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Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Datumsproblematik
• Mathematisches Problem
• Standardverfahren
• S-Transformation
• Bemerkungen
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Datumsproblematik
Bedingung bisher immer: Normalgleichungsmatrix ist regulär
Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das nicht immer der Fall
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Problem der Relativmessungen
• Strecken, Richtungen, Winkel, Höhen-differenzen definieren nur die innere Geometrie
• 3 Winkel gemessen:Maßstab, Ort und Ori-entierung unbestimmt
Lösung bisher: Festhalten von Koordinaten
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Was ist die Datumsfestlegung?
Eindeutiger Bezug zwischen– der Geometrie des Netzverbundes (innerer
Geometrie) und– dem Koordinatenrahmen
ohne die innere Geometrie zu zerstören(Niemeier 2002, S. 230)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ursachen für Singularität
• Unbestimmtheit des geodätischen Datums
• Konfigurationsdefekt – das Beispiel ist nicht lösbar, wenn die Pfeile Streckenbeobachtungen darstellen
Konfigurationsdefekte werden hier nicht behandelt
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Mathematisches Problem
Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: v=Ax-l
(n,u)-Matrix A mit n>u regulär, also rkA=u
Daher N=ATA regulär weil rkN=u
Somit eindeutige Qxx=N-1
Was passiert bei Rangdefizit?
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beispiel
Gemessen 3 HöhenunterschiedeAlle Höhen Unbekannte
dh12=H2-H1
dh23=H3-H2
dh31=H1-H3
Summe der Zeilen gibt Nullvektor linear abhängigRangdefizit d = 1Lösung: generalisierte Inverse
101
110
011
A
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Direkte Lösung singulärer Gleichungssysteme
Über generalisierte Inverse möglich
Beispiel Bjerhammar‘sche Inverse
Ausgangspunkt Cy = x mit rechteckiger Matrix mCn mit m ≤ n und r ≤ m
Lösung gegeben durch y = CT(CCT)-1x
Lösungsvektor hat minimale Länge yTy=min
Bedingte Ausgleichung: r = m
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Bjerhammar‘sche Normalinverse (1)
Definiert als CT(CCT)-1
Angewendet auf singuläres System Nx = n mit C = CT = N erhalten wir x = N(NN)-1n mit xTx=min
Als Funktion von l können wir schreibenx = N(NN)-1ATl = Dl
Für die Kofaktormatrix folgtQ = DDT = N(NN)-1ATA(NN)-1N, alsoQ = N(NN)-1N(NN)-1N
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Bjerhammar‘sche Normalinverse (2)
Q heißt stochastische Ringinverse von N
Eigenschaften:– Quadratisch– Symmetrisch– Singulär– x=Qn
– tr Q = min– tr Q = tr [N(NN)-1]
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Pragmatische Lösung Höhennetz
Problem: Datumsdefekt 1, Netz kann beliebig entlang der z-Achse verschoben werden
Lösung: Festhalten eines Punktes
Frage: Welchen Punkt festhalten?Unterschiedliche Resultate!
Weitere Lösungen: zusätzliche Bedingung– Für die Punkthöhen
z.B. Mittlere Höhe gleich Null– Für die Zuschläge zu den Näherungswerten
z.B. Summe der Zuschläge Null (aus xTx = min)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Lösung
Singuläre Matrix um den Eigenvektor zum Eigenwert =0 ergänzen
n-facher Eigenwert – n Vektoren
Berechnung: Spektralzerlegung
Funktioniert auch, wenn Datumsdefekt nicht bekannt
Nicht anwendbar bei singulärer Kofaktor-matrix
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Geometrische Interpretation
• 2D-Netz: Netz kann gedreht, skaliert und in 2 Richtungen verschoben werden – 4 Datumsparameter
• 3D-Netz: Netz kann um 3 Achsen gedreht, skliert und in 3 Richtungen verschoben werden – 7 Datumsparameter
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Datumsdefekte/freie Parameter
Dim. Netztyp max. Anzahl d. Datumsdefekte
freie Datumsparameter
1D Höhennetz Schwerenetz
1 Translation z
2D Lagenetz 4 Transl. x,y
Rotation z
Maßstab
3D 3D-Netz 7 Translation x, y, z
Rotation x, y, z
Maßstab
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Datumsbestimmende Anteile von Beobachtungen
Elimination von Datumsparametern durch geeignete Beobachtungen– Maßstab – Strecke– Rotation um z – Azimut– Rotationen um x und y bei 3D-Netzen –
Zenitdistanzen– Translationen – GPS
Problem: Willkürliche Festlegung!
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Datumsfreies Konzept
Relative Beobachtungen: datumsfrei
Beobachtungen mit absolutem Bezug: datumsbestimmende Informationen
Problem: Wie weit kann der datums-bestimmende Anteil verwendet werden?
