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Estruturas em Concreto ArmadoLajes Maciças–Teoria das Placas – Exemplo Numérico
Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Prof. D.Sc. Roberto Chust Carvalho
Lajes Maciças
Exemplo numérico
• Calcular e detalhar a armadura do pavimento de lajes maciças cuja
planta de formas está indicada a seguir. Considerar que as salas
serão utilizadas para escritórios, que as lajes deverão ter todas a
mesma espessura e que o revestimento inferior de gesso, para
efeito de cálculo de carga, pode ser desprezado. Serão admitidos os
seguintes dados de projeto:
� Contrapiso com espessura de 2,0 cm e γ = 18 kN/m3;� Contrapiso com espessura de 2,0 cm e γ = 18 kN/m3;
� Piso emborrachado, cujo peso de 0,20 kN/m2 íncluí a cola;
� Cobrimento nominal da armadura de 25 mm, admitindo classe de
agressividade ambiental II;
� Vigas: largura bw = 20 cm e altura h = 50 cm;
� Concreto com resistência característica fck = 20 MPa;
� Aço CA-50;
Lajes Maciças
Dados Preliminares
Revestimento
Fck (MPa) 20 Espessura Argamassa (cm) 2,0
γconcreto (kN/m3) 25 γ
argamassa (kN/m3) 18,0
Aço CA (kN/cm2) 60 Espessura Revestimento (cm) 1,176
d' (cm) 4,0 γrevestimento (kN/m3) 17,0
c1) Cargas permanentes c1) Cargas permanentes
peso próprio: .......... g1 = 0,12 ⋅ 25 kN/m3 = 3,00 kN/m
2
contrapiso: .............. g2 = 0,02 ⋅ 18 kN/m3 = 0,36 kN/m2
piso: ....................... g’2 = 0,20 kN/m
2
total: ...................... g = g1 + g2 + g’2 = 3,56 kN/m
2
c3) Carga total
2/56,500,256,3 mkNqgp =+=+=
c2) Carga acidental
salas para escritório (NBR 6120:1980): q = 2,00 kN/m2.
Lajes Maciças
Verificação da flechaAs flechas, calculadas para as duas combinações, deverão atender aos limites dados na
Tabela 4.7 do Capítulo 4, transcritos a seguir, para a condição de aceitabilidade sensorial, sendo
que l é o menor vão da laje considerada:
• para a totalidade de cargas (combinação rara): l/250
• para a carga acidental: l/350
d2) Módulo de deformação longitudinal do concreto (NBR 6118:2003, item 8.2.8)
O módulo de elasticidade secante, a ser utilizado nas verificações de estados limites de
serviço, deve ser calculado pelas expressões 1.9 e 1.10, Capítulo 1, com os valores em MPa. 2
ckcics m/kN21287000MPa21287204760f560085,0E85,0E ==⋅=⋅⋅=⋅=
d3) Cálculo da flecha elástica
100hE
pf
3
4x α
⋅⋅
⋅=
l
com α dado na tabela 7.2 e )m(16,0)m/kN(21287000hE 323 =⋅=⋅
• Flecha para a carga total (permanente mais acidental, combinação rara)
4x
74x
3
4x
qg 1052,71006,87191
)0,256,4(
100hE
)qg(f l
ll⋅α⋅⋅=
α⋅
⋅+=
α⋅
⋅
⋅+= −
+
Lajes Maciças
Verificação da flecha
Localização hadotado (cm) P.Próprio (kN/m2) Revest. (kN/m2) Outros (kN/m2)Sobrecarga (kN/m2)
NBR 6120Total (kN/m2) Tipo Laje
Laje - L1 12 3,00 0,56 0,00 2,00 5,560 4
Laje - L2 12 3,00 0,56 0,00 2,00 5,560 4
Laje - L3 12 3,00 0,56 0,00 2,00 5,560 3
LocalizaçãoVão da Laje Rel.Vãos α Flecha (cm)
Flecha Limite (cm)
Verificação
lx (cm) ly (cm) λ (ly/lx) Centro Laje Centro Laje (L/250) - cm
Laje - L1 6,00 6,00 1,00 2,42 0,47 2,4 Ok!
