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Título: Introducción a los números racionales positivosAutores: Herrero Analía Luz – Roldán Analía IsabelProfesores: Fregona, Dilma – Esteley, Cristina – Delgado, Erika – Viola, FernandaCarrera: Profesorado en MatemáticasFecha: 21/12/2011
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Resumen
Este trabajo informa acerca de las prácticas docentes realizadas por Analía Herrero y Analía Roldán en los cursos de 1°A y 1°B respectivamente, en un instituto de nivel medio, de gestión privada, católico y mixto con orientación en el Área Administrativo-Contable que se encuentra en un barrio de la Ciudad de Córdoba.Las mismas se llevaron a cabo desde el 30 de Agosto hasta el 11 de Octubre del año 2011 y el tema desarrollado durante este período fue: ''Introducción a los números racionales positivos''.
Palabras claves
Números racionales positivos Fracción como reparto y como medida Construcción de la unidad a partir de una fracción dada División de un segmento en partes congruentes Introducción a la representación de fracciones en la recta numérica Fracción equivalente Orden y comparación de fracciones Densidad de los números racionales Clasificación
97 Mathematical education – 00 General
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Información general sobre la institución
Cursos donde se realizaron las prácticas : 1°A y 1° B
Practicantes: 1°A: Herrero Analía Luz 1°B: Roldán Analía Isabel
Horario de clases: MARTES 1° A - 7:40 a 9:00 hs. 1° B- 9:10 a 10:30 hs. JUEVES 1°A- 7:40 a 9:50 hs. 1°B- 9:50 a 12:00 hs.
El instituto en el que se realizaron las prácticas es de gestión privada, católico y mixto con orientación en el Área Administrativo-Contable que se encuentra en un barrio de la Ciudad de Córdoba.
El colegio cuenta con catorce aulas distribuidas en planta baja, primer piso y segundo piso, diez de las cuales son amplias y luminosas, las otras cuatro más pequeñas en las que se ubican los cursos con menos cantidad de alumnos. Nuestros cursos se encontraban en el segundo piso.Durante la mañana cursa el secundario y por la tarde el primario. Además, cuenta con: laboratorios de química, física, ciencias naturales e informática; sala de proyecciones y reuniones; canchas techadas y descubiertas para actividad deportiva, museo de ciencias naturales; biblioteca (con acceso a internet) y la capilla.
El período de observaciones
Se realizó un corto período de observación de los grupos de alumnos de primer año, centrando la mirada en el trabajo de los alumnos y de la docente. Los cursos estaban integrados por 35 alumnos en 1°A y 34 en 1°B. Los alumnos trabajaban con el libro de texto: Matemática Es 1 de Liliana Kurzrok de Editorial Tinta Fresca y con actividades extras que proporcionaba la docente en fotocopias.Durante las clases observadas la metodología de trabajo utilizada por la profesora consistió en dar ejercicios a los alumnos para que resuelvan en pequeños grupos durante un determinado tiempo. Luego, se hacía la puesta en común considerando las distintas respuestas que surgían en la clase. A veces la corrección se realizaba en forma oral y otras se escribía en el pizarrón las diferentes producciones de los alumnos. Además observamos que en ambos cursos los estudiantes tenían buena predisposición para realizar las actividades propuestas y participar en la clase.
Planificación anual de la profesora
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La profesora planifica en función a dos ejes, que son:Eje N°1: Sistema de numeración, operaciones y funciones (sistema de numeración, números naturales, números racionales y proporcionalidad)Eje N°2: Geometría, medición y álgebra.El tema que dimos fue números racionales positivos, que se encuentra en el Eje N°1 y tiene los siguientes contenidos: concepto, recta numérica, comparación, fracciones decimales, números decimales y operaciones. Los temas que se vieron previos al de números racionales fueron: números naturales y sus operaciones, figuras planas, polígonos convexos, cuadriláteros, triángulos, circunferencia,círculo, cuerpos poliedros y redondos.
