Automaatjuhtimissüsteemid

ISS0021 2-2-0 E 6 EAP

Modaaljuhtimine olekuruumis

Ennu Rüsternennu.rustern@ttu.ee, TTÜ U02-316, tel.

6202104TTÜ automaatikainstituut

Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool

Modaaljuhtimine olekuruumis

Teooria (SISO süsteemide näitel): Olekuregulaatori arvutus (eeldus – juhitav süsteem

on täielikult juhitav)

Olekutaastaja arvutus (eeldus – jälgitav süsteem on täielikult jälgitav)

Staatilise vea probleem juhtimissüsteemides (ehk nn integraatorite probleem juhtimissüsteemides)

Olekuregulaatori arvutus

● Juhitav süsteem:

● Olekuregulaator:

BuAxx u = -Kx

A – nxnB – nx1K –1xn

Tagasisidestatud süsteemi võrrand:

xBKAx )( Viimase lahend

).0()( )( xetx tBKATagasisidestatud süsteemi (soovitud) omaväärtused

nBKA ,,,: 21

Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav s.t.

BAABBQ 1n

C

juhitavusmaatriksi astak .nQrank C

Defineerime lineaarteisenduse T=QC∙W, kus

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

Wnn

nn

Maatriksi W elementideks on maatriksi A karaktelistliku polünoomi kordajad nn

nn asasasAsI

1

1

1det

Defineerime uue olekuvektori x järgmiselt

xTx ˆ

Juhitav süsteem teisendatud olekuruumis

uBTxATTxBA ˆ

1

ˆ

1 ˆˆ , kus

,

1000

0100

0010

ˆ

121

aaaa

A

nnn

1

0

0

0

ˆ B

nn. olekumudeli juhitav kanooniline kuju!

Tagasisidestatud süsteemi etteantud (soovitud) karakteristlik polünoom

nn

nn

n ssssss

1

1

121 )())(( (*)

Olekuregulaator teisendatud olekuruumis

11ˆ

ˆ,ˆ nn

K

KxKTu

ja tagasisidestatud süsteemi võrrand

xKBAx ˆ)ˆˆˆ(ˆ

NB! Süsteemi karakteristlik polünoom on invariantne regulaarse

lineaarteisenduse suhtes.

KBAsIBKAsI ˆˆˆdetdet

11

11

.

1

0

0

0

1000

0100

0010

det

nn

nn aaa

sI

1111

0

1

det

asaa

s

s

nnnn

)()()( 11

1

11 nnnn

nn asasas (**)

(*) ≡ (**)

nnnnnn aa

aa

aa

222222

111111

1ˆˆ TKKKTK 1

11

Tnn

1

112211

Taaaa nnnn

st tagasisidemaatriksi K valikuga on tagatav suvaline suletud süsteemi omaväärtuste paigutus (eeldusel, et süsteem on täielikult juhitav!)

Olekuregulaatori arvutusskeemJuhitav süsteem: BuAxx Olekuregulaator: u = -KxTagasisidestatud süsteemi omaväärtused: n ,,, 21

1.samm - juhitavuse kontroll

Kui rank QC= n, siis 2.samm

2.samm - leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi

.,,,det 211

1

1 nnn

nn aaaasasasAsI

3.samm - leiame teisendusmaatriksi T

T=QC∙W4.samm - arvutame tagasisidestatud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi

n

nn

nn

n ssssss

,,,

)())((

21

1

1

121

Kui rank QC< n, siis süsteem mittejuhitav

5.samm - leiame regulaatori maatriksi K

Kommentaarid:1) Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja juhtimissüsteemide disainil

2) Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada tagasisidemaatriksi K maatriksi elemendid otse polünoomvõrrandist

).())((det 21 nsssBKAsI

1

112211

TaaaaK nnnn

↓

Olekutaastaja arvutus

● Jälgitav süsteem:

Cxy

BuAxx A – nxnB – nx1K –1xn

● Olekutaastaja: )ˆ(ˆˆ xCyLBuxAx

x on oleku x hinnang!

vigax

x

xxLCA

xCCxLxAAxxx

~

~

)ˆ()(

)ˆ(ˆˆ

)0(~)(~

,~)(~

)( xetx

xLCAxtLCA

→ veavõrrand

Süsteemi jälgitavusmaatriks

TnTTTT CACACQ 1

0 )( Süsteem on täielikult jälgitav, kui Q0 astak rank Q0=n.

