no caso

em que o quadrilatero e um

retangulo.A B

C D

E

F Fig. 236: Prova da proposicao 4.

O quadrilatero EBFD e um retangulo, e daı se conclui que os segmen-

tos BF e DE sao congruentes. Sua medida e a altura do trapezio.

Queremos provar que

AABCD = m(BF )m(AB) +m(DC)

2.

153 CEDERJ


Para isso, tracemos a diagonal DB, dividindo o trapezio ABCD nos

triangulos ABD e DCB (veja a figura 237).

A B

C D

E

F Fig. 237: Prova da proposicao 4.

Usando a formula da area do triangulo, que ja deduzimos, e a proprie-

dade P3 de areas, obtemos

AABCD = AABD + ADCB =1

2m(AB)m(DE) +

1

2m(DC)m(BF ).

Lembrando que os segmentos DE e BF sao congruentes, concluımos

que

AABCD = m(BF )m(AB) +m(DC)

2.

Q.E.D.

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• O conceito de area.

• As formulas para o calculo das areas das seguintes figuras planas:

retangulo, paralelogramo, triangulo e trapezio.

CEDERJ 154


Exercıcios

1. Se dois triangulos ABC e DEF sao semelhantes com razao de seme-

lhanca igual a k, mostre queAABCADEF

= k2.

2. Na figura 238, ABCD e um retangulo, EG//BC e HF//AB.

A B

C D

E

F

G

H P

Fig. 238: Exercıcio 2.

(a) Mostre que os retangulos EBFP e HPGD tem a mesma area,

qualquer que seja P ∈ AC.

(b) Determine P para que EBFP tenha area maxima.

3. Na figura 239, AF//EB e AEDCF = 20 cm2.

A

B

C D

E

F


Determine AABCDE.

4. Na figura 240, ABCD e EFGH sao quadrados, AMFNR = 1 e AQRPH =

4.

A B

C D

I

L

J

K

E F

G H

M

N

P

Q R


Determine ALIJK .

155 CEDERJ


5. Determine a area de um losango, sabendo que o lado mede 5 cm e uma

das diagonais mede 8 cm.

6. Na figura 241, ABCD e um quadrado, QC ≡ BC, m(RD) = 3 cm,

APQR = 75 cm2 e a altura de PAB relativa ao lado AB e igual a 4 cm.

A B

CD

P

QR


Determine a medida do lado do quadrado.

7. Na figura 242, ABC e um triangulo equilatero de lado medindo 4 cm,

e DEGF e um quadrado.

A

B C

D E

F G


Determine a area de DEGF .

8. Prove que as medianas de um triangulo determinam nele seis triangulos

de areas iguais.

9. Na figura 243, m(BD) =1

4m(BC), m(AE) =

1

3m(AC), m(FC) =

1

6m(AC) e AABC = 20 cm2.

A

BC

D

E

F


Determine a area de EDF .CEDERJ 156


10. Na figura 244, ABCD e um paralelogramo de area igual a 10 cm2 e M

e o ponto medio de DC.

A B

CD

E

M


Determine AEMC .

11. E possıvel determinar a area dos seguintes triangulos? Em caso afir-

mativo, determine-as.

A

B

C

4

30 o

45 o

(a)

30 o

5

6 (b)

D

E F


12. (CESGRANRIO-1977) Cinco quadrados de lado ` formam a cruz da

figura 246.

D

A

B

C


A area do quadrilatero ABCD e:

(a) 2√

5`2 (b) 4`2 (c) 4√

3`2 (d) 5`2 (e) 6`2

157 CEDERJ


13. (CESGRANRIO-1980) A base de um retangulo de area S e aumentada

de 20% e sua altura e diminuıda de 20%. A area do novo retangulo

formado e:

(a) 1, 04S (b) 1, 02S (c) S (d) 0, 98S (e) 0, 96S

14. (U.MACK-1980) A altura do trapezio da figura 247 e 4.

3

5


A diferenca entre as areas dos triangulos assinalados e:

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5

15. (CESGRANRIO-1985) Os triangulos ABC e BDC da figura 248 sao

retangulos isosceles.

