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Triangulos: classificacao e congruenciaMODULO 1 - AULA 3

Aula 3 – Triangulos: classificacao e

congruencia

Objetivos

• Introduzir o conceito de triangulo.

• Classificar os triangulos segundo lados e angulos.

• Discutir o significado de congruencia de triangulos.

• Apresentar alguns casos de congruencia de triangulos.

Introducao

Os triangulos, assim como as retas, os angulos, os segmentos etc. sao

objetos ideais, nascidos da observacao de objetos materiais com forma tri-

angular (como um guardanapo de papel dobrado, a vista de lado de um

calendario de mesa, etc.). Identifique alguns triangulos na figura 31.

Fig. 31: Objetos com forma triangular.

Definicao 8 (Triangulo)

Um triangulo e a uniao de tres segmentos de reta AB, AC e BC, em que A,

B e C sao tres pontos que nao pertencem a uma mesma reta, ou seja, que

nao sao colineares.

31 CEDERJ

Triangulos: classificacao e congruencia

Os pontos A, B e C, referidos na definicao anterior, sao chamados

vertices do triangulo, enquanto os segmentos AB, AC e BC sao ditos lados

do triangulo, e os angulos BAC, ABC e ACB (ou A, B e C) sao os angulos

internos do triangulo. Veja figura 32.

A

B

C

Fig. 32: Triangulo.

O interior do triangulo ABC e a intersecao dos interiores dos angulos

internos do triangulo ABC. Veja a figura 33.

A

B

C

Fig. 33: Interior do triangulo ABC.

Classificacao dos triangulos

Existem triangulos com diversos formatos. Podemos classifica-los de

acordo com o tamanho de seus lados e de seus angulos.

Quanto aos lados, podemos classificar os triangulos em equilateros,

isosceles e escalenos.

• Triangulo equilatero - Os tres lados sao congruentes.

• Triangulo isosceles - Dois dos seus lados sao congruentes. O

terceiro lado e chamado base do triangulo.

• Triangulo escaleno - O triangulo nao tem nenhum par de lados

congruentes.

CEDERJ 32


(a) (b) (c)

Fig. 34: a) Triangulo equilatero. b) Triangulo isosceles. c) Triangulo escaleno.

Podemos, tambem, classificar os triangulos quanto aos angulos.

• Triangulo retangulo - E aquele que possui um angulo reto.

• Triangulo obtusangulo - E aquele que possui um angulo obtuso.

• Triangulo acutangulo - E aquele em que os tres angulos sao

agudos.

(a) (b) (c)

Fig. 35: Triangulos segundo seus angulos. a) acutangulo. b) obtusangulo. c) retangulo.

Atividade 1:

Responda falso ou verdadeiro as afirmacoes abaixo e procure apresentar

uma justificativa atraves de um desenho. Use compasso e transferidor se

desejar.

a) E possıvel desenhar um triangulo acutangulo escaleno.

b) Nao existe um triangulo obtusangulo isosceles. Procure verificar quais

as combinacoes possıveis de acordo com seus desenhos.

c) Todo triangulo possui um angulo agudo.

33 CEDERJ


Congruencia de triangulos

No inıcio da aula 2, vimos o que significa dizer intuitivamente que duas

figuras planas sao congruentes. Mas, aquela forma de apresentar o conceito

de congruencia nao nos oferece ferramentas para avancarmos no nosso estudo

de Geometria. A definicao a seguir torna bastante preciso o significado da

congruencia no caso de triangulos.

Definicao 9 (Triangulos congruentes)

Dois triangulos, ABC e DEF , sao congruentes se houver uma corresponden-

cia entre seus vertices, de modo que os lados correspondentes e os angulos

correspondentes sejam congruentes.

Mais precisamente, os triangulos ABC e DEF sao congruentes segundo

a correspondencia A ↔ D, B ↔ E e C ↔ F se as seis seguintes condicoes

sao satisfeitas: AB ≡ DE, AC ≡ DF , BC ≡ EF , B ≡ E, C ≡ F , e A ≡ D.

A

B

C

D

E

F

Fig. 36: ABC ≡ DEF .

