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2019-1 1
Aula 4 – Indutores e Transformadores
Circuitos RC
2019-1 2
O Indutor
• Corrente elétrica passando em um condutor → campo magnético
– Neste caso o densidade de fluxo magnético gerado é
– Onde
• i é a corrente que circula pelo fio
• r é a distância do fio onde o campo é medido
• µ0 é a permeabilidade magnética do espaço (ar / vácuo)
r
iB
.2
.0
π
µ=
×= −
A
mT .
A
N 104
2
7
0 πµ
2
2019-1 3
• No caso de um solenóide a seqüência de espiras
concentra as linhas de campo aumentando o
campo magnético no interior do mesmo
– Neste caso campo magnético é dado por
• Se for inserido um núcleo de material
ferromagnético no interior do solenóide o campo
magnético será aumentado em função das
propriedades do material empregado
– Então o campo magnético poderá ser escrito como
– Onde k é a permeabilidade magnética relativa do
material empregado
L
NninB =→= ..0µ
inkB ... 0µ=
2019-1 4
Definição de Indutância
• Indutância pode ser definida como o comportamento de uma bobina resistindo á
variação da corrente que circula nela.
• Baseado na lei de Faraday a indutância pode ser escrita em termos da tensão
gerada em oposição à variação da corrente
3
2019-1 5
Indutância de uma bobina
• Lei de Faraday
2019-1 6
4
2019-1 7
• Materiais magnéticos
– Compostos por domínios magnéticos
– Ao ser aplicado um campo externo os domínios se alinham gerando uma magnetização dada
por
– Onde
• M é a magnetização do material
• χm é a suscetibilidade magnética do material
• H é o intensidade do campo magnético externo aplicado
– Mas
– logo
HM m
rr.χ=
( ) ( ) HHMHB m
rrrr..1.. 00 µχµµ =+=+=
0
0 .µ
µµµ =→= kk
( )1−= kmχ
2019-1 8
Magnetic permeability & susceptibility for selected materials
Medium Susceptibility Permeability (µµµµ)
Mu-metal 20,000 25,000 µN/A2 at 0.002 T
Permalloy 8000 10,000 µN/A2 at 0.002 T
Transformer iron with ρ=0.01 µΩ·m 4000 5000 µN/A2 at 0.002 T
Steel 700 875 µN/A2 at 0.002 T
Nickel 100 125 µN/A2 at 0.002 T
soft ferrite with ρ=0.1 Ωm source, ferroxcube 5000 µN/A2 < 0.1 mT
soft ferrite with ρ=10 Ωm source, ferroxcube 2500 µN/A2 < 0.1 mT
Platinum 2.65 × 10−4 1.2569701 µN/A2
Aluminum 2.22 × 10−5 1.2566650 µN/A2
Hydrogen 8 × 10−9 or 2.2 × 10−9 1.2566371 µN/A2
Vacuum 0 1.2566371 µN/A2
Sapphire −2.1 × 10−7 1.2566368 µN/A2
Copper −6.4 × 10−6 or −9.2 × 10−6 1.2566290 µN/A2
Water −8.0 × 10−6 1.2566270 µN/A2
From Wikipedia
A permeabilidade depende de B e varia com a freqüência
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2019-1 9
• Coercividade e Remanência
Material Coercivity (T) Remanence (T) (BB0/µ0)max(kJ/m3)
BaFe12O19 0.36 0.36 25
Alnico IV 0.07 0.6 10.3
Alnico V 0.07 1.35 55
Alcomax I 0.05 1.2 27.8
MnBi 0.37 0.48 44
Ce(CuCo)5 0.45 0.7 92
SmCo5 1.0 0.83 160
Sm2Co17 0.6 1.15 215
Nd2Fe14B 1.2 1.2 260
Data from hyperphysics
2019-1 10
O indutor real
• Símbolo
– Núcleo
A. Ar
B. Ferrite
C. Ferro laminado
• Valores
– nH nano-Henrys
– µH micro-Henrys
– mH mili-Henrys
• Tolerâncias
– Mais comum + 10%
• Esquema Interno
• Aplicações
– Filtros RL
• Passa baixa
– Circuitos tanque LC
• Osciladores
6
2019-1 11
• Série
– Como a corrente que circula por ambos os indutores é a mesma a tensão
gerada à uma variação de corrente será
Associação de Indutores
21
21
2121
e então
mas
LLL
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diLV
dt
diL
dt
diLVVV
+=
−−=−
−=−−=+=
L1
L2
V +
-
+
-
2019-1 12
• Paralelo
– A tensão gerada por ambos os indutores em oposição à uma variação de
corrente será dada por
21
21
21
21
111
e .1
.1
.1
então
.1
mas .1
.1
LLL
dtVL
dtVL
dtVL
dtVL
idtVL
dtVL
i
iii
+=
+=
=+=
+=
∫∫∫
∫∫∫
L1 L2V
+
-
+
-
7
2019-1 13
Comportamento do indutor num circuito CA
• Como vimos na aula de circuitos a tensão gerada no indutor é dada por
dt
diLv .=
No capacitor
2019-1 14
• Neste caso a potência que atravessa o indutor é menor que para um resistor em função da
defasagem
8
2019-1 15
Reatância Indutiva
• Como no resistor ao ser submetido a uma diferença de potencial CA uma corrente