Planificación y desarrollo de las prácticas
Objetivos Generales
Se plantearon como objetivos generales que los alumnos logren:− Comprender situaciones problemáticas y buscar la estrategia más adecuada para
resolverlas.− Desarrollar su capacidad para comunicar y argumentar sus propias afirmaciones.− Adquirir valores como el respeto, la solidaridad y el compañerismo.− Reconocer y utilizar números racionales positivos en distintos contextos y en
distintas situaciones problemáticas.
Objetivos específicos
Se plantearon como objetivos específicos que los alumnos sepan:
− Resolver problemas en diferentes contextos de uso de fracciones, como reparto, medida, resultado de una división.
− Construir la unidad a partir de una fracción dada.− Interpretar la definición de fracción.− Que un número natural admite representaciones en los racionales.− Dividir un segmento en partes congruentes.− Ubicar números racionales en la recta numérica.− Identificar y construir fracciones equivalentes.− Comparar y ordenar números racionales.− Reconocer la propiedad de densidad del conjunto de números racionales.
Selección, organización y secuenciación de los contenidos
En relación al Eje 1 propuesto en la planificación de la docente, seleccionamos los siguientes contenidos: Introducción a los números racionales positivos. Las fracciones como reparto, medida, construcción de la unidad a partir de una fracción dada y resultado de una división; definición de fracción; división de un segmento en partes congruentes; introducción a la recta numérica; fracciones equivalentes; orden, comparación y densidad.Decidimos trabajar primero con problemas referidos a los contextos de uso de las fracciones para aproximar a los alumnos a una construcción del sentido del concepto de número racional y luego recién dar una definición formal de fracción. Tomamos la
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decisión de dejar a los alumnos la libertad para representar una fracción y que luego analicen distintas representaciones dadas. A continuación se trabajó con recta numérica. Los temas referidos a fracción equivalente, orden, comparación y densidad fueron planificados pero no desarrollados en clase por motivos de tiempo y se encuentran en el anexo. Cabe destacar que si bien se trabajó con el libro de texto de los alumnos para realizar la secuenciación de contenidos, no se siguió la misma establecida en el libro. Los ejercicios que fueron quedando de tarea se retomaron la siguiente clase.
Actividades desarrolladas y comentarios
Se tomaron actividades del libro de matemáticas que usan los alumnos y además otras de diferentes fuentes con los cuales elaboramos una guía complementaria que fue entregada a los alumnos. Después de la resolución de las mismas en forma grupal o individual se hacía oportunamente una puesta en común en el pizarrón o en forma oral, donde los alumnos presentaban sus respuestas y se analizaban cuáles eran más pertinentes. Comenzamos con los siguientes problemas del libro de los chicos:
Ejercicio1: Javier tiene 37 globos para repartirlos, en partes iguales, entre 5 chicos.a) ¿Cuántos le dará a cada uno? ¿Le quedan globos sin repartir?¿Por qué?b) ¿Se pueden repartir los que sobran? ¿Por qué?
Ejercicio 2: Fernando tiene 37 alfajores y los quiere repartir, en partes iguales, entre 5 chicos. a) ¿Cuántos le dará a cada uno? ¿Sobran alfajores sin repartir? ¿Por qué?b) ¿Se pueden repartir los que sobran? ¿Por qué?
Ejercicio 3: a) Resuelvan estos problemas.
(i) Julieta quiere repartir, en parte iguales, 62 libros en 4 cajas. ¿Cuántos libros pondrá en cada caja? ¿Le quedan libros sin guardar?
(ii) Dana va a fabricar pulseritas. Tiene 62 cm de alambre para hacer 4 pulseras iguales. ¿Cuántos centímetros de alambre usará para cada pulserita? ¿Sobra alambre? ¿Por qué?
b)Observen lo que dicen Natalia y Denise.
