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PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FUNDAMENTO DA CONTAGEM
QUANDO DUAS MOEDAS FOREM LANÇADAS PARA CIMA, OSRESULTADOS SERÃO KK, KC, CK e CC, ONDE “K” SIGNIFICACARA E “C” SIGNIFICA COROA. NESTA SITUAÇÃO TEMOS 4
POSSÍVEIS RESULTADOS.SE NO LUGAR DE DUAS MOEDAS FOSSEM USADAS 50
MOEDAS, A LISTAGEM DOS POSSÍVEIS RESULTADOS SERIAPRATICAMENTE IMPOSSÍVEL, POIS A QUANTIDADE DE
RESULTADOS É 250 = 1125899906842624.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM
• PRINCÍPIO ADITIVO
• PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM
SE EXISTEM M1 POSSIBILIDADES DE OCORRER UM EVENTOE1, M2 POSSIBILIDADES DE OCORRER UM EVENTO E2 E
M3 PARA OCORRER O EVENTO E3, O NÚMERO TOTAL DEPOSSIBILIDADES DE OCORRER O EVENTO E1 OU O
EVENTO E2 OU O EVENTO E3, SERA M1 + M2 + M3, DESDEQUE OS EVENTOS NÃO APRESENTEM ELEMENTOS
COMUNS.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO
CONJUNTO REPRESENTA UMA COLEÇÃO DE OBJETOS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
• O CONJUNTO DE TODOS OS BRASILEIROS.
• O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS.
• O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAISTAL QUE x² - 4 = 0
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
EM GERAL, UM CONJUNTO É DENOTADO POR UMALETRA MAIÚSCULA DO ALFABETO: A, B, C, ......, Z.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ELEMENTO
É UM DOS COMPONENTES DE UM CONJUNTO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
• JOSÉ DA SILVA É UM ELEMENTO DO CONJUNTODOS BRASILEIROS.
• 1 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROSNATURAIS.
• -2 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISQUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
EM GERAL, UM ELEMENTO DE UM CONJUNTO, ÉDENOTADO POR UMA LETRA MINÚSCULA DO
ALFABETO: a, b, c, ......, z.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERTINÊNCIA
É A CARACTERÍSTICA ASSOCIADA A UM ELEMENTOQUE FAZ PARTE DE UM CONJUNTO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
• JOSÉ DA SILVA PERTENCE AO CONJUNTO DOSBRASILEIROS.
• 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
• -2 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISQUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
SE UM ELEMENTO PERTENCE A UM CONJUNTO, UTILIZAMOS O SÍMBOLO “Є” QUE SE LÊ:
“PERTENCE”.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
PARA AFIRMAR QUE 1 É UM NÚMERO NATURALOU QUE 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS, ESCREVEMOS:
1 Є N
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
PARA AFIRMAR QUE 0 NÃO É UM NÚMERO NATURALOU QUE 0 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS, ESCREVEMOS:
0 N∉
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
UM SÍMBOLO MATEMÁTICO MUITO USADO PARA ANEGAÇÃO É A BARRA “/” TRAÇADA SOBRE O SÍMBOLO
NORMAL.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS
MUITAS VEZES, UM CONJUNTO É REPRESENTADO COMOS SEUS ELEMENTOS DENTRO DE DUAS CHAVES “{ }”
E ATRAVÉS DE DUAS FORMAS BÁSICAS E DE UMATERCEIRA FORMA GEOMÉTRICA.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
TIPOS DE NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS
• APRESENTAÇÃO
• DESCRIÇÃO
• DIAGRAMA
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
APRESENTAÇÃO
OS ELEMENTOS DO CONJUNTO ESTÃO DENTRO DE DUASCHAVES { }.
A = {a, e, i, o, u}
N = {1, 2, 3, 4, ...}
M = {João, Maria, José}
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DESCRIÇÃO
O CONJUNTO E DESCRITO POR UMA OU MAISPROPRIEDADES.
A = {x: x é uma vogal}
N = {x: x é um número natural}
M = {x: x é uma pessoa da família de Maria}
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DIAGRAMA
OS CONJUNTOS SÃO MOSTRADOS GRAFICAMENTE.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SUBCONJUNTOS
DADOS OS CONJUNTOS A e B, DIZ-SE QUE A ESTÁ CONTIDOEM B, DENOTADO POR A B (A ESTÁ CONTIDO EM B), SE
TODOS OS ELEMENTOS DE A TAMBÉM ESTÃO EM B.ALGUMAS VEZES DIREMOS QUE UM CONJUNTO A ESTÁPROPRIAMENTE CONTIDO EM B, QUANDO CONJUNTO B,
ALÉM DE CONTER AO ELEMENTOS DE A, CONTÉM TAMBÉMOUTROS ELEMENTOS.
