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Ana Paula Fernandes | [email protected] | (34) 99645 1975
BioestatísticaAula teórica: Distribuição Normal
Medicina, Educação Física e Terapia Ocupacional
Cap. 4 - Distribuição Normal ou de Gauss
“Gaussiana"
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
Muitas variáveis biológicas apresentam uma distribuição equilibrada:
• Os valores centrais são mais freqüentes• Os extremos raros (pouco freqüentes)
SIMÉTRICA
No histograma, o tamanho das colunas depende da amplitude do intervalo de classe (h), a qual é influenciada pelo tamanho da amostra
e pela precisão com que a medida foi feita.
curva de distribuição normal ou curva de Gauss
Fonte: https://plotly.com/chart-studio-help/histogram/#how-to-read-a-histogram
UTILIDADES DA CURVA NORMAL
Qual a probabilidade de um indivíduo do sexo masculino apresentar um valor entre
14,5 e 15,5?
E, se o interesse, é saber a probabilidade de ocorrer um nível de hemoglobina entre 14,5 e 15,0, seria necessário refazer a
tabela a partir dos dados originais.
14,5 15,5
E a probabilidade de que ocorra uma taxa de hemoglobina menor do que 14,3?
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(1) A curva normal tem a forma de um sino, com caudas assintóticas ao eixo x.
−∞ +∞x
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(2)A curva é simétrica em relação à a média (� ).
(3)A média, a mediana e a moda são coincidentes.
μ
−∞ +∞xμ
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(4) A curva tem dois pontos de inflexão situados à distância de um desvio padrão (� ) acima e abaixo da médiaσ
xμ
Ponto de inflexão Ponto de inflexão
μ + σμ − σ
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(5) A área sob a curva totaliza 1 ou 100%.
xμμ
+σ
μ−
σ
Calcular uma determinada área, significa calcular
uma probabilidade!
0,5 0,5
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(6) Aproximadamente 68% dos valores de � situam-se entre os pontos �
xμ ± σ
xμμ
+σ
μ−
σ
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(7) Aproximadamente 95% dos valores de � situam-se entre os pontos �
xμ ± 2σ
xμμ
+σ
μ−
σ
μ+
2σ
μ−
2σ
PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
(8) Aproximadamente 99,7% dos valores de � situam-se entre os pontos �
xμ ± 3σ
xμμ
+σ
μ−
σ
μ+
2σ
μ−
2σ
μ+
3σ
μ−
3σ68 - 95 - 99
• Se uma variável tem distribuição normal e se sua média e seu desvio padrão forem conhecidos, não é mais necessário representar os dados sob a forma de tabelas ou gráficos para se conhecer a probabilidade de ocorrência de valores de interesse.
EQUAÇÃO DA CURVA NORMAL
(8) A curva normal é determinada pelos PARÂMETROS: � (média e desvio padrão populacional)
μ e σ
Média e desvio padrão FORMATO DA CURVA NORMAL
EXEMPLO!Suponha que a glicemia (nível de glicose no plasma, em jejum) tem distribuição gaussiana, com média igual a 90 mg e desvio padrão 5 mg na população de pessoas sadias.
90 9585
μ = 90σ = 5
Aproximadamente 68% da população de indivíduos possuem valores de glicemia entre 85 e 95 mg.
INTERVALO DE CONFIANÇA!
EXEMPLO!Suponha que que a glicemia (nível de glicose no plasma, em jejum) tem
distribuição gaussiana, com média igual a 90 mg e desvio padrão 5 mg na população de pessoas sadias.
90 9585
μ = 90σ = 5
Grande parte das pessoas, 95%, possuem valores de glicemia entre 80 e 100 mg.
10080
EXEMPLO!Suponha que que a glicemia (nível de glicose no plasma, em jejum) tem
distribuição gaussiana, com média igual a 90 mg e desvio padrão 5 mg na população de pessoas sadias.
90 9585
μ = 90σ = 5
Praticamente todos, 99,7%, possuem valores de glicemia entre 75 e 105 mg.
10080 10575
EXEMPLO!Suponha que que a glicemia (nível de glicose no plasma, em jejum) tem
distribuição gaussiana, com média igual a 90 mg e desvio padrão 5 mg na população de pessoas sadias.
