Aula 2 Revisão de Probabilidades

PESQUISA OPERACIONAL (P.O)*
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Coleta de dados
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Escolha adequada da variável de estudo
O tamanho da amostra deve estar entre 100 e 200 observações. Amostras com menos de 100 observações podem comprometer a identificação do melhor modelo probabilístico, e amostras com mais de 200 observações não trazem ganhos significativos ao estudo;
Modelagem e Simulação de Eventos Discretos
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Coletar e anotar as observações na mesma ordem em que o fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise de correlação ;
Se existe alguma suspeita de que os dados mudam em função do horário ou do dia da coleta, a coleta deve ser refeita para outros horários e dias. Na modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita deve ser comprovada ou descartada estatisticamente.
COLETA DOS DADOS
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Como é a função de distribuição (histograma) deste modelo?
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Anotar em uma planilha os resultados de cada lance.
Desenhar a função de
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Cara
Coroa
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1
2
3
4
5
6
Lance
Resultado
1
Cara
2
Cara
3
Coroa
4
Cara
5
Coroa
6
Cara
7
Coroa
8
Coroa
9
Cara
10
Cara
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Se der Cara anotar 0
Se der Coroa anotar 1
Calcular o valor médio.
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0
1
0,4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Lance
Resultado
1
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Anotar em uma planilha, para cada lance, o resultado.
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Anotar em uma planilha, para cada lance, o resultado.
1
2
3
4
5
6
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Exercício 4:
Com os dados levantados (100 amostras), desenhar um histograma (função de distribuição).
Conte o número de ocorrências de 0 (cara)
Conte o número de ocorrências de 1 (coroa)
Construa um gráfico onde:
o eixo y o número de ocorrências de cada x.
Qual a diferença entre lançar 10 vezes o dado e lançar 100 vezes?
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Exercício 6 - dado:
Com os dados levantados (100 amostras), desenhar um histograma (função de distribuição).
Qual deveria ser a função de distribuição teórica?
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Lançar um dado 2 vezes,
Anotar em uma planilha, para cada lance, a soma dos resultados de cada lance,
Repetir esta operação 100 vezes (200 lances).
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Exercício 8 - dados:
Com os dados levantados (100 amostras), desenhar o histograma (função de distribuição).
Qual deveria ser o gráfico teórico?
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1. Definir o número de classes:
O histograma é utilizado para identificar qual a distribuição a ser ajustada aos dados coletados.
2. Definir o tamanho do intervalo:
3. Construir a tabela de freqüências
4. Construir o histograma
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Construir um histograma a partir de dados levantados num experimento.
3. Construir a tabela de frequência
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Esquerda Meio Direita
Medir cada uma das partes com precisão de milímetro e anotar em uma planilha.
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Exercício 4 - macarrão:
Com os dados levantados (200 amostras), desenhar quatro histogramas (função de distribuição), uma para a parte esquerda, outra para o meio e o terceiro para a direita e o quarto para as 600 amostras.
Qual deveria ser o gráfico teórico de cada parte?
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Exemplo: Filas nos Caixas do Supermercado
Intervalo entre chegadas de pessoas nos caixas do supermercado (100 medidas). Tempos em minutos:
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Medidas de posição
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Intervalo entre chegadas de pessoas nos caixas do supermercado (100 medidas). Tempos em minutos:
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Erro na coleta de dados. Este tipo de outlier é o mais comum, principalmente quando o levantamento de dados é feito por meio manual.
Eventos Raros. Nada impede que situações totalmente atípicas ocorram na nossa coleta de dados. Alguns exemplos:
Um dia de temperatura negativa no verão da cidade do Rio de Janeiro;
Um tempo de execução de um operador ser muito curto em relação aos melhores desempenhos obtidos naquela tarefa;
Um tempo de viagem de um caminhão de entregas na cidade de São Paulo, durante o horário de rush, ser muito menor do que fora deste horário.
Outliers ou Valores Discrepantes
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Distribuição
Parâmetros
Características
Aplicabilidade
Exponencial
Média
Variância alta Cauda para direita
Grande variabilidade dos valores Independência entre um valor e outro Muitos valores baixos e poucos valores altos Utilizada para representar o tempo entre chegadas sucessivas e o tempo entre falhas sucessivas
Triangular
Simétrica ou não
Quando se conhece ou se tem um bom “chute” sobre a moda (valor que mais ocorre), o menor valor e o maior valor que podem ocorrer
Normal
Simétrica Forma de sino Variabilidade controlada pelo desvio-padrão
Quando a probabilidade de ocorrência de valores acima da média é a mesma que valores abaixo da média Quando o tempo de um processo pode ser considerado a soma de diversos tempos de sub-processos Processos manuais
Uniforme
Todos os valores no intervalo são igualmente prováveis de ocorrer
Quando não se tem nenhuma informação sobre o processo ou apenas os valores limites (simulação do pior caso)
Discreta
Valores e probabilidade de ocorrência destes valores
Apenas assume os valores fornecidos pelo analista
Utilizada para a escolha de parâmetros das entidades (por exemplo: em uma certa loja, 30% dos clientes realizam suas compras no balcão e 70% nas prateleiras) Quando se conhecem apenas “valores intermediários” da distribuição ou a porcentagem de ocorrência de alguns valores discretos
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Diagrama de dispersão dos tempos de atendimento do exemplo de supermercado, mostrando que não há correlação entre as observações da amostra.