Observe na figura 36 que os angulos congruentes estao marcados com

o mesmo numero de linhas indicativas. Utilizaremos essa marcacao sempre

que formos representar angulos congruentes.

A congruencia de triangulos significa que eles tem o mesmo tamanho

e forma ou, como dissemos na aula 2, que e possıvel sobrepor um ao outro

com exatidao.

Usaremos a notacao ABC ≡ DEF para indicar que os triangulos ABC

e DEF sao congruentes e que a correspondencia e dada na ordem em que as

letras estao escritas (A corresponde a D, B a E e C a F ).

Na verdade, nao e preciso verificar as seis congruencias dadas na de-

finicao para garantir que dois triangulos sao congruentes. Existem condicoes

mınimas que, se verificadas, garantem essa congruencia. Essas condicoes sao

chamadas casos de congruencia de triangulos.

CEDERJ 34


Inicialmente, apresentaremos como axioma o caso de congruencia lado-

angulo-lado, ou simplesmente caso L.A.L.:

Caso L.A.L.

• Se dois triangulos ABC e DEF sao tais que AB ≡ DE, B ≡ E

e BC ≡ EF , entao ABC ≡ DEF .

O que esse axioma diz e que, se dois lados de um triangulo e o angulo

entre eles (que se diz incluso aos dois lados) estao fixados, so e possıvel

completar esse triangulo de uma unica maneira (e isso voce pode constatar

com exemplos). Ou seja, todos os triangulos que tem os mesmos dois lados

e angulo incluso sao congruentes.

Atencao: segundo esse criterio, nao e preciso verificar seis congruencias,

mas apenas tres, desde que estejam nessa ordem: lado, angulo, lado. Por

exemplo, pelo caso L.A.L., os triangulos da figura 37 sao congruentes

(ABC ≡ DEF ). Essa congruencia garante que temos tambem AC ≡ DF ,

A ≡ D e C ≡ F .

B

C

A E

F D

Fig. 37: Caso L.A.L.

Futuramente veremos outros casos de congruencia. Enquanto isso, voce

pode ir pensando em quais devem ser esses casos. Por exemplo, sera que

A.L.A. (dois angulos e o lado incluso congruentes) ou A.A.A. (tres angulos

congruentes) sao casos de congruencia de triangulos? Ou pensando noutra

direcao, sera que existem triangulos nessas condicoes que nao sejam congru-

entes?

Como consequencia do caso de congruencia L.A.L. faremos agora a

primeira prova (ou demonstracao) deste curso. A proposicao a seguir diz que

os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes. Para fazer

a prova de forma mais clara, vamos usar o desenho de um triangulo para

obter indıcios do caminho a seguir. No entanto, todas as nossas afirmacoes

e conclusoes devem valer para qualquer outro triangulo isosceles que voce

considere.

35 CEDERJ


Proposicao 1

Se ABC e um triangulo isosceles de base BC, entao B ≡ C.

Prova: Nossa estrategia para provar esse fato e considerar um triangulo

isosceles ABC e, usando o caso L.A.L., tentar mostrar que ele e congruente

a ACB (lembrando que a ordem em que escrevemos os pontos no nome do

triangulo e muito importante para o conceito de congruencia). Uma vez que

isso fique provado, como consequencia concluımos que os angulos B e C sao

congruentes. Vamos provar entao que ABC ≡ ACB.

Prova (ou demonstracao)

Uma proposicao em

Matematica e uma verdade

universal. Quando dizemos,

por exemplo, que para

qualquer triangulo isosceles

os angulos da base sao

congruentes, chegamos a

essa conclusao usando

apenas o nosso raciocınio e

as verdades universais ja

conhecidas (que podem ser

axiomas ou outras

proposicoes ja

demonstradas). A esse tipo

de argumentacao chamamos

prova ou demonstracao. Nao

poderıamos ter chegado a

mesma conclusao que

chegamos realizando

medicoes em triangulos

isosceles, simplesmente

porque existem infinitos

deles, e nao poderıamos

medir todos eles.

Como terminar uma prova

Podemos terminar uma

prova (ou demonstracao)

com Q.E.D., que significa

Quod Erat Demonstrandum

(em latim) ou com C.Q.D.,

que significa Como

Querıamos Demonstrar (em

portugues).

