Embed Size (px)
Citation preview
AUTOMATIZAÇÃO DA DEFINIÇÃO DA PROTENSÃO
USANDO DIAGRAMAS DE MAGNEL
Carlos González Ortega
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Ricardo Valeriano Alves
Rio de Janeiro
Dezembro de 2017
ii
AUTOMATIZAÇÃO DA DEFINIÇÃO DA PROTENSÃO USANDO DIAGRAMAS DE MAGNEL
Carlos González Ortega
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
Prof. Ricardo Valeriano Alves, D. Sc. (Orientador)
Prof. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro, D. Sc.
Prof. Francisco José Costa Reis, M. Sc.
Prof. José Antônio Fontes Santiago, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
Dezembro de 2017
iii
Ortega, Carlos González
Automatização da definição da protensão usando diagramas de Magnel / Carlos González Ortega. – Rio de Janeiro: UFRJ / Escola Politécnica, 2017.
VIII, 83 p.: il.; 29,7 cm
Orientador: Ricardo Alves Valeriano, D.Sc
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica / Curso de Engenharia Civil, 2017
Referências Bibliográficas: 81-83
1. Diagramas de Magnel; 2. Protensão; 3.
Dimensionamento; I. Alves Valeriano, Ricardo. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,
Curso de Engenharia Civil. III. Automatização da definição
da protensão usando diagramas de Magnel.
iv
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais, Luis e Rocio, não só pelo
apoio incondicional durante toda essa trajetória, como também pelos valores e exemplos
que me passaram. A eles, meu maior agradecimento, todo meu orgulho e admiração.
Agradeço também ao meu irmão Jaime pelo companheirismo mostrado em todo
momento. Também, gostaria de agradecer a toda minha família, avôs, tios, e primos,
pelo suporte e apoio mostrado durante este tempo.
Aos meus companheiros intercambistas espanhóis aqui no Brasil, sem vocês,
esta experiência não teria sido a mesma.
Aos meus amigos da Espanha, que sempre me apoiaram desde a distância.
Gostaria de agradecer pela confiança ao meu orientador e professor Ricardo
Valeriano, foi sempre um grande suporte acadêmico e suas ideias foram essenciais para
a elaboração deste projeto.
A todos os professores que tive durante minha etapa acadêmica, desde o ciclo
básico até a universidade, pelos conhecimentos ensinados ao longo da minha vida.
Finalmente, gostaria de agradecer à Universidad Politécnica de Madrid e a
Universidade Federal do Rio de Janeiro por me permitir disfrutar desta maravilhosa
experiência e conhecer a cultura brasileira.
Minha gratidão a todos.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Automatização da definição da protensão usando diagramas de Magnel
Carlos González Ortega
Dezembro / 2017
Orientador: Ricardo Valeriano Alves
Curso: Engenharia Civil
Este trabalho apresenta um programa computacional elaborado para dimensionar uma
estrutura de concreto protendido aplicando os diagramas de Magnel. Este é um método
gráfico que permite obter as combinações de força de protensão e excentricidade,
considerando os diferentes estados limites correspondentes a uma seção transversal
de viga em concreto protendido. O método destaca-se por sua simplicidade e rapidez
de aplicação. Neste projeto, primeiramente, faz-se uma introdução sobre os
fundamentos do concreto protendido e do método proposto pelo engenheiro Gustave
Magnel. Para demostrar a eficiência do programa, são apresentados dois exemplos.
Após o dimensionamento dos exemplos, investiga-se a influência de diversos
parâmetros que interferem na forma dos diagramas. Nesta análise paramétrica, são
consideradas as propriedades da seção, o vão da viga e a resistência do concreto. Por
último, são apresentadas as conclusões, possíveis usos viáveis para o método e
sugestões para trabalhos futuros.
Palavras-chave: Diagramas de Magnel, Concreto Protendido, Pontes, Programa
Octave.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI / UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
Automatic design of prestressed concrete structures using Magnel’s diagrams
Carlos González Ortega
December / 2017
Advisor: Ricardo Valeriano Alves
Course: Civil Engineering
This project presents the elaboration of an Octave’s program which allows the sizing of
a prestressed concrete structure using the Magnel’s diagrams. This is a graphical
method used to obtain the combinations prestressed force and eccentricity, that fulfill
the different limit states corresponding to a prestressed concrete section. The method
stands out for its simplicity and speed of application. About the project, it begins
making an introduction about the basis of prestressed concrete, in order to get a better
understanding of the operation of the program and the method invented by the
engineer Gustave Magnel. To verify the efficiency of the program, two examples are
presented. After the sizing of these examples, a parametric analysis is done to prove
how the different situations affect the shape of the Magnel’s diagram. In this chapter,
we considered section properties, span of the beam and concrete strength. Finally, are
presented the conclusions, possible viable uses for the method and suggestions for
future work.
Key-words: Magnel’s diagrams, Prestressed Concrete, Bridges, Octave program.
vii
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO .............................................................................................. 2
2. PROTENSÃO ............................................................................................... 4
2.1. História do concreto protendido ............................................................. 4
2.2. Fundamentos do concreto protendido ................................................... 8
2.2.1. Tipos de protensão .......................................................................... 9
2.2.2. Formas de traçado dos cabos ....................................................... 13
2.2.3. Perdas de força de protensão ....................................................... 14
2.2.4. Níveis de protensão ....................................................................... 15
2.2.5. Combinação de ações e estados limite ......................................... 16
2.2.6. Vantagens e desvantagens do concreto protendido ..................... 17
2.3. Comportamento estrutural ................................................................... 18
2.4. Gustave Magnel .................................................................................. 22
3. DIAGRAMAS DE MAGNEL ........................................................................ 25
4. AUTOMATIZAÇÃO DA DEFINIÇÃO DA PROTENSÃO ............................. 31
4.1. Hipótese do programa ......................................................................... 31
4.2. Entrada de dados do programa ........................................................... 32
4.3. Resultados ........................................................................................... 35
4.4. Fluxograma do programa .................................................................... 43
5. DETERMINAÇÃO DE TRAÇADO DAS VIGAS-EXEMPLO ....................... 46
5.1. Apresentação dos casos de estudo .................................................... 46
5.1.1. Caso 1: Superestrutura esbelta pós-tensionada. Traçado variável.
46
5.1.2. Caso 2: Vigas pré-tensionadas. Traçado reto. .............................. 47
5.2. Diagramas de Magnel ......................................................................... 49
5.2.1. Caso 1: Superestrutura esbelta pós-tensionada. Traçado variável.
49
5.2.2. Caso 2: Vigas pré-tensionadas. Traçado reto. .............................. 57
5.3. Verificação de estados limite ............................................................... 62
viii
5.3.1. Caso 1: Superestrutura esbelta pós-tensionada. Traçado variável.
62
5.3.2. Caso 2: Vigas pré-tensionadas ...................................................... 66
6. ANÁLISE PARAMÉTRICA .......................................................................... 68
6.1. Parâmetros da seção .......................................................................... 68
6.2. Parâmetros da viga ............................................................................. 70
6.3. Parâmetros dos materiais .................................................................... 73
7. CONCLUSÕES ........................................................................................... 76
7.1. Validade do programa na prática ........................................................ 76
7.2. Sugestões para trabalhos futuros ........................................................ 77
7.2.1. Vigas hiperestáticas ....................................................................... 77
8. REFERÊNCIAS .......................................................................................... 79
8.1. Referências bibliográficas ................................................................... 79
8.2. Referências de ilustrações .................................................................. 79
ANEXO. CÓDIGO DO PROGRAMA DESENVOLVIDO.
2
1. INTRODUÇÃO O concreto é o material mais utilizado na construção civil no mundo inteiro. Este
material está composto por uma mistura de água, cimento e agregados, que tem sido
usada desde a época dos romanos. Sendo um material tão antigo, foi amplamente
desenvolvido até a atualidade. Entre estas novas variedades de concreto resultantes do
desenvolvimento do material, está o concreto protendido.
Esta técnica de execução, na qual a armadura embutida nos elementos de
concreto sofre um pré-alongamento, foi criada pelo engenheiro Eugène Freyssinet. O
objetivo da técnica é gerar um sistema auto equilibrado de esforços, ou seja, tração no
aço e compressão no concreto. Outro importante pesquisador do concreto protendido
foi o engenheiro belga Gustave Magnel que propôs uma técnica para o cálculo do
traçado de cabos de protensão, denominado diagramas de Magnel.
Assim, uma das motivações para a elaboração deste trabalho é aumentar o
reconhecimento dado ao trabalho de Gustave Magnel. Já que a maioria do mérito do
desenvolvimento do concreto protendido foi para Freyssinet. Além disso, o trabalho
também visa reativar o uso de métodos gráficos para o pré-dimensionamento.
Atualmente, a maioria destes processos são feitos usando métodos analíticos, tendo
esquecido o uso de métodos gráficos, os quais têm um grande número de vantagens.
O concreto protendido é um material de construção de alta qualidade que deve
respeitar requisitos rigorosos para sua execução. Esse talvez seja o motivo da
protensão não ser tão usada nas edificações. Observa-se, portanto, que a principal
aplicação do concreto protendido tem sido na construção de pontes.
Para alcançar esse objetivo, foi desenvolvido um programa em Octave, visando
orientar o traçado dos cabos de uma viga de concreto protendido e a força de protensão.
O Octave é um software livre usado para a solução de problemas numéricos, também
compatível com MATLAB. São apresentados dois exemplos de vigas simplesmente
apoiadas.
Finalmente, é realizada uma análise paramétrica visando compreender a relação
entre a forma dos diagramas de Magnel e os diferentes parâmetros do problema.
Além do Octave, também é empregado o GEOGEBRA, que é um aplicativo de
matemática dinâmica que combina conceitos de geometria e álgebra. Neste projeto, é
usado para representar as desigualdades em um gráfico e aumentar a precisão na
escolha da excentricidade.
Este trabalho foi dividido em oito capítulos com os seguintes conteúdos:
No capítulo 2, faz-se um breve sumário da história e dos fundamentos do
concreto protendido. Também, contém uma pequena biografia de Gustave Magnel.
3
O capítulo 3 trata dos conceitos teóricos do método dos diagramas de Magnel.
O capítulo 4 apresenta uma explicação geral do programa desenvolvido,
incluindo as hipóteses utilizadas, a entrada de dados e os resultados obtidos. Além
disso, se inclui um fluxograma explicativo.
No capítulo 5 são encontrados os dois exemplos executados para verificar a
eficácia do programa.
O capítulo 6 trata da análise paramétrica feita para comprovar a influência de
alguns parâmetros sobre a forma dos diagramas de Magnel.
O capítulo 7 apresenta as conclusões extraídas da elaboração do projeto,
incluindo algumas sugestões para trabalhos futuros.
Por último, no capítulo 8 são encontradas as referências bibliográficas.
4
2. PROTENSÃO O concreto protendido é a tecnologia de construção de elementos estruturais de
concreto que são submetidos intencionalmente a um esforço de compressão prévio ao
estado em serviço.
Primeiramente, apresenta-se um breve sumário da história do concreto
protendido, visando situar o contexto da sua criação. Após este sumário, são tratados
os fundamentos e o comportamento estrutural do material. Por fim, é abordada, de
maneira mais específica, a história do engenheiro Gustave Magnel e os diagramas de
Magnel.
2.1. História do concreto protendido A história do concreto começa com os romanos. Eles foram os primeiros a usar
uma espécie de concreto para assentar seus tijolos cerâmicos maciços. O primeiro uso
do concreto é muito antigo, porém, durante a Idade Média seu uso foi esquecido na
Europa devido à ruralização. Este material começou a ser desenvolvido de novo apenas
no século XIX.
