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7/23/2019 Aula5 - Value-at-Risk
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Aula 5
Value-at-Risk
Prof. Jos Valentim Machado Vicente, D.Sc.
7/23/2019 Aula5 - Value-at-Risk
2/42
Aula 5 2
Contedo da Aula
O qe Va!"
Modelos Paramtricos
Mtodo Delta#$ormal
Simla%&o 'ist(rica
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Aula 5 )
O que VaR?
Metodolo*ia de avalia%&o do risco +ro+osta +elo anco J.P.
Mor*an em -/.
Valor monet0rio das +erdas a qe ma carteira est0 sjeita, a m
determinado n1vel de confian%a e dentro de m horionte detem+o.
3arteira com VaRde !4 -.)55.555, em m dia e +ara m n1vel
de confian%a de 67, si*nifica qe h0 67 de +robabilidade de
a+rarmos ma +erda de mais de !4 -.)55.555 em m dia. O ainda qe com 67 de confian%a a +erda n&o ser0 s+erior a
!4 -.)55.555.
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Aula 5 /
O que VaR?
O VaRest0 sem+re associado a8
ma moeda 9valor monet0rio:.
m intervalo de tem+o 9qando devemos notar a +erda:.
ma +robabilidade 9com qe freq;
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Aula 5 6
O que VaR?
=ormalmente temos,
Onde8
o n1vel de si*nific>ncia 9o 9- ? : o n1vel de confian%a:
adotado.
Xt a varia%&o no valor da carteira de +re%oXt.
VaR o valor em risco +ara o horionte de tem+o t.
.:9 = VaRXP t
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Aula 5
A Distribuio Normal
A distribi%&o normal o Bassiana ma das mais im+ortantes
distribi%Ces de +robabilidade.
la serve como ma eEcelente a+roEima%&o +ara ma *rande
classe de distribi%Ces qe tncia +r0tica. $ota%&o8 N9,2: si*nifica distribi%&o normal com mdia e
vari>ncia 2. J0ZFN95,-: si*nifica distribi%&o normal +adr&o,
isto , com mdia ero e a vari>ncia nit0ria.
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7/42Aula 5 G
@H,2G7
6,/@7
,G)7
3 2 1 3+2+1
A Distribuio Normal
I
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8/42Aula 5 H
A maior +arte dos dados se encontram em torno da mdia. A
medida qe nos afastamos dela, tanto +ara mais como +ara
menos, a +robabilidade de ocorr
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9/42Aula 5
A Distribuio Normal
Pro+riedade8 Se X tem distribi%&o normal N9,2: ent&o 9 ?
:K tem distribi%&o normal +adr&o.
Labela da distribi%&o normal +adr&o.
z FPZzN
#) 5,55-)6
#2 5,522G6
#- 5,-6H66
5 5,6
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10/42Aula 5 -5
A Distribuio Normal
Eem+lo8 S+onha qe a altra H de m brasileiro adlto seja
distrib1da normalmente com mdia -G5 cm e vari>ncia -55
cm2. 3alcle a +robabilidade da altra de m brasileiro sorteado
ao acaso ser maior qe 2,5 m.
PHI 255N FPH? -G5 I )5N F
FP9H? -G5:K-5 I )N F
= PZI )N F 9simetria: F FPZ ? )N F 9tabela: F 5,55-)6.
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11/42Aula 5 --
Modelos aramtri!os " VaRde um#ni!o Ati$o
'i+(tese - # Retorno Aritmti!o 9S-? S5NKS5, onde S5 o +re%odo ativo hoje e S- o +re%o do ativo amanh&: distrib1donormalmente.
Para m horionte de tem+o t diferente de m dia, temos8
onde volatilidade di0ria do retorno aritmtico do ativo, X5+osi%&o marcada a mercado da carteira, isto , valor atalinvestido no ativo, e z-#constante relativa ao nmero de desvios
+adrCes +ara o n1vel de confian%a desejado.
.-5
= zXVaR
.-5 tzXVaR =
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12/42Aula 5 -2
Modelos aramtri!os " VaRde um#ni!o Ati$o
Eem+lo8 3onsidere ma carteira formada nicamente +or a%Cesda Petrobras no dia 5/K--K255/. S+onha qe qeiramosdeterminar o VaR+ara o dia 56K--K255/ com n1vel de confian%a
de 67. Posi%&o de -5.555 a%Ces de Petrobras,X5F /,/Q-5.555F !4
//.55. $1vel de confian%a 67 zF -,6. Volatilidade da Petrobras F -,2-7 9mtodo sim+les com
janela de 5 dias, isto , o desvio +adr&o estimado tendo+or base ma amostra dos ltimos 5 dias:.
VaR9- dia: F //.55Q-,6Q-,2-7 F !4 -H.H62.