A

B C

A

C B

Fig. 38: ABC ≡ ACB

Do fato que ABC e isosceles com base BC, os lados AB e AC sao

congruentes. Ora, o lado AB do primeiro triangulo e correspondente ao lado

AC do segundo triangulo. Do mesmo modo, o lado AC do primeiro triangulo

e correspondente ao lado AB do segundo. O angulo incluso a esses lados e

o mesmo nos dois triangulos. Entao, pelo caso L.A.L., os triangulos ABC e

ACB sao congruentes. Portanto, os angulos B e C sao congruentes.

Q.E.D.

Voce pode estar se perguntando se nao e obvio que o triangulo ABC

e congruente a si mesmo. E verdade, de fato todo triangulo e congruente

a si mesmo, mas o que acabamos de mostrar e que um triangulo isosceles e

congruente a si mesmo de duas maneiras diferentes. Se voce recortar dois

triangulos isosceles iguais num papel, sera possıvel sobrepor tanto o primeiro

ao segundo, como tambem o verso do primeiro ao segundo. Note que isso

nao acontece com um triangulo que nao seja isosceles. Veja figura 39.

Fig. 39: Congruencia de triangulo isosceles.CEDERJ 36


Atividade 2:

Recorte em papel cartolina 4 triangulos, sendo 2 deles isosceles e iguais

e 2 deles escalenos e iguais. Pinte as faces de cada um dos triangulos com as

cores verde e amarela, respectivamente.

Observe que o par de triangulos isosceles pode se sobrepor perfeita-

mente tanto pela justa posicao de faces de mesma cor como de cores dife-

rentes. Observe o que acontece com o par de triangulos escalenos! Qual e a

explicacao?

O proximo caso de congruencia de triangulos e o caso angulo-lado-

angulo (A.L.A.):

Caso A.L.A.

• Se um triangulo possui dois angulos e o lado incluso congruen-

tes a dois angulos e ao lado incluso de outro triangulo, entao,

obrigatoriamente, esses triangulos sao congruentes.

A veracidade desse caso de congruencia pode ser demonstrada usando

o caso L.A.L..

Voce sabia que...

A figura do cientista

profissional surgiu na Grecia.

Alguns dos nomes mais

representativos dessa classe,

durante a civilizacao grega,

viveram em Alexandria,

onde Ptolomeu fez erigir um

grande centro de pesquisas

denominado Museo. Ali, a

tradicao grega em Ciencia e

Literatura foi preservada e

desenvolvida.

Entre os primeiros

pesquisadores associados

com o Museo de Alexandria

esta Euclides, um dos

matematicos mais influentes

de todos os tempos.

Prova:

Considere dois triangulos ABC e DEF tais que B ≡ E, BC ≡ EF e

C ≡ F . Queremos provar que ABC ≡ DEF . Nossa estrategia sera provar

que AB ≡ DE (uma vez provado isso, seguira que o triangulo ABC tem dois

lados e o angulo incluso a esses lados, congruentes a dois lados e ao angulo

incluso de DEF . Do caso L.A.L. obteremos que ABC ≡ DEF ). Para isso,

suponha que AB e DE nao sejam congruentes. Entao um dos segmentos e

menor que o outro. Suponha que o menor deles seja AB. Assim, existe um

ponto G entre E e D tal que AB ≡ GE (veja a figura 40).

A

B C

D

F E

G

Fig. 40: ABC e GEF satisfazem L.A.L.

37 CEDERJ


Comparando os triangulos ABC e GEF , tem-se AB ≡ GE (por cons-

trucao do ponto G), ABC ≡ GEF (por hipotese) e BC ≡ EF (por hipotese).A hipotese e o conjunto das

proposicoes que se admitem

verificadas, e a tese e o que

se pretende concluir como

consequencia da hipotese. O

conjunto de raciocınios feitos

para concluir a tese constitui

a demonstracao do teorema.