Jälgitava süsteemi karakteristlik polünoom:

nn

nn asasasAsI

1

1

1det Defineerime lineaarteisenduse T kujul

,)( 1

0

TQWT

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

Wnn

nnelemendid on jälgitava süsteemi karakteristliku polünoomi kordajad!

kus

Defineerime uue olekuvektori kujulTx

Jälgitav süsteem teisendatud olekuruumis

,~

~

1

~

1

C

BA

CTy

uBTATT

kus

,~,

100

010

001

000

~

011

011

0

1

2

1

bab

bab

bab

B

a

a

a

a

A nn

nn

n

n

n

100~ C nn. jälgitav kanooniline kuju

Veavõrrand uues olekuruumis:

~)(~

~)(~

~~

1 TLCAT

TLCAT

Tx

NB! A-LC karakteristlik polünoom on invariantne teisenduse T suhtes.

Tähistame

1

112

1

n

n

n

LTja

l

l

l

L

Kuna ,1000 CT siis

1

1

1

11

00

000

000

100

n

n

n

n

LCTT

ja

11

22

11

1

100

010

001

000

)(

a

a

a

a

TLCAT nn

nn

nn

Karakteristlik polünoom

11

22

11

1

000

10

01

00

))(det(

as

as

as

as

TLCATsI

nn

nn

nn

)()()( 2

22

1

11 nn

nnn asasas

11

111222

111

a

a

a

LT

a

a

a

nn

nn

nnn

Etteantud karakteristlik polünoom

n

nnn sss 2

2

1

1

n

nn

nn

l

l

l

a

a

a

TL2

1

11

21

Olekutaastaja arvutusskeem

Jälgitav süsteem:

Olekutaastaja:

Cxy

BuAxx

)ˆ(ˆˆ xCyLBuxAx

Suletud süsteemi omaväärtused: n ,,, 21

1. samm – jälgitavuse kontroll

Kui rank Q0= n, siis 2.samm

2. samm – leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi

nnn

nn aaaasasasAsI ,,,)det( 211

1

1

3. samm – leiame teisendusmaatriksi T1

0 )( TQWT

Kui rank Q0< n, siis süsteem mittejälgitav

4. samm – arvutame suletud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi

nnn

nn

n ssssss ,,,)())(( 211

1

121

5. samm – leiame olekutaastaja tagasiside maatriksi L

n

nn

nn

l

l

l

a

a

a

TL2

1

11

11

Kommentaarid:

1) Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja olekutaastajate disainil.

2) Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada tagasiside maatriksi L elemendid otse polünoomvõrrandist

.det 1

1

1 nn

nn sssLCAsI

Olekutaastaja mõju tagasisidestud süsteemis

Juhitav süsteem:

Cxy

BuAxx

Olekuregulaator: xKu ˆ

xLCAx

xBKxBKAx

xxx

xxBKxBKAxBKAxx

~)(~

~)(

ˆ~)ˆ()(ˆ

olekutaastaja veavõrrand

x

x

LCA

BKBKA

x

x~0

Karakteristlik võrrand

LCAsI

BKBKAsI

0det

0)det()det( LCAsIBKAsI

Järeldus: Olekuregulaatori ja olekutaastaja arvutused on sõltumatud. Saadav juhtimissüsteem on järku 2n.

Järgnevalt leiame regulaator-olekutaastaja ülekandefunktsiooni.

● Juhitav ja jälgitav süsteem:

Cxy

BuAxx

● Regulaator: xKu ˆ

● Olekutaastaja:

LyBuxLCA

xCyLBuxAx

ˆ)(

)ˆ(ˆ

L:

)()()(

)()()(ˆ

)()()(ˆ)()(

)(ˆ)(

sYLBKLCAsIKsU

sLYBKLCAsIsX

sLYsBUsXLCAssX

sXKsU

süsteemisregulaatornagutoimib

1

1

!