O CONJUNTO A É DENOMINADO SUBCONJUNTO DE B E OCONJUNTO B É O SUPERCONJUNTO QUE CONTÉM A.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO VAZIO
É UM CONJUNTO QUE NÃO POSSUI ELEMENTOS.É REPRESENTADO POR { } OU POR Ø. O CONJUNTOVAZIO ESTÁ CONTIDO EM TODOS OS CONJUNTOS.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO UNIVERSO
É UM CONJUNTO QUE CONTÉM TODOS OS ELEMENTOSDO CONTEXTO NO QUAL ESTAMOS TRABALHANDO E
TAMBÉM CONTÉM TODOS OS CONJUNTOS DESSECONTEXTO. O CONJUNTO UNIVERSO É REPRESENTADO
POR UMA LETRA “U”.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXISTEM TAMBÉM OS CONJUNTOS NUMÉRICOS, QUE EMCONSIDERAÇÃO ESPECIAL EM MATEMÁTICA. OS
PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS SÃO:
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
• CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
A UNIÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DETODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO
CONJUNTO A OU AO CONJUNTO B.
A U B = { x: x Є A ou x Є B }
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o} E B = {3, 4} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, 3, 4}
SE A = {2, 3, 4, 5} E B = {1, 3, 5} ENTÃO A U B = {1, 2, 3, 4, 5}
SE A = {a, e, i} E B = {o, u} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, u}
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DETODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO
CONJUNTO A E AO CONJUNTO B.
A ∩ B = { x: x Є A e x Є B }
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = Ø
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
QUANDO A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS A e BÉ O CONJUNTO VAZIO, DIZEMOS QUE ESTES CONJUNTOS
SÃO DISJUNTOS.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {a, e, 1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = {a, e}
SE A = {1, 2, 3} E B = {3, 4, 5} ENTÃO A ∩ B = {3}
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO ADITIVO
A AFIRMAÇÃO DE PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM, PODESER ESTENDIDA PARA QUALQUER QUANTIDADE DE
EVENTOS. O CONECTIVO QUE CARACTERIZA A APLICAÇÃODO PRINCÍPIO ADITIVO DA CONTAGEM É O
CONECTIVO “OU”, QUE ESTÁASSOCIADO À UNIÃO DE CONJUNTOS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO ADITIVO
SEJA ENTÃO O CONJUNTO A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.CONSIDERANDO OS EVENTOS E1 = NÚMERO DE A, MENOR
QUE 7 E E2 = NÚMERO PAR PERTENCENTE AO CONJUNTO A,TEREMOS:
E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}E2 = {2, 4, 6, 8, 10}
O NÚMERO DE POSSIBILIDADES DE ESCOLHER O EVENTOE1 É IGUAL A 6, POIS E1 POSSUI 6 ELEMENTOS.
O NÚMERO DE POSSIBILIDADES DE ESCOLHER O EVENTOE2 É IGUAL A 5, POIS E2 POSSUI 5 ELEMENTOS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO ADITIVO
ENTRETANTO O NÚMERO DE POSSIBILIDADES DE ESCO-LHER UM NÚMERO MENOR QUE 7 OU PAR PERTENCENTEAO CONJUNTO NÃO SERÁ IGUAL A 11 (6 + 5) E SIM IGUALA 8, POIS OS ELEMENTOS 2, 4, e 6 SÃO REPETIDOS NOS
DOIS EVENTOS.
NESTE CASO, O NÚMERO DE EVENTOS SERÁ
N(E1 OU E2) = N(E1) + N(E2) –N(E1 E2) = 6 + 5 – 3 = 8
ONDE N REPRESENTA O NUMERAL DOS CONJUNTOSINDICADOS (QUANTIDADE DE ELEMENTOS DO CONJUNTO).
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO
CERTA PESSOA TEM EM SEU SÍTIO 4 FRANGOS, 2 LEITÕES E 3CARNEIROS. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES PODERÁ
ELE ESCOLHER UM FRANGO OU UM LEITÃO OU UM CARNEIROPARA A SUA CEIA DE NATAL?