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Notar que los enunciados de estos tres problemas tienen los mismos datos pero su resolución es diferente, ya que en la primera parte el resto se puede dividir y en la otra no.La actividad se realizó con el compañero de banco y se les dio 15 minutos para realizarla. Dejamos de tarea los ejercicios 4 y 5 de la página 60 y el 6 de la página 61 que transcribimos a continuación:
Ejercicio 4: a) Carla compró 3 maples de 30 huevos. Quiere repartirlos, en partes iguales, entre sus 4 almacenes. ¿Cuántos huevos lleva a cada almacén?¿Por qué?¿Sobran huevos sin repartir?b) Carla decide hervir todos los huevos y luego repartirlos duros, en partes iguales y sin que sobre nada, entre sus 4 almacenes. ¿Cuántos llevará a cada almacén? c)¿En cuáles de las actividades anteriores tiene sentido repartir el resto y en cuáles no?¿Por qué?1
Ejercicio 5: Dalia tiene un bidón de 1000 litros de jugo y lo quiere repartir en botellas de igual capacidad. Indiquen, en cada caso, cuántas botellas puede llenar. ¿Queda alguna botella sin llenarse completamente? Si la respuesta es afirmativa, decidan cuánto jugo hay que agregar para que se llenen todas.a) Las botellas tienen una capacidad de 4 litros cada una.b) Las botellas tienen una capacidad de 3 litros cada una2
Ejercicio 6: Para repartir 9 pizzas entre 4 personas en partes iguales y sin que sobre nada los chicos hicieron lo siguiente:-Julián: ''Le doy dos pizzas enteras a cada uno. Me queda una que divido en 4 porciones. Le doy una de esas 4 porciones a cada persona. Cada una recibe 2 pizzas enteras y ¼.''-Bruno: ''Yo divido cada pizza en cuartos. Le doy ¼ de cada pizza a cada uno. Como son 9 pizzas, cada persona recibe 9 porciones de ¼ , o sea 9/4.''-Denise: ''Yo lo hago de otra manera. Le doy una pizza entera a cada persona. Divido 4 pizzas a la mitad y le doy ½ pizza a cada una. Para terminar, divido la ultima pizza en 4 y le doy ¼ a cada una. Cada persona recibe 1+ ½ + ¼ .''a) ¿Están de acuerdo con estos chicos? ¿Por qué? b)¿ En todas las formas de repartir, lo que recibe cada uno es lo mismo? ¿Por qué? 3
Continuamos con problemas donde las fracciones resuelven un problema de medición: Explicamos qué es una unidad de medida, dibujando en el pizarrón un segmento y tomando como unidad el borrador y viendo cuántas veces entra en el segmento. Aclaramos que al medir con regla la unidad que se itera es el centímetro el cual está identificado en el instrumento. Se realizaron los ejercicios 26 y 25 (en ese orden) de la página 65 del libro que transcribimos a continuación:
Ejercicio 25: Dado el siguiente segmento:
1 Ejercicio de tarea de la página 602 Ejercicio de tarea de la página 603 Ejercicio de tarea de la página 61
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Determinen la medida de estos segmentos usando el segmento dado y sin usar la regla. Escriban cómo lo pensaron. A B C D
E F
Ejercicio 26: a) Determine cuánto miden las varillas tomando como unidad la varilla i.Para la realización de este ejercicio llevamos las varillas hechas en cartulina, entregando un ejemplar a cada uno.
(i) (ii)
(iii) ( (iv) (v)
b) Si toman como unidad de medida la varilla ii, ¿cuánto mide la varilla i?c)¿Es cierto que la varilla i entra más de 2 veces en la iii? ¿Por qué?d) Midan todas las varillas tomando como unidad de medida la varilla v.
Luego dimos los ejercicios 23, 20 y 19 (en ese orden) de la página 64 del libro.
Ejercicio 23: Sombreen, de tres maneras distintas, 1/6 del rectángulo.
Ejercicio 20: ¿En cuál de estos casos está sombreado 1/3 de la figura?¿Por qué?
