Autómatas finitos deterministas

Dr. Julio J. Águila G.

22 de agosto de 2004

Última revisión: 29 de agosto de 2019

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Contenidos

Autómatas finitos deterministas.

Conversión desde AFN hacia AFD.

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Definición AFD

Un autómata finito determinista ( AFD) es un caso especial de un autómata finito no determinista, en el cual:

1. Ningún estado tiene una transición vacía.

2. Para cada estado s y cada símbolo de entrada a, hay a lo sumo una arista etiquetada a que sale de s.

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Autómata

AUTÓMATA

reconocedor

de un

lenguaje:

¿pertenece la

palabra al

lenguaje?

palabra

de

entrada

Solo hay dos

respuestas

posibles: SÍ o

NO

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Algoritmo de reconocimiento estado= s0

carácter_de_entrada= yylex()

mientras carácter_de_entrada ≠ EOF hacer

estado= mueve( carácter_de_entrada, estado)

carácter_de_entrada= yylex()

fin mientras

si estado ∈ F entonces

regresar “Sí pertenece”

sino

regresar “No pertenece”

fin si

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Ejemplo AFD (a|b)*abb

Sea entonces M un AFD, tal que M= { S, Σ, Δ, s0, F} donde:

S= { 0, 1, 2, 3}

Σ= { a, b}

Δ= { { 0, a, 1}, { 0, b, 0}, { 1, a, 1}, { 1, b, 2}, { 2, a, 1}, { 2, b, 3}, {3, a, 1}, { 3, b, 0}}

s0= {0}

F= {3}

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Diferencia con AFN (a|b)*abb

Sea entonces M un AFN, tal que M = {S, Σ, Δ, s0, F} donde:

S= { 0, 1, 2, 3}

Σ= { a, b}

Δ= { { 0, a, {0,1}}, { 0, b, {0}}, {1, b, {2}}, { 2, b, {3}}}

s0= {0}

F= {3}

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Ejemplo AFD (a|b)*abb

a

Inicio

2 a b

1 0 3

a

b b

b

a

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Diferencia con AFN (a|b)*abb

0 1 2 3 Inicio

a

a

b

b b

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Diferencia con AFN (a|b)*abb

Inicio

2

a

3

4

b

5

6 1

7 0

8 10 9

a b b

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Tabla de Transiciones (a|b)*abb

E s ta d o s a b

0 1 0

1 1 2

2 1 3

3 1 0

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Diferencia Tabla de Transiciones (a|b)*abb

Estado

Símbolo de Entrada

a

b

0

{0,1}

{0}

1

-

{2}

2

-

{3}

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Movimientos del AFD

a a b b

0 -> 1 -> 1 -> 2 -> 3

a a b a

0 -> 1 -> 1 -> 2 -> 1

No existen más caminos para las cadenas

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Diferencia Movimientos del AFN

a a b b

0 -> 0 -> 1 -> 2 -> 3

a a b a

0 -> 0 -> 0 -> 0 -> 0

a a b b

0 -> 0 -> 0 -> 0 -> 0

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Implementación

Está claro que la construcción de un AFN es más sencilla y directa que la de un AFD, sin embargo la implementación en un programa de computador podría resultar en una simulación bastante dificultosa debido al hecho de que en la mayoría de los casos se debería probar todos los caminos antes de decidir si una cadena pertenece o no al lenguaje.

Por lo tanto, mediante un método denominado construcción de subconjuntos de Thompson, convertimos un AFN en AFD y así podemos aplicar el algoritmo que se mostró al principio del capítulo.

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Conversión de un AFN en AFD

Construcción de subconjuntos de Thompson

Informalmente el proceso de transformación de un AFN en AFD se puede describir de la siguiente forma:

Paso 1:

Se calcula el conjunto cerradura-ε( s0), i.e. el conjunto de todos los estados posibles que son alcanzables solo con transiciones ε desde el estado s0, incluido el mismo.

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cerradura- ε({0}) = {0, 1, 2, 4, 7}

Inicio

2

a

3

4

b

5

6 1

7 0

8 10 9

a b b

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Paso 2:

Se calcula el conjunto cerradura- ε( mueve( A, a)) donde A representa el conjunto creado en el paso 1, a representa cada letra del alfabeto y mueve( A, a) es el conjunto de estados que se pueden alcanzar desde A con a.

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mueve( { 0, 1, 2, 4, 7}, a)) = { 3, 8}

Inicio

2

a

3

4

b

5

6 1

7 0

8 10 9

a b b

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cerradura- ε({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

Inicio

2

a

3

4

b

5

6 1

7 0

8 10 9

a b b

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Paso 3: el paso 2 se repite hasta que no puedan crearse nuevos conjuntos.

a b

{0 , 1 , 2 , 4 , 7 } {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 }

{1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 }

{1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 } {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 }

{1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 } {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 0 }

{1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 0 } {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 }

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Los conjuntos creados representan los estados del AFD. Aquellos conjuntos que contengan estados finales del AFN se consideran finales para el AFD.

a b

A B C

B B D

C B C

D B E

E B C

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AFD de (a|b)*abb

a

Inicio

D a b B A E

a

b

b

b

a

C

a

b

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Minimización del número de estados

a b

A B C

B B D

C B C

D B E

E B C

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Resultado de la minimización

a b

A B A

B B D

D B E

E B A

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AFD (a|b)*abb

a

Inicio

D a b

B A E

a

b b

b

a

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Minimizando el AFN

Inicio

2

a

3

4

b

5

6 1

7 0

8 10 9

a b b

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AFN sin transiciones vacías

0 1 2 3 Inicio

a

a

b

b b

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Aplicando la transformación

a b

A = {0 } {0 , 1 } = B {0 } = A

B = {0 , 1 } {0 , 1 } = B {0 , 2 } = C

C = {0 , 2 } {0 , 1 } = B {0 , 3 } = D

D = {0 , 3 } {0 , 1 } = B {0 } = A

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AFD (a|b)*abb

a

Inicio

C a b

B A D

a

b b

b

a