NO CASO OS EVENTOS SÃO:E1 = {x | x É FRANGO}E2 = {x | x É LEITÃO}
E3 = {x | x É CARNEIRO}
O NÚMERO DE POSSIBILIDADES DE OCORREREM OS EVENTOS E1, E2 e E3 SÃO: 4, 2 e 3, RESPECTIVAMENTE.
COMO E1 E2 E3 = 0, O NÚMERO TOTAL DE POSSIBILIDADESDE OCORRER O EVENTO E1, OU O EVENTO E2 OU O EVENTO E3
SERÁ 4 + 2 + 3 = 9
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
DOS 20 ALUNOS DE UMA CLASSE, 7 FORAM REPROVADOS EMBIOLOGIA E 8 EM QUÍMICA E 3 FORAM REPROVADOS EM AMBAS.O NÚMERO DE MANEIRAS DIFERENTES DE ESCOLHER UM ALUNO
REPROVADO EM BIOLOGIA OU EM QUÍMICA SERÁ IGUAL A7 + 8 – 3 = 12.
NESTA SITUAÇÃO, OS EVENTOS SÃO:E1 = {x | x É REPROVADO EM BIOLOGIA}E2 = {x | x É REPROVADO EM QUÍMICA}
COMO N(E1) = 7, N(E2) = 8 e N(E1 E2) = 3, O NÚMERO DE POSSI-BILIDADES DE ESCOLHER O EVENTO E1 OU O EVENTO E2 É
N(E1 U E2) = N(E1) + N(E2) – N(E1 E2) = 7 + 8 – 3 = 12.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA CONTAGEM
SEJAM E1, E2, E3, ...En, UM CONJUNTO DE EVENTOS QUEPODEM OCORRER DE M1, M2, M3, ... Mn MANEIRAS
DIFERENTES. A QUANTIDADE DE POSSIBILIDADES PARAOS EVENTOS E1 e E2 e E3 e ... e En É M1 x M2 x M3 x ... x Mn.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
EM SITUAÇÕES COMO ESSA, OS EVENTOS SÃO DEPEN-DENTES E DEVEM OCORRER SIMULTANEAMENTE. O QUE
CARACTERIZA A SIMULTANEIDADE DOS EVENTOS É OCONECTIVO “E”. OBSERVE QUE NO PRINCÍPIO ADITIVO O
CONECTIVO USADO É O “OU”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
A FIGURA A SEGUIR REPRESENTA ESTRADAS QUE LIGAMAS CIDADES A ATÉ B e B ATÉ C:
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
COMO SE PODEM NOTAR, EXISTEM 4 POSSÍVEIS ESCOLHAS(EVENTOS) PARA IR DE A ATÉ B E 3 POSSÍVEIS ESCOLHAS
(EVENTOS) PARA SE IR DE B ATÉ C. ORA, PARA SE IRDE A ATÉ C, PASSANDO POR B, O NÚMERO DE CAMINHOSSERÁ 4 x 3, POIS, PARA CADA ESCOLHA DE UM CAMINHODE A ATÉ B, TEREMOS 3 ESCOLHAS PARA IR DE B ATÉ C.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
CONSIDERE OS DÍGITOS 1, 2, 3, 4. QUANTOS NÚMEROS DE 4 ALGA-RISMOS PODEM SER ESCRITOS, COMEÇADOS COM O DÍGITO 1
E USANDO TODOS OS QUATRO DÍGITOS?
EXISTE APENAS 1 POSSIBILIDADE PARA ESCOLHER O DÍGITO DAESQUERDA(DÍGITO 1).
PARA O SEGUNDO DÍGITO EXISTEM 3 POSSIBILIDADES (2, 3, 4),POIS, O 1 JÁ FOI USADO.
PARA O TERCEIRO DÍGITO EXISTEM 2 POSSIBILIDADES, POIS,JÁ FORAM ESCOLHIDOS OS DOIS DÍGITOS ANTERIORES.
SOBRA ENTÃO APENAS 1 POSSIBILIDADE PARA O QUARTODÍGITO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
ASSIM, A QUANTIDADE DE NÚMEROS POSSÍVEIS É 1 x 3 x 2 x 1 = 6.
SE NA APLICAÇÃO FOSSE PERMITIDA A REPETIÇÃO DE DÍGITOS,A QUANTIDADE DE NÚMEROS SERIA 4 x 4 x 4 x 4 = 256.