0)0(ˆ

eeldus

x

Integraatorite probleem tagasisidestatud süsteemides

w(t) e(t)- WR(s)

n(t)

W0(s)y(t)

Eeldame, et n(t)=0.

p

z

n

kk

N

n

ii

R

pss

zsKsW

sWsWsW

1

1

0

)(

)()(

)()()(

)()(1

1)(

)(1)(

)()(

)(

swsW

swsW

sWswse

sy

Järgnevalt analüüsime vea e(t) käitumist erinevate seadesuuruste korral.

1)sA

swtAtw )()()( 1

)0(1)(1

)(lim)(lim)(

00 WA

sWsA

ssese

ss

N = 0p

k

kk

ii k

A

p

zKA

e

p

1

1

)(

N ≥ 1 0

1

)(

kk

Ni

i

ps

zKA

e

∥0

2)2

)()(sA

swtAtw

)(lim

)(lim

)(1

)(lim)(lim)(

00

2

00

ssWA

ssWsA

sWsA

ssese

ss

ss

N = 0

N = 1

)(e

vK

kk

ii

kk

ii

s

p

zKA

pss

zsKs

Ae

)(

)(lim)(

0

N ≥ 2 0)( e

3)

)(lim

)(1

)(lim)(

20

3

0 sWsA

sWsA

se

ss

)(1

0

eN

N

akA

eN )(2 0)(3 eN

3

2

)(2

)(sA

swAt

tw

Süsteemitüüp

N

Seadesuurus w(t)

A∙1(t)

A∙t A∙t2/2

pkA

e

1

)(0

1

2

3

0

0 0

0)( e

0)( e

0)( e

∞ ∞

∞vk

A

akA

N – integraatorite arv (ehk nulliste pooluste/oma-väärtuste arv ) süsteemis

Kokkuvõte:

Järeldused staatilise vea probleemist juhtimissüsteemides (1)

Vead juhtimissüsteemis (sh staatiline viga) sõltuvad seadesuuruse iseloomust (ühikhüpe, lineaarselt kasvav funktsioon jne), regulaatori tüübist ja juhitavast süsteemist.

Pidevaja juhtimissüsteemides räägitakse nn integraatorite probleemist (teatavas mõttes on see släng).

Selgituseks: integraator on süsteem, millel on üks nulline poolus või omaväärtus; kahekordne integraator on süsteem, millel on 2 nullist poolust või omaväärtust jne.

Järeldused staatilise vea probleemist juhtimissüsteemides (2)

Juhtimissüsteemis staatiline viga on null, kui: Seadesuurus on ühikhüpe ja juhtimissüsteemis

(regulaator + juhitav süsteem) on vähemalt üks nulline omaväärtus (või poolus);

Seadesuurus on lineaarselt kasvav funktsioon ja juhtimissüsteemis (regulaator + juhitav süsteem) on vähemalt kaks nullist omaväärtust (või poolust).

Järgivsüsteemi arvutus

1) Integraatoriga juhitav süsteem● Juhitav süsteem:

Cxy

BuAxx A – nxnB – nx1K –1xn

● Järgivsüsteemi struktuurskeem

-w(t)

- -

k2

kn

k1 y=Cx

x1x2

xn

BuAxx

y=x1

Eeldame, et y=x1.

Süsteemil on tagasiside oleku järgi

)(11

n

2

1

n2xwk

x

x

x

kk0u

n21

kkkKkus ,wkKx

1

Eeldame, et seadesuurus rakendub süsteemile ajahetkel t=0

wBkxBKABuAxx0t1

)(

Olgu w hüppefunktsioon, siis järgivsüsteem peab tagama järgmist:

0u

wyt

)(

)()(

Väljakujunenud režiimis t=∞

)()()()()(

)()()()(

xtxBKAxtx

wBkxBKAx1

Defineerime järgivsüsteemi vea järgmiselt

),()()( textx saame veavõrrandi kujul

).()()( teBKAte Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav. Arvutame olekuregulaatori, mis muudab e(t)→0 suvalise algväärtuse e(0) korral, kasutades eelpool esitatud olekuregulaatori arvutusskeemi. Järgivsüsteemi dünaamilised omadused anname ette suletud süsteemi omaväärtuste kujul (λ1,λ2,…,λn).