A Figura 2-1 ilustra duas amostras de concreto pertencentes a diferentes épocas,
pode-se perceber que são muito parecidas apesar da diferença de aproximadamente
1800 anos entre elas.
Figura 2-1. Comparação concreto século I (esquerda) - século XIX (direita). Fonte: [1]
5
O século XIX foi a época de maior desenvolvimento do concreto. No ano de 1824,
Joseph Aspdin e James Parker patentearam o cimento Portland, feito com a queima
conjunta de pedras calcárias e argila. Esta foi a base do cimento moderno, cujo protótipo
foi criado pelo inventor Isaac Johnson no ano de 1854. Como componente fundamental
do concreto, este avanço tecnológico sobre o cimento teve um impacto direto sobre o
desenvolvimento do concreto.
No meio do século XIX, chegou a época do concreto armado. O concreto suporta
bem esforços de compressão, mas não resiste bem com outros tipos de solicitações
(tração, torsão, flexão e cortante). Assim, tentando resolver este problema, foi incluída
uma armadura metálica no processo, obtendo como resultado a invenção do concreto
armado. A primeira patente deste sistema apareceu no ano de 1854, seguida por outra
no ano de 1860, que pertenceu a Joseph Monier. Porém, o primeiro sistema aceitável
foi criado por François Hennebique no ano de 1892.
A Figura 2-2 ilustra o primeiro prédio construído em concreto armado seguindo o
método de Hennebique.
Figura 2-2. Prédio construído por François Hennebique. Fonte: [2]
Finalmente, no século XX, teve início o auge do concreto na construção civil.
Esse boom ocorreu devido às inúmeras melhorias na qualidade e na produção do
material. Em particular, podem-se destacar novos métodos de transporte de concreto e
produção homogênea de cimento, ou tipos novos de concreto, tal como o concreto com
fibras.
6
Naquele século foram construídas pontes com vãos de grande comprimento e
edifícios arranha-céus cujo principal material era o concreto.
A Figura 2-3 mostra dois exemplos construídos usando concreto no século XX.
As Torres Petronas à esquerda, e a Ponte do Risorgimento à direita.
Figura 2-3. Torres Petronas (esquerda). Ponte do Risorgimento (direita). Fonte: [3] [4]
Ainda no século XX, no ano de 1920, o engenheiro francês Eugène Freyssinet
registrou a patente definitiva do concreto protendido. Embora tenha sido ele o primeiro
a agrupar os conceitos de concreto e protensão, houve outros importantes avanços
anteriores relacionados ao concreto protendido.
Em 1888, o engenheiro P. H. Jackson registrou a primeira patente de construção
protendida em um pavimento de concreto. O problema foi que a tecnologia de aço de
alta resistência e baixa relaxação ainda não estava disponível. Alguns anos mais tarde,
Freyssinet revisou esta ideia. Finalmente, ele decidiu usar este aço de alta qualidade
que já tinha sido desenvolvido, consolidando o conceito do concreto protendido.
Eugene Freyssinet foi um brilhante engenheiro que se destacou por utilizar
soluções muito audazes em suas obras, por exemplo, as usadas nos Hangares de Orly
(1923), ou na ponte de Plougastel (1930). Porém, em nosso contexto do concreto
protendido, o foco está em outra construção que emprega este tipo de material e dá
uma ideia sobre seu uso potencial, a ponte de Luzancy.
A ponte de Luzancy, ilustrada na Figura 2-4, é uma ponte sobre o rio Marne com
um vão de 55 metros e uma largura de 8 metros. No que se refere ao sistema estrutural
da ponte, é do tipo pórtico, e foi feito com 3 vigas caixão paralelas, pré-moldadas e pré-
tensionadas. Esta solução inovadora permitiu que fosse atingida uma esbeltez ainda
não vista na época: 1,27 metros no centro da viga para um vão de 55 metros.
7
A Figura 2-5 ilustra a semiseção longitudinal da ponte de Luzancy, onde é
possível observar um esquema do sistema de protensão utilizado na ponte.
Outro dos grandes pioneiros do concreto protendido, além de Freyssinet, foi
Gustave Magnel. Ele foi o homólogo de Freyssinet na Bélgica, e foi o primeiro a escrever
um livro sobre projetos em concreto protendido, Le Béton Précontraint.
Nos dias de hoje, o concreto protendido é muito usado em pontes, principalmente
as de grande porte e nas quais são utilizados métodos especiais como balanço
sucessivo ou empurradas. Além disso, o concreto protendido continua sendo usado em
arranha-céus, câmaras de reatores nucleares e núcleos centrais de prédios com
proteção contra explosões e terremotos.
Um importante exemplo de uso de concreto protendido no Rio de Janeiro, é a
ponte Rio-Niterói, ilustrada na Figura 2-6. Atualmente, esta é a ponte mais extensa de
concreto protendido do hemisfério sul e a sexta do mundo. A ponte tem um comprimento
total de 13,2 quilômetros e seu vão central tem 300 metros, feito em viga metálica.
Figura 2-5. Semiseção longitudinal da ponte de Luzancy. Fonte: [5]
Figura 2-4. Ponte de Luzancy. Fonte: [5]
8
Figura 2-6. Ponte Rio-Niterói. Fonte: [6]
2.2. Fundamentos do concreto protendido Um dos pontos fracos do concreto é a resistência à tração, esta resistência é
cerca de 10 vezes inferior à resistência à compressão. Desta forma, faz-se necessária
uma solução para o concreto poder suportar os esforços de tração. A solução é o
concreto protendido, esta técnica baseia-se na imposição de esforços prévios de
compressão para tentar eliminar as tensões de tração.
A protensão é aplicada tensionando-se cabos de aço de protensão, denominados
cordoalhas, caracterizados por elevada tensão de ruptura e baixa relaxação. As
cordoalhas mais usuais são compostas por sete fios, sendo seis na forma de hélice em
torno do fio central retilíneo, conforme ilustrado na Figura 2-7.
9
Figura 2-7. Cordoalha de 7 fios.
2.2.1. Tipos de protensão A protensão das cordoalhas pode ser aplicada antes ou após a concretagem da
viga, sendo, então, denominada pré-tensão ou pós-tensão.
Na pré-tensão, cordoalhas são mantidas alongadas no interior da fôrma da viga
antes de sua concretagem. Após a cura do concreto, as ancoragens extremas são
descravadas e a protensão se implanta por aderência. As vantagens deste método
residem no fato de proteger o aço da corrosão e permitir a transferência direta de tensão.
A Figura 2-8 mostra as etapas seguidas no processo de pré-tensão.
10
Figura 2-8. Pré-tensão de vigas. Fonte: [7]
Habitualmente, a pré-tensão é usada em peças pré-fabricadas ou sobre uma
pista de protensão. Também, a cordoalha vai aderida diretamente ao concreto e pode
ter uma trajetória poligonal, graças ao uso de desviadores no interior da fôrma.
No caso de pós-tensão, o cabo pode estar aderido ou não ao concreto.
Na pós-tração aderente, ilustrada na Figura 2-9, as cordoalhas são agrupadas
em conjuntos, denominados “cabos de protensão”. Estes cabos seguem uma trajetória,
em geral sinuosa, no interior de bainhas metálicas que foram posicionadas antes da
concretagem. Após a cura do concreto, a protensão é aplicada às cordoalhas, e se
injetam as bainhas com nata sob pressão. Com este método, a força de protensão é
transmitida por atrito entre o cabo e o concreto.
11
Figura 2-9. Pós-tensão aderente de vigas. Fonte: [7]
Na pós-tração não aderente são utilizadas, em geral, cordoalhas engraxadas em
bainha plástica de PEAD (polietileno de alta densidade). Sendo assim, a força de
protensão transmitida pelas ancoragens. Além disso, os cabos podem ser internos ou
externos.
Na pós-tração não aderente interna os cabos são posicionados junto das
armaduras, em geral em trajetória sinuosa.
A Figura 2-10 mostra as etapas do processo de pós-tração não aderente interna.
12
Figura 2-10. Pós-tensão não aderente interna de vigas. Fonte: [7]
Na pós-tração não aderente externa, os cabos de protensão apresentam
trajetória retilínea ou poligona,l ao longo da face externa da viga.
Na Figura 2-11 é reproduzido o processo de pós-tração não aderente externa.
13
Figura 2-11. Pós-tensão não aderente externa de vigas. Fonte: [7]
A pós-tensão não aderente pode ser aplicada como reforço de vigas de concreto
com protensão aderente aplicada, nas vigas metálicas ou mesmo nas vigas de madeira.
2.2.2. Formas de traçado dos cabos O traçado das cordoalhas pode ter diferentes formas dependendo do momento
da aplicação da protensão. As principais formas são as seguintes:
• Trajetória retilínea. Usado em vigas de concreto com pré-tensão aplicada.
Mostra-se um cabo com trajetória retilínea na Figura 2-12.
Figura 2-12. Traçado retilíneo. Fonte: [8]
14
• Trajetória poligonal ou parabólica. Usado em vigas de concreto protendido
com pós-tensão aplicada. Usam-se desviadores para dar forma aos cabos.
Na Figura 2-13 são representadas as diferentes formas que pode ter um cabo
cujo traçado é variável.
Figura 2-13. Traçado poligonal e parabólico. Fonte: [8]
2.2.3. Perdas de força de protensão Dependendo do método de protensão utilizado, produzem-se diferentes tipos de
perdas de força de protensão.
No caso das perdas presentes na pós-tensão, podem ser de dois tipos: perdas
imediatas e perdas progressivas. As perdas imediatas acontecem no mesmo momento
em que é aplicada a força de protensão e são as seguintes:
• Atrito cabo/bainha: este detrimento acontece devido às curvaturas
intencionais ou às imperfeições geométricas dos cabos de protensão.
• Encunhamento das cordoalhas: também conhecido como recuo de
ancoragens, depende do dispositivo utilizado para aplicar a protensão.
• Deformação elástica do concreto: produzida devido à protensão sucessiva
de cada um dos cabos. Esta protensão sucessiva provoca uma deformação
do concreto e, por consequência, um afrouxamento dos cabos já
protendidos.
No que se refere às perdas progressivas, estas acontecem ao longo da vida da
peça. As causas das perdas progressivas são as seguintes:
• Retração do concreto;
• Fluência do concreto;
• Relaxação do aço de protensão.
Finalmente, nas perdas referentes à pré-tensão, igualmente que no caso anterior,
existem dois tipos de perdas: as perdas imediatas e as perdas progressivas. As perdas
imediatas na pré-tensão são as seguintes:
15
• Cravação das cunhas: depende do dispositivo usado no processo de
protensão e do comprimento da pista de protensão.
• Deformação elástica do concreto: depois de cortar as cordoalhas, a protensão
é transmitida por aderência. Isto produz uma deformação no concreto e, por
consequência, uma variação nas tensões de protensão, pois as cordoalhas
acompanham o concreto.
As perdas progressivas na pré-tensão têm o mesmo valor que na pós-tensão.
No cálculo de perdas de protensão, é preciso usar diferentes equações e
métodos para cada uma delas. Não sendo este o foco central do projeto, quando o
cálculo for necessário, o processo vai ser simplificado, e uma força de protensão média
será adotada para toda a viga.
Para aproximar esta força de protensão média, adota-se para cada tipo de perda um
valor que depende do método de protensão utilizado. Este valor aproximado é uma
porcentagem da força de protensão aplicada inicialmente.
O quadro 2-1 apresenta os valores aproximados das perdas adotadas neste
trabalho. Estes valores são apenas para a avaliação da tensão de protensão para efeito
de pré-dimensionamento.