Com essas observacoes constatamos que os triangulos ABC e GEF tem

dois lados e o angulo incluso congruentes, sendo, de acordo com o caso L.A.L.,

triangulos congruentes. Daı concluımos que ACB ≡ GFE (aqui damos os

“nomes completos”dos angulos, para evitar confusao). Como, por hipotese,

ACB ≡ DFE, conclui-se que o angulo GFE e congruente a DFE, o que e

um absurdo. Logo, devemos ter AB ≡ DE (para que nao seja possıvel fazer

a construcao acima).

Comparamos agora os triangulos ABC e DEF temos que AB ≡ DE

(como acabamos de mostrar), ABC ≡ DEF (por hipotese) e BC ≡ EF (por

hipotese).

A partir do caso L.A.L., podemos concluir que ABC ≡ DEF .

Q.E.D.

A demonstracao da proposicao anterior foi feita usando um argumento

de contradicao: em linhas gerais, o que fizemos foi supor que a proposicao

era falsa, e com isso chegamos a uma conclusao absurda (ou contraditoria).

Com isso, concluımos que a proposicao tem mesmo que ser verdadeira.

A proxima proposicao e o caso de congruencia lado-lado-lado (L.L.L.).

Caso L.L.L.

• Se os tres lados de um triangulo sao congruentes aos tres lados

de outro triangulo, entao esses triangulos sao congruentes (ou

seja, terao tambem angulos congruentes).

O caso L.L.L. pode ser demonstrado usando os dois casos anteriores.

Prova:(do caso L.L.L.)

Considere dois triangulos ABC e DEF tais que AB ≡ DE, BC ≡ EF

e AC ≡ DF . Queremos provar que A ≡ D, B ≡ E e C ≡ F .

Nossa estrategia para essa prova e mostrar que um dos angulos de ABC

e congruente ao angulo correspondente de DEF . Como os lados correspon-

dentes sao congruentes, estaremos entao no caso L.A.L., e fica provada a

congruencia dos triangulos.

CEDERJ 38


A

B

C D

E

F

Fig. 41: Proposicao : caso L.L.L..

Vamos supor que nenhum par de angulos correspondentes e congruente

(ou seja, A nao e congruente a D, B nao e congruente a E e C nao e congru-

ente a F ). Note que, nesse caso, um dos triangulos tem dois angulos menores

que os angulos correspondentes do outro (por que?). Vamos supor entao que

A < D e C < F .

A

B

C D

E

F

HI

G

Fig. 42: ABC ≡ DGF .

Tome pontos I ∈ EF e H ∈ DE tais que IDF ≡ A e HFD ≡ C e

seja G o ponto de encontro entre os segmentos DI e FH (veja figura 42). De

acordo com o caso A.L.A., os triangulos ABC e DGF sao congruentes.

A

B

C D

E

F

G

Fig. 43: Observacoes da proposicao .

Pelo que conhecemos sobre os triangulos, e usando a congruencia

ABC ≡ DGF que acabamos de construir, podemos escrever que

m(DG) = m(AB) = m(ED) e

m(GF ) = m(BC) = m(EF ).

Entao no triangulo EDF vale

m(DG) +m(GF ) = m(DE) +m(EF ).

Sera que e possıvel uma igualdade como acima ser valida em algum

triangulo, para algum ponto G no interior do triangulo?

39 CEDERJ


Intuitivamente creio que voce concorda que a igualdade e absurda! E

voce esta certo. Ela nao pode acontecer. Em qualquer situacao sempre o

lado esquerdo e inferior. Este resultado pedimos que voce aceite como ver-

dadeiro. Ele sera provado no exercıcio 5 da Aula 4. Como a igualdade nao

pode acontecer entao nosso ponto de partida para conseguir esta igualdade

era falso. Ou seja, pelo menos um par de angulos correspondentes e congru-

ente. Como observamos no inıcio desta demonstracao, isso basta para termos

ABC ≡ DEF .

Q.E.D.

O caso de congruencia L.L.L. explica por que os triangulos sao tao

utilizados em diversas aplicacoes: os triangulos sao figuras rıgidas. Vamos

explicar este conceito de rigidez com exemplos. Se voce juntar quatro vare-

tas, unindo cada duas com um alfinete ou parafuso atravessado, de forma a

obter um quadrilatero, voce vai notar que e possıvel modificar a forma do

quadrilatero de diversas maneiras (veja a figura 44).