vai circular através do indutor
– Difere do resistor pois depende da Freqüência da fonte
– A reatância de um indutor será dada por
LfLX L ..2. πω ==
Freqüência (Hertz) Reatância (Ohms)
60 3,7699
120 7,5398
2500 157,0796
Reatância de um indutor de 10 mH
2019-1 16
Fator de Mérito de um Indutor
• Considerando o circuito real de um indutor
– O fator de mérito (Qualidade) será dada por
R
XQ L=
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2019-1 17
Tipos de Indutores
• Núcleo de Ar
• Núcleo de ferrite
2019-1 18
• Núcleo de ferrite toroidal
• Ajustável
10
2019-1 19
• SMD
Data sheet
2019-1 20
Transformadores
• Transfere energia elétrica de um circuito para o outro através de um campo
magnético compartilhado
– A tensão induzida em uma bobina devido à uma variação do fluxo magnética é
dada por (Lei de Faraday)
– Em um transformador o fluxo magnético é o mesmo tanto no circuito primário
quanto no secundário
– então
dt
dNV
φ=
dt
dNV
dt
dNV SSPP
φφ== e
P
S
P
S
S
S
P
P
N
N
V
V
N
V
N
V== ou
11
2019-1 21
• Transferência de Potência
– Ligando o secundário a uma carga a transferência de potencia é praticamente unitária
– Eficiência > 95 % (uma das maquinas elétricas mais eficientes)
– Logo
– então
– Isto implica em:
• A tensão no secundário é menor que no primário a corrente no secundário é maior que no
primário
• Vale o oposto também
SSoutPPin iVPiVP .. ===
S
P
P
S
P
S
i
i
N
N
V
V==
2019-1 22
• Perdas de fluxo
– Algumas linhas de fluxo saem do núcleo reduzindo a eficiência
– Se manifesta como uma auto-indutância
– Em alguns casos é interessante empregar transformadores com
elevada perda de fluxo
• Usados em cargas que apresentam resistência negativa
– Lâmpadas de descarga em gás
– Soldadores a arco
• Efeito da Freqüência
– Como a tensão induzida no transformador aumenta com a freqüência
de acordo com a equação
• Onde
– f freqüência
– N número de espiras
– a área da secção transversal do núcleo
– B densidade de fluxo magnético
– Em função disto
• Quanto maior a freqüência de operação
– Maior impedância do primário / secundário menos enrolamento
– Fluxo varia mais rápido menor chance de saturação menor volume
– Aumento do “skin effect” aumenta a dissipação
– Em aviões f = 400 Hz menor volume/peso de transformadores
BaNfV ....44,4=
“ Skin effect” para o Cobre
FreqüênciaSkin
Thickness
60 Hz 8.57 mm
10 kHz 0.66 mm
100 kHz 0.21 mm
1 MHz 66 µm
10 MHz 21 µm
12
2019-1 23
• Perdas de energia
– Resistência do enrolamento
• Aquecimento resistivo
• “skin effect”
• Efeito de proximidade (interação entre correntes de enrolamentos diversos)
– Histerese
• A inverter o campo é necessário eliminar o campo remanente no núcleo
– Correntes de Foucault (Correntes de Fuga, Eddy currents)
• Surgem quando o fluxo de campo magnético varia sobre um condutor
• Gera aquecimento resistivo
– Magnetostricção
• Variações dimensionais do núcleo induzidas pela variação do fluxo
– Perdas Mecânicas
• Provocada pela atração magnética entre primário e secundário
– Perdas espúrias
• Linhas de campo interceptando estruturas metálicas externas geram
correntes de fuga e calor
2019-1 24
Tipos de Transformadores
• Normais
– Símbolos
A. Núcleo de ar (1:1)
B. Núcleo de ferro ( redutor)
C. NF – Secundário duplo – um com derivação
• Autotransformador
– Símbolo
• Transformadores ressonantes
– Bobina de automóvel
– Fly-back (televisores)
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2019-1 25
• Transformadores de instrumentação
– Transformadores de corrente
• Medida de corrente em circuitos elétricos CA
– Transformadores toroidais
• Mais eficientes
– Menos perdas
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Circuitos RC
(Prática - Demonstrativa)
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2019-1 27
Impedância
• A impedância de um circuito tem sempre
– Parte real
– Parte imaginária
– Logo
– Para o resistor o capacitor e o indutor temos
imagReal .ZjZZtotal +=
o
o
90 fase .0..0
-90 fase .0.