Oleku väärtus t=∞

wBkBKAx

wBkxBKA0x

1

1

1

)()(

)()()(

ja juhttoime väärtus u(∞)

.)()( 0wkKxu1

2) Integraatorita juhitav süsteem

kI

x∫

y∫

A

B C

K

w

● Juhitav süsteem:

Cxy

BuAxx A – nxnB – nx1K –1xn

● Regulaator:

Cxwyw

kKxuI

)()()(

)(

)(

)(tw

1

0tu

0

B

t

tx

0C

0A

t

tx

- -

)()()(

)(

)(

)(

w1

0u

0

Bx

0C

0Ax

)()()()(

)()(

)()(

)()(

utu0

B

t

xtx

0C

0A

t

xtx

w(t) – hüppefunktsioon!Defineerime:

)()()(

)()()(

)()()(

ututu

tt

xtxtx

e

e

e

Saame:

,)()(

)(

)(

)(tu

0

B

t

tx

0C

0A

t

txe

e

e

e

e

kus

)()()( tktKxtueIee

Defineerime (n+1) mõõtmelise veavektori

,)(

)()(

t

txte

e

e

saame,ˆˆ

euBeAe kus

0

BB

0C

0AA ˆ,ˆ

ja ,ˆeKue

kus I

kKK ˆ

Arvutada tuleb (n+1) järku regulaator, mis muudab veavektori e(t) koordinaadid nulliks suvalise e(0) puhul vt. olekuregulaatori arvutus!

Modaaljuhtimine olekuruumis: rakendusskeemid + näited

▪ AJS kvaliteedinäitajad (reguleerimisaeg/siirdeaeg, ülereguleerimine, staatiline viga)

▪ 2.järku prototüüpülekandefunktsioon

▪ Olekuregulaator (seadesuurus Xs )

▪ Tagasiside väljundi järgi – väljundregulaator (seade-suurus Ys)

▪ Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator

▪ Olekutaastaja, vähendatud järguga olekutaastaja

▪ Olekutaastaja ja olekuregulaator juhtimissüsteemis

▪ Järgivsüsteemi (aeg – pidev, diskreetne)

▪ Mõned MATLAB/SIMULINK skeemid

Reguleerimise aeg

X(t)

0.90

0.1

δ

est

1+

trise ts

t t 0

1-1

= 5% seadesuurusest

AJS siirdekarakteristik – reaktsioon ühikhüppelisele seadesuurusele

Ülereguleerimine

Staatiline vigaSeade-suurus

AJS kvaliteedinäitajad - nõuded siirdeprotsessile

0 5 10 15 20 25 30 35 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (second)

= 0.2

0.4

= 2

= 1

0.7

n= 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

% 0.2 1.5 4.6 9.5 16.3 25.4 37.2

105

n

stligikaudne reg.aeg

staatiline ülekandetegur K = 1sumbuvus omavõnke(resonants-)sagedus n

2. järku prototüüpülekandefunktsioon

22

2

2)(

nn

n

sssF

Olekuregulaator (1)Juhitav süsteem:

Olekuregulaator (tagasiside): U = K ( Xs - X ) Krn

Antud tagasisidestatud süsteemi (nõutavad) omaväärtused: 1, 2, …, n

nm

rnnn

CCXY

BABUAXX

,

A

CBK s-1X Y

++

Xs U

+-

Juhitav süsteem

RegulaatorX

Tagasiside oleku järgi

Olekuregulaator (2)

tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand

Vastav karakteristlik polünoom: det (sI - A + BK)

AJS soovitud omadusi tagav karakteristlik polünoom :

(s) = sn + a1sn-1 + … + an = (s - 1)(s - 2) … (s - n)

n - võrrandit, r n – tundmatut, probleem !