Quadro 2-1. Perdas aproximadas de protensão.
Pré-tração Pós-tração Pi
P0 (t=0) -5% -10%
P∞ (t=∞) -15% -15%
2.2.4. Níveis de protensão Conforme à NBR 6118/14, as estruturas de concreto protendido são classificadas
em três níveis que dependem do grau de protensão aplicado no elemento estrutural.
Esses níveis estão relacionados com o grau de fissuração admitido na estrutura, quando
submetida a solicitações. Os níveis de protensão especificados na normativa são os
seguintes:
• Protensão completa: ocorre quando o nível da força aplicada não
permite o desenvolvimento de trações por flexão, exceto em eventos
raros. Este nível é utilizado em elementos que precisam de
estanqueidade, sendo praticamente nula a fissuração do concreto;
• Protensão limitada: admite tensões de tração por flexão da estrutura,
desde que não ultrapassem um valor admissível para as combinações
totais em serviço;
16
• Protensão parcial: o elemento presenta fissuras por flexão, com abertura
característica de 𝑤𝑤𝑘𝑘 = 0,2𝑚𝑚𝑚𝑚 nas combinações frequentes.
2.2.5. Combinação de ações e estados limite Para o dimensionamento de obras de concreto são verificadas situações
extremas denominadas estados limite. No caso do concreto armado, aplica-se o
conceito de estado limite último, no qual se atinge o limite convencional de resistência
do concreto ou do aço, ou seja, no Estádio III. Porém, na prática do concreto protendido,
o dimensionamento é feito analisando as tensões no Estádio I, ficando a verificação do
ELU de ruptura como complementar.
No dimensionamento do concreto protendido, admite-se uma verificação
simplificada do ELU no qual só estão presentes: o peso próprio e a força de protensão
no ato de aplicação. Devido ao fato de ser um estado limite simplificado, é possível
calcular as tensões no Estádio I. Este estado limite delimita a força máxima de protensão
que é possível aplicar.
Em seguida, devem ser feitas as comprovações referentes aos estados limite de
serviço. Os estados a serem verificados são os seguintes:
• E.L.S. de abertura de fissuras (ELS-W): é possível estimar as dimensões das
aberturas de fissuras através de expressões que consideram a tensão nas
armaduras tracionadas e a sua área de envolvimento. O ELS-W é tipicamente
uma verificação associada ao concreto armado, sendo aplicado no concreto
protendido apenas no nível 1 (protensão parcial);
• E.L.S. de formação de fissuras (ELS-F): limita a tensão de tração no nível teórico
de formação das fissuras;
• E.L.S. de descompressão (ELS-D): deve-se garantir que não haja ocorrência de
tração nas seções transversais de cálculo. A NBR permite que este limite seja
substituído pelo estado último de descompressão parcial (ELS-DP) que permite
trações no concreto, mas a uma distância maior que 50 mm da cordoalha mais
próxima;
• E.L.S. de compressão excessiva (ELS-CE): no estado limite de compressão
excessiva as tensões atingem o “limite convencional estabelecido”. Na nova
norma NBR-6118 não está definido claramente o limite exato, mas, recomenda-
se um valor entre o 40% e o 60 % do fck. Assim, neste projeto se adota um valor
do 60 % do fck.
Cada estado limite de serviço tem sua própria combinação de ações dependendo
dos níveis de protensão. Esta combinação permite calcular as solicitações para a
17
verificação do dimensionamento da estrutura. As combinações utilizadas neste projeto
são as seguintes:
Combinação quase permanente em serviço:
𝑆𝑆𝑑𝑑,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = �𝑆𝑆𝑔𝑔𝑔𝑔,𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑔𝑔=1
+ �𝛹𝛹2𝑗𝑗 ∗ 𝑆𝑆𝑞𝑞𝑗𝑗,𝑘𝑘 𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
(2.1)
Combinação frequente em serviço:
𝑆𝑆𝑑𝑑,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = �𝑆𝑆𝑔𝑔𝑔𝑔,𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑔𝑔=1
+ 𝛹𝛹1 ∗ 𝑆𝑆𝑞𝑞1,𝑘𝑘 + �𝛹𝛹2𝑗𝑗 ∗ 𝑆𝑆𝑞𝑞𝑗𝑗,𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑗𝑗=2
(2.2)
Combinação rara em serviço:
𝑆𝑆𝑑𝑑,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = �𝑆𝑆𝑔𝑔𝑔𝑔,𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑔𝑔=1
+ 𝑆𝑆𝑞𝑞1,𝑘𝑘 + �𝛹𝛹1𝑗𝑗 ∗ 𝑆𝑆𝑞𝑞𝑗𝑗,𝑘𝑘 (2.3)𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
O Quadro 2-2 mostra as combinações correspondentes aos diferentes níveis de
protensão dependendo do estado limite a ser verificado.
Quadro 2-2. Relação estados limite - combinações. Fonte: [13]
Devido ao fato de que a protensão parcial permite a abertura de fissuras no
concreto, optou-se por não considerar este nível no presente projeto, já que uma das
grandes vantagens do concreto protendido é justamente inibir a abertura de fissuras,
aumentando a durabilidade das peças.
2.2.6. Vantagens e desvantagens do concreto protendido Embora o concreto protendido seja um material muito utilizado e com muitas
vantagens na construção civil, também existem inconvenientes como a seguir descritos.
Algumas das vantagens são:
18
• Melhor aproveitamento do material, já que é necessária uma quantidade
menor de concreto, produzindo estruturas mais esbeltas e com menor peso;
• Maior durabilidade da estrutura devido ao fato de que a fissuração não existe
ou é muito baixa;
• Quando usado em vãos de grande comprimento aumenta a relação
resistência/peso próprio;
• Usa-se uma baixa taxa de aço, especialmente para armadura passiva;
• Obtêm-se menores deformações e flechas em estruturas sob flexão;
• Maior resistência a cargas cíclicas;
• Maior estanqueidade.
Algumas desvantagens são:
• Técnica menos usada que a do concreto armado, especialmente na
edificação;
• Requer concreto de alta qualidade. Requisitos estritos de produção,
colocação e compactação;
• Requer aço de alta qualidade, 2 ou 3 vezes mais caro que o habitual;
• Precisa de um planejamento cuidadoso, especialmente nas etapas de
transporte e montagem;
• Pior comportamento da estrutura no caso de incêndios;
• Requer o uso de equipamento caro e especializado para ancoragens e
uniões.
2.3. Comportamento estrutural A análise estrutural das estruturas protendidas visa determinar os esforços
provocados pelo efeito da protensão, para, assim, depois estudar o comportamento
global da estrutura. Desta forma, é possível verificar se a estrutura cumpre os estados
limite indicados pela normativa.
A Figura 2-14 ilustra um exemplo de seção longitudinal submetida a protensão.
Mostra-se um esquema do traçado do cabo, e das forças e tensões produzidas.
19
Para o cálculo das tensões atuantes na estrutura é necessário conhecer os
seguintes parâmetros:
• Parâmetros da estrutura (geometria das seções transversais, módulos de
elasticidade e conexões);
• Traçado dos cabos de protensão (abcissas, ordenadas e declividades);
• Forças de protensão aplicadas.
A protensão em umaa seção está definida pela força de protensão (P),
excentricidade (e) e inclinação do cabo (α). Para definir esses parâmetros, é preciso
conhecer o conceito de tensão normal em seção de concreto protendido.
A Figura 2-15 ilustra as tensões normais em uma seção de concreto afetada por
uma força de protensão de valor P. A força está aplicada com uma excentricidade e,
consequentemente, esta produz um momento fletor de valor P∙e.
Considerando as tensões isostáticas no concreto, pode-se definir o intervalo de
excentricidades que não despertam trações, independentemente do valor da força de
protensão. Este intervalo, ilustrado na Figura 2-16, é conhecido como núcleo central. Os
valores extremos do intervalo são [ei, es].
Figura 2-15. Tensões em seção de concreto. Fonte: [9]
Figura 2-14. Esquema de viga de concreto protendido. Fonte: [8]
20
Figura 2-16. Intervalo de excentricidades sem tração. Fonte: [9]
Após definir a força de protensão e a excentricidade na seção, é possível verificar
se cumprem os estados limite. Para considerar o efeito da protensão pode-se utilizar,
nos casos de traçado parabólico, a carga equivalente simplificada:
𝑞𝑞 = 8𝑃𝑃𝑃𝑃𝐿𝐿2
(2.4)
Onde:
P: Força de protensão (em kN)
f: Flecha da parábola do traçado (em m)
L: Comprimento do vão da viga (em)
A Figura 2-17 apresenta um esquema gráfico das diferentes variáveis presentes
no cálculo da carga equivalente mencionada anteriormente.
Com as cargas equivalentes de protensão, é possível desenhar os diagramas de
momentos fletores da estrutura. A forma típica dos diagramas, dependendo da força de
protensão aplicada, é ilustrada na Figura 2-20.
Figura 2-17. Esquema método cargas equivalentes de protensão.
21
Figura 2-18. Diagramas de momento fletores. Fonte: [10]
No caso, a viga I, não sofre a aplicação de nenhuma força de protensão. A viga
II sofre a aplicação de uma força C, mas no centro de gravidade, não resultando em
momento fletor. Já nas vigas III e IV, estão aplicadas uma pré-tensão e uma pós-tensão,
respectivamente.
No caso das tensões normais, podem ser descritas conforme apresentado na
Figura 2-19.
Figura 2-19. Diagramas de tensões. Fonte: [10]
22
2.4. Gustave Magnel Engenheiro civil nascido na Bélgica, em 1889, formou-se na Universidade de
Ghent, Bélgica. Passou os anos da Primeira Guerra Mundial (1914-1919) trabalhando
em Londres, onde se dedicou ao projeto e construção de concreto armado.
Gustave Magnel foi um dos pioneiros do concreto protendido, mesmo que não
seja tão reconhecido internacionalmente como Eugene Freyssinet.
Na Figura 2-20 é apresentado um retrato do engenheiro Gustave Magnel.
No ano de 1922 ele foi designado professor de concreto armado na Universidade
de Ghent. Depois muita persistência, conseguiu um laboratório para seu departamento,
onde pôde prosseguir com suas investigações. Finalmente, no ano de 1927, foi
nomeado diretor do laboratório e do departamento.
Apesar disso, apenas em 1940 entrou pela primeira vez em contato com a ideia
de concreto protendido de Eugene Freyssinet. Isto aconteceu durante a ocupação alemã
da Bélgica na Segunda Guerra Mundial. Nesta época Magnel vivia isolado, sem poder
se comunicar com pesquisadores de outros países. Por esse motivo, ele não pôde obter
o sistema de aplicação da protensão no concreto de Freyssinet, e, deste modo, acabou
desenvolvendo o seu próprio, o sistema Magnel-Blaton.
Também nos anos 40, começou a introdução do diagrama original de Magnel
para a escolha da força de protensão e posição do cabo. No princípio, só aplicável para
vigas de seção homogênea de concreto protendido. Porém, depois foi criada uma
aproximação para transformar a área de seções variáveis.
Figura 2-20.Gustave Magnel (1889-1955). Fonte: [11]
23
Com o final da Segunda Guerra Mundial, houve a necessidade de reconstrução
em toda a Europa. Magnel era, na Europa, um dos poucos especialistas em concreto
armado e conhecedor do concreto protendido. Nessa época, os Estados Unidos
começaram a ter uma grande importância mundial, e o inglês começou a ser a língua
mais utilizado no mundo. Magnel, fluente em inglês, começou a ser reconhecido
internacionalmente.
