Aula 8 - CG - Transformations 2D Pt

Informtica

1

Transformaes Geomtricas

Aula Computao Grfica

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2

Como Usar Transformaes Geomtricas?

Objetos em uma cena so colees de pontos

Esses objetos possuem

Localizao

Orientao

Tamanho

Esses parmetros correspondem a

Translao (T)

Rotao (R)

Escala (S)

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Como Usar Transformaes Geomtricas?

Uma cena tem uma cmera/ponto de vista de onde observada

A cmera tem uma localizao e uma orientao no espao 3D

Esses parmetros correspondem a transformaes

Translaes e Rotaes

Outros tipos de transformaes de visualizao so necessrias

Visto em aulas futuras

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Conceitos Necessrios de lgebra Linear

Geometria em coordenadas 3D

Vetores no espao 2D e 3D

Produto escalar e produto vetorial (definio e uso)

Notaes bsicas de vetor e matriz

Matriz identidade

Associatividade multiplicativa

Ex.: (AB)C = A(BC)

Matriz transposta e inversa

Sistema de coordenadas homogneas

(x, y, z, w)

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Transformaes Lineares

Padro de representao no slides Vetores: Negrito-Itlico (v)

Escalares: Itlico (c)

Qualquer vetor no plano pode ser definido pela soma de dois vetores no colineares

Lembre-se que a base para um espao vetorial um conjunto de vetores com as seguintes propriedades: Os vetores so linearmente independentes

Qualquer vetor nesse espao pode ser representado por uma combinao linear dos vetores base.

A multiplicao de um vetor por um escalar altera a magnitude do vetor

v = a + bv

b

a

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Funo linear deve atender duas propriedades:

1) f(v+w) = f(v) + f(w) para todo v e w no domnio de f

2) f(cv) = cf(v) para todo escalar c e elementos v no domnio

Exemplo da propriedade 1

f(x) = f(x1 , x2) := (3x1+2x2 , -3x1+4x2) f(v+w) = f(v1+w1 , v2+w2)

= (3(v1+w1)+2(v2+w2) , -3(v1+w1)+4(v2+w2))

= (3v1+2v2 , -3v1+4v2) + (3w1+2w2 , -3w1+4w2)

= f(v) + f(w)e1

e2

f(e1)

f(e2)

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Uso grfico de funes lineares

Transformao de um ponto em torno da origem

Deixa a origem invariante

Funes lineares

Incluem Rotao e Escala

No inclui Translao

Qualquer transformao de um ponto

Resulta em outro ponto

Transformado em torno da origem

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8

Transformaes Lineares como Matrizes

Podem ser representadas como

Matrizes inversveis (no singulares)

Comeando com transformaes 2D que podem ser representas por matrizes 2x2:

Se e1 e e2 so os vetores base:

Ento as colunas da matriz de transformao T so T aplicada a e1 e e2:

T =a b

c d

e1 =1

0

, e2 =

0

1

T(e1)=a

c

, T(e2)=

b

d

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9

Transformaes Lineares como Matrizes

Isso significa que podemos derivar a matriz de transformao

Considerando como a transformao afeta os vetores base

A transformao de um vetor arbitrrio x = tem a forma:

Com isso, pode-se verificar o porqu da estratgia anterior

Substitua cada vetor base por x para obter:

2

1

x

x

21

21

2

1

2

1

dxcx

bxax

x

x

dc

ba

x

xT

c

a

dc

baT

0

1

0

1

d

b

dc

baT

1

0

1

0

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Transformao de Escala

Escalar x de 3 e y de 2 (Sx = 3, Sy = 2) v = (vrtice original); v = (novo vrtice)

v = Sv

Derivar S determinando como e1 e e2 deveriam ser transformados

Obtendo:

y

x

'

'

y

x

S=sx 0

0 sy

Escala X de Sx

Escala Y de Sy

Efeito colateral: Casa muda a posio em relao a origem

1

2

1

3

2

6

2

9

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Transformao de Escala

S uma matriz diagonal

Ela pode ser rapidamente verificada

S multiplica cada coordenada de v pelo fator de escala apropriado

Outras propriedades da escala

No preserva ngulos entre linhas em um plano

Exceto para escala uniforme

Se o objeto no estiver na origem

Ele vai se aproximar ou se afastar dela

Isso geralmente no desejvel

'