Fig. 44: A forma do quadrilatero pode ser modificada, mas a do triangulo nao.

Essa deformacao nao e possıvel quando se trata de triangulos, justa-

mente porque nao existem duas formas diferentes possıveis para triangulos

com lados de mesma medida. Voce ja deve ter notado que algumas estantes

de livros tem no fundo uma ou duas barras atravessadas na diagonal. Essa

e uma aplicacao desse princıpio: as barras sao colocadas para evitar que a

estante fique “balancando”, ou seja, mude de formato. A barra diagonal

tambem e usada em porteiras. A figura 45 a seguir ilustra essas situacoes.

Fig. 45: Aplicacoes do caso L.L.L.CEDERJ 40


Outros casos de congruencia de triangulos

E possıvel provar com os instrumentos que dispomos ate agora, dois

novos casos de congruencia de triangulos. Estes casos estao descritos abaixo.

No entanto, preferimos deixar a prova do primeiro destes casos para ser

apresentado no final da Aula 5 e o segundo apos o estudo de semelhancas,

no momento em que estudarmos triangulos retangulos.

Caso de congruencia L.A.A

Se dois triangulos ABC e DEF sao tais que BC ≡ EF , B ≡ E e

A ≡ D, entao ABC ≡ DEF .

O caso de congruencia L.A.A. assegura que se dois triangulos ABC e

DEF sao tais que BC ≡ EF , B ≡ E e A ≡ D, como indicado na figura 46,

entao ABC ≡ DEF . Ou seja, que tambem temos AB ≡ DE, AC ≡ DF e

C ≡ F .

A

B C

D

E F

Fig. 46: Caso L.A.A.

Caso de congruencia de triangulos retangulos

Se um triangulo retangulo tem a hipotenusa e um cateto congruentes

a hipotenusa e a um cateto de outro triangulo retangulo, entao os triangulos

sao congruentes.

Este caso de congruencia assegura que se ABC e DEF sao triangulos

retangulos de hipotenusas AB e DE, respectivamente, tais que AB ≡ DE e

AC ≡ DF (veja figura 47), entao os dois triangulos sao congruentes.

C

A

B E

D

F

Fig. 47:

41 CEDERJ


Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• O que significa a congruencia entre triangulos.

• Que os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes.

• Os casos de congruencia L.A.L., A.L.A. e L.L.L.

Exercıcios

1. Considere a figura 48.

B

A

C

E

D

F

3

4

13

3 60

o

4

60 o

Fig. 48: Exercıcio 1.

a) Pode-se dizer que ABC ≡ DEF?

b) Pode-se dizer que ABC ≡ EDF?

c) Determine o valor de m(EF ).

2. Considere os triangulos ABC e DEF na figura 49. Determine m(BC)

e m(DF ). Enfatizamos que as indicacoes da figura 49 significam que

A ≡ F , AC ≡ FE e C ≡ E).

A

B

C

6

D

E

F

5


CEDERJ 42


3. Na figura 50, os angulos CAB e DBA sao retos. Como determinar o

ponto E ∈ AB em que AEC ≡ BED?

B A

C

D

E


4. Na figura 51, ABC e isosceles de base BC e BD ≡ DC. Mostre que

BAD ≡ CAD e que os angulos ADB e ADC sao retos.

B

A

C D


5. Na figura 52, ABC e isosceles de base BC e BAD ≡ CAD. Mostre

que BD ≡ DC e que ADB e ADC sao retos.

B

A

C D


6. Na figura 53, BD ≡ DC e ADC e reto.

B

A

C D


Prove que ABC e isosceles de base BC.

43 CEDERJ


7. Na figura 54, BAD ≡ CAD e ADC e reto.

B

A

C D


Prove que ABC e isosceles de base BC.

8. Na figura 55, BAD ≡ CAD e BD ≡ DC. Prove que ABC e isosceles

de base BC.

B

A

C D


9. Na figura 56, AD ≡ BC, ADC e BCD sao angulos retos e M e N sao

os pontos medios de AB e DC, respectivamente.

N D

A M

B

C


Prove que os angulos AMN e DNM sao retos.