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Ejercicio19: ¿En cuáles de estos dibujos se pintaron 3/8 del rectángulo?
Posteriormente dimos los ejercicios 21 y 22 de la página 64 del libro como tarea.
Ejercicio 21: ¿En cuál de estas figuras se sombreó más superficie?Escriban cómo lo pensaron.
Ejercicio 22: ¿Qué parte del dibujo está sombreada en cada caso?
Para trabajar a las fracciones como parte de una unidad dada y reconstruir la misma, se planteó la siguiente actividad con material concreto (goma eva):
Los alumnos, manipulando el material, descubrieron las relaciones entre las piezas de
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diferentes colores y las anotaron en sus cuadernos. Así, la unidad es roja, la mitad rosa, el tercio naranja,el cuarto es amarillo, el quinto es verde, el sexto es celeste,el octavo es azul,el violeta es el décimo.En la justificación de por qué, por ejemplo, una pieza amarilla es ¼ de la roja, se destacó la congruencia entre las piezas amarillas y que cuatro amarillas cubren la unidad.La idea era trabajar con este material relacionado con superficies variando la unidad y dimos la siguiente actividad:
a) Si tomamos como unidad la pieza roja ¿qué parte es una pieza amarilla?¿por qué?¿qué parte de la unidad son tres piezas amarillas?b) Si tomamos como unidad la pieza roja ¿qué parte es la verde?¿qué parte de la unidad son 3 piezas verdes?c) ¿Qué cubre más: las tres piezas amarillas o las tres piezas verdes? ¿Qué significa esto en el estudio de las fracciones?d) Si tomamos como unidad una pieza rosa ¿qué parte es la amarilla?¿qué parte es la azul?¿por qué?e) Si la celeste es un medio ¿cuál es la unidad? Y si la celeste es un tercio de la unidad ¿cuál es la unidad? Y si la violeta es un medio ¿cuál es la unidad?f) ¿Cuántas piezas violetas cubren la pieza rosa? ¿Cuántas azules? ¿Cuántas amarillas?¿Y cuántas celestes?g) ¿Cómo se puede expresar de distintas maneras una pieza amarilla en relación a otras piezas? ¿Y una naranja?
Para continuar trabajando las fracciones como parte de la unidad, se resolvieron los ejercicios 13, 14, 15, 17 y 18 de la página 63 que corresponden a unidades discretas.
Ejercicio 13: Manuel tenía 250 caramelos y le dio 50 a su hermano. ¿Qué parte del total de caramelos le quedó? Expliquen cómo lo pensaron.
Ejercicio 14: Martín tiene 2 docenas de huevos. 14
de los huevos son marrones.
¿Cuántos huevos no son marrones?
Ejercicio 15: Silvia ganó $500. Gastó 45
en el alquiler y 1
10en viajes. ¿Cuánta plata le
sobró?
Ejercicio17: En una fiesta había una cantidad de panqueques para repartir
equitativamente entre los 8 invitados. Cada uno recibió 2 panqueques enteros y 18
de
panqueque. ¿Cuántos panqueques había en total? ¿Por qué?
Este ejercicio propone averiguar el total dada la cantidad de partes y la medida de cada parte.
Ejercicio 18: Dan tenía 28 chocolates para repartir, en partes iguales y sin que sobrara
nada, entre sus amigos. Cada uno recibió 285
de chocolate. ¿Entre cuántos amigos
repartió Dan los chocolates? Escriban cómo elaboraron la respuesta.
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Este ejercicio propone averiguar la cantidad de partes dado el total y la medida de cada parte.
Los siguientes ejercicios tuvieron el objetivo de afianzar la reconstrucción de la unidad y la obtención de una parte de la unidad.1) La representación gráfica muestra la fracción 5/3. ¿Cuál es la unidad? Escriba esa misma fracción de dos manera diferentes.
4) Completar el conjunto de círculos si se han dibujado 3/4 partes de la unidad.