XBKAX

X

XXBKAXX

S

S

)(

0

)(

det (sI - A + BK) = (s)

?

Olekuregulaator (3)Tagasisidemaatriksi K arvutatakse polünoomvõrrandist

det (sI - A + BK) = (s),

kus K on r x n maatriks ja polünoomvõrrand on n järku st ainult n võrrandit r x n tundmatu leidmiseks.

Probleemi lahendamiseks esitame maatriksi K kahe maatriksi p ja q korrutisena, kus p on r-elemendiline veeruvektor ja p on n-elemendiline reavektor. Valides vektori p elemendid vabalt on polünoomvõrrand lahendatav st n võrrandit ja n tundmatut.

NB! Vektori p elemendid on tõlgendatavad juhitava süsteemi sisendite kaaludena, soovitav vahemik [ 0,1]. Näiteks, väärtus 1 tähendab, et selle sisendi kaudu soovime süsteemi juhtida, väärtus 0 tähendab, et antud sisendit ei ole otstarbekas või vajalik juhtimisel kasutada.

n - võrrandit, r n – tundmatut, probleem !

Olekuregulaator – näide (1)

Juhitav süsteem:

Kontrollime juhitavust:

Z0 = - 3 ; - 4 mittejuhitav

Valime Z0 = 0

Olekuregulaatori süntees:

)(01)(

)(1

)(012

17)(

0

tXtY

tUZ

tXtX

)4)(3(

)127()7(12det

12

71

00

02000

0

0

ZZ

ZZZZQ

Z

ZABBQ

C

C

22

21

2)(

)()det(

nnsss

kkKsBKAsI

22

212

21

2121

21212)7()1(12)7(

12

17det

0

1

012

17

0

0det

nnsskskskkss

s

kkskk

s

s

Olekuregulaator - näide(2)

Arvestades nõudeid ts 10 s; 10% valime

prototüüpülekandefunktsiooni järgi 0.6; n 1

Tagasisidestatud süsteemi analüüs:

12

121212

7227

21212)7(

2

22

2

11

2221

2

nn

n

nn

kk

kk

ssksks

4

1131 21 kkn

?)(

)(

sWXCY

XXXXKUBUAXX

XX

SS

S

)()()()(

))()(()()(

)(

1 sXBKBKAsIsXsXBKsXBKAsI

sXsXBKsAXssX

S

sW

S

S

XSX

Olekuregulaator - näide(3)Tagasisidestatud süsteemi ülekandemaatriks

XS=1/s olekusiirded:

31296

1

00

1

61296

1

61296

1

12

6

12

17

41

2

41

43

2

1

43

2

1

43

21

ss

ss

s

s

ssBKBKAsI

s

s

ssBKAsI

s

s

s

kksBKAsI

s

sWtX XXL S

)()(

1

000

96

3

96

129696lim

)(lim)(

31

912

22

24

1

2

00

ssss

ss

s

ss

s

s

sWstX

s

XX

st

S

Tagasiside väljundi järgi - väljundregulaator

U = K ( Ys - Y ) Krm

n - võrrandit, r m - tundmatut

A

CBK s-1X Y

++

Ys U

+-

Juhitav ja jälgitav süsteemRegulaatorX

Tagasiside väljundi järgi

XBKCAX

Y

BKYXBKCAYYBKAXX

S

SS

)(

0

)()(

det (sI - A + BKC) = (s)

Diskreetaja juhtimissüsteemid

Juhitav süsteem:

TAGASISIDE OLEKU JÄRGI U(k) = K(XS(k) - X(k))

TAGASISIDE VÄLJUNDI JÄRGI U(k) = K(YS(k) - Y(k))

nm

rnnndd

CkCXkY

BAkUBkXAkX

)()(

,)()()1(

det (zI - Ad + BdK) = (z)

det (zI - Ad + BdKC) = (z)

Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator (1)Eeldame, et süsteem on täielikult juhitav ja jälgitav

