25/09/2013

1

Cri

stin

a P

. G

on

a

lves

- D

CE

T/U

ES

B

Teoria de Planck da

Radiao de Cavidade

Ao tentar solucionar a

discrepncia entre a teoria e a

experincia, Planck foi levado a

considerar a hiptese de uma

violao da lei da equipartio

da energia sobre o qual a teoria

se baseava. Lembrando ... Pg. 1 de 30

A previso da teoria clssica de Rayleigh-Jeans (linha

pontilhada) em comparao com os resultados

experimentais (linha slida) para a densidade de energia de

uma cavidade de corpo negro.

Esse comportamento

conhecido como a

catstrofe do

ultravioleta. Esse nome

se deve tanto a

discordncia para altas

frequncias, na regio do ultravioleta, como tambm para altas frequncias a

intensidade de radiao seria muito grande.

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A Lei de Rayleigh-Jeans (1900,1909) compatvel para frequncias baixas, engloba a lei de Wien mas

incompatvel para frequncias altas, com a lei de

deslocamento de Wien (lmxT = cte) e com a lei de

Stefan.

Como a frmula de Rayleigh-Jeans foi deduzida contando a quantidade de ondas estacionrias,

multiplicada pela energia mdia, variando

continuamente, Planck foi levado a considerar a

hiptese de uma violao da lei de equipartio

de energia que associa energia mdia um valor

independente da frequncia.

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Vamos tentar seguir um possvel caminho desenvolvido por Planck, com base em dedues

para o caso das molculas de gs.

Ao contrrio do Princpio da Equipartio, Planck assumiu que a energia mdia das ondas estacionrias

seria uma funo da frequncia .

Assim sendo, Planck assumiu

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TkB0 .0

Isso contradiz a lei da equipartio da energia que associa energia um valor independente da

frequncia.

A lei da equipartio da energia tem origem da distribuio de Boltzmann (apndice C do Eisberg).

Uma forma de express-la

.)(Tk

eP

B

TkB

P()d a probabilidade de encontrar um dado ente de um sistema no intervalo entre e +d , quando o

nmero de estados de energia para o ente nesse

intervalo independe de .

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Supe que o sistema contm um grande nmero de entes do mesmo tipo em equilbrio trmico a

temperatura T, e kB representa a constante de

Boltzmann.

.)(Tk

eP

B

TkB

As energias dos entes no sistema que estamos considerando, um conjunto de ondas estacionrias

oscilando em movimento harmnico simples em

equilbrio trmico em uma cavidade de corpo negro

dada por

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2

A funo de distribuio de Boltzmann nos d informaes completa sobre as energias dos entes

no nosso sistema, incluindo o valor mdio das

energias

.

)(

)(

0

dP

dP

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A grande contribuio de Planck surgiu quando ele descobriu que poderia obter o corte necessrio,

tratando a energia como se ela fosse uma varivel

discreta em vez de uma varivel contnua, como

sempre foi considerada na fsica clssica.

Assim, a energia mdia seria obtida via o clculo de

0

0

)(

)(

n

n

n

P

P

utlizando .)(

Tk

eP

B

TkB

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Para baixas frequncias

A teoria clssica prev

resultados coerentes, e

podemos esperar que:

Para altas frequncias

A discrepncia poderia ser

removida se, por hiptese:

Planck imaginou que, para as

circunstncias que prevalecem no

caso da radiao de corpo negro, a

energia mdia das ondas estacionrias

fosse funo da frequncia:

Isto viola a lei de equipartio de

energia?

TkB0

.0

).( f

No alto: grfico da distribuio de

probabilidade de Boltzmann P(). O

valor mdio para essa distribuio

que a lei clssica. Embaixo:

Para calcular o valor mdio da energia,

integramos de zero at infinito.

A rea sob essa curva d o valor mdio

da energia.

TkB

)(P

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Sendo uma varivel discreta

Assume apenas valores discretos igualmente

distribudos, ou seja:

= 0, , 2 , 3 , 4 ...

Como consequncia, o clculo da energia mdia passa ser

feito por somas ao contrrio de integrais, como

apresentado anteriormente!

0

0

)(

)(

n

n

n

P

P

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kB T:

O valor mdio da energia a soma das

reas dos retngulos, cada um de largura

e com alturas dadas pelo valor

possvel de multiplicado por P() no

comeo de cada intervalo. Nesse caso as

energias esto bem prximas, a rea de

todos os retngulos no difere quase da

rea sob a curva suave.

Contribuio para a rea total de , para cada energia possvel )(P

kB T:

O valor mdio da energia tem um valor

menor do que no caso da figura de cima.

>>kB T:

O valor mdio da energia tem um valor

mais reduzido ainda.

Observa-se que o resultado satisfaz as condies

esperadas para os mesmos limites de frequncia! E a Lei

no violada.