5) Dibujar una figura si se sabe que,
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2) Dibuja cuatro figuras distintas para representar 1/4 del cuadrado.
3) Pinta las dos terceras partes de los puntos.
6) Cuatro lápices representan 25
de una colección. ¿Cuántos lápices integran dicha
colección?
7) Respondan a las siguientes preguntas, observando los dibujos:a) ¿Qué parte de la torta se comieron en la fiesta?b) ¿Qué fracción del patio se embaldosó de color?c) ¿Qué fracción de las bolitas es de color?d)¿Qué fracción de los animales no son perros?
Luego de trabajar con los ejercicios anteriores introdujimos la siguiente definición:
Toda expresión del tipo a/b, en la cual a y b son números naturales, incluido el cero, y b distinto de cero, se llama fracción. a es el numerador b es el denominador
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Para introducir el tema representación de números racionales positivos en la recta numérica, se planteó la siguiente actividad que constó de tres partes:
Parte A) Se entrega a cada alumno una hoja, dividida en dos partes. Una parte con líneas paralelas horizontales y la otra con líneas paralelas oblicuas. En cada caso las líneas están a igual distancia. Además, cada alumno tendrá un segmento AB (el mismo para todos) dibujado sobre un papel transparente. La consigna es: partir en 5 partes iguales el segmento AB, usando como recurso las hojas rayadas.Por superposición, se verifica si coinciden las partes.
Parte B) Se divide a la clase en equipos de 4 estudiantes, dos serán emisores y dos receptores, alejados entre sí. Todos los alumnos reciben una hoja transparente con un segmento MN cuya longitud es la misma para todos.Para la mitad de los equipos, el segmento MN tiene marcado el punto R donde, considerando que MN es la unidad, está a 3/5 de M. Este dato no se le da a los alumnos.
Consigna: usando las hojas rayadas, tienen que redactar un mensaje para que el equipo que lo reciba pueda ubicar en su segmento el punto que Uds. tienen marcado. Cuando terminan se superponen los segmentos para verificar. Si ambos grupos, emisor y receptor logran la tarea, ganan.Al finalizar la actividad estaba previsto, tanto con los equipos ganadores como con los que tuvieron algún error, analizar los mensajes y la construcción.Nota: si es necesario, repetir esta actividad con otros segmentos y otros puntos.Esta actividad se realizó luego con el punto Q, (si MN es la unidad, consideramos en este caso el punto Q a 5/6 de M, este dato no se le da a los alumnos) pero ahora intercambiando los roles, es decir, los receptores pasan a ser emisores y viceversa.
Parte C)Sobre la actividad anterior, si al extremo M le asignamos el número 0 y al N el número 1, ¿qué número corresponde al punto Q? ¿Y a R?
Los siguientes ejercicios fueron diseñados para profundizar el trabajo con la representación en la recta numérica.
8) Un robot avanza con pasos regulares de modo tal que sale de 0 y con cinco pasos llega al 1. (a) Representa en una recta numérica los primeros pasos del robot. (b) ¿Qué número pisa con el tercer paso? ¿Y con el octavo paso? (c) Si la longitud de pasos se duplica, ¿cuáles son los primeros 10 números que pisa?
9) Ubica los números ½, 9/10, ¼ en esta recta numérica.
0 1
12
10) En la recta numérica están ubicados el 0 y ¾ ¿Dónde se encuentra el 1? ¿Y el 2?
0 34
11) Indique qué fracción corresponde a los puntos c y d.
0 c 1 d 213) Representar en la misma recta numérica, usando el método de las paralelas para dividir un segmento en partes iguales, las fracciones ½, 2/3, 5/4, 7/2, y 5/8. Luego trabajamos los siguientes problemas 40, 41,44 de la página 68 del libro de los chicos.
Ejercicio 40: Una hormiga camina sobre esta recta. Para ir del 1 al 2 da 3 pasos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Si está parada en el 3 y da un solo paso hacia la derecha, ¿a qué punto llega?b) Si está parada en el 7 y da dos pasos hacia la izquierda, ¿a qué punto llega?
c)¿Cuántos pasos dará para ir del 0 al 73
?