Laje - L2 4,00 6,00 1,50 4,38 0,17 1,6 Ok!
Laje - L3 5,00 10,00 2,00 5,66 0,53 2,0 Ok!
Lajes Maciças
Cálculo das Armaduras Longitudinais
Para o cálculo da armadura positiva das lajes existem duas alturas úteis, uma para cada
direção, conforme pode ser visto na Figura 7.17, para as direções s e v. Recomenda-se,
entretanto, que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda comprimida
superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva (no caso, ds, que é menor
que dv) possibilitando que, na construção, as barras de cada direção sejam posicionadas em
qualquer uma das camadas. Assim, será empregada no cálculo de todas as armaduras, inclusive
para as negativas, altura útil igual a 8,0 cm, determinada anteriormente.
para as negativas, altura útil igual a 8,0 cm, determinada anteriormente.
Figura 7.17 Direções s e v e as respectivas alturas úteis.
Lajes Maciças
Determinação das ArmadurasAÇO CA-50
Localização Tipo LajeRel.Vãos
µ M (kN.cm/m) Kmd Kx KzAscalc
(cm2/m)λ (ly/lx)
Laje - L1
Mx
4 1,00
2,81 562 0,086 0,134 0,946 2,39
Mx' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 6,61
My 2,81 562 0,086 0,134 0,946 2,39
My' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 6,61
Laje - L2
Mx
4 1,50
4,81 428 0,066 0,100 0,960 1,79
Mx' 10,62 945 0,145 0,235 0,906 4,20
My 2,47 220 0,034 0,050 0,980 0,90
My' 8,06 717 0,110 0,173 0,931 3,10
Laje - L3
Mx
3 2,00
6,51 905 0,139 0,224 0,910 4,00
Mx' 12,34 1715 0,263 0,477 0,809 8,53
My 1,48 206 0,032 0,047 0,981 0,84
AÇO CA-60
Localização Tipo LajeRel.Vãos
µ M (kN.cm/m) Kmd Kx KzAscalc
(cm2/m)λ (ly/lx)
Laje - L1
Mx
4 1,00
2,81 562 0,086 0,134 0,946 1,99
Mx' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 5,51
My 2,81 562 0,086 0,134 0,946 1,99
My' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 5,51
Laje - L2
Mx
4 1,50
4,81 428 0,066 0,100 0,960 1,50
Mx' 10,62 945 0,145 0,235 0,906 3,50
My 2,47 220 0,034 0,050 0,980 0,75
My' 8,06 717 0,110 0,173 0,931 2,58
Laje - L3
Mx
3 2,00
6,51 905 0,139 0,224 0,910 3,33
Mx' 12,34 1715 0,263 0,477 0,809 7,11
My 1,48 206 0,032 0,047 0,981 0,70
Lajes Maciças
Características das Barras de Aço
CA-60 CA-50
φ φ φ φ (mm)massa (kg/m)
Área (cm2) φ φ φ φ (mm)massa (kg/m)
Área (cm2)
4,2 0,109 0,139 6,3 0,245 0,312
5,0 0,154 0,196 8,0 0,395 0,503
6,0 0,222 0,283 10,0 0,617 0,785
7,0 0,302 0,385 12,5 0,963 1,2277,0 0,302 0,385 12,5 0,963 1,227
8,0 0,395 0,503 16,0 1,578 2,011
9,5 0,558 0,709 20,0 2,466 3,142
25,0 3,853 4,909
32,0 6,313 8,042
Lajes Maciças
Determinação das ArmadurasAÇO CA-50
Localização Asmín(cm2/m)Asefet
(cm2/m)smáx (cm) φ (6,3 mm) φ (8,0 mm) φ (10,0 mm) φ (12,5 mm)
Laje - L1
Mx 1,21 2,39
24
13 21 33 51
Mx' 1,80 6,61 5 8 12 19
My 1,21 2,39 13 21 33 51
My' 1,80 6,61 5 8 12 19
Laje - L2
Mx 1,21 1,79
24
17 28 44 68
Mx' 1,80 4,20 7 12 19 29
My 1,21 1,21 26 42 65 102