1.0
0.
+<+=+=
<−=−=
+=
LL
CC
R
XjLjZ
XjC
jZ
jRZ
ω
ω
1−=j
2019-1 28
Filtros RC
• Filtro passa baixa
– Composto por um resistor em série com um capacitor
– O capacitor está em paralelo com a entrada e a saída de sinal
– A corrente que circula no circuito é dada por
– mas
– neste caso o Zeficaz da associação em série é dado por
( )( )ω
ω
Z
VI in=
( ) ( )ωω CXjRZ .−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )ωω
ωωωωω
22
*..
CeffRC
CCRCRCeffRC
XRZ
XjRXjRZZZ
+=
+×−=×=
15
2019-1 29
• Assim a corrente no par RC é redefinida como
– que implica em
• A tensão sobre o capacitor pode ser definida como
– então o GANHO do circuito pode ser escrito como
( )( )ω
ω
eff
in
Z
Vi =
( )( )
( ) 2
2
22
.
1
.
1
.
.
+
=+
====
CR
C
XR
X
Zi
Zi
V
V
V
Vg
C
C
eff
effC
RC
C
in
out
RC
ω
ω
ω
ωω
( ) ( )ωω ineffRC VZiV == .
( ) ( )outCCeffCC VXiXjiZiV ==−== ....
2ω
( )( )2
..1
1
CRV
Vg
in
out
ωω
+==
2019-1 30
• A diferença de fase entre entrada e saída neste caso é dada por
• Neste circuito a freqüência característica é dada por
( ) ( )CRCi
Ri
V
V
C
R ..tan.
.tantan 111 ω
ωωφ −−− =
=
=
( ) ( )CR..tan 1 ωωφ −=
CXRCR
=⇒= .
10ω
CRf
CR ..2
1 rad/s
.
10
πω =⇒=
16
2019-1 31
2019-1 32
• Filtro passa alta
– Composto por um capacitor em série com um resistor
– O resistor está em paralelo com a entrada e a saída de sinal
– neste caso o Zeficaz da associação em série não muda e é dado por
– Neste caso a tensão de entrada também é igual ao caso anterior
– como a tensão no resistor é
( ) ( )ωω22
CeffRC XRZ +=
( )ωoutR VRiV == .
( ) ( )ωω ineffRC VZiV == .
17
2019-1 33
– então o GANHO do circuito pode ser escrito como
– E a diferença de fase como
( )( ) 2
2
22
.
1.
.
+
=+
====
CR
R
XR
R
Zi
Ri
V
V
V
Vg
CeffRC
R
in
out
RC
ω
ωω
( )( )2
..1
..
CR
CR
V
Vg
in
out
ω
ωω
+==
( )
=
=
= −−−
CRRi
Ci
V
V
R
C
..
1tan
.
.tantan
111
ω
ωωφ
( )
= −
CR..
1tan 1
ωωφ
2019-1 34
18
2019-1 35
Circuito Integrador
• Como no filtro passa baixas
• Considerando apenas altas freqüências tal que
– O capacitor não tem chance para carregar completamente
– Sua carga é baixa tensão no circuito ≅ tensão no resistor
– então
– logo
( ) ( ) ( )2
222
.
1...
+=+==
CRiXRiZiV CeffRCin
ωωωω
CR.
1>>ω
RiVin .≅
CR
.
1
ω>>
2019-1 36
– Portanto
– e consequentemente
dtR
V
Cdti
CC
qVV in
Cout .1
.1∫ ∫≅===
∫≅ dtVCR
V inout ..
1
19
2019-1 37
Circuito Diferenciador
• Como no filtro passa altas
• Considerando apenas baixas freqüências tal que
– O capacitor se carrega quase completamente
– Sua carga é alta tensão no circuito ≅ tensão no capacitor
– então
– logo
( ) ( ) ( )2
222
.
1...
+=+==
CRiXRiZiV CeffRCin
ωωωω
CR.
1<<ω
C
iVin
.ω≅
CR
.
1
ω<<
2019-1 38
– Portanto
– e consequentemente
( )dt
dVCR
dt
VCdR
dt
dqRRiVV CC
Rout ...
... =====
dt
dVCRV in
out .≅
20
2019-1 39
FIM