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13/42Aula 5 -)
Modelos aramtri!os " VaRde um#ni!o Ati$o
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14/42Aula 5 -/
Modelos aramtri!os " VaRde um#ni!o Ati$o
'i+(tese 2 ? Retorno %eomtri!o 9lnS-KS5N: distrib1donormalmente.
onde g a volatilidade do retorno *eomtrico de m dia.
Para os mesmos dados do eEem+lo anterior temos VaR F !4
-./5.
stimando a volatilidade via RMA com lambda F 5,/ temos8
,- -5gzeXVaR
=
( ) .@.@/5-!4-55.// 72-,-@6,- == eVaR
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15/42Aula 5 -6
Modelos aramtri!os " VaRdeuma Carteira
Para carteiras formadas +or dois ativos temos de levar em conta
o efeito da correla%&o8
Onde8
VaRcF Value at Riskda carteira
VaR-FValue at Riskdo ativo - da carteira VaR2F Value at Riskdo ativo 2 da carteira;
-,2 F coeficiente de correla%&o entre o ativo - e o ativo 2.
.2 2-2,-222- VaRVaRVaRVaRVaRc ++=
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Aula 5 -
Modelos aramtri!os " VaRdeuma Carteira
Eem+lo8 3arteira F -5 mil a%Ces Petrobras e -5 milhCes a%Ces
de Lelemar, o VaRcom 9- # : F 67
Eerc1cio8 Verifiqe qe o VaRda carteira menor qe a somados VaRTs das das a%Ces 9efeito da diversifica%&o:.
5.H./4!
2G/H--HH62665),522G/H--HH62
dia:9-
22
=
++
=CVaR
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Aula 5 -G
Uma forma alternativa de calclar o VaR de ma carteira
formada +or dois ativos consiste em, +rimeiramente, calclar a
vari>ncia da carteira e em se*ida em+re*ar ma das f(rmlas
de VaRvistas anteriormente.
Modelos aramtri!os " VaRdeuma Carteira
[ ]
=
2
-
22-2
-22-
2-2
w
www
c
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Aula 5 -H
O Mtodo Delta-Normal
$o mtodo Delta#$ormal, o Va! de m ativo 9o carteira: qe
res+onde n&o linearmente em rela%&o a m fator de risco
calclado atravs de ma linearia%&o de +rimeira ordem.
Eem+los8 A sensibilidade do +r
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Aula 5 -
O Mtodo Delta-Normal
O VaRde m +osi%&o em o+%Ces +ode ser a+roEimado +elo VaRde ma +osi%&o com+osta +elo ativo objeto em valor i*al a vees a +osi%&o em o+%Ces8
onde si*ma a volatilidade do retorno do ativo objeto.
VaRde m t1tlozerocu!on a+roEimado +or8
onde si*ma a volatilidade do retorno da taEa de jros. Se aca+italia%&o cont1na ent&o a duration i*al a ".
= -5zXVaRo!#$o
+= -5:-9 zXi"
VaR%uros
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Aula 5 25
O Mtodo Delta-Normal
3onsidere ma carteira formada +or -55.555 o+%Ces sobre
Petrobras no dia 5/K--K255/. Determine o Va! +ara o dia
56K--K255/ com 67 de confian%a. S+onha v0lido o modelo de
WS. S+onha tambm qe o nico risco im+ortante o devaria%&o no +re%o do ativo objeto. Dados da o+%&o8 StriXe F ,
+rao F 62 dias, taEa +ara 62 dias F -6.6)7 a.a. 9cont1na:,
+r
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Aula 5 2-
O Mtodo Delta-%ama-Normal
O mtodo delta#normal consiste em faer m a+roEima%&o de
+rimeira ordem +ara a infl
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Aula 5 22
Modelos No aramtri!os
Eistem mercados em qe a s+osi%&o de m distribi%&o
normal +ara os retornos dos ativos n&o corres+onde a realidade.
Eem+los8
Mercado de d(lares no rasil entre os anos de -/ e -H. Mercados nos qais eEiste +robabilidade n&o des+re1vel de
ocorr
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Aula 5 2)
Modelos No aramtri!os
$os mercados em qe eEistem maiores ocorr
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Aula 5 2/
Modelos No aramtri!os
m estat1stica, distribi%Ces com cadas *ordas s&o chamadas
de le+tocrticas. Uma medida da eEtens&o dos dados observados
qe caem +erto do centro o nas cadas de ma distribi%&o
dada +ela crtose. A crtose de m conjnto de dados x-, ...,xndefinida como
A fn%&o 3U!L do MS Ecel calcla a crtose.