No ano de 1948, Magnel escreveu seu décimo livro, Le Béton Précontraint. Este
livro foi o primeiro referente ao concreto protendido. Nele, Magnel começa analisando
as deficiências do concreto armado como material de construção, para, assim, justificar
a necessidade do uso da protensão como solução. Finalmente, analisa os diferentes
métodos de protensão, incluindo pré-tensão e pós-tensão.
A sua obra mais importante, foi Walnut Lane Memorial Bridge, ilustrada na Figura
2-21. Esta foi a primeira ponte de concreto protendido projetada e construída nos
Estados Unidos. Sua construção teve um grande impacto devido à redução substancial
do gasto previsto para a obra, uma economia de aproximadamente US$ 700.000.
Os trabalhos de construção começaram em 1949 e a ponte foi finalmente aberta
ao público em 1951. A superestrutura da ponte contava com 13 vigas de concreto
protendido, cada uma delas com um comprimento de 49 metros. O método usado foi a
pós-tensão.
Figura 2-21.Walnut Lane Memorial Bridge. Fonte: [12]
24
Devido a falhas presentes nas vigas da superestrutura, a ponte foi substituída
em 1989. Devido à sua importância histórica essa decisão foi muito polêmica, sendo a
ponte substituída por uma estrutura semelhante, também em concreto protendido.
25
3. DIAGRAMAS DE MAGNEL Para o dimensionamento de elementos em concreto protendido, Gustave Magnel
propôs uma técnica de definição da força de protensão e das excentricidades dos cabos
em cada seção de cálculo de acordo as prescrições normativas. Esta é a técnica dos
diagramas de Magnel, um método gráfico e fácil de entender.
Para compreensão dos diagramas propostos por Magnel, é fundamental ter
conhecimento do conceito de tensões normais em viga sob flexão. As tensões normais
em uma seção submetida exclusivamente a flexão simples assumem uma distribuição
linear conforme ilustrado na Figura 3-1.
Figura 3-1. Tensões normais sob flexão simples. Fonte: [9]
Sendo ys e yi as ordenadas nas fibras extremas superior e inferior com relação
ao centroide da seção, e Ws e Wi os respectivos módulos resistentes superior e inferior.
De acordo com a Figura 3-1, as tensões de tração são assumidas como
negativas e as de compressão como positivas.
Porém, em um caso geral, a protensão é definida pela força de protensão (P),
excentricidade de cabo (e) e sua inclinação com o eixo longitudinal (α). Por causa da
impossibilidade de considerar a inclinação do cabo nos diagramas de Magnel, adotamos
a hipótese de cabo horizontal. Consequentemente, assumindo uma distribuição de
tensões conforme ilustrado na Figura 3-2.
26
Figura 3-2. Tensões em seção afetada por (P,e). Fonte: [9]
Logo, considerando unicamente as tensões normais devidas da força de
protensão, pode-se definir um intervalo de excentricidades que não apresentam tração,
independentemente do valor da força de protensão, conforme ilustrado na Figura 3-3.
Este intervalo é chamado núcleo central e as excentricidades que o conformam são [ei,
es].
Figura 3-3. Intervalo de excentricidade sem trações.
As equações (3.1) e (3.2) descrevem o cálculo analítico das excentricidades
extremas que formam o núcleo central. Para o cálculo destes valores, faz-se que as
tensões normais nas fibras inferior e superior sejam zero.
𝜎𝜎𝑔𝑔 =𝑃𝑃𝐴𝐴
+𝑃𝑃 ∙ 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑊𝑊𝑔𝑔
= 0 → 𝑒𝑒𝑠𝑠 = −𝑊𝑊𝑔𝑔
𝐴𝐴 (3.1)
𝜎𝜎𝑠𝑠 =𝑃𝑃𝐴𝐴
+𝑃𝑃 ∙ 𝑒𝑒𝑔𝑔𝑊𝑊𝑠𝑠
= 0 → 𝑒𝑒𝑔𝑔 = −𝑊𝑊𝑠𝑠
𝐴𝐴 (3.2)
27
Calculadas as tensões normais atuantes na seção, é necessário verificar se
cumprem os estados limite, ou seja, comparar estas tensões atuantes com as seguintes
tensões limite:
• Tensão normal limite (máxima) no concreto comprimido: 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐
• Tensão normal limite (mínima) no concreto tracionado: 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐
Estes valores de tensão limite são definidos em função do estado limite a ser
verificado.
Em seguida, considerando a superposição de uma protensão definida pelo par
(P,e), e um momento fletor solicitante (M), têm-se os seguintes limites de tensão a serem
verificados nas fibras inferior e superior:
Fibras superiores: 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ≤ 𝑃𝑃𝐴𝐴
+ (𝑀𝑀+𝑃𝑃∙𝑒𝑒)𝑊𝑊𝑠𝑠
≤ 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 (3.3)
Fibras inferiores: 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ≤ 𝑃𝑃𝐴𝐴
+ (𝑀𝑀+𝑃𝑃∙𝑒𝑒)𝑊𝑊𝑖𝑖
≤ 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 (3.4)
Adotando as seguintes variáveis:
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑊𝑊𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 (3.5)
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑊𝑊𝑔𝑔 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 (3.6)
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑊𝑊𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 (3.7)
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑊𝑊𝑔𝑔 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 (3.8)
Onde:
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 ∶ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑙𝑙í𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐ã𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 ∶ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑙𝑙í𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐ã𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑃𝑃𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 ∶ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑙𝑙í𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎çã𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 ∶ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑙𝑙í𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎çã𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑃𝑃𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀𝑐𝑐
Podem-se reescrever as verificações de tensões expressas em (3.3) e (3.4)
como:
Fibras superiores: 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 ≤ 𝑃𝑃(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) + 𝑀𝑀 ≤ 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 (3.9)
Fibras inferiores: 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 ≤ 𝑃𝑃(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) + 𝑀𝑀 ≤ 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 (3.10)
Trabalhando com inequações, deve-se examinar a positividade das parcelas (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) e (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) para se expressar a força de protensão (P) em relação à
excentricidade (e).
Fibras superiores: 𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) > 0 → (𝑀𝑀𝑡𝑡𝑠𝑠−𝑀𝑀)(𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑖𝑖)
≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠−𝑀𝑀)(𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑖𝑖)
(3.11)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) < 0 → (𝑀𝑀𝑡𝑡𝑠𝑠−𝑀𝑀)(𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑖𝑖)
≥ 𝑃𝑃 ≥ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠−𝑀𝑀) (𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑖𝑖)
(3.12)
28
Fibras inferiores: 𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) > 0 → (𝑀𝑀𝑡𝑡𝑖𝑖−𝑀𝑀)(𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑠𝑠)
≥ 𝑃𝑃 ≥ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑖𝑖−𝑀𝑀)(𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑠𝑠)
(3.13)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) < 0 → (𝑀𝑀𝑡𝑡𝑖𝑖−𝑀𝑀)(𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑠𝑠)
≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑖𝑖−𝑀𝑀) (𝑒𝑒−𝑒𝑒𝑠𝑠)
(3.14)
Porém, em um caso geral de protensão, têm-se momentos fletores máximos
(Mmax) e mínimos (Mmin). Os momentos mínimos se produzem durante o ato da
protensão, quando só atua o peso próprio. E, no caso dos momentos máximos, se
produzem quando a viga está em serviço e atuam todas as cargas.
Fibras superiores
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) ≤ 𝑃𝑃 ≤
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(3.15)
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) ≤ 𝑃𝑃 ≤
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(3.16)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) ≥ 𝑃𝑃 ≥
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(3.17)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔) ≥ 𝑃𝑃 ≥
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(3.18)
Fibras inferiores
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) ≥ 𝑃𝑃 ≥ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) (3.19)
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) ≥ 𝑃𝑃 ≥ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) (3.20)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) ≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) (3.21)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) ≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠) (3.22)
Em seguida, é possível representar estas 8 desigualdades em um gráfico que
relaciona a força de protensão e a excentricidade. Após, escolhendo os 4 limites mais
restritivos, se forma a região solução ilustrada no exemplo da Figura 3-4. Nesta região
solução, as combinações de força de protensão e excentricidade cumprem os estados
limite que precisam ser verificados segundo a normativa brasileira.
29
Figura 3-4. Exemplo gráfico de representação das desigualdades.
Pode-se perceber que os limites têm forma de hipérboles, e trabalhar com
hipérboles pode ser complicado e pouco intuitivo. Visando resolver este problema, o
engenheiro Gustave Magnel propôs trabalhar com a função inversa da força de
protensão (1/P). Assim, a forma das desigualdades corresponde a funções lineares.
Fibras superiores
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≤1𝑃𝑃≤
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) (3.23)
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) ≤1𝑃𝑃≤
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) (3.24)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≥1𝑃𝑃≥
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) (3.25)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑔𝑔 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) ≥1𝑃𝑃≥
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑔𝑔)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) (3.26)
Fibras inferiores
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≥1𝑃𝑃≥
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) (3.27)
𝑒𝑒 > 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) ≥1𝑃𝑃≥
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) (3.28)
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≤1𝑃𝑃≤
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) (3.29)
30
𝑒𝑒 < 𝑒𝑒𝑠𝑠 → (𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) ≤1𝑃𝑃≤
(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑔𝑔 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛) (3.30)
Escolhendo os limites mais restritivos das expressões (3.23) à (3.30), define-se
a região que delimita as soluções possíveis do par (P,e), conforme ilustrado na Figura
3-5.
Figura 3-5. Diagrama de Magnel.
Conhecida essa região final, pode-se fixar um valor de P que deve estar o mais
próximo possível ao limite superior da região (no ponto de força mínima de protensão
que é possível aplicar), mas adotando uma margem de segurança. A partir deste valor
de força, é possível definir a excentricidade de cada uma das seções, e estas
excentricidades orientarão o traçado final a escolher pelo projetista.
A principal vantagem desse método é a simplicidade e a rapidez de aplicação.
Além disso, é um método gráfico que permite uma clara compreensão do processo de
dimensionamento. Entretanto, é necessário um diagrama para cada ponto crítico da
viga, dando lugar a um processo longo e mecânico.
31
4. AUTOMATIZAÇÃO DA DEFINIÇÃO DA PROTENSÃO 4.1. Hipóteses do programa O programa visa orientar a definição do traçado dos cabos de protensão para
uma viga simplesmente apoiada com diferentes tipos de seções transversais. Nesta
primeira versão do programa, os tipos de seção transversal admitidos são:
- Vigas pré-tensionadas e pré-moldadas com mesa colaborante.
- Superestrutura esbelta pré-tensionada.
- Superestrutura esbelta pós-tensionada.
As hipóteses adotadas para elaborar o programa são:
• Inclinação dos cabos
Devido a impossibilidade de desenhar os diagramas em relação a três variáveis
(força de protensão, excentricidade e inclinação do cabo), adota-se para o
desenvolvimento do programa o cabo de protensão como horizontal (α=0º).
• Perdas de protensão
Embora o cálculo das perdas de protensão seja possível, estas são aproximadas
a uma porcentagem da força de protensão inicialmente aplicada para simplificar o
processo. Os valores considerados são apresentados no Quadro 4-1. Quadro 4-1. Porcentagens (aproximados) de perdas de protensão.
Pré-tração Pós-tração P inicial
P0 (t=0) -5% -10%
P∞ (t=∞) -15% -15%
• Força de protensão média
Devido às perdas de protensão, a força de protensão tende a se reduzir nas
seções distantes das ancoragens. Porém, neste trabalho considera-se um cabo médio
com uma força de protensão média ao longo de todo o comprimento da viga.