POIS PARA O PRIMEIRO DÍGITO EXISTE 4 POSSIBILIDADES (1, 2, 3, 4) PARA ESCOLHER O DÍGITO.
PARA O SEGUNDO DÍGITO EXISTEM 4 POSSIBILIDADES (1, 2, 3, 4),PARA ESCOLHER O DÍGITO.
PARA O TERCEIRO DÍGITO EXISTEM 4 POSSIBILIDADES (1, 2, 3, 4),PARA ESCOLHER O DÍGITO.
ENTÃO TEREMOS 4 x 4 x 4 x 4 = 256.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA SENTENCIAL
EM TERMOS GERAIS, UM CÁLCULO E FREQUENTEMENTEAPRESENTADO COMO UM SISTEMA FORMAL QUE
CONSISTE EM UM CONJUNTO DE EXPRESSÕESSINTÁTICAS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA SENTENCIAL
NA LÓGICA SENTENCIAL (OU LÓGICA PROPOSIONAL) ,DENOMINA-SE PROPOSIÇÃO UMA FRASE QUE PODE
SER JULGADA COMO VERDADEIRA “V” OU FALSA “F”,MAS NÃO, COMO AMBAS. ASSIM, FRASES COMO
“COMO ESTÁ O TEMPO HOJE?” E “ESTA FRASE É FALSA”NÃO SÃO PROPOSIÇÕES PORQUE A PRIMEIRA É UMA
PERGUNTA E A SEGUNDA NÃO PODE SER NEM V E NEM F.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA SENTENCIAL
AS PROPOSIÇÕES SÃO REPRESENTADAS SIMBOLICAMENTEPOR LETRAS MAIÚSCULAS DO ALFABETO “A, B, C, ETC”.
UMA PROPOSIÇÃO DA FORMA “A ou B” É F SE A e BFOREM “F”, CASO CONTRÁRIO E “V”; E UMA PREPOSIÇÃO
DA FORMA “SE A ENTÃO B” É “F” SE A FOR “V” E B FOR “F”,CASO CONTRÁRIO É “V”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA SENTENCIAL
UM RACIOCÍNIO LÓGICO CONSIDERADO CORRETO ÉFORMADO POR UMA SEQÜÊNCIA DE PROPOSIÇÕES, TAIS
QUE, A ÚLTIMA PROPOSIÇÃO SEJA VERDADEIRA, SEMPREQUE AS PROPOSIÇÕES ANTERIORES NA SEQÜÊNCIA
FOREM VERDADEIRAS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA SENTENCIAL
EXEMPLO
É CORRETO O RACIOCÍNIO LÓGICO DADO PELA SEQÜÊNCIADE PROPOSIÇÕES SEGUINTE?
O SOL É VERDE E 13 É UM NÚMERO ÍMPAR.
POSSUÍMOS 2 SENTENÇAS:
A = “O SOL É VERDE” = FALSAB = 13 É UM NÚMERO IMPAR = VERDADEIRA
LOGO F e V = F A SENTENÇA É FALSA.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
NA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM, UMA PROPOSIÇÃO ÉFUNCIONAL QUANDO É EXPRESSA POR UM PREDICADO
QUE CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE VARIÁVEIS E ÉINTERPRETADA COMO “V” OU “F” QUANDO SÃO
ATRIBUÍDOS VALORES ÀS VARIÁVEIS E UM SIGNIFICADOAO PREDICADO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO
A PROPOSIÇÃO “PARA QUALQUER x, TEM-SE QUEx – 2 > 0” POSSUI INTERPRETAÇÃO “V” QUANDO x É UMNÚMERO REAL MAIOR DO QUE 2 E POSSUI INTERPRETA-
ÇÃO “F”, QUANDO x PERTENCE, POR EXEMPLO, AOCONJUNTO {-4, -3, -2, -1, 0}.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
LÓGICA SENTENCIAL E PRIMEIRA ORDEM
A LINGUAGEM DE UMA LÓGICA SENTENCIAL OU DEPRIMEIRA ORDEM, CONSISTEM EM:
• LETRAS SENTENCIAIS = P, Q, R, P1, Q1, R1, ...
• CONECTIVOS LÓGICOS = ~, v, ^, →, ↔
• SINAIS DE PONTUAÇÃO = ( ) , .
