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Tensões induzidas nos solos por cargas externas
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1AULA 9 AULA 9 TENSES INDUZIDAS NOS SOLOS TENSES INDUZIDAS NOS SOLOS POR CARGAS EXTERNASPOR CARGAS EXTERNAS
PROF. ROMERO CSAR GOMES UFOP
MECNICA DOS SOLOS
27
2PROPRIEDADESDOS SOLOS
FSICAS
permeabilidadecompactaogranulometria e plasticidade
ndicesfsicos
MECNICAS
resistncia aocisalhamentocompressibilidade
comportamento tenso - deformao
Aula 9Aula 9
3 9.1 Formulao Geral do Problema. 9.2 Distribuies de Tenses nos Solos. 9.3 Problema Bsico: Soluo de Boussinesq. 9.4 Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade.
Aula 9Aula 9
4 Tenses Iniciais (devido ao peso prprio do solo): v0 ; h0; = 0 Tenses Induzidas pelo Carregamento Externo: v ; h; 0
Num dado Ponto P de uma massa de solo:
P
FormulaFormulao Geral do Problemao Geral do Problema
5carregamento externo
estimativa das tenses atuantes em um elementode solo a uma profundidade z devido s cargasaplicadas superfcie do terreno
semi-espao infinitosolo homogneo, isotrpico,elstico linear. z
distribuio exata distribuioaproximadaz
leis de variao das tenses lateralmente e em profundidade
Distribuio de Tenses nos Solos
6 bulbo de tenses: regio do subsolo sob o domnio das tenses induzidas pelocarregamento (usualmente admitido at a isbara de 10% da carga de superfcie)
isbaras
Distribuio de Tenses nos Solos
7 propagao das tenses na massa de solo segundo um dado ngulo deespraiamento (da ordem de 30ou 45 para solos granulares) ou umadada declividade (p.ex.: 2:1)
))(( ZLZBQ
Z++
=
Distribuio de Tenses nos Solos
Q
distribuio simplificada das tenses
8Solues pela Teoria da Elasticidade
metodologia simples de aplicao; permite uma avaliao satisfatria da magnitude das tenses induzidas por carregamentos superficiais; solo admitido como meio homogneo e istropo (parmetros elsticos constantes); deformaes proporcionais s tenses aplicadas (relao x linear, consistente apenas no regime de pequenas deformaes) semi-espao de dimenses infinitas (massa de solo homogneo e se estendendo at grandes profundidades)
Anlises mais realistas: mtodos numricos (adoo de diferentes modelos tenso deformao para os solos)
9z
rz
Q
Problema Bsico: Carga Concentrada Q
B2 I.z Q
= Z
acrscimo de carga vertical
Carga Concentrada Q Aplicada Superfcie do Terreno
10
tenses verticais
tenses radiais
tenses tangenciais
tenses cisalhantes
Ponto X (z, r)
Carga Concentrada Q Aplicada Superfcie de um Meio Semi-Infinito
Soluo de Boussinesq: Carga Concentrada Q
11
)z/r(11
z2Q3 2/5
22z
+pi=z
rz
Q
Soluo de Boussinesq: Carga Concentrada Q
fator IB de influncia do carregamento
( )2
5
2zr1
123
+pi=
/IB
B2 I.z Q
= Z
acrscimo de carga vertical
12
z
rz
Q
Soluo de Westergaard: Carga Concentrada Q
fator Iw de influncia do carregamento
s
s
23
2
2 2221do1
z
r
21
=
+
pi=
senIw
acrscimo de carga vertical
( )3/2
222z r/z1
2Q
+=Q
reforo rgido fino (lente de areia)
Carga Concentrada Q Aplicada Superfcie de um Meio com Camadas Alternadas com Reforos Rgidos Finos Q
13
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade(generalizaes da soluo de Boussinesq para carga concentrada)
1. Carga Linear
( )2223
z
x
2z
zQ+
=
pi
( )2222
x
x
x2z
zQ+
=
pi
( )2222
xz
x
xz2z
Q+
=
pi
14
Fazendo, na expresso geral para carga linear, x = aH0 e z = bH0 , vem:
Q/maH0
2220
2
x )ba(HbQa2
+pi=
)1a(Q2db
)ba(bQa4dbHpP 2
1
0222
21
00xx
+pi=
+pi==
O empuxo lateral sobre o muro de arrimo dado por:
2220
2
x )ba(HbQa4p
+pi=
Exemplo: Aplicao ao caso de um muro de arrimo submetido ao de uma carga linear
( )2222
x
x
x2z
zQ+
=
pi
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
15
2. Sapata Corrida
[ ])2cos(sen pi
++= qz
[ ])2cos(sen pi
+=q
x
[ ])2sen(sen pi
+= qzx
carga uniformemente distribuda q:
carga triangular:
=
pi 2sen
21
Bxq
z
+=
pi 2sen
21ln 2
2
21
RR
Bz
Bxq
x
+=
pi
Bzq
zx 22cos12
q
q
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
16
( )pi
2cossen= qx [ ])(90 120 = HqPx
)(H2BH3.57)RR()(H
z120
0211220
+
= )Ha(tg;)
HBa(tg
0
11
0
12
=
+=
)90(;)90()(1
222
21 =+= aRBaR