Esse retangulo e conhecido como retangulo de Saccheri.

Giovanni Saccheri

1667-1733 . Italia.

Giovanni Saccheri entrou

para a Ordem dos Jesuıtas

em 1685. Cinco anos depois

ele estudou Filosofia e

Teologia em um colegio

jesuıta. Foi nesse perıodo

que comecou a se dedicar a

Matematica. Saccheri fez

importantes trabalhos em

Geometria nao-euclideana e

em Logica Matematica.

Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-nd.ac.uk/~history/

Mathematicians/Saccheri.

html

CEDERJ 44

Angulos externos de um trianguloMODULO 1 - AULA 4

Aula 4 – Angulos externos de um triangulo

Objetivos

• Introduzir o teorema do angulo externo.

• Apresentar algumas consequencias do teorema do angulo externo.

Introducao

Comecaremos esta aula definindo o que chamamos ponto medio de um

segmento.

Definicao 10 (Ponto medio)

Ponto medio de um segmento e um ponto que divide o segmento em duas

partes congruentes. Nesse caso, a medida de cada parte e metade da medida

total do segmento dividido.

A proposicao a seguir e bastante natural e admitiremos como verda-

deira nesta aula. Convido voce no entanto a, assim que tiver uma folguinha,

consultar e aprender sua demonstracao que esta no Apendice.

Proposicao 2

Todo segmento possui um unico ponto medio (Veja a figura 57).

A

B

M

Fig. 57: Ponto medio do segmento AB.

Assim como o ponto medio de um segmento o divide em duas partes

“iguais”, dado um angulo BAC qualquer, pode-se tambem provar que existe

uma semi-reta que divide BAC em duas partes “iguais”. Tal semi-reta recebe

o nome de bissetriz do angulo BAC.

45 CEDERJ

Angulos externos de um triangulo

Proposicao 3

Todo angulo possui uma unica bissetriz.

Prova:

Seja o angulo A como mostrado na figura 58. Assinale pontos B e C

sobre lados distintos do angulo, de modo que BA ≡ CA. Em seguida, trace

o segmento BC. Seja D o ponto medio de BC e trace AD (veja figura 58).

A

B

C

D

Fig. 58: Bissetriz de angulo.

Como o segmento AD e comum aos triangulos ABD e ACD, segue

por L.L.L. que ABD ≡ ACD. Consequentemente, BAD ≡ CAD, ou seja,

a semi-reta−−→AD divide o angulo BAC em dois angulos congruentes. Esta

provada a existencia da bissetriz. E evidente que a semi-reta−−→AD e a unica

que tem a propriedade de dividir o angulo em dois angulos de mesma me-

dida. Tente considerar uma outra possibilidade de bissetriz, e encontre que

os angulos obtidos nao tem a mesma medida. Dessa forma, provamos a

proposicao 3.


Definiremos, a seguir, um conceito muito importante associado aos

triangulos.

Definicao 11

Chamamos de angulo externo de um triangulo ABC um angulo formado por

um lado de ABC e pelo prolongamento de outro lado.

CEDERJ 46


Note que cada triangulo possui seis angulos externos, como voce pode

observar na figura 59. Sao eles: DAC, EAB, ABF , GBC, ACH e BCI.

Marque esses angulos na figura. Observe que F BG nao e um angulo externo.

Identifique outros angulos na figura que nao sao angulos externos do triangulo

ABC.

A

B

C

D

E

F G

H

I

Fig. 59: Angulos externos de ABC.

Os angulos DAC e EAB sao congruentes, pois ambos sao suplementa-

res adjacentes ao mesmo angulo interno BAC. Assim tambem ABF ≡ GBC

e ACH ≡ BCI.

Nota: Angulos como DAC e EAB, da figura 59, sao ditos opostos pelo vertice.

Um angulo e dito oposto a outro angulo pelo vertice se as semi-retas que

o formam sao opostas as semi-retas que formam o outro angulo. Angulos

opostos pelo vertice sao sempre congruentes.

Mas, voltemos aos angulos externos. Cada angulo externo possui dois

angulos internos que nao lhe sao adjacentes. Por exemplo, BAC e BCA sao

angulos internos nao adjacentes ao angulo externo ABF (e tambem a GBC).

