Semana 3: Formulación de modelos de programación lineal en general y solución con software

1. Al gerente de AFP Horizonte se le ha pedido invertir $1’000,000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategia de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción) 45 76 110 17 23 22Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para este fin, la administración de pensión Horizonte ha especificado las siguientes pautas:1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75 por ciento de la cartera.2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30 por ciento de la cartera.3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de AFP Horizonte ha especificado que la cantidad invertida en los fondos 1, 2 y 3 deben estar en relación 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la relación 1:2.

Con estas pautas ¿Qué cartera usted debe recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?

2. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12. Además:a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras.c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos el 10 por ciento del paquete total.Construya un modelo programación lineal para determinar la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo.

3. Un problema de producción: En una planta se pueden fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C y D) en cualquier combinación. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla 1. Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por libra, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2, y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada libra del producto A es de $3. El costo del

material es de $1 para cada libra de los productos B, C y D. Formule un modelo de programación lineal que maximice la utilidad para este problema.

TABLA Tiempo de máquina (minutos por libra de producto)

MAQUINA DEMANDAPRODUCTO 1 2 3 4 MÁXIMA(libras)

A 10 5 3 6 100B 6 3 8 4 400C 5 4 3 3 500D 2 4 2 1 150

4. Una compañía desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:

Propiedad1 2

Aleación3 4 5

% de aluminio 60 25 45 20 50% de zinc 10 15 45 50 40% de plomo 30 60 10 30 10Costo ($/libra) 22 20 25 24 27

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal para este problema.

5. Un problema de programación: Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se las contrata para trabajar seis horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la siguiente tabla se presentan las necesidades de contratación. Necesidades de contratación de camareras

DIA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

NUMERO MINIMO DE HORAS DE

CAMARERAS NECESARIAS

150 200 400 300 700 800 300

Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mínimo. Formule este problema como un programa lineal.

6. Planificación de personal. Una empresa de seguridad tiene a su servicio la vigilancia de un aeropuerto y debe cubrir las necesidades de personal durante los seis períodos de 4 horas en que está dividido el día, como se recoge en la siguiente tabla:

Período de tiempo Duración del período Necesidades de personal1 12 AM – 4 AM 272 4 AM – 8 AM 303 8 AM – 12 PM 524 12 PM – 4 PM 565 4 PM – 8 PM 676 8 PM – 12 AM 48

Los vigilantes trabajan en turnos de 8 horas seguidas, con 6 cambios posibles de turno a lo largo de las 24 horas, correspondientes a las horas de comienzo y finalización de los períodos en la tabla anterior. El director de personal de la empresa desea conocer cuántos vigilantes deben trabajar en los diferentes turnos de ocho horas de manera que todos los períodos sean cubiertos y el total de personal utilizado sea mínimo.

7. McSalsa produce dos salsas para carne: Diablo picante y Barón rojo (la más suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. Mc Salsa puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo de programación lineal cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.   INGREDIENTE   PRECIO DE

SALSA A B POR LITRO ($)Diablo picante cuando menos 25% cuando menos 50% $3.35

Barón rojo cuando mucho 75% @ $2.85Costo por litro $1.60 $2.59

@ = No existe restricción

8. Se desea determinar la forma óptima de maximizar los beneficios derivados de la elaboración de 3 tipos de chocolates cuyos ingredientes son: cacao, leche, azúcar. La primera mezcla debe tener por lo menos 50% de cacao y 25% de azúcar cuando más y se vende a 3 soles el kilo. La segunda mezcla debe tener 25% de cacao por lo menos y 50% de azúcar cuando más y se vende a 2.50 soles el kilo. La tercera mezcla se vende a 2 soles el kilo.Se sabe que sólo existe 100 kilos de cacao, 100 kilos de azúcar y 60 litros de leche. Cada kilo de cacao vale 1.30 soles, de azúcar 1.50 soles, un litro de leche en 1.50 soles. Establecer las proporciones del cacao, leche y azúcar que conformarán las mezclas.

9. Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1,000 de 56 pulgadas. Si la papelería tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho, ¿cómo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel? Formular un programa lineal para este objetivo.

10. Dos aleaciones A y B se hacen de cuatro metales diferentes I, II, III, IV de acuerdo con las especificaciones siguientes.

Los cuatro metales se extraen de diferentes minerales cuyos constituyentes en porcentaje de estos metales, cantidad máxima disponible y costo por tonelada se tabulan como sigue.

MineralCantidad máxima

(toneladas

Constituyentes (%) Precio ($ / ton)

I II III IV OTROS1 1000 20 10 30 30 10 30

2 2000 10 20 30 30 10 40

3 3000 5 5 70 20 0 50

Los precios de venta de las aleaciones A y B son 200 y 300 $/tonelada. Formule el problema como un modelo de programación lineal eligiendo la función objetivo apropiado que hará el mejor uso de la información dada.

11. La compañía Bata es la más grande productora de zapatos, como usted sospecha, existe una estimación de alta demanda, con un máximo en los meses de invierno y un mínimo en los meses de verano. Conociendo los costos y el pronóstico por trimestre; formule un programa de programación lineal que minimice los costos y satisfaga la demanda.

Pronóstico de ventasTrimestre 1 2 3 4

Pares 50,000 150,000 200,000 52,000Costo de llevar inventario $3.00 Por par de zapatos por

trimestreProducción por empleado 1,000 pares de zapatos por

trimestreFuerza de trabajo regular 50 trabajadoresCapacidad en horas extras 50,000 pares de zapatosCapacidad de subcontratar (Maquila) 40,000 pares de zapatosCosto de producción regular $50.00 por par de zapatosCosto de producción en horas extras $75.00 por par de zapatosCosto de producción subcontratada $85.00 por par de zapatos

12. La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día y la ciudad 2 produce 400 toneladas por día. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 ó 2, y cada incinerador puede procesar hasta 500 toneladas de basura por día. El costo de incinerar la basura es US$ 40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos depósitos. Cada depósito puede recibir a lo más 200 toneladas de cenizas por día. El costo es de US$ 3/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las distancias en millas se muestran en la tabla.Formule el problema de programación lineal que se puede usar para minimizar los costos.

Incinerador 1 Incinerador 2

Aleación Especificaciones

A

A lo más 80% de I A lo más 30% de IIAl menos 50% de IV

B

Entre 40% y 60% de IIAl menos 30% de IIIA lo más 70% IV

Ciudad 1 30 5Ciudad 2 36 42

Botadero 1 Botadero 2Incinerador 1 5 8Incinerador 2 9 6