• Cargas atuantes
Considera-se que as ações que atuam sobre a estrutura são:
- Peso próprio: calculado automaticamente pelo programa. Atua em todo o
comprimento da viga;
- Sobrecarga permanente: corresponde ao peso do pavimento, guarda-rodas e
guarda-corpos. Também atua em todo o comprimento da viga;
32
- Carga móvel: constituída por uma carga uniforme que atua em todo o
comprimento da viga e 3 cargas concentradas onde produzam o momento máximo na
seção crítica (meio do vão). O cálculo do coeficiente de impacto é feito automaticamente
pelo programa adotando um número de faixas igual a 2;
- Protensão: adota três valores dependendo das perdas de protensão: força
inicial (Pi), força no momento da protensão (P0) e força em serviço (P∞). Após o desenho
dos diagramas, o programa solicita o valor da força de protensão com a viga em serviço.
• Tipo de concreto
Deve-se considerar concreto com 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘 ≥ 30 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎.
Para o cálculo da resistência à tração, a seguinte expressão é utilizada:
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0,3 (𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘)2 3� (𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎) (4.1)
4.2. Entrada de dados do programa O programa começa solicitando o valor do comprimento do vão da viga em
metros. Um esquema de uma viga genérica simplesmente apoiada é ilustrado na Figura
4-1.
Figura 4-1. Esquema da seção longitudinal.
Define-se a seção transversal da viga para que sejam calculadas as seguintes
características geométricas: área (m2), inercia (m4), e as distâncias das fibras extremas
ao centroide da seção (m). No caso de seção tipo vigas pré-moldadas, os mesmos
parâmetros devem ser definidos para a seção viga + mesa colaborante, conforme
ilustrado na Figura 4-2.
33
Figura 4-2. Parâmetros vigas pré-moldadas com mesa colaborante.
Em seguida, o programa solicita a resistência característica do concreto a
compressão em Mpa e calcula o fct.
O Figura 4-3 ilustra a tela de entrada de dados do programa.
Figura 4-3. Entrada da resistência característica à compressão.
Também é necessário introduzir o tipo de cimento usado e a idade do concreto
no ato da protensão. Estes parâmetros serão utilizados na verificação do estado limite
último simplificado.
Na etapa seguinte, deve-se introduzir os valores sobrecarga permanente e
acidental, a segunda delas caracterizada pela carga móvel com o coeficiente de
impacto. O peso próprio da viga e da laje são calculados automaticamente.
Na Figura 4-4 é apresentada a imagem do monitor, em tempo de execução do
programa, à entrada de dados da carga móvel.
Figura 4-4. Quadro com os parâmetros da carga móvel.
Em seguida, o programa calcula os momentos fletores solicitantes nas seções
de estudo da viga. São cinco seções equidistantes entre si, dentre elas o ponto crítico
34
de momento fletor máximo no centro da viga e mais quatro, conforme ilustrado na Figura
4-5.
Figura 4-5. Seções estudadas da estrutura.
A próximo etapa do processo é definir o tipo da estrutura. Cada tipo tem
atribuídos coeficientes de redução, que serão usados no cálculo de momentos
solicitantes para a verificação dos estados limite em serviço. Os tipos de obra segundo
a normativa brasileira são os seguintes:
• Passarela
• Ponte rodoviária
• Ponte ferroviária especializada
• Ponte ferroviária não especializada
Os respectivos coeficientes de redução para cada um dos tipos são mostrados
no Quadro 4-2. Quadro 4-2. Coeficientes de redução para os ELS. Fonte: [13]
Por último, é preciso definir o nível de protensão. Para definir este nível de
protensão, é necessário conhecer dois elementos: a agressividade ambiental à qual está
exposta a estrutura, e o método de protensão usado (pré-tração / pós-tração). Após
35
determinar este nível de protensão, são definidas as combinações necessárias para as
verificações através da observação do Quadro 4-3 a seguir:
Quadro 4-3.Estados limite - nível de protensão - combinações. Fonte: [13]
Após introduzir todos os parâmetros, o programa calcula automaticamente todas
as variáveis necessárias para o desenho dos diagramas de Magnel, conforme às
expressões (3.23) à (3.30) apresentadas anteriormente. Assim, o programa pode
desenhar automaticamente os diagramas de Magnel para cada seção de estudo com
suas combinações de ações correspondentes.
4.3. Resultados Dependendo do tipo de seção transversal, os diagramas são desenhados em
relação a diferentes variáveis.
No caso de superestrutura esbelta, os diagramas são desenhados em função da
força de protensão e da excentricidade. A Figura 4-6 apresenta os 2 diagramas da seção
número 2, correspondentes à uma superestrutura tipo esbelta. No gráfico, foi destacada
a região solução de possíveis combinações de força de protensão e excentricidade.
Figura 4-6. Diagramas de Magnel na seção número 2.
36
No caso de vigas pré-moldadas com mesa colaborante, no desenho dos
diagramas de Magnel interferem duas seções: a seção viga (em t = 0) e a seção viga +
laje (em t = ∞). Cada uma das seções têm o centroide em uma posição, então, para
homogeneizar as duas seções no diagrama, faz-se necessário o desenho em função da
altura relativa ao fundo da viga ao invés da excentricidade, conforme ilustrado na Figura
4-7.
Figura 4-7.Transformação excentricidade - altura.
Na Figura 4-8 é representado um exemplo de desenho de diagrama de Magnel
para uma seção de vigas pré-tensionadas com mesa colaborante. Observa-se que o
gráfico é desenhado em relação à altura em relação ao fundo da viga.
Figura 4-8. Diagrama de Magnel na seção de vigas com mesa colaborante
Para se obter maior precisão na escolha de excentricidade e força de protensão,
as inequações foram representadas com auxílio do programa GEOGEBRA. O próprio
37
programa de Octave fornece as expressões que podem ser copiadas diretamente para
o GEOGEBRA.
A Figura 4-9 ilustra a tela mostrada no programa desenvolvido que apresenta as
expressões que serão copiadas para o GEOGEBRA.
Figura 4-9. Equações para introduzir no GEOGEBRA.
Após introduzir as inequações no GEOGEBRA, desenha-se a região de
combinações força de protensão – excentricidade permitidas ilustrada na Figura 4-10.
Para desenhar esta região solução, é preciso utilizar a ferramenta Polígonos do
GEOGEBRA. Assim, escolhem-se os pontos manualmente que formam a região entre
as 4 desigualdades mais restritivas, formando-se um polígono ao qual podemos dar um
estilo raiado para facilitar sua visualização.
Figura 4-10. Região permitida na combinação quase permanente.
38
Após repetir o processo para a outra combinação, é possível superpor as duas
regiões obtidas para formar a região final do ponto apresentada na Figura 4-11. Assim,
obtém-se esta região solução que cumpre todos os estados limite. Precisa-se repetir
este processo para todos os pontos da viga. No caso de vigas pré-moldadas, o processo
a seguir é exatamente o mesmo exceto que o programa trabalha com a altura ao invés
da excentricidade. Porém, quando seja preciso fazer o cálculo de tensões, o programa
transformará automaticamente esta altura em excentricidade.
Figura 4-11. Região final com as duas combinações (quase permanente + frequente) superpostas.
Em seguida, fixa-se um valor da força de protensão (P). Para escolher este valor,
observa-se as regiões finais dos pontos obtidas na etapa anterior. Para atingir uma
solução o mais económica possível, escolhe-se um valor próximo à mínima força de
protensão a aplicar (o ponto mais acima da área solução), mas sempre mantendo uma
margem de segurança. Este valor de P é a força de protensão em tempo infinito, ou
seja, considerando tanto perdas instantâneas quanto diferidas.
Com o valor da força de protensão escolhido, é possível introduzir manualmente
o intervalo de excentricidades permitidas em cada uma das seções. Para facilitar este
processo, o programa desenha automaticamente uma reta correspondente ao valor da
força de protensão escolhida, ilustrada na parte esquerda da Figura 4-12. Porém, para
obter uma maior precisão, faz-se necessário usar o GEOGEBRA, e desenhar uma linha
com o valor da força de protensão escolhido como é mostrado na parte direita da Figura
4-12.
39
Figura 4-12. Valor da excentricidade máxima e mínima no ponto 3.
Definidas as excentricidades máximas e mínimas em cada seção, o programa
representa este intervalo de excentricidades ao longo da viga, conforme ilustrado na
Figura 4-13.
Figura 4-13. Área da excentricidade permitida ao longo da viga.
Em seguida, o programa solicita o tipo de traçado dos cabos, reto ou variável.
Então, com o auxílio do gráfico anterior, é possível escolher um traçado final para os
cabos de protensão. O critério de escolha em um traçado parabólico é adotar no meio
do vão um valor próximo ao mínimo, e os demais valores são escolhidos para se
assemelhar o traçado do cabo a uma parábola. No caso de traçado retilíneo, a
excentricidade deve ser aquela que corresponda ao menor valor de força de protensão
possível.
40
Após introduzir o traçado final, é desenhada uma aproximação do traçado final
ilustrada na Figura 4-14.
Figura 4-14. Aproximação do traçado final do cabo.
Nesta Figura 4-14, é mostrado o traçado indicado pelo programa a partir do qual
o projetista conclui a forma suavizada ilustrada na Figura 4-15. O traçado proposto pelo
programa é assim uma orientação para o projetista.
Figura 4-15. Traçado real dos cabos de protensão.
Com a excentricidade e a força de protensão definidas, é preciso comprovar que
o dimensionamento escolhido atende o estado limite último simplificado e os estados
41
limite em serviço. Tanto o cálculo das tensões atuantes como a verificação dos estados
limite são feitos automaticamente pelo programa.
Primeiramente, o programa faz a verificação do estado limite último simplificado.
Devem-se cumprir os critérios de tração e compressão nas fibras inferior e superior:
- Critério de compressão: < 0,7 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘𝑗𝑗
Onde: 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘𝑗𝑗 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘 ∙ 𝑒𝑒�𝑠𝑠�1−�28 𝑐𝑐� ��
(4.2)
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘:𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑀𝑀ê𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑀𝑀𝑒𝑒𝑐𝑐í𝑐𝑐𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀: 𝐼𝐼𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐)
O Quadro 4-4 apresenta os diferentes valores que pode adotar o parâmetro s
dependendo do tipo de cimento usado no concreto.
- Critério de tração: > 1,2 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑗𝑗
Onde: 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑗𝑗 = 0,3(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘𝑗𝑗)2 3� (4.3)
Consequentemente, podem ocorrer duas situações, que a comprovação seja
correta ou não. Quando não se verifica o estado limite, o programa fornece a força de
protensão máxima que pode ser escolhida, e, é necessário iniciar o programa de novo.
A Figura 4-16 apresenta a tela mostrada no programa quando não é verificado o
estado limite último simplificado.
Figura 4-16. Comprovação ELU simplificado.
No caso da verificação ser correta, o programa passa a verificar os Estados
Limites de serviço: compressão excessiva, descompressão e formação de fissuras.
Para fazer esta verificação, o programa comprova se são admissíveis as tensões
Quadro 4-4. Valor do parâmetro s.
42
normais na seção crítica calculadas seguindo as combinações de ações que dependem
do nível de protensão e do estado limite a ser verificado.
O Quadro 4-5 apresenta as combinações a serem utilizadas para cada um dos
níveis de protensão e estados limites. Quadro 4-5. Estados limite - nível de protensão - combinações. Fonte: [13]
Verificados também os estados limite em serviço, conforme ilustrado na Figura
4-17, a seleção da força de protensão e da excentricidade pode ser admitida e, assim,
finaliza-se o processo de dimensionamento.
Figura 4-17. Comprovação final dos ELS.