'

0

0

y

x

ys

xs

y

x

s

s

y

x

y

xSv

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Transformao de Rotao

Rotaciona de em torno da origem

v = (vrtice original);

v = (novo vrtice)

v = Rv

Derivar R determinando como e1 e e2 deveriam ser transformados

y

x

'

'

y

x

cos

sin

1

02e

Primeira coluna de R

Segunda coluna de R

Rq =cosq -sinq

sinq cosq

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Transformao de Rotao

R pode ser rapidamente verificada

R * v =

Outras propriedades da rotao

Transformao de corpo rgido

Preserva comprimento dos objetos

Preserva ngulos entre as partes dos objetos

Para objetos no centrados na origem

Uma translao indesejada introduzida

v'

'

'

cossin

sincos

cossin

sincos

y

x

yx

yx

y

x

x'= xcosq - ysinq

y'= xsinq + ycosq

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Transformao de Translao

E como fica a translao?

Translao no uma transformao linear

A origem no invariante

Portanto, no pode ser expressada por uma matriz 2x2

Existe alguma outra soluo?

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E como fica a translao?

Translao no uma transformao linear

A origem no invariante

Portanto, no pode ser expressada por uma matriz 2x2

Existe alguma outra soluo?

Sim

Fazer: v = v + t, where t =

Porm, quebra a uniformidade No se pode tratar como as matrizes anteriores

dy

dx

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16


Se pudssemos tratar tudo como matriz

Ento, poderamos combinar transformaes por matrizes

Usando multiplicao e associatividade

Vamos tentar usar uma matriz novamente

Como?

Coordenadas homogneas

Adicionar uma dimenso adicional (o eixo w)

Adicionar uma coordenada adicional (componente w)

Ento temos: 2D como 3D (hiperespao englobando o 2D)

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Coordenada Homogneas

Permite uniformizar todas as 3 transformaes bsicas

Representar escala, rotao e translao como matrizes 3x3

Comeamos com um ponto P2d no plano xy

Aplicamos o w para trazer para o hiperespao

P2d(x,y) => Ph(wx, wy, w), w0

O ponto resultante Ph Possui coordenadas diferentes

(x,y) = (wx,wy)

Ph(x, y, w), w 0

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18


Com o ponto no novo espao e representado por Ph Transformaes homogeneizadas podem ser aplicadas

Transformaes representadas por matrizes com tamanho fixo

Para se obter o ponto no espao 2D original

Basta aplicar a transformada inversa

Dividir todas as componentes por w

Aps a diviso o vrtice v = ser representado por v =

y

x

1

y

x

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19


As transformaes que vamos usar mantero w = 1

Ou seja, utilizaremos transformaes T que mapeiam

v = em v =

Como fazer isso para as transformaes que j derivamos?

Para as transformaes lineares

Basta fazer

1

y

x

1

'

'

y

x

100

0

0

dc

ba

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20


A matriz de translao focar na ltima coluna

Para verificar a matriz, basta fazer:

Perceba que as coordenadas foram transladadas v permanece em coordenadas homogneas

100

10

01

dy

dx

T

v'Tv

11100

10

01

dyy

dxx

y

x

dy

dx

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21

Transformaes Homogeneizadas

Perceba que a escala e a rotao no foram afetadas

Essas 3 transformaes so chamadas de afins

Transformation Matrix

Scaling

Rotation

Translation

sx 0 0

0 sy 0

0 0 1

cosq -sinq 0

sinq cosq 0

0 0 1

1 0 dx

0 1 dy

0 0 1

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Transformaes Homogeneizadas

Exemplos

Escala de 15 em x e 17 em y

Rotao de 123

Translao de -16 em x e 18 em y

100

0170

0015

100

0)123cos()123sin(

0)123sin()123cos(

100

1810

1601

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23

Vetores vs Pontos

At agora s utilizamos o conceito de pontos

Porm, tambm podemos utilizar vetores

As coordenadas homogneas foram introduzidas para Facilitar a translao

Portanto pontos so representados por (x, y, 1)T

Um vetor pode ser rotacionado e escalado Mas no pode ser transladado, portanto (x, y, 0)T

Vamos focar nos pontos, ou seja, nos vrtices dos objetos

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Transformaes Inversas

Como achar as transformaes inversas?

