FÍSICA DO MEIO AMBIENTE Aula baseada nas notas de Lab. Fisica 4

Prof. Henrique Barbosa hbarbosa@if.usp.br Ramal: 6647 Basílio, sala 100

TópicosparaotrabalhofinalFotossínteseIAG–HumbertoRocha

ClebersoneCesar JimmyeKaue

CirculaçãotermoalinaIO–EdmoCampos

CarmeneRobson

Fontesdeenergia.IEE–RobertoZiles

AmandaeGiovanni CelsoeFábio

FenômenoElNiñoIAG–TércioAmbrizzi

GustavoeJeferson

CiclodoCarbonoIF–PauloArtaxo

PedroeLuiz JorgeeEzequías

EconomiadoCarbonoIEE–IldoSauer

JoséAldenie???

CiclosdeMilankovitchIAG–MárciaYamasoe

PriscillaeJúlioCesar

�  Introduçãoacaosesistemascaóticos

� Estudodecrescimentodepopulações

� Mapalogístico

AuladeHoje

Comportamento regular rígido

Comportamento totalmente aleatório

OqueéCaos?Quaissãooslimitesparaadinâmica(evoluçãotemporal)deumsistemafísico?

�  Jogodedados�  Decaimentoradioativo�  MovimentoBrowniano

SistemasqueapresentamCaos

�  Clima�  Crescimentopopulacional�  Pênduloduplo

�  Pêndulos(relógio)�  Sistemamassa-mola�  Quedalivre

Exemplo:PênduloDuplo� Umpênduloamarradonooutro

� Oespaçodefaseécompostopelos2ânguloseas2velocidades

http://physlab.net/dbl_pendulum.htmlhttp://lecturedemo.ph.unimelb.edu.au/Mechanics/Chaos/Mn-1-Chaotic-Double-Pendulum

Pequenasoscilações

Grandesoscilações

AlgumasDefiniçõesNecessáriasSistemadinâmico–équalquersistemacujaevoluçãoapartirdeumadeterminadacondiçãoinicialéregidaporumconjuntoderegras.Essasregraspodemseresumiraumconjuntodeequaçõesdiferenciais,queéocasoparasistemascontínuos.

Espaçodefase–éoespaçonoqualtodosospossíveisestadosdeumsistemasãorepresentados.Ex:Nopênduloduploteria4dimensões:

θ1,θ2,θ1’eθ2’Estado–éumapossívelcondiçãoparaosistema,istoé,umaconfiguraçãodevariáveisquerepresenteumacondiçãofisicamentepossívelouaceitável.Retratodefase–éoconjuntodetodososestadospossíveisdosistemadinâmicoemquestão.Osretratosdefaseparasistemascontínuossãotrajetóriasnoespaçodefase.

�  Umsistemadinâmicoquedescreveumsistemafísicorealdependedeumoumaisparâmetroschamadosdeparâmetros de controle.

�  Porexemplo:afreqüêncianaturaldeoscilaçãoéumparâmetrodecontroledeumosciladorharmônicosimples.

�  Umsistemadinâmicopode,portanto,serpensadocomofunçãodoparâmetrodecontrole.Defato,pode-seinfluirnocomportamentodinâmicodosistemaalterando-seovalordeumparâmetrodecontrole.

AlgumasDefiniçõesNecessárias

CAOS:Principaiscaracterís_cas�  Nãolinearidade.Seocomportamentodeumsistemaforlinear,essesistema

nãopodesercaótico

�  Sensibilidadeacondiçõesiniciais:pequenasalteraçõesnascondiçõesiniciaispodemlevaracomportamentosradicalmentediferentesdosistemaemseuestadofinal.Éochamado“efeitoborboleta”.Ossistemascaóticostambémapresentamsensibilidadeaosparâmetrosdecontrole.

�  Determinismo:existemregrassubjacentesdeterminísticas(enãoprobabilísticas)quetodoestadofuturodosistemadeveobedecer

�  Manutençãodairregularidadenocomportamentodosistema.Háumaordemocultaqueincluiumnúmerograndedeconfiguraçõesperiódicasocultasnainfra-estruturadessessistemas:háuma“ordemnadesordem”.

�  Previsãodelongoprazoimpossível:emdecorrênciadasensibilidadeàscondiçõesiniciais,aprevisão(masnãoocontrole)docomportamentodesistemascaóticosdelongoprazoéimpossível,porqueascondiçõesiniciaissãoconhecidascomgraudeprecisãofinito.

�  Existem 3 possibilidades para essas trajetórias:�  astrajetóriastendemaseconcentrarnumadeterminadaregiãodo

espaçodefaseenãosaemmaisdelá:essessãochamadosdeestadosassintóticosdosistemaouatratores.

CAOS:Comosãoastrajetóriasnoespaçodefase?