43
4.4. Fluxograma do programa A seguir é apresentado o fluxograma completo da sequência do programa
computacional desenvolvido.
44
45
LEGENDA DO FLUXOGRAMA:
46
5. DETERMINAÇÃO DE TRAÇADO DAS VIGAS-EXEMPLO Neste capítulo se apresentam dois exemplos realizados para verificar a eficácia
do programa e resolver os possíveis erros do programa.
5.1. Apresentação dos casos de estudo Para comprovar o correto funcionamento do programa, estudam-se dois casos
que apresentam uma viga simplesmente apoiada submetida às cargas habituais em
uma ponte rodoviária, mas cada caso tem uma seção transversal diferente.
O primeiro caso é de uma seção transversal tipo superestrutura esbelta com
traçado parabólico do cabo. No segundo caso, a seção transversal é em viga múltipla
pré-moldada e pré-tensionada, com traçado dos cabos retilíneo.
5.1.1. Caso 1: Superestrutura esbelta pós-tensionada. Traçado variável.
• Seção transversal
O primeiro caso corresponde a uma ponte rodoviária de 25 metros de vão e 11
metros de largura, conforme esquematizado na Figura 5-1.
Figura 5-1. Seção longitudinal da ponte rodoviária no caso número 1.
A seção maciça de concreto protendido é ilustrada na Figura 5-2.
Figura 5-2. Seção transversal do caso número 1.
• Cargas atuantes
As cargas presentes no caso de estudo são: o peso próprio da laje, sobrecarga
permanente, carga móvel e a protensão. Estas cargas têm os seguintes valores:
47
𝑃𝑃𝑒𝑒𝑐𝑐𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐ó𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑒𝑒 → 𝑤𝑤 = 5,7 𝑚𝑚2 ∙ 25𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚2 = 142,5
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.1)
𝑆𝑆𝑀𝑀𝑓𝑓𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒 → 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑃𝑃 = 30𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.2)
𝑆𝑆𝑎𝑎𝑐𝑐𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑚𝑚ó𝑣𝑣𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑆𝑆𝑀𝑀𝑐𝑐 = 60 𝑘𝑘𝑘𝑘; 𝑆𝑆𝑀𝑀𝑠𝑠 = 20𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.3)
Resta considerar a força de protensão que será introduzida após o desenho dos
diagramas de Magnel.
• Tipo de concreto
O concreto usado vai ter as seguintes resistências:
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘 = 50 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = − 0,3 ∙ (50)2 3� = − 4,07 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 (5.4)
Considera-se cimento CP-V com idade no ato da protensão fixada em 21 dias.
• Tipo de obra
A obra é uma ponte rodoviária.
• Classe de agressividade ambiental
A obra está em uma cidade perto do litoral, ou seja, localizada em um ambiente
marinho correspondente com uma classe de agressividade ambiental tipo III.
• Momento de aplicação da protensão
A força da protensão é aplicada após a concretagem, ou seja, é uma pós-tensão.
• Tipo de traçado do cabo
O cabo de protensão terá uma forma parabólica, ou seja, variável.
5.1.2. Caso 2: Vigas pré-tensionadas. Traçado reto.
• Seção transversal
O comprimento do vão da ponte rodoviária é 35 metros como esquematizado na
Figura 5-3. A seção transversal tem 12 metros de largura e são adotadas vigas
AASTHO. Para este vão de 35 metros, a normativa recomenda usar vigas tipo V.
Figura 5-3. Seção longitudinal da ponte rodoviária. Caso 2.
48
Adota-se um espaçamento entre vigas de 2,6 metros, totalizando assim 5 vigas
para uma seção de largura 12 metros, conforme apresentado na Figura 5-4.
Figura 5-4. Seção transversal da ponte. Caso 2.
Porém, no dimensionamento considera-se unicamente a seção de uma viga
isolada. As seções transversais com as respectivas propriedades geométricas, para a
viga isolada e viga com laje, são apresentadas na Figura 5-5.
Figura 5-5. Seções estruturais de cálculo. Caso 2.
• Cargas atuantes
As cargas presentes no caso de estudo são os pesos próprios da viga e da laje,
sobrecarga permanente, carga móvel e a protensão. Estas cargas têm os seguintes
valores:
𝑃𝑃𝑒𝑒𝑐𝑐𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐ó𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑆𝑆𝑎𝑎 → 𝑤𝑤1 = 0,6532 𝑚𝑚2 ∙ 25𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚2 = 16,33
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.5)
𝑃𝑃𝑒𝑒𝑐𝑐𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐ó𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑒𝑒 → 𝑤𝑤2 = 0,48 𝑚𝑚2 ∙ 25𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚2 = 12
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.6)
𝑆𝑆𝑀𝑀𝑓𝑓𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀𝑒𝑒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒 → 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑃𝑃 = 10𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.7)
𝑆𝑆𝑎𝑎𝑐𝑐𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑚𝑚ó𝑣𝑣𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑆𝑆𝑀𝑀𝑐𝑐 = 60 𝑘𝑘𝑘𝑘; 𝑆𝑆𝑀𝑀𝑠𝑠 = 10𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
(5.8)
49
Resta considerar a força de protensão que será introduzida após o desenho dos
diagramas de Magnel.
No ato da protensão, só atuam o peso próprio da viga e a força de protensão
consideradas as perdas imediatas. Com a viga em serviço, atuam todas as cargas sobre
a seção de viga mais mesa colaborante.
• Tipo de concreto
O concreto empregado terá as seguintes resistências:
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘 = 50 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,3 ∙ (50)2 3� = 4,07 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 (5.9)
Assim como no caso 1, considera-se cimento CP-V com 21 dias de idade no ato
da protensão.
• Tipo de obra
A obra é uma ponte rodoviária.
• Classe de agressividade ambiental
Considera-se a obra situada em uma cidade perto do litoral, ou seja, localizada
em um ambiente marinho. Assim, a classe de agressividade ambiental é tipo III.
• Momento de aplicação da protensão
A força da protensão é aplicada antes da concretagem, ou seja, é uma pré-
tensão.
• Tipo de traçado do cabo
O cabo de protensão é reto, apresentando a mesma excentricidade ao longo de
todo o comprimento da viga.
5.2. Diagramas de Magnel
5.2.1. Caso 1: Superestrutura esbelta pós-tensionada. Traçado variável. Após a introdução dos dados, o programa desenha automaticamente os
diagramas de Magnel para as 5 seções de estudo e considerando também as
combinações de ações correspondentes. Estas combinações dependem do nível de
50
protensão e do estado limite a verificar, conforme apresentado no Quadro 5-1. Neste
primeiro caso, é uma pós-tração e está localizada em um ambiente de agressividade
ambiental tipo III, sendo necessário verificar as combinações de ações apresentadas no
quadro a seguir:
Em seguida, o programa identifica automaticamente as combinações a serem
verificadas e logo após desenha os diagramas de cada uma das seções de estudo da
viga.
As Figuras 5-6 a 5-10 apresentam os diagramas desenhados pelo programa
desenvolvido. Também tem sido destacada a região solução de combinações força de
protensão – excentricidade.
Figura 5-6. Diagrama de Magnel. Caso 1. Ponto 1.
Quadro 5-1. Combinações necessárias. Caso 1. Fonte: [13]
51
Figura 5-7. Diagrama de Magnel. Caso 1. Ponto 2.
Figura 5-8. Diagrama de Magnel. Caso 1. Ponto 3.
Figura 5-9. Diagrama de Magnel. Caso 1. Ponto 4.
52
Figura 5-10. Diagrama de Magnel. Caso 1. Ponto 5.
Pode-se perceber nas figuras anteriores que não se obteve uma precisão
considerada adequada. Visando obter gráficos com melhor precisão, empregou-se o
programa GEOGEBRA citado anteriormente.
Primeiramente, são exportadas as inequações correspondentes à combinação
quase permanente do ponto número 1 para o GEOGEBRA. Depois, é desenhada
manualmente a região permitida ilustrada na Figura 5-11, seguindo o processo
explicado anteriormente no capítulo 4.3.
Figura 5-11. Região final. Combinação quase permanente. Caso 1. Ponto 1.
53
Repete-se o processo com a outra combinação da seção número 1, a
combinação frequente, sendo obtida a região solução ilustrada na Figura 5-12.
Figura 5-12. Região final. Combinação frequente. Caso 1. Ponto 1.
Em seguida, são superpostas as duas áreas desenhadas anteriormente,
obtendo uma região, ilustrada na Figura 5-13, que cumpre todos os estados limite em
serviço.
54
Figura 5-13. Região solução. Caso 1. Ponto 1.
Após a obtenção da região final da seção 1, são calculadas as regiões finais das
demais seções seguindo o mesmo processo. Devido ao fato da viga ser simétrica, os
diagramas de Magnel dos pontos 4 e 5 são os mesmos que os dos pontos 2 e 1, então,
só é preciso repetir o processo mais duas vezes.
A Figura 5-14 apresenta as regiões finais desenhadas manualmente no
GEOGEBRA dos pontos 2 e 3.
Observando todas as regiões finais obtidas, é possível fixar um valor para 1/P.
Neste caso, é escolhido o valor a seguir:
Figura 5-14. Região final. Ponto 2 (esquerda). Ponto 3 (direita). Caso 1
55
1𝑃𝑃𝑔𝑔𝑛𝑛𝑖𝑖
= 0.000035 → 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑛𝑛𝑖𝑖 = 28.571 𝑘𝑘𝑘𝑘 (5.10)
Após fixar o valor de P, é possível definir o intervalo de excentricidades
permitidas para cada uma das seções. Para obter estas excentricidades, desenha-se
no GEOGEBRA uma reta com o valor da força de protensão escolhido, e, observa-se
onde corta à região permitida. Após introduzir o intervalo de excentricidades, o programa
desenha um simples esquema da viga com o intervalo de excentricidades permitidas
ilustrado na Figura 5-15.
Figura 5-15. Gráfico excentricidades máximas - mínimas. Caso 1.
O Quadro 5-2 apresenta o valor numérico do intervalo de excentricidades
permitidas de cada seção estudada.
Quadro 5-2. Intervalo de excentricidades máximas e mínimas. Caso 1.
Com o auxílio do gráfico anterior, escolhe-se um traçado final para o cabo de
protensão ilustrado na Figura 5-16. Este traçado deve ser semelhante a uma parábola,
sendo a excentricidade na seção do meio do vão a máxima possível.
56
Figura 5-16. Traçado final de cabo de protensão. Caso 1.
O Quadro 5-3 apresenta as excentricidades escolhidas para cada uma das
seções estudadas. Quadro 5-3. Excentricidade escolhida em cada seção. Caso 1.
Esse é o traçado indicado pelo programa. Porém, o projetista deve suavizar o
traçado para adotar uma forma parabólica, conforme ilustrado na Figura 5-17.
Figura 5-17. Traçado real proposto. Caso 1.
Posteriormente, com estes valores finais de excentricidade e força, são
verificados os estados limite último e em serviço.
57
5.2.2. Caso 2: Vigas pré-tensionadas. Traçado reto. Da mesma forma que no caso anterior, após a introdução dos dados, o programa
desenha os 10 diagramas de Magnel, correspondentes às 5 seções estudadas e suas
combinações de ações.
Neste caso, o nível de protensão é do tipo 3 (Protensão completa). Então, devem-
se verificar as combinações de ações destacadas a seguir no Quadro 5-4. Quadro 5-4. Combinações necessárias. Caso 2. Fonte: [13]
Os diagramas do caso número 2 são desenhados em relação à altura da viga
com a origem no fundo da mesma, conforme foi explicado no capítulo 4.3.