90 9585
μ = 90σ = 5
Aproximadamente 34% da população de indivíduos possuem valores de glicemia entre 90 e 95 mg.
CURVA NORMAL PADRONIZADA
xμ μ + σ μ + 2σ μ + 3σμ − 3σ μ − 2σ μ − σ
μσ
z0 1 2 3−3 −2 −1
Qualquer valor
μ = 0 σ = 1
CURVA NORMAL
TRANSFORMAÇÃO
Transformamos um valor x em z usando a fórmula:
z =valor − médiadesvio padrão
=x − μ
σ
x = 500 z =500 − 500
100= 0
x = 600 z =600 − 500
100= 1
x = 400 z =400 − 500
100= − 1
Área ~ probabilidade
TABELA DA DISTRIBUIÇÃO
NORMAL PADRÃO
z=1,151a. coluna 0,05
1a. linha
ExemploEm uma amostra aleatória de mulheres com idade entre 20 e 34 anos, a média do nível de colesterol total era de 181 miligramas por decilitro com desvio padrão de 37,6 miligramas por decilitro. Suponha que os níveis de colesterol total sejam normalmente distribuídos.
μ = 181σ = 37,6
181 218,6143,4
68%
Exemplo - pergunta 1
Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol inferior a 175 miligramas por decilitro?
μ = 181σ = 37,6P(x < 175) = ?
175x181
P(x < 175) = ?
x = 175 z = ?
z =175 − 181
37,6= − 0,1596
μ = 181 σ = 37,6
z =valor − médiadesvio padrão
=x − μ
σ
P(x < 175) = P(z < − 0,16)
z = − 0,1596 z = − 0,160,06
pnorm(-0.16)0.4364405pnorm(175, mean=181, sd=37.6)0.4366081
P(x < 175) = P(z < − 0,16) = 0,4364
Exemplo - pergunta 2
Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol superior a 185 miligramas por decilitro?
μ = 181σ = 37,6P(x > 185) = ?
x181 185
P(x > 185) = ?
x = 185 z = ?
z =185 − 181
37,6= 0,1064
μ = 181 σ = 37,6
z =valor − médiadesvio padrão
=x − μ
σ
P(x > 185) = P(z > 0,11)
z = 0,1064 z = 0,110,01
181 185
181 185 P(x > 185) = P(z > 0,11)
P(x > 185) = 1 − 0,5438
P(x > 185) = 0,4562
P(x < 185) = 0,5438
Exemplo - pergunta 3
Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol entre 175 e 185 miligramas por decilitro?
μ = 181σ = 37,6
P(175 < x < 185) = ?
x175 185
P(x < 175) = P(z < − 0,16) = 0,4364
P(x < 185) = 0,5438
175 185
P(175 < x < 185) = 0,5438 − 0,4364 = 0,1074
ÁREA MAIOR - ÁREA MENOR
No RStudioEm uma amostra aleatória de mulheres com idade entre 20 e 34 anos, a média do nível de colesterol total era de 181 miligramas por decilitro com desvio padrão de 37,6 miligramas por decilitro. Suponha que os níveis de colesterol total sejam normalmente distribuídos.
(1) Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol inferior a 175 miligramas por decilitro?
pnorm(175, mean=181, sd=37.6)
(2) Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol superior a 185 miligramas por decilitro?
1 - pnorm(185, mean=181, sd=37.6)
(3) Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol entre 175 e 185 miligramas por decilitro?
pnorm(185, mean=181, sd=37.6) - pnorm(175, mean=181, sd=37.6)
Exercício 11. Os tempos, por treino, em que um atleta usa um simulador de escada são normalmente distribuídos, com média de 20 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Calcule a probabilidade de que um atleta, selecionado aleatoriamente, utilize um simulador de escada
(a) por menos de 17 minutos, (b) entre 20 e 28 minutos e (c) por mais de 30 minutos.
Exercício 22. O tempo de espera (em dias) para um transplante cardíaco para pessoas com idade entre 35 e 49 anos pode ser aproximado por uma distribuição normal, como pode ser visto na figura.
Calcule a probabilidade de que o tempo de espera para um paciente, selecionado aleatoriamente, seja(a) menos de 150 dias, (b) entre 180 e 210 dias e (c) mais de 250 dias.
FIM