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Datumsbestimmende Anteile
Messgröße Datumsbestimmende Information
Strecken Maßstab des Netzes
Azimute Orientierung um z-Achse
Mind. 2 Zenitdistanzen Rotation um x- und y-Achse
Höhendifferenzen Maßstab der Höhen
GPS-Koordinaten für mind. 2 Punkte
3 Translationen, 3 Rotationen, Maßstab
GPS-Koordinatendifferenzen für mind. 2 Punkte
3 Rotationen, Maßstab
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zusatzparameter
Bisherige Behandlung: Verwendung des datumsbestimmenden Anteiles für die Datumsfestlegung
Frage: Wie kann der datumsbestimmende Anteil eliminiert werden?
Lösung: Einführen von ZusatzparameternDadurch wird die ursprüngliche
Bewegungsfreiheit wiederhergestelltAuch möglich: Nur einen Teil freigeben
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Typische Zusatzparameter
• Strecken: Maßstab als (1 + m)
• Azimut: Gemeinsame Orientierung für alle Azimute (oder getrennt nach Geräten)
• GPS-Datensätze: 4-Parameter-Transformation für den gesamten Koordinatensatz
212
21212 )()()1( yyxxms
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
GPS-BeobachtungenXYZ-Koordinaten geozentrisch müssen
umgewandelt werden– Transformation über bekannte Parameter– Lokale Transformationsparameter über Passpunkte
Nichtlineare Verbesserungsgleichungen für 2D-Fall mit Parametern Translationen in x und y, Rotation und Maßstab (Niemeier 2002)
AsAs
AsAs
omxxomyyyyy
omyyomxxxxx
sin)1)((]1cos)1)[((
sin)1)((]1cos)1)[((
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Standardverfahren
• Zwangsfreie Lagerung
• Freie Ausgleichung
• Gezwängte Ausgleichung (auch: hierarchische Ausgleichung)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zwangsfreie Lagerung (1)
Datumsdefekt d
d geeignete Koordinaten festgehalten
Entsprechende Spalten in A gestrichen Zeilen/Spalten in Qxx fallen weg
Keine Varianzinformation für gestrichene Koordinaten, daher zero-variance computational base
Nicht alle Kombinationen löst Rangdefizit
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zwangsfreie Lagerung (2)
Datum festgelegt durch Datumspunkte
Varianz der berechneten Punkte hängt von der Wahl der Datumspunkte ab!
Auswahl der Datumspunkte muss sorgfältig geschehen!
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Freie Ausgleichung
• Innere Geometrie soll durch die Lagerung nicht beeinflusst werden
• Datumspunkte sollen an der Ausgleichung teilnehmen Varianzen für Datumspunkte
Ansatz: Bedingungen für Unbekannten-zuschläge einführen
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lagenetz (1)
Datumsdefekt 4
Bedingung xTx = min
Ableiten und Null setzen:
‚Einschwimmen‘ auf Näherungskoordinaten
0)(
0)(
0
0dx
Maßstab
zumRotation
yinnTranslatio
xinnTranslatio i
iiii
iiii
i
dyydxx
dyxdxy
dy
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lagenetz (2)
Bedingungen zwischen Unbekannten
dargestellt als Bedingungsmatrix
Parameter in Reihenfolge y, x
Widerspruch Anfangs Null
mm
mm
T
xyxy
yxyx
11
11
0101
1010
G
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lagenetz (3)
Erweitertes Normalgleichungssystem
Rechnung wie bei Ausgleichung vermit-telnder Beobachtungen mit Bedingungen
Auflösung liefert
0
PlA
k
x
0G
GPAA T
T
T
kkkx
xkxx
T
T
0G
GPAA1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lagenetz (4)
Anzahl der Freiheitsgrade: n – u + d
Varianz der Gewichtseinheit a posteriori:
Das Verfahren heißt auch: Ränderung mit Ränderungsmatrix G
G: Eigenvektoren zum d-fachen Eigenwert =0 von N Spektralzerlegung
duns
T
Pvv20
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
3D-Netz
nnn
nn
nn
nnT
zyxzyx
xyxy
xzxz
yzyzG
111
11
11
11
00
00
00
100100
010010
001001
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gesamtspurminimierung
Erstellung einer Ränderungsmatrix G
Koordinaten in Abhängigkeit von allen teilnehmenden Unbekannten berechnet
G muss das Rangdefizit ausgleichen
Varianzinformation für alle Unbekannten
Resultierende Genauigkeit ist innere Genauigkeit
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Teilspurminimierung
Bedingungen wie bei Gesamtspurminimierung
Nicht alle Punkte in den Bedingungen berücksichtigt
Anwendungsfälle:– Verdichtung, auf übergeordneten Punkten gelagert– Unterschiedliche Qualität von Näherungskoordinaten
Grundmodell: Gi = EiG mit Auswahlmatrix Ei
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gezwängte Ausgleichung
Übergeordnete Punkte mit festen Koordinaten
z.B. EP-Netz in KT-Feld
Auch: Ausgleichung unter Anschlusszwang