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OS PRINCIPAIS CONECTIVOS
• CONJUNÇÃO
• DISJUNÇÃO
• NEGAÇÃO
• CONDICIONAL
• BICONDICIONAL
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNÇÃO
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”, PODEMOS
ANALISAR O CONECTIVO CONJUNÇÃO, REPRESENTADO PELA LETRA “E” OU PELO
SÍMBOLO “^”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNÇÃO
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA”
p = “FAZ FRIO HOJE”q = “CHOVE LÁ FORA”
CONECTIVO : E = ^
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ^ q”
LÊ-SE = p e q
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DISJUNÇÃO
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU
O ÚLTIMO JOGO.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO DISJUNÇÃO,
REPRESENTADO PELA PALAVRA “OU” OU PELO SÍMBOLO “v”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DISJUNÇÃO
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU
O ÚLTIMO JOGO”
p = “O PROFESSOR E ALTO”q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO”
CONECTIVO : OU = v
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p v q”
LÊ-SE = p OU q
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NEGAÇÃO
A NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO, SIMPLES OU COMPOSTA, É FEITA ATRAVÉS DO MODIFICADOR
~ OU ¬ (negação lógica). CONSIDEREMOS AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES SIMPLES:
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NEGAÇÃO
PROPOSIÇÃO SIMPLES:
p = “O PROFESSOR É ALTO”
NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:
¬ p = “O PROFESSOR NÃO É ALTO”
NEGAÇÃO ALTERNATIVA
¬ p = “O PROFESSOR É BAIXO”
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NEGAÇÃO
CONECTIVO : NÃO = ~ ou ¬ (negação lógica)
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “¬ p”, “¬ q”, “~p” e “~q”
LÊ-SE = NÃO p OU NÃO q
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONDICIONAL
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO
SOU CARIOCA.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO CONDICIONAL,
REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE ..... ENTÃO” OU PELO SÍMBOLO “→”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONDICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
ENTÃO SOU CARIOCA”
p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO”q = “SOU CARIOCA”
CONECTIVO : SE ..... ENTÃO = →
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p → q”
LÊ-SE = p ENTÃO q
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
BI-CONDICIONAL
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO.”, PODEMOS
ANALISAR O CONECTIVO BI-CONDICIONAL, REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE E SOMENTE SE”
OU PELO SÍMBOLO “↔”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
BI-CONDICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO”
p = “CHOVE”q = “FAZ FRIO”
CONECTIVO : SE E SOMENTE SE = ↔
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ↔ q”
LÊ-SE = p SE E SOMENTE SE q
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
DETERMINE O VALOR LÓGICO DAS SEGUINTESPROPOSIÇÕES:
O NÚMERO 17 É PRIMO = VERDADEIRO
O SOL É VERDE = FALSO
FORTALEZA É A CAPITAL DO MARANHÃO = FALSO
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
DETERMINE O VALOR LÓGICO DAS SEGUINTES PROPOSIÇÕES:
O NÚMERO 125 É UM CUBO PERFEITO E O NÚMERO 6 NÃO É PAR.
POSSUÍMOS AS EXPRESSÕES:
O NÚMERO 125 É UM CUBO PERFEITO = VERDADEIRO
O NUMERO 6 NÃO É PAR = FALSO
É POSSUÍMOS O CONECTOR “E”
LOGO, V e F = FALSO
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
DETERMINE O VALOR LÓGICO DAS SEGUINTES PROPOSIÇÕES:
SE O ARCO-ÍRIS TEM 7 CORES ENTÃO 8 DIFERENTE DE 5.
POSSUÍMOS AS EXPRESSÕES:
O ARCO-ÍRIS TEM 7 CORES = VERDADEIRO
8 DIFERENTE DE 5 = VERDADEIRO
É POSSUÍMOS O CONECTOR “SE ..... ENTÃO”
LOGO, V então V = VERDADEIRO
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
DETERMINE O VALOR LÓGICO DAS SEGUINTES PROPOSIÇÕES:
2 + 5 -15 É NEGATIVO OU 16 É DIVISOR DE 8.
POSSUÍMOS AS EXPRESSÕES:
2 + 5 – 15 É NEGATIVO = VERDADEIRO
16 É DIVISOR DE 8 = FALSO
É POSSUÍMOS O CONECTOR “OU”
LOGO, V ou F = VERDADEIRO
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
A PROPOSIÇÃO FUNCIONAL “PARA QUALQER x, TEM-SE QUEx . x > x” É VERDADEIRA PARA TODOS OS VALORES DE x QUE
ESTÃO NO CONJUNTO {5, 5/2, 3, 3/2, 2, 1/2}.