( ))
:9
:9-:9
-/
/
= =
n
i
i
X&P
X'ex
nXCurt
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Aula 5 26
Modelos No aramtri!os
A crtose de ma distribi%&o normal ero 9diemos qe a
distribi%&o mesocrtica:. Uma crtose maior qe ero
9le+tocrtica: indica ma distribi%&o com *randes +icos, cadas
*rossas e +ocos dados intermedi0rios. J0 ma crtose menorqe ero 9+laticrtica: si*nifica qe a distribi%&o +ossi mitos
dados de ma*nitde intermedi0ria e m +ico +eqeno.
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Aula 5 2
Modelos No aramtri!os
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Aula 5 2G
Modelos No aramtri!os
Otro +roblema bastante srio dos modelos +aramtricos ocorre
qando a carteira a ser analisada ma fn%&o n&o linear de +elo
menos m dos fatores de risco. Ysso acontece com as o+%Ces8
dada ma varia%&o no +re%o do ativo objeto +odemos a+enasa+roEimar a varia%&o no +r
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Aula 5 2H
&imulao 'ist(ri!a
Passo -8 Definir m +er1odo de tem+o e estdar as varia%Ces de
+re%os ocorrida nesse +er1odo.
Passo 28 m+re*ar estas varia%Ces +ara reavaliar a carteira em
cada m dos cen0rios hist(ricos. Passo )8 sse conjnto de dados determina a distribi%&o da
carteira se*ndo a srie de cen0rios simlados
Passo /8 Determinar o qantil dos dados simlados
corres+ondente ao n1vel de confian%a adotado.
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Aula 5 2
&imulao 'ist(ri!a
Eem+lo8 3onsidere ma carteira formada nicamente +or a%Ces
da Petrobras no dia 5/K--K255/. S+onha qe qeiramos
determinar o VaR +ara o dia 56K--K255/ com m n1vel de
confian%a de 67. A +osi%&o em Petrobras de -5.555 a%Ces.=echamento de Petrobras em 5/K--K255/ i*al !4 /./, lo*o o
valor da carteira !4 //.55,55.
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Aula 5 )5
&imulao 'ist(ri!a
Data Retorno )% Data* )% *
5/#$ov#255/ 5.627 /,26.6/ -)#Oct#255/ #),/./)
5)#$ov#255/ 5.-)7 -,25G.H5 -#Oct#255/ #2-,GG.G6
5-#$ov#255/ 5.27 6,HG).H 2H#Jn#255/ #-G,22.2
2#Oct#255/ 5.-7 -,62-.6H 56#A*#255/ #-,22.25
2H#Oct#255/ #5.57 #H,6//.)- 5G#Jl#255/ #-,5H2.HG
2G#Oct#255/ 5.2G7 2,6-.G) 22#Jl#255/ #-),-)./2#Oct#255/ #-.--7 #-5,/6. 26#Jn#255/ #-),)/.25
Z Z Z Z Z
-/#Jn#255/ -.567 ,-H.H/ 2)#Jn#255/ )H,6H5.26
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Aula 5 )-
&imulao 'ist(ri!a
O Va! com 67 de confian%a o 67 Percentil da ltima colna
da tabela anterior. Para calclar o +ercentil de ma srie de
dados voc< +ode sar a fn%&o P!3$LY[ do MS Ecel.
O +ercentil +ode ser calclado de v0rias maneiras. Por eEem+lo,se os dados s&o -, 2, ) e /, ent&o o Ecel considera qe esses s&o
os +ercentis 5, )).))7, .G7 e -557 res+ectivamente.
Valores intermedi0rios s&o obtidos +or inter+ola%&o.
nt&o o Va! !4 -).G)G.
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Aula 5 )2
&imulao 'ist(ri!a
Eerc1cio8 3onsidere ma carteira formada +or a%Ces da
Petrobras e da Vale no dia 5/K--K255/. Determine o VaR+ara o
dia 56K--K255/ com m n1vel de confian%a de 67. A +osi%&o
em Vale de -6.555 a%Ces e em Petrobras de -5.555 a%Ces.
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Aula 5 ))
&imulao 'ist(ri!a
Va! F )-.2H
Data PKB Petr PKB Vale PKB carteira
/#nov#5/ /,26.6/ -,)62.)- ,2GG.H
)#nov#5/ -,25G.H5 G,6H6.-5 H,G2.H
-#nov#5/ 6,HG).H )5).62 ,-GG.65
2#ot#5/ -,62-.6H /,2G2.)5 6,G).HH
2H#ot#5/ #H,6//.)- #2/,6/5. #)),5H/.