Exemplo: Valor e ponto de aplicao da carga horizontal sobre muro de arrimo adjacente a uma sapata corrida (carga q)
(Jarquio, 1981)
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
17
3. Carregamento uniforme sobre placa circular (Frmula de Love)
( )
+=
23
2z /111
zrq
cz I.q=
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
18
3. Carregamento uniforme sobre placa circular (outra soluo)
(baco de Foster & Ahlvin)
Ic (%)
q
Valores de x/r
z/r
100q.Ic
z =
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
19
( ) ( )[ ]( ) +
+++++
++
++
=
1nmnm1nm
2nm1nm2mn
41I 222222
222122
r pi
( )
++
+++ 2222
2122
nm-1nm1nm2mn
arctg
rz I.q=
tenso vertical induzida em um ponto situado a umaprofundidade z sob o vrtice de uma rea retangular de dimenses A = mz e B = nz (m e n intercambiveis) submetida a uma carga uniformemente distribuda q
r
2222r
Ideexpressodacolchetesentretermosegundoaoadicionarcontrrio,caso
casos;dosmaioria;nm1nmparaIdeValor:Obs. ++
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
4. Carregamento uniforme sobre placa retangular (Frmula de Newmark)
20
4. Carregamento uniforme sobre placa retangular (Frmula de Newmark)
m e n so intercambiveis princpio da superposio:Ir = I1+ I2+ I3+ I4
rz I.q=12
3
4
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
21
5. Carregamento triangular aplicado a tenses induzidas por aterros
( )21za
baq
pi
+=
b2z
q
pi
a
b
c
=
( ) at221z Ia
baq qa
b=
+
+=
pi
=
z
b,
z
a1Iat fpi (grfico de Osterberg)
(ver item 2b)
carga triangular:
=
pi 2sen
21
Bxq
z
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
22
dir.esq.at III +=
(Grfico de Osterberg)
Iesq ./ Idir.
atz Iq=
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
23
6. Carregamento uniforme sobre placa de forma qualquer (Soluo de Newmark)
construo grfica baseada na frmula de Love (placa circular)
( )
+=
23
2/111
zq
Rz 11
32
=
qzR z
calcula-se R - raio da placa necessria para induzir uma acrscimo de carga za uma dada profundidade z (fator de escala associado ao grfico) sob o centroda placa carregada com uma carga unitria (q = 1)
8,0=q
z387,1=
z
R
Por exemplo:z = AB (fator de escala do grfico)
(ver item 3a)
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
24
( ) AB.387,18,0 ==ZR ( ) AB.110,17,0 ==ZR
Para outros valores de z , obtm-se um conjunto de crculos concntricos e de coroas circulares que representam parcelas de acrscimos de tenses verticais
Por exemplo: ( ) ( )[ ] 1,07,08,0 = == ZZ RR o domnio de cada coroa circular subdividido em um certo nmero de setores
iguais (geralmente 20), constituindo o chamado valor de influncia (I) do baco
Por exemplo: 005,0201,0
== I = 0,005
setor
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
25
(baco de Newmark)
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
26
Procedimentos para aplicaodo baco de Newmark
(i) A rea carregada desenhada em papel transparente e numa escala tal que osegmento AB do grfico seja igual profundidade z de interesse;
(ii) coloca-se o desenho sobre o grfico, fazendo coincidir a projeo do pontoestudado (externo ou interno rea carregada) com o centro do baco;
(iii) conta-se o nmero de setores englobados pelo contorno da rea (N), estiman-do-se as fraes correspondentes aos setores parcialmente envolvidos;
(iv) calcula-se o acrscimo de tenso vertical induzida no ponto considerado pelaseguinte expresso: z = q. N. I
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade
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Outras Solues pela Teoria da Elasticidade
Generalizao das solues estudadas para condies especficas:
- cargas horizontais (problema de Cerutti);- cargas atuantes em profundidade (problema de Mindlin);- solos estratificados e/ou anisotrpicos; etc.
Bibliografia especfica:
- Poulos, H.G & Davis, E.H. - Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics;- Das, B.M. - Advanced Soil Mechanics;- Gray, H. & Hooks, I.J. - Charts Facilitate Determination of Stresses under
Loaded Areas;- Lysmer, J. & Duncan, J.M Stresses and Deflections in Foundations and
Pavements.
correlaes entre previses pela TE x resultados de instrumentao:- desvios da ordem de 20% a 30%.
Solues Clssicas da Teoria da Elasticidade