A Figura 5-18 mostra a diferença entre os dois casos expostos. No primeiro caso,
o diagrama foi desenhado em função da excentricidade, e neste segundo caso, será
desenhado em função da altura da viga.
Figura 5-18. Transformação excentricidade - altura. Caso 2.
58
Em seguida, o programa desenha os diagramas pertencentes às 5 seções
estudadas do caso número 2, conforme ilustrado nas Figuras 5-19 até 5-23.
Figura 5-19. Diagrama de Magnel. Caso 2. Ponto 1.
Figura 5-20. Diagrama de Magnel. Caso 2. Ponto 2.
Figura 5-21. Diagrama de Magnel. Caso 2. Ponto 3.
59
Figura 5-22. Diagrama de Magnel. Caso 2. Ponto 4.
Figura 5-23. Diagrama de Magnel. Caso 2. Ponto 5.
Após o desenho dos diagramas feito pelo Octave, introduzem-se as inequações
fornecidas pelo programa no GEOGEBRA. Da mesma maneira que no caso anterior,
não desenhamos os pontos 4 e 5 devido à sua simetria com os pontos 1 e 2. Assim,
obtêm-se as regiões finais resultantes da superposição das duas regiões desenhadas
anteriormente, conforme ilustrado nas Figuras 5-24 e 5-25.
60
Figura 5-24. Região solução. Caso 2. Ponto 1
Figura 5-25. Região solução. Caso 2. Ponto 2 (esquerda). Ponto (direita)..
Observando os gráficos anteriores, escolhe-se um valor de 1/P seguindo o
mesmo critério que no caso anterior. 1𝑃𝑃𝑔𝑔𝑛𝑛𝑖𝑖
= 0.00014 → 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑛𝑛𝑖𝑖 = 7.143 𝑘𝑘𝑘𝑘 (5.11)
Na seguinte etapa, é necessário definir o intervalo de alturas permitidas para
cada seção ilustrado na Figura 5-26.
61
Figura 5-26. Gráfico de altura máxima - mínima. Caso 2.
O Quadro 5-5 apresenta os valores numéricos exatos de altura permitida em
cada seção de estudo da viga. Quadro 5-5. Alturas permitidas. Caso 2.
Em seguida, escolhe-se o traçado final do cabo seguindo o critério exposto no
capítulo 4.3. Após introduzir este traçado, o programa transformará automaticamente a
altura escolhida em excentricidade para poder fazer a verificação dos estados limite.
A Figura 5-27 ilustra o traçado do cabo na seção viga isolada com a altura
transformada em excentricidade.
Figura 5-27. Traçado final do cabo. Seção viga. Caso 2.
O Quadro 5-6 apresenta os valores numéricos do traçado escolhido na seção
viga isolada, ou seja, no ato da protensão.
62
Quadro 5-6. Traçado final na seção viga isolada. Caso 2.
A Figura 5-28 ilustra o traçado do cabo na seção viga + laje, também com a altura
transformada em excentricidade.
Figura 5-28. Traçado final cabo. Seção viga + laje. Caso 2.
O Quadro 5-7 apresenta os valores numéricos do traçado escolhido na seção
viga mais laje, ou seja, quando a viga está em serviço.
Quadro 5-7. Traçado final na seção viga + laje. Caso 2.
5.3. Verificação de estados limite Na próxima etapa, verifica-se se o dimensionamento da protensão cumpre o
estado limite último simplificado e os estados limite de serviço.
5.3.1. Caso 1: Superestrutura esbelta pós-tensionada. Traçado variável. Visando comprovar se o dimensionamento é correto, verifica-se se a viga cumpre
os estados limite na seção crítica. Para saber a posição desta seção crítica, o programa
63
mostra os momentos fletores que afetam à estrutura no ato da protensão na viga, e
quando ela está em serviço, conforme ilustrado na Figura 5-29.
Figura 5-29. Momentos na viga em t=0 e t=inf. Caso 1.
Pode-se perceber que a seção de momento máximo está no centro da viga.
Devido ao fato de que o programa só trabalha com vigas simplesmente apoiadas, o
ponto crítico da viga sempre está no centro do vão da viga. Nessa seção crítica, deve-
se comprovar que as tensões produzidas são admissíveis respeito às tensões limite.
Primeiramente, comprova-se o estado limite último simplificado no momento de
aplicação da protensão. Neste momento só atuam o peso próprio e a força de protensão
considerando só as perdas instantâneas.
O Quadro 5-8 mostra os valores das tensões na seção crítica no momento do ato
da protensão.
Quadro 5-8. Tensões em t=0. Caso 1.
Estas tensões devem ser admissíveis em relação às tensões limite no concreto
comprimido e tracionado. Estas tensões limites dependem da resistência do concreto,
do tipo de cimento e da idade do cimento no momento da aplicação da protensão.
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑀𝑀ê𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎 à 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐ã𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑀𝑀0 → 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘𝑗𝑗 = 50 ∙ 𝑒𝑒�0,2 ∙ �1−�28 21� ��
= 48,48 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 (5.12)
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑀𝑀ê𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎 à 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎çã𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑀𝑀0 → 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑗𝑗 = 0,3 ∙ (48,48)2 3� = − 3,99 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 (5.13)
64
Em seguida, as tensões atuantes no momento do ato da protensão são
comprovadas conforme aos critérios de compressão e tração.
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀é𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐ã𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑀𝑀0 → 0,7𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘𝑗𝑗 = 33,94 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 (5.14)
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀é𝑐𝑐𝑚𝑚𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎çã𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑀𝑀0 → 1,2 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑗𝑗 = −4,79 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 (5.15)
O Quadro 5-9 apresenta a verificação de tensões no ato de protensão,
comparando as tensões da seção com as tensões limite do ELU simplificado.
Quadro 5-9. Comparação critérios - tensões em t=0. Caso 1.
No caso de estar tudo correto, o programa apresenta a tela conforme ilustrada
na Figura 5-30.
Figura 5-30. Confirmação da verificação do ELU simplificado. Caso 1.
Na etapa seguinte, faz-se a verificação dos estados limite em serviço. Nesta etapa,
atuam todas as cargas: peso próprio, sobrecarga permanente, carga móvel e protensão.
O programa calcula automaticamente as tensões da viga em serviço em relação às
combinações correspondentes ao nível de protensão aplicado. As tensões atuantes na
viga em serviço têm os valores mostrados no Quadro 5-10.
65
Quadro 5-10. Tensões em t = inf. Caso 1.
Nesta etapa, comprova-se se as tensões cumprem os critérios de compressão e
tração dos estados limite da viga em serviço. É preciso verificar os 3 estados a seguir:
• Estado limite de compressão excessiva: < 60% 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑘𝑘 (5.16)
• Estado limite de descompressão: > 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑡𝑡0,7
= 0,3 (𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)23�
0,7 (5.17)
• Estado limite de formação de fissuras: > 0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚2 (5.18)
Na Quadro 5-11 são comparadas as tensões com os critérios de compressão e
tração como citado anteriormente.
Quadro 5-11. Comparação critérios – tensões em t = inf. Caso 1.
Sendo as tensões admissíveis conforme às tensões limite, o programa mostra a
tela ilustrada na Figura 5-31.
66
Figura 5-31. Confirmação da verificação dos ELS. Caso 1.
Consequentemente, a seleção de força de protensão e excentricidade é correta,
e, por fim, conclui o dimensionamento do traçado dos cabos de protensão.
5.3.2. Caso 2: Vigas pré-tensionadas Neste segundo caso, o processo a seguir é o mesmo que no caso anterior.
Primeiramente, visando conhecer a posição da seção crítica, o programa apresenta na
tela ilustrada na Figura 5-32, os momentos em cada uma das seções de estudo.
Figura 5-32. Momentos em t = 0 e t = inf. Caso 2.
Pode-se perceber que a seção crítica está no centro do vão da viga. Em seguida,
verifica-se o estado limite último simplificado no qual só atuam o peso próprio da viga
isolada e a protensão. Devido ao fato do tipo e da idade do cimento usados serem iguais
que no caso anterior, os critérios de compressão e tração são os mesmos.
Assim, verifica-se que as tensões atuantes são admissíveis em comparação com
as tensões limite, conforme apresentado no Quadro 5-12. Quadro 5-12. Comparação tensões - critérios ELU simplificado. Caso 2.
67
Verificado o estado limite último simplificado, é preciso comprovar os estados
limite em serviço. Nesta etapa, atuam o peso próprio da viga e da laje, a sobrecarga
permanente, a carga móvel e a protensão. Os critérios de verificação são os mesmos
que no caso anterior, mas, devido ao fato de mudar o nível de protensão, variam as
combinações de ações a usar.
Após o cálculo das tensões atuantes e limite feito automaticamente pelo
programa, faz-se a verificação de estados limite da viga em serviço conforme
apresentado no Quadro 5-13.
Quadro 5-13. Comparação tensões - critérios ELS. Caso 2.
Sendo todas as tensões admissíveis nos estados em serviço a verificar, a
seleção de força de protensão e excentricidade é correta. Assim, conclui o processo de
dimensionamento dos cabos de protensão.
68
6. ANÁLISE PARAMÉTRICA Após comprovar que o programa funciona corretamente, é possível analisar a
influência de alguns parâmetros sobre a forma dos diagramas de Magnel. Visando este
objetivo, foram escolhidos os seguintes parâmetros para a análise:
• Seção transversal;
• Vão da ponte;
• Resistência do concreto usada.
Após escolher os dados de cada um dos casos, analisa-se como varia a forma
dos diagramas enquanto mudamos o valor dos parâmetros anteriormente citados.
6.1. Parâmetros da seção O primeiro parâmetro a ser analisado é a seção transversal. Para fazer esta
análise, escolhe-se uma seção tipo retangular, na qual se varia sua altura e largura.
Após escolher os valores numéricos de cada um dos casos a estudar, desenham-se os
diagramas de Magnel no programa de Octave.
Considera-se como método de protensão a pós-tensão. Quanto ao tipo de obra,
é uma ponte rodoviária exposta a um ambiente de agressividade tipo III.
Visando estudar a influência na forma dos diagramas, analisam-se um total de 5
casos apresentados no Quadro 6-1. Quadro 6-1. Lista de casos de seções transversais.
Especificamente, os dados usados em cada um dos casos são apresentados nos
Quadros 6-2 a 6-6.
69
Quadro 6-2. Análise de seção. Caso 1.
Quadro 6-3. Análise de seção. Caso 2.
Quadro 6-4. Análise de seção. Caso 3.
Quadro 6-5. Análise de seção. Caso 4.
Quadro 6-6. Análise de seção. Caso 5.
70
Visando comparar as formas dos diagramas, escolhe-se uma seção da viga e
uma combinação de ações. Assim, seleciona-se o ponto central da viga e a combinação
quase permanente.
Primeiramente, usa-se o programa para se obter as inequações pertencentes
aos limites dos diagramas de Magnel. Após exportar estas inequações para o
GEOGEBRA, desenham-se os diagramas de cada caso em GEOGEBRA, obtendo o
gráfico ilustrado na Figura 6-1.
Figura 6-1. Influência da variação dos parâmetros das seções.
Pode-se perceber que existe uma relação entre as propriedades geométricas da
seção e o tamanho da região de combinações permitidas. Assim, quanto maior é a altura
da seção, maior é o tamanho da região de combinações permitidas. Porém, no caso de
um aumento da largura da seção, este aumento produz uma diminuição do tamanho da
região de combinações permitidas. A causa desta diminuição é que é maior o aumento
da carga do peso próprio do que o aumento da resistência a flexão da seção transversal.
6.2. Parâmetros da viga No segundo caso, estuda-se o comprimento do vão da viga. Os casos a serem
analisados são os apresentados no Quadro 6-7. Quadro 6-7. Lista de casos de vãos da viga
.