-/#jn#5/ ,-H.H/ #2/,G)5.6/ #-/,H--.G5
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Aula 5 )/
&imulao 'ist(ri!a
3onsidere ma carteira formada +or -55.555 o+%Ces sobre
Petrobras no dia 5/K--K255/. Determine o Va! +ara o dia
56K--K255/ com 67 de confian%a. Para calclar o +re%o
simlado se o modelo de WS. S+onha qe o nico riscoim+ortante o de varia%&o no +re%o do ativo objeto. Dados da
o+%&o8 StriXe F , +rao F 62 dias, taEa +ara 62 dias 9e 6- dias:
F -6.6)7 a.a. 9cont1na:, +r
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Aula 5 )6
&imulao 'ist(ri!a
Data Pre%o Petr Preco call Varia%&o
5/#nov#5/ /,H /,)- #-,//
5)#nov#5/ /,- /,5H #-,G
5-#nov#5/ 6,5H /,)G #-,)H
2#ot#5/ /,/ /,-5 #-,6
2H#ot#5/ ),/ ),6) #2,22
2G#ot#5/ /,G/ /,- #-,6... ... ... ...
-/#jn#5/ 6,/H /,2 #-,-)
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Aula 5 )
&imulao 'ist(ri!a
3alcle o Va! de ma carteira no dia 5/K--K5/ +ara o dia
56K--K5/ de ma carteira formada +or ma [L$ vencendo em 65
dias. Use n1vel de confian%a de 67. Pre%o atal da [L$ F !4
H,G6-/ 9taEa cont1na F -,557 a.a.:. $esse eEerc1cio, o mais natral sar a decom+osi%&o em
vrtice adjacentes da [L$. $o entanto, +ara sim+lificar
simlamos a+enas a taEa de / dias, obtida +or inter+ola%&o.
Va! F !4 5,-6 9sol%&o:.
http://xn--aes-2la4e.xls/http://xn--aes-2la4e.xls/7/23/2019 Aula5 - Value-at-Risk
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Aula 5 )G
&imulao 'ist(ri!a
Data LaEa Pre%o [L$ Varia%&o
5/#nov#5/ -,5H7 ,2- #5,-6
5)#nov#5/ -6,27 ,62 5,-6
5-#nov#5/ -6,/7 ,/ 5,-2
2#ot#5/ -,5-7 ,)6 #5,5-
2H#ot#5/ -,5-7 ,) #5,5-
2G#ot#5/ -,5-7 ,)6 #5,52... ... ... ...
-/#jn#5/ -,5/7 ,2 #5,5G
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Aula 5 )H
&imulao 'ist(ri!a
Simla%&o hist(rica consiste em constrir ma base de
movimentos di0rios de todos os fatores de risco de mercado.
Vanta*em da S'8
!eflete a distribi%&o mltivariada hist(rica dos fatores derisco.
Desvanta*em da S'
$&o incor+ora atalia%Ces da volatilidade 9ti+o RMA e
BA!3':. Ysto , n&o incor+ora volatilidade estoc0stica.
7/23/2019 Aula5 - Value-at-Risk
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Aula 5 )
&imulao 'ist(ri!a
Sol%&o -8 Amostrar mais freq;entemente das observa%Ces mais
recentes.
odoXh, !ichardson, e Rhitela\ 9-H: +ro+Cem ma
vers&o dessa aborda*em no qal o +eso da observa%&o n]-dias atr0s i*al a lambda vees o +eso da observa%&o ndias
atr0s. Para determinar o +articlar +ercentil necess0rio
ordenar as observa%Ces dos ltimos Ndias e, come%ando da
menor, acmlar os +esos at che*ar no +ercentil.
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Aula 5 /5
&imulao 'ist(ri!a
Sol%&o 28 Ajstar as observa%Ces +ela volatilidade
BA!3'KRMA estimada diariamente 9'll e Rhite, -H:.
Seja *ta varia%&o +ercental hist(rica na data t.
Seja t a volatilidade BA!3'KRMA no dia t e N avolatilidade BA!3'KRMA no dia N 9hoje:. nt&o
devemos *t+or *t^onde
t
t
Nt
*
* =^
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Aula 5 /-
&imulao 'ist(ri!a
Eerc1cio8 A+liqe os dois mtodos anteriores +ara a carteira no
dia 5/K--K5/ formada +or -5.555 a%Ces de Petrobras.
7/23/2019 Aula5 - Value-at-Risk
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+eitura
Jorion, 9255G: ? Vale#at#!isX
3a+1tlos 6, G e -5.
'll, J. O+tions, =tres and Other Derivatives, 255.
3a+1tlo -.
odoXh, J., M. !ichardson, and !. Rhitela\, _Lhe est of
oth Rorlds,_R+S,- Ma` -H, ++. /#G.
'll, J. 3, and A. Rhite, _Yncor+oratin* Volatilit` U+datin* into
the 'istorical Simlation Method for Vale at !isX,_ournal of
Risk- -, no. - 9-H:, 6#-.