Ejercicio 41: Ubiquen los números 12
, 9
10 y
14
en esta recta numérica.
0 1
Ejercicio 44: Indiquen qué números están representados por letras en la siguiente recta numérica.
0 15
A B
Evaluación
Durante el desarrollo de nuestras prácticas se tomó un trabajo práctico evaluativo en forma escrita con los temas vistos hasta el momento. El mismo consistió en un problema de reparto y también uno referido al reconocimiento de una fracción cuando la unidad es
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discreta. Una vez corregidos y entregados los trabajos prácticos, se realizó una puesta en común en el pizarrón.Además, se tomó una evaluación escrita que constaba de cuatro ejercicios referidos a los distintos usos de las fracciones, como por ejemplo reparto, medida, construcción de la unidad a partir de una fracción dada.En los dos cursos se tomó la misma evaluación con los ejercicios cambiados de orden.
A continuación, presentamos el trabajo práctico y la evaluación.
Trabajo práctico de matemática
Nombre y Apellido:
Curso: Fecha:
Tema A
Ejercicio1: Se tienen 14 chocolates para repartir en partes iguales entre 6 chicos y sin que sobre nada, ¿cuántos chocolates le corresponderá a cada chico?¿Por qué?
Ejercicio 2: ¿En qué caso se pintó 3/5 de la colección de puntos? ¿Por qué?
Trabajo práctico de matemática
Nombre y Apellido:
Curso: Fecha:
Tema B
Ejercicio1: Se tienen 12 chocolates para repartir en partes iguales entre 5 chicos y sin que sobre nada, ¿cuántos chocolates le corresponderá a cada chico?¿Por qué?
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Ejercicio 2: ¿En qué caso se pintó 5/6 de la colección de puntos? ¿Por qué?
Evaluación de Matemática
Nombre y Apellido:
Curso: 1° A Fecha:
Tema A
1- a) Sombrear 2/7 del siguiente rectángulo.
b) Determinar qué parte del rectángulo se sombreó. Justificar la respuesta.
2- Se tienen 11 turrones para repartir en partes iguales entre 4 chicos y sin que sobre nada, ¿cuántos turrones le corresponderá a cada chico? ¿Por qué?
3- Seis monedas son 2/3 de una colección ¿Cuántas monedas integran dicha colección?¿Por qué?
4- Marta cobró $1000. Gasta 3/5 en el alquiler y 1/10 de lo que queda en cospeles.¿Cuánta plata le sobró?
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Evaluación de Matemática
Nombre y Apellido:
Curso: 1°A Fecha:
Tema B:
1- a) Sombrear 4/7 del siguiente rectángulo.
b) Determinar qué parte del rectángulo se sombreó. Justificar la respuesta.
2- Se tienen 13 pizzetas para repartir en partes iguales entre 5 chicos y sin que sobre nada, ¿cuántas pizzetas le corresponderá a cada chico?¿Por qué?
3- Ocho tapitas son 2/3 de una colección. ¿Cuántas tapitas integran dicha colección?¿Por qué?
4- Juan cobró $1000. Gasta 3/4 en alquiler y 1/10 de lo que le queda en un libro de cuentos para su sobrino.¿Cuánta plata le sobró?
