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FiltrosFiltros DigitaisDigitais
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Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Filtros Digitais
O processo de filtragem de sinais pode ser realizadodigitalmente, na forma esquematizada pelo diagramaapresentado a seguir:
FiltrosFiltros DigitaisDigitais
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Filtros Digitais
O bloco conversor A/D converte o sinal de tempocontínuo x(t) em uma sequência x[n]. O filtro digitalprocessa a sequência x[n], resultando em outra sequênciay[n], que representa o sinal filtrado na forma digital. Estesinal y[n] é então convertido para um sinal de tempocontínuo por um conversor D/A e reconstruído através deum filtro passa-baixas, cuja saída é o sinal y(t), querepresentará a versão filtrada do sinal x(t).
FiltrosFiltros DigitaisDigitais
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Filtros Digitais
Os filtros digitais são caracterizados em duas classes,dependendo da duração da sequência y[n] quandoaplicado em sua entrada um sinal do tipo impulso.
1. Filtros Digitais cuja resposta ao impulso apresentaduração finita (FIR – Finite Impulse Response)
FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- FIRFIR
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Filtros Digitais
Estes filtros apresentam a seguinte função detransferência discreta:
que pode ser reescrito como uma função polinomial compotências negativas de z.
FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- FIRFIR
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Filtros Digitais
Os filtros do tipo FIR apresentam ainda as seguintescaracterísticas:
memória finita, portanto qualquer transitório temduração limitada; são sempre BIBO estáveis; podem implementar uma resposta em módulodesejada com resposta em fase linear.
FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- FIRFIR
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Filtros Digitais
FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- IIRIIR
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2. Filtros Digitais cuja resposta ao impulso apresentaduração infinita (IIR – Infinite Impulse Response)
que também pode ser reescrito como uma funçãoracional com potências negativas de z.
FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- IIRIIR
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Filtros Digitais
No filtro IIR as características de entrada e saída sãoregidas por equações lineares de diferenças comcoeficientes constantes de natureza recursiva, conformepode se observar na figura a seguir.Observa-se que no diagrama de blocos do filtro IIR, ostermos , k=0,1,…,M , e os termos , j=1,…, N, são ostermos da função de transferência Y(z)/X(z),normalizados pelo termo b0 .
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ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR
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Uma vez que os filtros FIR apresentam resposta emfrequência com fase linear, o projeto deste filtrosresume-se a aproximar a resposta em módulo desejada.Admitindo h[n] como sendo a resposta ao impulso de umfiltro FIR, sendo H(ejΩ) a transformada discreta deFourier de h[n]. Uma vez definida a ordem do filtro, porexemplo M, deve-se então determinar os ak , k=0,1,…,M,coeficientes do filtro.
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR
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O objetivo na determinação dos coeficientes é que H(ejΩ)forneça uma boa aproximação de Hd(ejΩ), que é a funçãoresposta em frequência desejada ao longo do intervalo defrequências –π < Ω ≤ π. Uma forma de avaliar aqualidade desta aproximação é através do erro médioquadrático entre hd[n] e h[n], ou seja:
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Os únicos parâmetros ajustáveis na equação anterior sãoos coeficientes do filtro H(ejΩ), ak , k=0,1,…,M, sendo amedida do erro minimizada fazendo
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR
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A relação apresentada anteriormente equivale ao uso deuma janela retangular definida por
portanto
que conhecido como o método da janela.
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR
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DTFT
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR
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A convolução de W(ejΩ) com Hd(ejΩ) resulta em umaaproximação oscilatória da função resposta emfrequência desejada por H(ejΩ) do filtro FIR. Taisoscilações podem ser reduzidas modificando-se a janelaa ser utilizada.
RespostaResposta emem frequênciafrequência dada janelajanela retangularretangular..
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Uma janela comumente utilizada é a janela de Hamming,definida por
CaracterísticaCaracterística dada janelajanela de Hammingde Hamming
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RespostaResposta de de frequênciafrequência das das duasduas janelasjanelas
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Pelo apresentado nas curvas de resposta em frequênciadas duas janelas conclui-se: o lóbulo principal da janela retangular temaproximadamente a metade da largura do lóbuloprincipal da janela de Hamming; a magnitude dos lóbulos laterais da janela deHamming são bem mais reduzidos se comparadoscom o da janela retangular.
ExemploExemplo 8.5:8.5:
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Considere a resposta em frequência desejada
que representa a função resposta em frequência de umfiltro passa baixas ideal, com fase linear. Avaliar aresposta em frequência para M=12, Ωc=0.2π, sendo:(a) janela retangular e (b) janela de Hamming.
ExemploExemplo 8.15 8.15 -- RespostaResposta
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ExemploExemplo 8.15 8.15 -- RespostaResposta
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CoeficientesCoeficientes normalizadosnormalizados parapara | | H(H(zz) |) |z=1z=1 = = 11
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros IIRIIR
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Uma das formas de projetos de filtros digitais do tipoIIR é através da aproximação entre funções detransferências contínuas por funções de transferênciasdiscretas equivalentes. Desta forma, considera-se aseguinte aproximação em tempo discreto da funçãointegração.
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Aplicando na equação anterior o operador z, obtém-se
implicando na seguinte aproximação
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De forma semelhante pode-se representar z em função des, ou seja
Admitindo s=σ+jω pode-se definir regiões do Plano s esuas regiões equivalentes no Plano z.
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Ou seja:
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Portanto, tem-se:
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Resultando nas seguintes propriedades para este tipo deaproximação:1. O semiplano esquerdo do Plano s é mapeado no
interior do círculo de raio unitário no Plano z;2. O eixo jω é inteiramente mapeado sobre o circulo de
raio unitário do Plano z;3. O semiplano direito do Plano s é mapeado no exterior
do círculo de raio unitário no Plano z.
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Uma implicação imediata da propriedade 1 é que se ofiltro analógico representado pela função de transferênciaHa(s) for estável e causal, o filtro digital dele derivadoatravés da transformação bilinear será garantidamenteestável e causal.
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Para σ = 0, tem-se Ω = 2 tg-1(ωT/2), concluindo-se que afaixa de frequência -∞ < ω < ∞, é comprimida em umafaixa finita de frequências contida no intervalo –π < Ω < πde um filtro digital. Esta forma de distorção não linear éconhecida como warping.
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Tal distorção de fase pode ser compensada no projeto dofiltro analógico através de um procedimento denominadopré-warping. Especificamente, para as frequênciascríticas (frequências de corte para a faixa de passagem ede rejeição), o procedimento de pré-warping é realizadode acordo com a relação
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Exemplo 8.7: Usando um filtro analógico com umafunção de transferência de Butterworth de ordem 3,projetar um filtro IIR passa baixas com frequência decorte Ωc = 0.2π .
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros IIRIIR –– CurvaCurva de Magnitudede Magnitude
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
frequência (Omega)
20*lo
g10
|H(e
( jOm
ega)
)|
ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros IIR IIR –– RespostaResposta aoao ImpulsoImpulso
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0 5 10 15 20 25 30-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tempo n
resp
osta
ao
impu
lso
y[n]