◦  astrajetóriastendemaseafastarumadasoutrasevãoparaoinfinito◦  astrajetóriasficam“passeando”portodooespaçodefase

�  Bifurcações –Vamossuporqueumsistemadinâmicotenhaumparâmetrodecontrole µ.�  Variando-seµpodemaparecernovospadrõesdecomportamentoou

seqüênciasdenovosestadosestáveis(atratores)paraosistema.�  Nestecasodiz-sequeocorrerambifurcaçõeseµn éovalordo

parâmetrodecontroleparaoqualocorreuan-ésimabifurcação.�  Emoutraspalavras,variando-seµpode-sevariartantoaposição

quantoascaracterísticasqualitativasdospontosdeequilíbrioestáveis(atratores)dosistema.

CAOS:Comosechegalá?

Valoresestáveis

possíveis

�  Nessecasoumasoluçãoestáveldosistemaperdeaestabilidadecomavariaçãodeumparâmetrodecontroleeapareceumanovasoluçãoestávelcomodobrodoperíododasoluçãoanterior.�  Entãodizqueparaµ=µnhouveumabifurcaçãoporqueo“período”duplicou.Essassoluçõessãoestadosassintóticosdosistema,geralmentechamadosdeatratores.

�  Rotamaiscomumparaocaos(cenáriodeFeigenbaum)éaduplicaçãodosatratores

11

CAOS:Comosechegalá?

�  Acascatadebifurcaçõesapresentadaspelossistemasqueseencaminhamparaocaosviacenário de Feigenbaumtemcertaspropriedadesdecaráteruniversal:�  verifica-sequeosvaloresdeµn ondeocorrembifurcações

obedecemaumaleideescala:

�  δéumaconstanteuniversalparasistemasqueapresentamduplicaçãodeperíodo

Caos:aconstantedeFeigenbaum

CaoseFractais�  Asucessãodedobramentosdoperíodoacabalevandoaodomíniocaótico,queparece(masnãoé)umanuvensdepontosdispersos.

�  Nomeiodocaos,hájanelasindicandoumadinâmicaorganizadaeprevisível.

�  Umpequenopedaçoésimilaraodiagramatodo⇒fractal.

�  ...Oumelhor:odomíniocaóticoaparececomoumanuvensdepontoscomdimensãofractalnoespaçodeparâmetros

http://complex.upf.es/~josep/Chaos.html

CaoseFractaisFractal-éapropriedadedesefraturarempadrõesauto-similareseescalonados.Fractaispossuem:�  Auto-similaridade-existempadrõesdentrodospadrõesquenunca

sãoexatamenteosmesmosmasquesãosempresimilares(galhosdeumaárvorequesebifurcamcadavezmaisatéchegarnasmicro-nervurasdafolha,masquetêmpraticamenteomesmopadrãodebifurcação).

WagnerP.Paivahttp://www.cyta.com.ar/ta0203/v2n3a2/v2n3a2.htm

�  Escalonamento-quandoexaminamosospadrõesdeauto-similaridadeemescalascadavezmenores,verificamosqueelessãorepetiçõesdesimesmos(podemos"enxergar"opadrãodenervurasdeumaárvoreinteiraemqualquerfolhadestamesmaárvore).

�  Em1838,PierreVerhulstpublicousua“equaçãologística”paradescreverocrescimentodepopulações,ouataxadecrescimentoemfunçãodapopulaçãoatualedoparâmetror.

�  réonúmeromalthusiano:�  Ser<0apopulaçãosempremorrecomotempo�  Ser>0apodesobreviver

�  Essaequaçãopodeserresolvidademaneiraexataeasoluçãosódependedex0eder.

dxdt= rx(1− x), com x = número de indivíduos

capacidade do ambiente

ExemploSimplesdeCAOS

x(t) = 11+ (x0

−1 −1)e−rt, função sigmoide

ExemploSimples�  AequaçãodeVerhulstpossuiinconvenientesparaoestudodeevoluçãodepopulaçõespoisapopulaçãoemqualquerinstantetdependesomentedascondiçõesiniciaiseécontínua.

�  Eradesejávelhavermodelosondeoestágioatualdapopulaçãodependaapenasdageraçãoanteriorenãodacondiçãoinicial.

�  OMapaLogísticoéumanálogodiscretonotempodaequaçãologísticaefoipopularizadoporumpaperde1976deRobertMay.Físicoteóricoaustraliano,elecomeçouatrabalharcombiologiaquandofoiparaoInstitutodeEstudosAvançadosdePrincetonem1971.

( )nnn xrxx −=+ 11

Sófuncionaparageraçõesindependentes.Ex:insetoscolocamovosantesdoinverno,queficamadormecidosembaixastemperaturas,eeclodemcomachegadadocalornoanoseguinte...