Use a matriz inversa das transformaes

Graas a homogeneizao

Todas so invertveis

Transformation Matrix Inverse Does it make sense?

Scaling If you scale something by factor a, theinverse is scaling by 1/a

Rotation Inverse of rotation by is rotation by . The properties sin(-) = -sin() and cos(-) = cos() give this matrix. Also, the matrix is orthonormal, so inverse is just the transpose.

Translation If you translate by x, the inverse istranslation by -x

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Composio de Transformaes

Agora temos vrias ferramentas a disposio

Podemos combin-las

Um objeto em uma cena composto por vrios vrtices

O objeto usa vrias transformaes para ser formado

Como representamos isso por funes?

Transformao uma funo

Elas podem ser compostas por associatividade

(f o g)( i )

Equivalente a aplicar g e depois f:

f( g( i ) )

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Considere nossas funes f e g como matrizes (M1 e M2)

Considere nossa entrada como um vetor v

Nossa composio equivalente a M1M2v

Agora podemos formar transformaes complexas

Usando composio de transformaes bsicas

Por exemplo, TRSv

Podemos compor as matrizes em uma s antes de multiplicar

til para aumentar performance dado o alto nmero de vrtices

1100

00

00

100

0cossin

0sincos

100

10

01

y

x

s

s

dy

dx

y

x

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Importante: A ordem das transformaes importa!

Multiplicao de matrizes no comutativo!

Exemplo

01

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

Y

X0

1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

Transladar dex = 6, y = 0, e rotacionar de 45o

Rotacionar de 45o e transladar de x = 6, y = 0

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Exemplo de composio

Comeo Fim-Escala uniforme de 3x-Rotao de 90-Ambos em torno do centro do objeto, no a origem

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Exemplo de composio

Simplifique o problema! Calcule o centro (vamos supor em x=3 e y=3)

Translade o objeto para a origem

Escale

Rotacione

Translade de volta

Comeo Fim-Escala uniforme de 3x-Rotao de 90-Ambos em torno do centro do objeto, no a origem

100

310

301

100

030

003

100

090cos90sin

090sin90cos

100

310

3011RSTT

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30


T-1RST

E se tivssemos misturado a ordem?

Vamos tentar RT-1ST

Escalou propriamente

Mas a rotao introduziu uma translao indesejada

cos90 -sin90 0

sin90 cos90 0

0 0 1

1 0 3

0 1 3

0 0 1

3 0 0

0 3 0

0 0 1

1 0 -3

0 1 -3

0 0 1

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Composio de Transformaes (Inversa)

Qual a inversa de uma sequncia de transformaes?

a composio das inversas na ordem invertida

(M1M2Mn)-1 = Mn

-1Mn-1-1M1

-1

Supondo que queiramos desfazer as transformaes aplicadas nos slides anteriores T-1RST

(T-1RST)-1 = T-1S-1R-1T

Ainda sim precisamos transladar a origem e levar de volta

100

310

301

100

090cos90sin

090sin90cos

100

03/10

003/1

100

310

301

TRST 1-1-1-

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Transformao de Cisalhamento

Transformao que distorce o formato do objeto

Aplica-se um deslocamento aos valores das coordenadas

O deslocamento proporcional ao valor das outras coordenadas de cada ponto transformado

Quadrados viram paralelogramas

Perceba a base da casa permanece horizontal mas desliza

Y

X0 1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

4

10tan

11

Skew

2D non-homogeneous

100

010

0tan

11

Skew

2D homogeneous

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Forma Alternativa de Pensar

Pensamento natural

Transformaes mudam posio dos vrtices em relao aos eixos

Pensamento alternativo

Transformaes mudam os eixos dos sistemas de coordenadas

Essa forma facilita a representao no papel

Rotation Scaling Translation

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Perguntas ?????

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