My' 1,80 3,10 10 16 25 40
Laje - L3
Mx 1,21 4,00
24
8 13 20 31
Mx' 1,80 8,53 4 6 9 14
My 1,21 1,21 26 42 65 102
AÇO CA-60
Localização Asmín(cm2/m)Asefet
(cm2/m)smáx (cm) φ (5,0 mm) φ (6,0 mm) φ (7,0 mm) φ (8,0 mm) φ (9,5 mm)
Laje - L1
Mx 1,21 1,99
24
10 14 19 25 36
Mx' 1,80 5,51 4 5 7 9 13
My 1,21 1,99 10 14 19 25 36
4 5 7 9 13My' 1,80 5,51
Laje - L2
Mx 1,21 1,50
24
13 19 26 34 47
Mx' 1,80 3,50 6 8 11 14 20
My 1,21 1,21 16 23 32 42 59
My' 1,80 2,58 8 11 15 19 27
Laje - L3
Mx 1,21 3,33
24
6 8 12 15 21
Mx' 1,80 7,11 3 4 5 7 10
My 1,21 1,21 16 23 32 42 59
Lajes Maciças
Comprimento e espassamento das barras
POSITIVAS − Serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida);
Comprimentos para a laje L1, nas direções x e y:
cm6027262600 =⋅+⋅−=l (N1)
− As barras deverão penetrar nos apoios (vigas) 6 cm ou 10 φ = 10 ⋅0,63 = 6,3 cm; será
adotado o valor de 7 cm;
− Largura das vigas = 20 cm (dado inicial);
− As dimensões das lajes, em planta, estão relacionadas aos eixos das vigas.
Comprimentos para a laje L2:
cm4027262400x =⋅+⋅−=l (N2)
cm6027262600y =⋅+⋅−=l (N1)
Comprimentos para a laje L3:
cm5027262500x =⋅+⋅−=l (N3)
cm100272621000y =⋅+⋅−=l (N4)
Lajes Maciças
Comprimento e espaçamento das barras
NEGATIVAS − Serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida);
− Todas as barras da armadura negativa têm diâmetro φ = 10 mm.
− Nas lajes adjacentes será considerada a armadura referente ao maior momento. − Nas lajes adjacentes será considerada a armadura referente ao maior momento. Nas lajes adjacentes será considerada a armadura referente ao maior momento.
− Todas as lajes serão consideradas isoladas, e a armadura, para todas as situações de
vinculação, se estenderão no interior da laje a uma distância x25,0 l⋅ , sendo xl o menor
vão da laje, conforme a figura 7.18.
l l
− Ao comprimento anterior deverá ser
acrescentado o comprimento de ancoragem reto
(aço CA-50, boa aderência, fck = 20 MPa,
φ = 10,0 mm):
cmf
f
bd
ydb 44
486,215,1
500
4
0,1
4=
⋅⋅=⋅=
φl
0,75,25,20,12g =−−=l
Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L2:
L1y: φ 10,0 c/12,5 cm
⇒ adota-se φ 10,0 c/12,5 cm
L2x: φ 10,0 c/20 cm
Comprimento na laje L1:
cm20174460025,0 =++⋅
⇒ comprimento total = 352 cm (N5)
Comprimento na laje L2:
cm15174440025,0 =++⋅
cm15174440025,0 =++⋅
Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L3:
L1x: φ 10,0 c/12,5 cm
⇒ adota-se φ 10,0 c/10 cm
L3 : φ 10,0 c/10 cm
Lajes Maciças
Comprimento e espaçamento das barras
L3x: φ 10,0 c/10 cm
Comprimento na laje L1:
cm20174460025,0 =++⋅
⇒ comprimento total = 377 cm (N6)
Comprimento na laje L3:
cm17674450025,0 =++⋅
Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L2 e L3:
L2y: φ 10,0 c/20 cm
⇒ adota-se φ 10,0 c/10 cm
L3x: φ 10,0 c/10 cm
Comprimento na laje L2: cm15174440025,0 =++⋅
⇒ comprimento total = 327 cm