Formal wie zwangsfreie Ausgleichung
Innere Geometrie wird verzerrt, Spannungen werden übertragen
Keine Genauigkeit für Anschlusspunkte
Genauigkeitsmaße von der Wahl der Festpunkte abhängig
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (1)
Similarity Transformation = differentielle Helmert-Transformation für Parameter und Kovarianzmatrizen (Baarda, 1973)
Bisher: Festlegung von Datum i durch Einführung von d Gleichungen
Erweitertes Normalgleichungssystem:
0xG iTi
0
n
0
n
0G
GN
k
x
ii
ii
Ti
ii
,22,21
,12,11
1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (2)
Lösungsvektor: mit
Dabei stammt Qi aus der Gesamtinversion des erweiterten Systems
Index i weil spezielle Lösung abhängig von gewähltem Datum
Lösungsvektor und Kofaktormatrix sind datumsabhängig
nQx ii ,11iiixx QQQ ,11,
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (3)
Multiplikation der Normalgleichungsmatrix mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix
Einzelprodukte ergeben
I0
0I
0G
GN
ii
ii
Ti
i
,22,21
,12,11
IQG
0QG
0QGNQ
IQGNQ
iTi
iTi
iii
iii
,12
,11
,22,12
,21,11
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (4)
Eigenvektoren von Nx=n in orthonormaler (u,d)-Eigenvektormatrix E
Es gilt AE=0, ETAT=0
Nun von links mit ET multipliziert:
Also:
IQGNQ iii ,21,11T
iiT
iTT EQGEPAQAE
0
,21,11
Tii
T EQGE ,21
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (5)
Bedingungsmatrix Gi besteht aus d linear unabhängigen Zeilen
Zusätzlich linear unabhängig von Design-matrix A (beheben Datumsdefekt!)
Somit Gi und E im selben Vektorraum und ETGi ist regulär, also
Ti
Ti EGEQ
1
,21
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (6)
Eingesetzt in ursprüngliche Gleichung gibt
Einfache Umformungen liefern
Transponierte Form dieser Matrix wird als Si-Matrix bezeichnet
IEGEGNQ T
iT
ii
1
,11
Ti
Tii EGEGINQ
1
NQGEGEIS iTi
Tii
1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (7)
Andere Datumsfestlegung k: Qk, Gk
Qk mit S-Matrix von links und rechts multipliziert liefert
Qk ist eine beliebige verallgemeinerte Inverse von N, daher gilt NQkN=N
Somit ist jederzeit ein Datumswechsel
möglich
ikiTiki NQNQQSQS
iiiTiki QNQQSQS
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (8)
Transformation des Lösungsvektors: von links mit Qi multipliziert liefert
Dabei ist x ein beliebiger Lösungsvektor – auch der vom Datum k ist möglich, daher
nNx nQNxQ ii
iki xxS
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
S-Transformation (9)
Transformation der Lösung (xk,Qk) im Datum k auf Datum i erfolgt über
Somit kann a priori festgelegtes Datum geändert werden ohne neu auszugleichen
Tikii
kii
SQSQ
xSx
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Abschließende Bemerkungen
• Weiche Lagerung
• Netze in der Landesvermessung
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Weiche Lagerung (1)
Verwendung stochastischer Vor-information über Anschlusspunkte
Gruppierung in Neu- und Anschlusspunkte
Zusätzlich soll gelten
Zusammen ergibt sich
NA
NANN l
x
xAAv
AAAA xIvl
A
N
A
N
A
AN
A
N
l
l
x
x
I0
AA
v
v
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Weiche Lagerung (2)
‚Beobachtungsvektor‘ lA enthält die Koordinaten der Anschlusspunkte als Beobachtungen
Reguläres Problem, wenn Anzahl der ein-geführten Koordinaten größer als Rang-defizit und Koordinaten lösen Rangdefizit
Kovarianzinformation AA for lA
Stochastisches Modell:
AA
ll
0
0
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Weiche Lagerung (3)
Minimumsforderung vTPv angewendet auf gesamten Verbesserungsvektorgibt
Hybride MinimumsforderungÄnderung der Netzgeometrie!Über unterschiedliche Varianzen der
Gewichtseinheit für AA und ll Steuerungsinstrument für Einpassung von GPS-Beobachtungen
TATN vv
min11 AAA
TANLL
TN vvvv
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Netze der Landesvermessung (1)
Früher: Triangulationen mit wenigen Strecken (Invardraht-Basen)
Weiträumiges Netz, dann verfeinert (Kataster-Triangulierung I. – V. Ordnung)
Nicht komplett streng ausgeglichen, daher Klaffungen (auch wegen Punktver-schiebungen und Genauigkeitssteigerung bei Messgeräten)
Art der Ausgleichung: Bedingt!
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Netze der Landesvermessung (2)
Problem: Erde ist nicht stabil
Untersuchung des BEV in Vorarlberg : 7% der untersuchten Festpunkte bewegen sich
Was bedeutet das für die abgeleiteten Daten?
Wie geht man sinnvoller Weise bei der Homogenisierung vor?
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