PI - regulaator: t

SS dYYZZKYYKU0

21 )(,)(

CXZZKYKU

CXYBUAXX

,

,

21

XCY

YKUUBXAX~~~

~~,

~~~~

Z

YY

Z

XX

~

~

CXZYS ,0

A

CB-K1 s-1X Y

++

U

+-

Juhitav ja jälgitav süsteemRegulaatorX

Tagasiside väljundi järgi

s-1 -K2

ZY

Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator (2)

Moodustame üldistatud süsteemi

21

~0

0~~

0~~

0

0~~

KKKI

CC

Z

YY

BB

Z

XX

C

AA

Z

XX

XCY

YKUUBXAX~~~

~~,

~~~~

mrK

mnmC

rmnB

mnmnA

2~

)(2~

)(~

)()(~

)()~~~~

det(

~)

~~~~(

~

sCKBAsI

XCKBAX

tagasisidestatud süsteemi

vabaliikumise võrrand

? antud

PI - regulaatori näide (1)

Antud:

(s) = (s + 4)(s + 5)(s + 6) = s3 +15s2 + 74s + 120

Lahendus:

1. Juhitavuse ja jälgitavuse kontroll

2. PI - regulaatori arvutus

2221

1211

100

021~

00

20

11~

021

006

015~

kk

kkKC

BA

2120

11

06

15

CBA

)()~~~~

det( sCKBAsI

PI - regulaatori näide (2)

000

242

22

21

06

015

det

100

021

00

20

11

021

006

015

00

00

00

det

1207415)~~~~

det(

222121

221221112111

2221

1211

23

kkk

kkkkkk

s

s

s

kk

kk

s

s

s

sssCKBAsI

1203012

21019

1521

67453012

2lim5155

2212

22211211

222111

kk

Kkkkk

kevakk

PI-regulaatori näide (3)

3. Tagasidestatud süsteemi analüüs

X(0) = 0

U(s) = K1[YS(s)-Y(s)] - s-1K2 [YS(s)-Y(s)] = [K1 - s-1K2][YS(s)-Y(s)]

Y(s) = C(sI - A)-1BU(s)

Y(s) = C[sI-A]-1B[K1 - s-1K2][YS(s)-Y(s)] = WUY(s)WPI(s)[YS(s)-Y(s)]

WUY(s) WPI(s)

[I+ WUY(s)WPI(s)]Y(s) = WUY(s)WPI(s) YS(s)

Y(s) = [I+ WUY(s)WPI(s)]-1 WUY(s)WPI(s) YS(s)

WYsY(s)

)3)(2(

305

)3)(2(

12)(

ss

s

ss

ssWUY

21

20

19

151

2

1

)(

s

ssWPI

1207415

1206810)(

23

2

sss

sssW YYS

Olekutaastamine

Olekuvektori hinnang

asümptootiline:

Jälgitav süsteem: lineaarne, statsionaarne

0)]()(ˆ[lim

)(ˆ

tXtX

tX

t

)(ˆ)()(ˆ)()(

)()()(ˆ)(ˆ

tXCtYtYtYte

tLetBUtXAtX

Y

Y

)()()(ˆ)()(ˆ tLYtBUtXLCAtX

nm

rnnn

CtCXtY

BAtBUtAXtX

)()(

,)()()(

Olekutaastaja (1)

- algoleku hinnang

A

CB s-1X(t) Y

++

U

-

Jälgitav süsteem

XX(0)

A

CB s-1

++

U

Olekutaastaja

X

L

)(ˆ tX

)0(X

eY

Y

)0(X

Olekutaastaja (2)

Maatriksi A - LC omaväärtused si i = 1, …, n

Kui Re si < 0

Lnxm = ?

XXeLCAe

tXtXLCAtXtX

ˆˆ )(

))()(ˆ)(()()(ˆ

0lim ˆ Xt

e

)()det( sLCAsI

sj

Rex

x

x x

x

x

x x

eig(A)si

AJS: olekutaastajaga olekuregulaator (1)

Juhitav ja jälgitav süsteem:

Olekutaastaja:

Regulaator (tagasiside):

Tagasisidestatud süsteemi (nõutavad) omaväärtused: 1, 2, …, n

CXY

BUAXX

)ˆ(ˆˆ XXLCBUXAX

)ˆ( XXKU S

SüsteemKYXs U

+-

Regulaator

XOlekutaastaja

AJS: olekutaastajaga olekuregulaator (2)

CXY

XLCLCXXBKXAX

XBKAXX

X S

)ˆˆˆˆ

ˆ

0

X

X

LCBKALC

BKA

X

Xˆ

XXeXˆ

XX

X

eLCAe