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Definindo a relao entre e

Funo proporcionalidade simples:

h., sendo h uma constante que se

ajustava melhor sua teoria aos dados

experimentais. O valo por ele obtido estava

bem prximo do valor atualmente aceito:

h = 6.626x10-34 Js (Constante de Planck)

, a frequncia natural do tomo (em Hz).

Esta relao satisfaz as exigncias da proposta nos

limites:

(0) 0 kBT (clssico)

() 0

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Aps estas propostas iremos recalcular a energia mdia: para n n h. (n= 0, 1, 2, 3 ...)

0

0

)(

)(

n

n

n

P

P

.)(Tk

eP

B

TkB

Pg. 13 de 30

Temos

0

/

0

/

n B

Tknh

n B

Tknh

Tk

e

Tk

enh

B

B

Chamando h/kBT de temos

,

0

0

n

n

n

n

B

e

en

Tk

Pg. 14 de 30

Como

0

0

0

0

0

ln

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

e

en

e

ed

d

ed

d

Temos

0

0

0

0

ln

ln

n

n

n

n

B

n

n

n

n

B

ed

dh

ed

dTk

e

en

Tk

Pg. 15 de 30

E sendo

xxxxx

n

n

1

11 32

0

Chamando x = e- :

132

0

)1(1

11

e

eeeee n

n

n

De forma que

111

)1()1(

1)1ln(

//

/

/

/

21

1

TkhTkh

Tkh

Tkh

Tkh

BB

B

B

B

e

h

e

e

e

eh

e

eh

e

e

ehe

d

dh

Pg. 16 de 30

.1

/

Tkh Be

h

Este foi o resultado, obtido por Planck, em 1901, que

marcaria uma nova era na cincia.

Podemos observar que a expresso acima se reduz aos

valores esperado nos limites para

1lim

0

/0

Tkh Be

h

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Tk

Tk

h

h

xex

B

B

x

11

lim

11

0

Resultado que o princpio da equipartio nos d.

1

lim/ Tkh Be

h

Indeterminao

de LHospital

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Aplicando a regra de LHospital:

)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfxx

Desde que o limite acima exista. Aplicando em

0lim/

Tkh

B

BeTk

h

h

Resultado esperado experimentalmente!!! Pg. 19 de 30

Multiplicando o nmero de ondas estacionrias N()d

no intervalo de frequncias dividido pelo volume da

cavidade pela expresso da energia mdia, obtemos o

espectro de corpo negro de Planck:

,1

8)(

1

8)()(

/3

2

/3

2

de

h

cd

de

h

cV

dNd

TkhT

TkhT

B

B

que se ajusta muito bem aos resultados experimentais.

Pg. 20 de 30

1exp

8),(

3

2

Tk

h

h

cT

B

A densidade de energia por intervalo de frequncia pode

ser obtida ao se multiplicar pela densidade de estado,

obtendo-se

Com esse resultado, Planck conseguia explicar como a

energia depende da frequncia e da temperatura.

No limite kBT >> h, a densidade de energia prevista por

Planck, coincide com a previso clssica de Rayleigh-

Jeans.

Pg. 21 de 30

Tkc

Tk

hc

hh

cT B

B

Tk

h

e B3

2

3

3

3

2 8

11

18

1

8),(

Para altas frequncias kBT

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O postulado de Planck

A energia total de qualquer entidade fsica cuja

nica coordenada execute oscilaes harmnicas

simples (isto , seja expressa por uma funo

senoidal do tempo) pode assumir to somente

valores que satisfaam a relao

n n h.

onde a frequncia da oscilao, h a constante

denominada constante de Planck (h = 6,63 x 10-27

erg.s) e n s pode assumir valores inteiros (n = 0, 1, 2,

3, ...).

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Na figura abaixo mostra o diagrama de nveis que nos

d uma forma conveniente de ilustrar o

comportamento de um ente regido por esse

postulado.

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Um pouco de histria da fsica quntica

Pg. 27 de 30

Quantizao, segundo

Planck

Posteriormente, Planck declarou que a

introduo de h e dos elementos de

energia foi um ato de desespero, e

que era preciso dar uma explicao

terica [para a equao do corpo negro]

a qualquer custo, fosse qual fosse o

preo.

Pg. 28 de 30

Efeitos do trabalho de Planck

O trabalho de Planck teve pequena

repercusso nos anos seguintes.

Lei do corpo negro foi testada e

confirmada: funciona.

Deduo terica no foi muito

comentada.

A introduo do h e dos elementos de

energia parecia um truque sem

importncia fsica.

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alv

es

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REFERNCIAS

Eisberg, R.; Resnick R. Fsica Quntica. tomos, Molculas, Ncleos e Partculas. Editora Campus

(1998). (LIVRO TEXTO)

J. Leite Lopes, A Estrutura Quntica da Matria, Editora UFRJ.

Stephen Gasiorowizc, Quantum Physics, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York, 1996.

Francisco Caruso e Vitor Oguri, Fsica Moderna - Origens Clssicas & Fundamentos Qunticos ,

1a.ed. 2006, editora: Elsevier. Pg. 30 de 30