Análise de Correlação
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Diagrama de dispersão de um exemplo hipotético em que existe correlação entre os dados que compõem a amostra.
Análise de Correlação
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Qual o melhor modelo probabilístico ou distribuição estatística que pode representar a amostra coletada?
Exponencial?
Normal?
Triangular?
Lognormal?
Inferência
x
f
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Testa a validade ou não da hipótese de aderência (ou hipótese nula) em confronto com a hipótese alternativa:
H0: o modelo é adequado para representar a distribuição da população.
Ha: o modelo não é adequado para representar a distribuição da população.
Se a um dado nível de significância (100)% rejeitarmos H0, o modelo testado não é adequado para representar a distribuição da população. O nível de significância equivale à probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula H0, dado que ela está correta. Testes usuais:
Qui quadrado
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Parâmetro usual nos softwares de estatística. Para o teste do qui-quadrado no Excel, utilizar:
=DIST.QUI (valor de E; graus de liberdade)
P-value
Valor
Critério
0,01p-value<0,05
0,05p-value<0,10
0,10p-value
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Um gerente de supermercado está preocupado com as filas formadas nos caixas de pagamento durante um dos turnos de operação. Quais seriam as variáveis de estudo para coleta de dados? (S) ou (N).
( ) O número de prateleiras no supermercado
( ) Os tempos de atendimento nos caixas
( ) O número de clientes na fila
( ) O tempo de permanência dos clientes no supermercado
( ) Os tempos entre chegadas sucessivas de clientes nos caixas de pagamento
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Um gerente de supermercado está preocupado com as filas formadas nos caixas de pagamento durante um dos turnos de operação. Quais seriam as variáveis de estudo para coleta de dados? (S) ou (N).
( ) O número de prateleiras no supermercado
( ) Os tempos de atendimento nos caixas
( ) O número de clientes na fila
( ) O tempo de permanência dos clientes no supermercado
( ) Os tempos entre chegadas sucessivas de clientes nos caixas de pagamento
N
S
S
N
S
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Dados de Entrada
Em um modelo de simulação, são inseridos dados para que ele represente com precisão o sistema em estudo. Alguns dados têm valores bem determinados, como por exemplo, distâncias, número de máquinas disponíveis e outros.
Existem aqueles que são indeterminados, normalmente os que envolvem tempo, pois os processos não são exatos, podendo ter variações em torno de um valor médio. Este valor médio, normalmente, é utilizado em simulações estáticas. Porém, em uma simulação dinâmica temos a possibilidade de inserir esta variação no modelo através de distribuições estatísticas.
O ARENA possui Input Analyzer, que trata dos dados de entrada de forma automática.
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No botão Iniciar do Windows, inicie o Input Analyzer da sub-pasta ARENA.
Input Analyzer
File > New
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Input Analyzer
File > New
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Input Analyzer
Valor P-Value
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Quando chegar a um valor adequado, pode copiar a expressão obtida para seu
modelo criado no ARENA, através da opção do Menu Edit. (Editar) - Copy Expression
(Copiar Expressão) e colar no local desejado dentro do modelo.
Input Analyzer
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Normal
A distribuição Normal, descreve fenômenos regidos por variáveis aleatórias que possuem variação simétrica acima e abaixo da média. Muito utilizada em tempos de processo como tempos de máquina.
Uniforme
A distribuição Uniforme especifica que cada valor entre um mínimo e um máximo especificado, tenham igual probabilidade de acontecer. Costuma-se utilizar esta distribuição quando pouco ou quase nada se sabe a respeito do comportamento da variável aleatória que estamos tratando, a exceção de seus pontos extremos.
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Triangular
A distribuição Triangular não é identificada com nenhum tipo de operação específica, mas é útil quando se deseja uma primeira aproximação na falta de dados específicos. Além dos valores mínimo e máximo característico da distribuição uniforme, o conhecimento de um valor mais provável, valor modal, permite o uso desta distribuição, no lugar da uniforme. É muito utilizada quando não existem dados suficientes e é necessária uma estimativa.
Exponencial
A distribuição exponencial é uma das mais utilizadas em modelos de simulação. O principal uso é a modelagem de períodos de tempos entre dois acontecimentos.
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Beta
Devido a sua capacidade de se adequar a várias formas, esta distribuição é usada como uma aproximação, quando houver ausência de dados.
Gamma
Esta função costuma ser aplicada para representar tempo de complementação de alguma tarefa.
Log Normal
Distribuições Estatísticas (cont…)
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Erlang
Utilizada na simulação de alguns tipos de processos, muitas vezes em situações em que uma entidade entra em uma estação para ser servida seqüencialmente, por uma série de recursos.
Weibull
É largamente utilizada em modelos que representam o tempo de vida de equipamentos.
Distribuições Estatísticas (cont…)
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aderem ao modelo

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