BKeXBKAX

ˆˆ )(

)(

X

XX

e

XCY

e

X

LCA

BKBKA

e

X

ˆ

ˆˆ

0

0

A*

AJS: olekutaastajaga olekuregulaator (3)Tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom:

Diskreetaja olekutaastaja +olekuregulaatorObjekt:

jälgitav ja juhitav

Olekutaastaja:

Olekuregulaator:

)det()det()det( * LCAsIBKAsIAsI

)()det(

)()det(

sLCAsI

sBKAsI

OT

R

)()det(

)()det(

zKBAzI

zLCAzI

Rdd

OTd

)()(

)()()1(

kCXkY

kUBkXAkX dd

))(ˆ)(()()(ˆ)1(ˆ kYkYLkUBkXAkX dd

))(ˆ)(( kXkXKU S

Finiitne olekutaastaja - näide(1)Jälgitav süsteem:

Jälgitavuse kontroll:

Olekutaastaja süntees:

)(10)(

0

1)0()(

0

1)(

5,21

10)1(

kXkY

XkUkXkX

20det5,21

10

OOO QrankQ

CA

CQ

2

12)()()det(l

lLzzzLCAzI d

1015,205,2

)1()5,2(5,21

1det

0

0

5,21

1det10

5,21

10

0

0det

1122

212

2

2

1

2

1

2

1

llll

zlzlzlz

lz

l

l

z

z

l

l

z

z

Finiitne olekutaastaja – näide(2)Analüüs (st olekutaastamise vea analüüs):

01

00

5,20

10

5,21

1010

5,2

1

5,21

10LCAd

,2,1,0)()()1( ˆˆ kkeLCAkeXdX

?)(,)(ˆ)()( ˆˆ XX

ekXkXke

1

0

1

1

01

00)0()()1( ˆˆ XdX

eLCAe

1

1)0(ˆ)0()0(ˆ XXe

X

0

0

1

0

01

00)1()()2( ˆˆ XdX

eLCAe

,0

0)3(ˆ

Xe

Finiitne: 2-järku süsteemläheb 2 taktiga paika (st lõpliku siirdega)

Viga läheb 2 taktiga nulli !!

Olekutaastaja alternatiivne kuju- algoleku hinnang

A

CB s-1X(t) Y

++

U

Jälgitav süsteem

XX(0)

F=A-LC

B s-1

++

U

Olekutaastaja

X

L

)(ˆ tX)0(X

)0(X

Vähendatud järguga olekutaastaja(1)

A

CB s-1X(t) Y

++

U

Jälgitav süsteem

XX(0)

F

J s-1

++

U

Olekutaastaja

Z

L

X

1

T

C

Ideaalne oleks X=C-1Y, aga C-1 tavaliselt ei eksisteeri

Valime lineaarteisenduse Z = T·X nii ,et eksisteerib siis 1

T

C

Z

Y

T

CX

1

ˆ

Z hinnatakse n-m järkuolekutaastajaga

n-m m

n-m

n-m

Vähendatud järguga olekutaastaja(2)

Kehtivad definitsioonid: J = T·B ja F·T = T·A - L·C

Kui C on kujul [ I 0 ], siis tasub T valida kujul T= [T’ I ]; T’ (n-m)xm

T

C

F, L, T muutujatena(võrrandeid vähem, kui muutujaid)

F saab määrata valides olekutaastajale sobivad omaväärtuseddet (sI - F) = (s)

T valik peab tegema ruutmaatriksiks

võrrandsüsteem

Järgivsüsteem – tagasiside oleku järgi + integreeriv tagasiside väljundi järgi (PI)

Juhitav süsteem: antud lineaarne statsionaarne pidevaja olekumudel

A

CB

K

s-1X Y

++

U

+-

Juhitav süsteem

Regulaator

X

Tagasiside oleku järgi

s-1 Kr

Z

Tagasiside väljundi järgi

Ys

Regulaator

+

-

,ZKXKU r CXYYYZ SS

Z

Järgivsüsteem – tagasiside oleku järgi + integreeriv tagasiside väljundi järgi (PI)

Laiendatud olekuvektoriga süsteem

suletud süsteemi vea vabaliikumine

laiendatud süsteem peab olema täielikult juhitav st.

XKUYIUBXAX S

~~,