Comprimento na laje L3: cm17674450025,0 =++⋅ (adotar mesmo que L1 c/ L3)
7.4.7 Reação das lajes nas vigas
• 45°°°° entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60°°°° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente
apoiado;
• 90°°°° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
Lajes Maciças
Reações de Apoio das Lajes
10pkq x
xx
l⋅⋅=
10pkq x
yy
l⋅⋅=
10pkq x'
x'x
l⋅⋅=
10pkq x'
y'y
l⋅⋅=
Lajes Maciças
Reações de Apoio das Lajes
Reações de Apoio das Lajes Sobre as Vigas
Localização Tipo LajeRel.Vãos
k Reação (kN/m)λ (ly/lx)
Laje - L1
qx
4 1,00
1,83 6,10
qx' 3,17 10,58
qy 1,83 6,10
qy' 3,17 10,58
qx 2,44 5,43
Laje - L2
qx
4 1,50
2,44 5,43
qx' 4,23 9,41
qy 1,83 4,07
qy' 3,17 7,05
Laje - L3
qx
3 2,00
2,99 8,31
qx' 5,18 14,40
qy 1,83 5,09
Verificação da necessidade de armadura de
cisalhamento
• A verificação da necessidade de utilização de armadura de
cisalhamento nas lajes, será feita para a laje L3, que apresenta o
maior valor para a reação de todas as lajes, junto a viga V5;
• Compara-se a força cortante de cálculo Vsd com a força resistente
de projeto VRd1 (se Vsd ≤ VRd1, não há necessidade de armadura de
cisalhamento);
• Para a verificação, são necessárias as seguintes informações:• Para a verificação, são necessárias as seguintes informações:
– Força cortante solicitante: Vs = 14,40 kN/m;
– Toda a armadura inferior se estende ao longo da laje, chegando até o apoio;
– Na laje L3, a armadura longitudinal inferior é composta de barras de φ 10,0 mm
(0,80 cm2) a cada 20 cm, resultando 5 barras por metro;
Verificação da necessidade de armadura de
cisalhamento
kN 20,16 1,4.14,40 .V V sfsd === γ
( )[ ] .db..15,040.1,2.k. V wcp1RdRd1 σρτ ++=
2
3 2Rd
3 2ck
ff
infctk,ctdRd
cm
kN 0,0276 MPa 0,276 200,21..
1,4
0,25
f.3,0.7,0.0,25
f
0,25. 0,25.f
===
===
τ
γγτ
2cm 0,0276 MPa 0,276 200,21..
1,4
1,0 1,52 0,04)-(0,12 - 1,6 d - 1,6 k >===
0,02 cm
cm 0,005
100.8
5.0,8
.db
A
2
2
w
sl1 <===ρ
( )[ ] kN 47,0 .100.80,15.0 40.0,0051,22.0,0276.1,5 VRd1 =++=
σcp = 0 - (não há força de compressão longitudinal na seção)
Verificação da necessidade de armadura de
cisalhamento
• Como Vsd = 20,16 kN < VRd1 = 47,0 kN e não há necessidade de
armadura transversal de cisalhamento;
• Caso essa condição não fosse verificada, deveria ser colocada
armadura calculada como em vigas, ou alterar a dimensão da laje –
aumentar hlaje;
• Verificação da diagonal comprimida – (concreto)
– A verificação da compressão na biela comprimida é feita, comprando-se: V com V ;– A verificação da compressão na biela comprimida é feita, comprando-se: Vsd com VRd2;
kN 20,16 1,4.14,40 .V V sfsd === γ .0,9.d.b.f0,5. V wcdv1Rd2 α=
0,50 0,5 0,60 )200
20,0-(0,7 )
200
f-(0,7 v1
ckv1 =→>=== αα
kN 257,14 4)-12.100.0,9.(1,4
2,00,5.0,5. VRd2 ==
Como Vsd é menor que VRd2, está verificada a resistência da biela comprimida;