O proximo resultado que veremos e conhecido como teorema do angulo

externo.

Lembre-se de que...

Dizemos que dois angulos

sao complementares quando

a soma de suas medidas e

igual a 90o. Dizemos que sao

suplementares quando a

soma de suas medidas e

igual a 180o.

Aprendendo um pouco mais...

Teorema e uma proposicao

que se deduz de axiomas e

de proposicoes ja conhecidas.

O cojunto de raciocınios

feitos para concluir o que o

teorema diz constitui a

demonstracao do teorema.

Consulte:

http://www.terra.com.br

/matematica/arq13-2.htm

Teorema do Angulo Externo

Um angulo externo de um triangulo e maior que qualquer angulo

interno que nao lhe seja adjacente.

Prova:

Sejam ABC um triangulo e D um ponto tal que C esteja entre B e D.

Provaremos que o angulo externo ACD e maior que cada um dos angulos

internos A e B. Para isso, tome M , o ponto medio de AC, e trace BM .

Identifique o ponto E da semi-reta−−→BM tal que BE ≡ 2BM . Ligue C a E,

como na figura 60.

47 CEDERJ


A

B

C D

E

M

Fig. 60: Teorema do angulo externo.

Os triangulos AMB e CME sao congruentes por L.A.L. (observe que

os angulos opostos pelo vertice, AMB e CME sao congruentes). Como

consequencia, A ≡ ECM . Como ACD e maior que ECM , segue que ACD

e maior que A.

Fazendo uma construcao como essa, usando o ponto medio de BC ao

inves do ponto medio de AC, podemos tambem concluir que ACD e maior

que B.

Q.E.D.

Consequencias do teorema do angulo externo

Dado um triangulo ABC,

dizemos que o angulo A e

oposto ao lado BC (ou que

A opoe-se ao lado BC).

Analogamente dizemos que

B e oposto a AC e C e

oposto a AB.

Se voce desenhar um triangulo ABC em que o lado AC e maior que o

lado AB, voce podera verificar, com a ajuda de um transferidor, que B > C,

ou seja, que o angulo oposto a AC e maior que o angulo oposto a AB. O

resultado a seguir diz que isso sempre ocorre.

Proposicao 4

Dados dois lados de um triangulo, ao maior lado opoe-se o maior angulo.

Reciprocamente, dados dois angulos de um triangulo, ao maior angulo opoe-

se o maior lado.

Prova:

Seja ABC um triangulo tal que AB > AC, como na figura 61. O nosso

objetivo e provar que C > B. Para isso, marque um ponto D em AB tal

que AD ≡ AC. Pelo fato de ADC ser um triangulo isosceles com base DC,

temos ADC ≡ ACD. Mas ADC e um angulo externo do triangulo CDB

nao adjacente a ABC, e o Teorema do angulo externo afirma que ADC > B.

Logo, podemos concluir que ACB > ACD ≡ ADC > B. Provamos, entao

que AB > AC implica que C > B, que e a primeira parte da proposicao.

CEDERJ 48


A

D C

B

Fig. 61: Maior angulo oposto ao maior lado.

Vamos provar a segunda parte. Isto e, ACB > ABC implica que

AB > AC. Portanto, suponha que ABC seja um triangulo em que ACB >

ABC. A partir do que foi dito antes, se tivessemos AC > AB, concluirıamos

que ABC > ACB, o que nao acontece. Se tivessemos AC ≡ AB, ABC

seria isosceles com base BC, e terıamos ABC ≡ ACB, o que tambem nao

acontece. Como AC nao e maior nem congruente a AB, concluımos que

AC < AB.

Q.E.D.

Com o intuito de simplificar a notacao, usaremos daqui em diante BAC

para indicar tanto um angulo quanto sua medida. Assim, para indicar que a

medida de BAC e 30o, escreveremos simplesmente BAC = 30o.

Proposicao 5 (Desigualdade triangular)

Em qualquer triangulo, a medida de cada lado e sempre menor que a soma

das medidas dos outros dois lados.