~~~~~

rKKK

II

BB

Z

XX

C

AA

Z

XX

~

0~0

~~0

0~~

)(~

)(~~

,~

)~~~

(~ XtXXXKBAX eee

rmmnPrankC

BAP

YP

U

X

S

0,

0

)(

)( 1

Järgivsüsteem – diskreetaja PI (1)Juhitav süsteem: antud lineaarne statsionaarne diskreetaja olekumudel

Ad

CBd

K

z -1

X(k+1) Y(k)++

U(k)

+-

Juhitav süsteem

Tagasiside oleku järgi

z -1

Kr

Tagasiside väljundi järgi

Ys

+-

Z(k)

Z(k-1)

++

X(k)

)()()( kZKkXKkU r

)()()1()()()1()( kCXkYkZkYkYkZkZ ss

Järgivsüsteem – diskreetaja PI (2)

Laiendatud olekuvektoriga süsteem

suletud süsteemi vabaliikumine

sdd YIkUBkXAkX~

)(~

)(~~

)1(~

II

CB

BB

kZ

kXX

ICA

AA

kZ

kXkX

d

dd

d

dd

0~

~)(

)(~0~)1(

)1()1(

~

)(~

)~~~

()1(~

kXKBAkX dd

rKKKkXKkU ~),(

~~)(

Järgivsüsteemi simulatsioon

Ysseadesuurus

+- s

1

Integrator

+++

dX/dt

A

n x n

C

m x n

X(t)B

n x r

G

Mux

Y

X

[Ys.*1.05 +/-5%

U

1/s

Integrator_

Z Mux

OLEKUMUDEL|------------------------------------------------------------|

-K2

PI reg

dZ/dt

olekuhäiringXh

Tagasisisde väljundi järgi

Tagasiside oleku järgi

Y(t)

Ysseadesuurus

+-

+++

X(k+1)

Ad

n x n

C

m x n

Bd

n x r

Gd

Mux

Y

X

Ys.*0.95] +/-5%

U

Mux

Diskr. OLEKUMUDEL|------------------------------------------------------------|

- K2d

PI reg

olekuhäiringXhTagasisisde väljundi järgi

Y(k)

++

1/z

z(k)

Tagasiside oleku järgi

1/z

Unit Delay

X(k)

Olekutagasiside simulatsioon

staatiliste ülekandetegurite korrigeerimisega

++

Ysseadesuurus

K0

Stat.korr.r x m

K

olekuregul.r x n

Xsseadesuurus

+-TS

Mux

Mux Y

[Ys.*1.05; +/-5%

X

s

1

Integrator

+++

dX/dt

A

n x n

C

m x n

X(t)B

n x r

G

OLEKUMUDEL|------------------------------------------------------------|

olekuhäiringXhTagasiside oleku järgi

U

++

Ysseadesuurus

K0

Stat.korr.r x m

Kd

olekuregul.r x n

Xsseadesuurus

+-TS

Mux

Mux Y

; Ys.*0.95] +/-5%

X

+++

X(k+1)

Ad

n x n

C

m x n

X(k)Bd

n x r

Gd

Diskr. OLEKUMUDEL|------------------------------------------------------------|

U

olekuhäiringXh

Tagasiside oleku järgi

1/z

Unit Delay