Crescimento de Populações: �  Omapalogísticodescreveotamanhodapopulaçõesemfunçãodeseutamanhonageraçãoanterior:

�  xnsãofraçõesdapopulaçãomáxima(capacidadedomeio)�  x0éafraçãoinicial�  r éopotencialbióticoer(1-xn) éataxadecrescimento

�  Deve-seternecessariamenter>0er<4�  Como é a evolução temporal da população (tamanho das

gerações n=1,2,3...) em função da condição inicial X0 e do potencial biótico?

xn+1 = xn ⋅ r 1− xn( )

ExemploSimples:MapaLogís_co

CalculandooMapaLogís_co(1)� Namão:x0=0.500er=0.5x1=.5*.5*(1-.5)=.125x2=.5*.125*(1-.125)=.055x3=.5*.055*(1-.055)=.026x4=.5*.026*(1-.026)=.013...x9=0.000 Paraestesparâmetrosa

populaçãonãosobrevive

( )nnn xrxx −=+ 11

CalculandooMapaLogís_co(2)� Meiosgráficos:

( )nn

n

xrxx

−

=+

1 1

x0

x1

x1

x2

x2

1)  Calcula-seovalordef(x0)2)  Rebate-senaretaparaterx13)  Calcula-seovalordef(x1)4)  Rebate-senaretaparaterx25)  etc...

X0=.75eR=2.5

Apopulaçãoestabilizouem0.6

CalculandooMapaLogís_co(2)IMPORTANTE:Ocomportamentodependeder.

� Transiente:� Asváriasiteraçõesantesdapopulaçãoestabilizar

� Estacionário� Asiteraçõesdepoisdotransiente

x0

X0=.75eR=2.5

Porquernãopodesermaiorque4?

MapaLogís_co-Detalhes

x0

X0=.75eR=2.5

Porque 0 < R < 4 ? •  R<0 => x < 0 •  R=0 => x = 0 •  R > 4 => x > 1 •  R=4 => x=0

( )nnn xrxx −=+ 11

r > 4

r = 4

MATLAB...

R=3.93

AppletMapaLogís_co–x0=0.72R=.77Populaçãomorre

R=1.85Estabilizaem0.46

R=2.76Estabilizaem0.64

CAOS!

R=3.16Alternaentre.79e.53

ODiagramadeBifurcação�  ParaalgunsvaloresdeRosistema

temumatrator�  Paraoutrosvalores,temdois�  ...acadabifurcação,dobramoso

númerodeatratores�  ...oqueporfimnoslevaaocaos!

ODiagramadebifurcaçãoéumgráficodosatratoresemfunçãodoparâmetro

decontrole

� Háumamaneiradepreverquaisseriamosatratores?�  Quandocheganoatratorqualqueriteraçãofornecesempreomesmo

valor.Matematicamente:

xn+1=xn ⇒ rxn(1-xn)=xn

�  Assoluçõesdessaequaçãosão:

xn=0 e xn=(1-1/r) � Será que ambas as soluções são atratores?

PrevendoosAtratores

Intersecçãodaparábolacoma

reta!

�  Vimosqueparar<1, xn=0 éoatratorexn=(1-1/r)nãoé�  Vimosqueparar>1,xn=(1-1/r)éoatratorexn=0nãoé.�  Ondeocorreessatroca?equalacondiçãoparaserumatrator?

�  Nãovamosprovarmatematicamente,masacondiçãoparaserumatratoréquemódulo da derivada f’(xn) seja menor que 1(ousejaqueaparábolanãoestejamaisinclinadadoqueareta)

PrevendoAtratores

R<1

x<0e|f’|>1

|f’|<1

R>1

|f’|<1

|f’|>1

� Aderivadaésimplesmente:f’(xn)=r-2rxn

� Casoxn→0 �  f’(0)=r �  Para que seja um atrator |f’| < 1 ⇒ -1<r<1 �  e como r>0 então: 0<r<1

� Casoxn→1-1/r �  f’(1-1/r)=2-r �  Para que seja atrator |f’|<1 ⇒ |2-r|<1 ⇒ 1<r<3

AsSoluçõesdexn+1=xn

�  Observamosnaplanilhaenoappletqueparadeterminadosvaloresder>3,nãotem1atrator,mas2atratores!

�  Comopreverisso?Bastausaracondiçãoxn+2=xn, o quesignificaqueacadaduasiteraçõesrepete-seumvalor

�  Vamoscalcular:

( )( )[ ] ( )[ ] nnnnn

nnn

xxrxxrxrxrxx

=−−−=

−= +++

1111 112

Prevendo2Atratores

�  Ouseja,agoraosatratoresestãonaintersecçãodaretacomumpolinômiode4ºgrau.

AsSoluçõesdeXn+2=Xn �  Nográficovemosumexemplodassoluções.Duasdelascoincidemcomas

anteriores,masnestecasoambastem|f’|>1enãoservem.�  Asoutrasduassoluçõessão:

( )( )r

rrrxn 2

131 +−±+=

�  Aplicandoacondiçãoparaaexistênciadeatratores:

lf’(xn)l<1,�  chega-seàconclusãoque

3<r<(1+√6) �  vocêspodemverificarisso

comoapplet.

leituras� Artigos:

�  LiandYorke,PeriodThreeImpliesCaos,AmericanMathematicalMonthly,v.82,n.10(1975)985-992

�  RobertM.May,BiologicalPopulationsObeyingDifferenceEquations:StblePoints,StableCycles,andChaos,J.Theor.Biol.,v.51(1975)511-524