Prova:

Considere um triangulo ABC. Na semi-reta−→BA marque um ponto D

tal que A esteja entre B e D, e AD seja congruente a AC, como na figura 62.

O triangulo ACD assim formado e isosceles de base CD, e portanto temos

ADC ≡ ACD.

A

B C

D

Fig. 62: Prova da proposicao 5.

49 CEDERJ


Como consequencia, no triangulo BDC o angulo BCD e maior que o

angulo BDC, e, portanto, opoe-se a um lado maior. Daı BC < BD. Por

construcao, temos m(BD) = m(BA) +m(AD) = m(BA) +m(AC). Assim,

concluımos que m(BC) < m(AB) + m(AC). Essa mesma construcao pode

ser feita com base em qualquer lado.

Q.E.D.

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• Que todo segmento possui um unico ponto medio.

• Que todo angulo possui uma unica bissetriz.

• Que um angulo externo de um triangulo e maior que qualquer angulo

interno a ele nao adjacente.

• Que, num triangulo, ao maior lado opoe-se o maior angulo e vice-versa.

• Que cada lado de um triangulo e menor que a soma dos outros dois

lados.

Exercıcios

1. E possıvel construir um triangulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 8cm?

Em caso afirmativo, diga como construı-los.

2. E possıvel construir um triangulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 6cm?

Em caso afirmativo, diga como construı-los.

3. O semiperımetro de um triangulo e a metade da soma das medidas de

seus lados. Por exemplo, se os lados de um triangulo medem 4cm, 6cm

e 8cm, entao o semiperımetro desse triangulo vale 9cm. Prove que a

medida de qualquer lado de um triangulo e menor que o semiperımetro.

Perımetro de um triangulo

O perımetro de um triangulo

e a soma das medidas dos

seus lados.

Falaremos sobre perımetros

de outras figuras na aula 7.

CEDERJ 50


4. Seja ABC um triangulo qualquer e seja D um ponto do segmento BC.

Prove que m(AD) < m(AB) ou m(AD) < m(AC).

5. Na figura 63, P e um ponto interno qualquer do triangulo ABC. Prove

que m(PB) +m(PC) < m(AB) +m(AC).

A

B C

P


6. Na figura 64, m(AB) < m(AC) e AD e bissetriz de BAC. Prove que

m(BD) < m(DC).

A

B C D


7. Pode-se concluir que os triangulos ABC e DEF da figura 65 sao con-

gruentes? Justifique sua resposta.

A

B

C

E

D F


51 CEDERJ


8. Observe a figura 66.

F D

A

E

B

C


Determine:

a) Os angulos menores do que o angulo ABD

b) Os angulos maiores do que o angulo CDB

c) Os angulos menores do que o angulo BDF

Voce deve ser capaz de justificar suas respostas sem usar a figura.

CEDERJ 52


Apendice: Para saber mais...

Neste apendice apresentamos uma prova da seguinte proposicao:

Proposicao 6

Todo segmento possui um unico ponto medio.

Prova:

Considere um segmento de reta AB. De acordo com os axiomas de

medida de segmentos vistos na aula 2, existe um numero real positivo que

representa a medida de AB. Chamemos esse numero de c. Ainda de acordo

com aqueles axiomas, existe um segmento de reta, que chamaremos CD, cuja

medida e exatamente c/2. Transportando CD para a semi-reta−→AB, obtemos

um ponto M entre A e B tal que AM tem medida c/2 (veja a figura 65).

Daı, MB tambem tem medida c/2, ou seja, AM ≡MB, e M e ponto medio

do segmento AB.

A

B

M

Fig. 67: Ponto medio do segmento AB.

Tomando um outro ponto N pertencente ao segmento AB, temos que

N esta entre A e M ou entre M e B. Em ambos os casos a medida de

AN e diferente da medida de NB; isto e, N nao e um ponto medio de AB.

Provamos entao que o segmento AB possui um unico ponto medio.

Q.E.D.

53 CEDERJ

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Aula 3 { Triângulos: classi ca˘c~ao e congruência...Triângulos: classi ca˘c~ao e congruência Os pontos A, B e C, referidos na de ni˘c~ao anterior, s~ao chamados v ertices do