A

B C

D


A razaoAABCABDC

vale:

(a)√

3 (b)√

2 (c) 2 (d)

√5

2(e)

3

2

16. (FGV-1988) Em um triangulo isosceles, os lados de mesma medida

medem 2 e o angulo formado por eles mede 120o. A area desse triangulo

e:

(a) 2 (b) 1 (c)1

2(d)

1

4(e) N.R.A.

CEDERJ 158


17. (UFRJ, 2001) O retangulo ABCD esta inscrito no retangulo WXY Z,

como mostra a figura 249.

A B

C D

X

Y

Z

W θ


Sabendo que m(AB) = 2 e m(AD) = 1, determine o angulo θ para que

a area de WXY Z seja a maior possıvel.

18. (UFF, 1996) A figura 250 representa dois retangulos XY ZW e PQZX,

de areas S1 e S2, respectivamente.

X Y

Z W

P

Q


Pode-se afirmar queS1

S2

e igual a:

(a) 0, 6 (b) 0, 7 (c) 0, 8 (d) 0, 9 (e) 1, 0

19. (UFF, 1999) Na reproducao de uma figura, a primeira copia obtida

reduziu em 30% a area dessa figura. A seguir, essa copia foi reproduzida

com ampliacao de 40%. A area da figura obtida na segunda copia,

comparada com a area da figura original, e:

(a) 98 % menor (b) 90 % maior (c) exatamente igual

(d) 2 % menor (e) 10 % menor

159 CEDERJ


20. (Formula de Herao.) O objetivo deste exercıcio e provar a formula

de Herao, segundo a qual a area A de um triangulo de lados medidno

a, b e c e dada por

A =√p(p− a)(p− b)(p− c)

onde p = (a + b + c)/2. Para isso, considere um triangulo ABC com

m(AB) = c, m(AC) = b e m(BC) = a. Podemos supor que a e o maior

dos tres numeros a, b e c. Seja AD a altura de ABC relativa a BC e

sejam n = m(BD), m = m(DC) e h = m(AD) (veja a figura 251).

C B

A

b c

h

m n D


Herao de Alexandria.

10 d.C. - 75 d.C.

Herao de Alexandria foi um

importante pesquisador de

Geometria e Mecanica. Um

grande numero de trabalhos

de Herao tem sobrevivido

ate hoje, embora a autoria

de alguns deles seja

disputada. Os trabalhos

estao relacionados com

varias categorias: trabalhos

tecnicos, trabalhos sobre

Mecanica e sobre

Matematica. Dentre seus

trabalhos podemos destacar

o chamado Metrica, dividido

em tres volumes. No volume

I, Herao calcula a area do

triangulo usando as medidas

dos lados e do

semi-perımetro.

Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-and.ac.uk/~history/

Mathematicians/Heron.htmlUse o Teorema de Pitagoras nos triangulos retangulos ABD e ACD

para provar que

m =b2 − c2 + a2

2a

Use novamente o Teorema de Pitagoras para obter

h2 =[(a+ b)2 − c2][c2 − (a− b)2]

4a2

segue que

A2 =1

4a2h2 =

[(a+ b)2 − c2][c2 − (a− b)2]

16

=a+ b+ c

2.a+ b− c

2.a− b+ c

2.−a+ b+ c

2

= p(p− c)(p− b)(p− a)

CEDERJ 160


21. Determine as alturas de um triangulo de lados medindo 3 cm, 5 cm e

7 cm.

22. Prove que o raio do cırculo inscrito em um triangulo de lados medidno

a, b e c e dado por

r =

√(p− a)(p− b)(p− c)

ponde p =

a+ b+ c

2.

Sugestao: Use o incentro do triangulo para dividı-lo em tres triangulos

menores. Cada um desses triangulos tem altura r. Use a formula de

Herao.

23. Prove que o raio do cırculo circunscrito a um triangulo de lados medindo

a, b e c e dado por

R =abc

4√p(p− a)(p− b)(p− c)

Sugestao: Seja ABC um triangulo com m(BC) = a, m(AB) = c e

m(AC) = b. Seja AD a altura relativa ao lado BC e seja Γ o cırculo

circunscrito a ABC. Considere o triangulo ABE, onde AE e diametro

de Γ (veja figura 252).

C

B A

E

D


Use a semelhanca entre os triangulos ADC e ABE para obter

R =bc

2m(AD). Agora use a formula de Herao para obter m(AD).

161 CEDERJ

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