5 x 5 > 5 = 25 > 5 = VERDADEIRO
5/2 x 5/2 > 5/2 = 25/2 > 5/2 = VERDADEIRO
3 x 3 > 3 = 9 > 3 = VERDADEIRO
3/2 x 3/2 > 3/2 = 9/2 > 3/2 = VERDADEIRO
2 x 2 > 2 = 4 > 2 = VERDADEIRO
1/2 x 1/2 > 1/2 = 1/4 > 1/2 = FALSO
RESPOSTA: ERRADO
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
SEJAM AS PROPOSIÇÕES:
p = RICARDO VIAJOUq = RICARDO PERDEU A MALAr = RICARDO ESTÁ EM MANAUS
TRADUZA PARA A LINGUAGEM CORRENTE:
a) ~p ^ q = RICARDO NÃO VIAJOU E PERDEU A MALA.
b) ~p → q = SE RICARDO NÃO VIAJOU ENTÃO PERDEU A MALA.
c) p ^ q → r = SE RICARDO VIAJOU E PERDEU A MALAENTÃO RICARDO ESTÁ EM MANAUS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
A PROPOSIÇÃO FUNCIONAL “EXISTEM NÚMEROS QUE SÃODIVISÍVEIS POR 2 E POR 3” É VERDADEIRA PARA
ELEMENTOS DO CONJUNTO {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
PARA SER DIVISÍVEIS POR 2 E 3, OS NÚMEROS DEVEM SERDIVISÍVEIS PELOS DOIS NÚMEROS AO MESMO TEMPO, O
QUE NÃO OCORRE COM NENHUM ELEMENTO DOCONJUNTO.
RESPOSTA: ERRADA
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ENUMERAÇÃO
É A SEQÜÊNCIA DE PELO MENOS DOIS ELEMENTOS DEMESMO STATUS SINTÁTICO NO DISCURSO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
TIPOS DE ENUMERAÇÃO
• ADITIVA
• OPTATIVA EXCLUSIVA
• OPTATIVA NÃO EXCLUSIVA
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ENUMERAÇÃO ADITIVA
REPRESENTADA PELO CONECTIVO “E”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ENUMERAÇÃO OPTATIVA EXCLUSIVA
REPRESENTADA PELO CONECTIVO “OU”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ENUMERAÇÃO OPTATIVA NÃO EXCLUSIVA
REPRESENTADA PELO CONECTIVO “E / OU”.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ENUMERAÇÃO ORDENADA
É AQUELA EM QUE A DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOSNA SEQÜÊNCIA ADMITE ALGUM TIPO DE ORDEM.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
O NOVO MODELO É MODERNO, ECONÔMICO E CONFIÁVEL.
POSSUÍMOS UMA ENUMERAÇÃO EM QUE ADJETIVOS SEINTEGRAM EM RELAÇÃO ADITIVA PARA COMPOR UM
GRUPO ADJETIVO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
O NOVO MODELO É VERDE, VERMELHO OU CINZA.
POSSUÍMOS UMA ENUMERAÇÃO EM QUE ADJETIVOS SEINTEGRAM EM RELAÇÃO OPTATIVA EXCLUSIVA PARA
COMPOR UM GRUPO ADJETIVO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
O NOVO MODELO É VERDE, VERMELHO OU CINZA, E ÉMODERNO, ECONÔMICO E CONFIÁVEL.
POSSUÍMOS UMA ENUMERAÇÃO EM QUE ADJETIVOS SEINTEGRAM EM RELAÇÃO OPTATIVA NÃO EXCLUSIVA PARA
COMPOR UM GRUPO ADJETIVO.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
... MUITOS NOVELOS. PRETOS, AZUIS, AMARELOS,ROXOS E CASTANHOS.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
BEBERAM, COMERAM, OFERECERAM SACRIFÍCIOS... BEBERAM, COMERAM E DANÇARAM.
PROAB 2010
AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
MADRI, PARIS, BERLIM, LONDRES, O MUNDO!
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
VAIDADE É O LUXO, A GLÓRIA, A CARIDADE.
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AULA 4
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
PROFESSOR, MÉDICO, COMERCIANTE, TODOS SE VENDIAM.