71
A seção transversal utilizada em todos os casos de estudo é a ilustrada na
Figura 6-2.
Figura 6-2. Seção transversal - Análise vão.
O método de protensão considerado para todos os casos é a pós-tensão. Com
relação ao tipo de obra, é uma ponte rodoviária exposta a um ambiente de agressividade
ambiental tipo III.
Os dados usados em cada uma das situações são apresentados nos Quadros 6-
8 a 6-12.
Quadro 6-8. Análise de vão da viga. Caso 1.
Quadro 6-9. Análise de vão da viga. Caso 2.
72
Quadro 6-10. Análise de vão da viga. Caso 3.
Quadro 6-11. Análise de vão da viga. Caso 4
Quadro 6-12. Análise de vão da viga. Caso 5.
Após introduzir e desenhar todos os casos no GEOGEBRA, obtém-se como
resultado a Figura 6-3.
Figura 6-3. Influência da variação do comprimento do vão.
73
Devido ao fato do comprimento do vão da viga influir diretamente sobre a
magnitude dos momentos fletores, pode-se perceber a redução da região de
combinações permitidas enquanto aumenta o comprimento do vão da viga. Assim,
aumentando a força de protensão a aplicar e diminuindo o intervalo de excentricidades
permitidas.
6.3. Parâmetros dos materiais No último caso, analisa-se a influência da resistência a compressão do concreto
sobre a forma dos diagramas de Magnel. Estudam-se diferentes valores de resistência,
mas todos recomendáveis para seu uso no concreto protendido.
A seção transversal utilizada em todos os casos de estudo é a ilustrada na
Figura 6-4.
Figura 6-4. Seção transversal - Análise resistência.
O Quadro 6-13 apresenta a lista de casos escolhidos para a análise da influência
da resistência. Quadro 6-13. Lista de casos de análise da resistência.
Os dados de cada uma das situações a serem analisadas são apresentados nos
Quadros 6-14 a 6-17.
74
Quadro 6-14. Análise da resistência do concreto. Caso 1.
Quadro 6-15. Análise da resistência do concreto. Caso 2.
Quadro 6-16. Análise da resistência do concreto. Caso 3.
Quadro 6-17.Análise da resistência do concreto. Caso 4.
Quadro 6-18.Análise da resistência do concreto. Caso 5.
75
Após o desenho da região permitida de cada um dos casos anteriormente
citados, é apresentada a Figura 6-5 resultado da superposição das regiões dos 5 casos
estudados.
Figura 6-5. Influência da variação da resistência do concreto.
Pode-se perceber no gráfico que existe uma relação direta entre o valor da
resistência e o tamanho da área permitida, mas que a diferença no tamanho é pequena
em comparação com os parâmetros anteriormente estudados. O único elemento que
não varia é a força mínima de protensão, já que está determinada pelo estado limite de
descompressão no qual a tensão limite é 0 e não depende da resistência do concreto. 1𝑃𝑃
<(𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑠𝑠)
(𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) (6.1)
Assim, a variação da resistência a compressão do concreto só influi no valor da
força de protensão máxima que é possível aplicar.
76
7. CONCLUSÕES Ao longo desse trabalho buscou-se comprovar não só o correto funcionamento
do programa, mas também sua validade na prática.
O programa desenvolvido visa orientar o traçado dos cabos de protensão em
vigas simplesmente apoiadas. Após introduzir os parâmetros da seção, cargas atuantes
e características da obra, o programa desenha os diagramas de Magnel que são usados
na orientação do dimensionamento dos cabos de protensão.
Escolhido o traçado e a força final da protensão, o programa faz as verificações
dos estados limite usando as combinações de ações necessárias segundo o tipo de
obra. Assim, permite saber se a definição da protensão é correta ou se é preciso mudar
algum parâmetro.
Para se verificar a eficácia do programa, foram apresentados dois exemplos que
testaram as diferentes características do programa. As seções transversais destes
exemplos são apresentadas a seguir:
• Superestrutura esbelta pós-tensionada com traçado curvo;
• Vigas pré-tensionadas com mesa colaborante com traçado reto.
Devido ao fato dos exemplos terem diferentes tipos de seção e de trajetória do
cabo, foi possível confirmar o bom funcionamento do programa e, corrigir alguns erros
presentes.
Em seguida, foi realizada uma análise da influência de alguns parâmetros de
cálculo dos diagramas de Magnel. Estas foram os parâmetros da seção transversal, o
comprimento do vão da viga e a resistência do concreto. Essa análise permitiu observar
graficamente como afetavam à forma dos diagramas os parâmetros anteriormente
citados.
Por fim, são apresentadas algumas conclusões extraídas da realização desse
projeto nas próximas seções do presente capítulo.
7.1. Validade do programa na prática Para comprovar o correto funcionamento do programa, foram executados dois
exemplos de dimensionamento de pontes rodoviárias usando os diagramas de Magnel.
Após a realização destes exemplos, podemos concluir que este programa é uma
ferramenta muito útil para orientar ao projetista na definição da protensão. Este método
gráfico permite observar facilmente quais são as combinações possíveis de força de
protensão e excentricidade e, mesmo que o método dos diagramas de Magnel tenha
mais de 70 anos de idade, esta ferramenta automatizada ainda não existia.
77
Além disso, neste projeto foi apresentada uma análise paramétrica feita usando
o programa desenvolvido. Devido ao fato de ser um método gráfico, permite observar
facilmente como a variação dos parâmetros afeta à forma dos diagramas de Magnel.
7.2. Sugestões para trabalhos futuros Atualmente, o programa desenvolvido neste projeto só permite o
dimensionamento de vigas simplesmente apoiadas, mas tem um grande potencial de
desenvolvimento. Algumas das sugestões para a melhora do programa são as
seguintes:
• Introdução do sistema de cálculo de vigas hiperestáticas, este assunto
será desenvolvido mais extensamente posteriormente;
• Melhora do sistema de seleção de limites no desenho dos diagramas de
Magnel;
• Análise paramétrico mais exaustivo, analisando mais variáveis com um
número de casos maior para entender melhor o processo de definição da
protensão;
• Aumento da precisão no desenho de diagramas, visando realizar o
processo inteiro usando o Octave, ou seja, suprimir o uso do GEOGEBRA
no processo;
• Inclusão de um sistema de otimização na escolha da força de protensão.
No caso de resolver as questões apresentadas na lista anterior, o programa
poderia ser uma ferramenta muito importante para a análise paramétrica e o
dimensionamento de estruturas de concreto protendido.
Uma das questões mais importantes e ao mesmo tempo trabalhosas da lista
anterior é o cálculo de vigas hiperestáticas.
7.2.1. Vigas hiperestáticas Visando o objetivo de dar ao programa a capacidade de calcular vigas
hiperestáticas, são apresentadas algumas das modificações necessárias para permitir
ao programa o cálculo deste tipo de vigas:
• Introduzir um quadro de decisão que permita ao usuário escolher o tipo
de viga a calcular, isostática ou hiperestática;
• Introduzir um sistema para a entrada de dados pertencentes a uma viga
hiperestática: comprimento dos vãos, tipo de apoios,...
• Escolha de número de pontos da viga a estudar dependendo das
características da viga;
78
• Cálculo de momentos solicitantes em estruturas hiperestáticas;
• Consideração do momento hiperestático no cálculo;
• Detecção de seções críticas a estudar e verificação dos estados limite.
Com relação ao desenho dos diagramas, o sistema a usar seria o mesmo que
no programa da viga simplesmente apoiada.
79
8. REFERÊNCIAS 8.1. Referências bibliográficas
• CAPRANI, COLLIN. “Civil Engineering Design (1). Prestressed concrete”.
2006/7.
• DINGES, TYSON. “The history of prestressed concrete: 1888 to 1963”.
M. Sc. Dissertation. University of Kansas, at Manhattan, Kansas. USA.
2009.
• EHSANI, MOHAMMAD R., RUSSEL BLEWITT, J. “Design Curves for
Tendon Profile in Prestressed Concrete Beams”. In: PCI JOURNAL, pp.
114-135. May-June 1986.
• TORROJA MIRET, EDUARDO. “El puente de Luzancy”. Revista de Obras
Públicas, 1947.
• VALERIANO, RICARDO. Apostila da disciplina Protendido, 2017.
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
8.2. Referências de ilustrações
[1] Hormigón. Em: WIKIPÉDIA: a enciclopédia livre. Wikimedia, 2017. [Online]
Disponível em:
<https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Museo_del_Teatro_Romano_de_Caesaraug
usta_-
_Wiki_Takes_Caesaraugusta_16.jpg#/media/File:Museo_del_Teatro_Romano_de_Ca
esaraugusta_-_Wiki_Takes_Caesaraugusta_16.jpg> [Acesso em 16 de Outubro de
2017]
[2] Conservatoire National des Arts et Métiers, “Archives d´architecture du XXe siècle”.
[Online]. Disponível em:
<http://www.cehopu.cedex.es/hormigon/fichas/img_ficha.php?id_img=107 >[Acesso
em 16 de Outubro de 2017]
[3] Torres Petronas. Em: WIKIPÉDIA: a enciclopédia livre. Wikimedia, 2017. Disponível
em: <https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9974688 >[Acesso em 16 de
Outubro de 2017]
[4] Ponte do Risorgimento. Em: Alchetron. Disponível em: <http://rete.comuni-
italiani.it/foto/2012/wp-content/uploads/2012/09/114889-800x535.jpg > [Acesso em 16
de Outubro de 2017]
80
[5] TORROJA MIRET, EDUARDO. “El puente de Luzancy”. Revista de Obras Públicas,
1947. [Online] Disponível em:
<http://ropdigital.ciccp.es/pdf/publico/1947/1947_tomoI_2783_01.pdf >[Acesso em 17
de Outubro de 2017]
[6] Ponte Rio-Niterói. Em: WIKIPÉDIA: a enciclopédia livre. Wikimedia, 2017. [Online]
Disponível em:
<https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Bridge_to_Niteroi.jpg/12
80px-Bridge_to_Niteroi.jpg >[Acesso em 18 de Outubro de 2017]
[7] VALERIANO, RICARDO. “Principais ações”. Apostila da disciplina Pontes I, 2017.
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
[8] BAÑÓN, L. “Tecnología del pretensado” Universidad de Alicante, 2011. [Online]
Disponível em: <https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/25641/25/Tema%2025%20-
%20Tecnolog%C3%ADa%20del%20pretensado.pdf >[Acesso em 25 de Outubro de
2017]
[9] VALERIANO, RICARDO. “Forças e excentricidades”. Apostila da disciplina
Protendido, 2017. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
[10] MORALES, F., TORRES-PARDO, A., 2011. “Sistemas Constructivos: Hormigón
Pretesado y Postesado” Faculdade de Arquitetura, Universidad de la República
(UDELAR), Uruguay.
[11] História do laboratório de Magnel. Universidade de Ghent. [Online] Disponível em:
<https://www.ugent.be/ea/structural-engineering/en/research/magnel/history> [Acesso
em 25 de Outubro de 2017]
[12] Walnut Memorial Bridge. Em: STRUCTURAE: International Database and Gallery
of Structures. [Online]. Disponível em: < https://structurae.net/structures/walnut-lane-
memorial-bridge> [Acesso em 25 de Outubro de 2017]
[13] VALERIANO, RICARDO. “Estados limite e combinações”. Apostila da disciplina
Protendido, 2017. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
[14] VALERIANO, RICARDO. “Viga protendido pré-tensionada”. Apostila da disciplina
Protendido, 2017. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