Notas de los trabajos prácticos
Tabla de notas de 1° B
Notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cantidad de alumnos 0 1 2 4 2 5 7 5 2 6
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Tabla de notas de 1°A
nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cantidad de alumnos 0 7 2 5 3 5 6 1 1 5
Notas de las evaluaciones
Tabla de notas de 1°B
notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cantidad de alumnos 0 0 3 1 0 3 9 5 5 8
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Tabla de notas de 1°A
notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cantidad de alumnos 0 3 0 1 4 6 5 3 8 5
Observando los gráficos se puede ver una notable diferencia en el rendimiento de los alumnos de ambos cursos en relación a este tema, ya que la cantidad de aprobados en las evaluaciones fue mucho mayor que los aprobados en los trabajos prácticos. Esto podría deberse a que se destinó una clase previa a la evaluación para repasar aquellos ejercicios que presentaran dudas, contribuyendo también a esto la puesta en común que se realizó de los trabajos prácticos. Además, en las evaluaciones se les dio poco puntaje a las justificaciones desarrolladas por los alumnos a diferencia de los trabajos prácticos. Este cambio fue motivado por el bajo rendimiento en los trabajos prácticos y por los comentarios de la docente respecto del poco trabajo con justificaciones que tenían los alumnos.
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Análisis de dos problemas desde un marco teórico Decidimos analizar dos problemas: la noción de unidad y la elección de una definición de fracción.
Noción de unidadSeleccionamos la noción de unidad como cuestión a analizar ya que uno de los problemas que se mantuvo a lo largo de nuestras prácticas en relación a la temática enseñada fue la dificultad que tienen los alumnos para reconocer la unidad en los distintos contextos de los problemas planteados.Elegimos la noción de fracción ya que es un concepto que permite cuantificar una cantidad que no es necesariamente múltiplo de una unidad dada (cuantificar los ''pedacitos'', sean mayores o menores que la unidad dada).A continuación damos 4 ejemplos de actividades donde se reflejó esta problemática: El ejemplo 1 corresponde a la actividad propuesta en la primera clase como introducción al tema fracciones:Ejemplo 1: Fernando tiene 37 alfajores y los quiere repartir, en partes iguales, entre 5 chicos. a) ¿Cuántos le dará a cada uno? ¿Sobran alfajores sin repartir? ¿Por qué?b) ¿Se pueden repartir los que sobran? ¿Por qué?
En este ejercicio la unidad a repartir es una superficie (una de las caras del alfajor). Veamos las concepciones que los alumnos manifestaron. Observamos que algunos alumnos realizaban lo siguiente: dividían 37 por 5 lo que daba 7 alfajores para cada uno y un resto de 2 alfajores. A cada uno de estos se los dividía en 5 partes iguales, por lo que cada chico recibía una de las 5 partes de cada alfajor. Algunos concluían que a cada chico se le daba 7 2/10 alfajores.Si bien la representación era correcta se manifestaron errores en la interpretación: hay 2/10 sombreados si se considera como unidad a los 2 alfajores. Pero para afirmar que cada chico recibía 7 alfajores es porque se está considerando como unidad cada alfajor. En este sentido, la respuesta matemáticamente correcta es 7 2/5 alfajores.
En el ejemplo 2 que describimos a continuación la unidad a partir es también una superficie y el problema relacionado decía:
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Ejemplo 2: Sombreen, de tres maneras distintas, 1/6 del rectángulo.
Las dimensiones del rectángulo eran 5,3 cm por 2,3 cm. Observamos que para resolver el problema algunos alumnos en vez de tomar 5,3 cm como medida de uno de los lados tomaban 5 cm, entonces dividían 5 por 3 (para saber el largo de cada tercio). Con esta partición estaban descartando 0,3 cm del largo del rectángulo original, por lo tanto, estaban cambiando las dimensiones de la unidad dada. Luego de realizar esto volvían a efectuar una partición para obtener lo que creían eran sextos de la unidad dada. A continuación se realiza un esquema que representa lo relatado anteriormente.
5,3 cm
2,3cm
5 cm
Piaget (1948) en una de sus investigaciones respecto de la partición de superficies y la noción de fracción en niños de 4 a 7 años concluye que:
“para que un pedazo cortado de una totalidad pueda ser considerado como una fracción determinada de ese todo, es necesario que el todo mismo sea agotado por la partición. (…) una vez fijado el número de partes a obtener, el niño se limita a cortar (…) deja un resto sin usar: ese resto, lejos de ser considerado como una fracción, es olvidado, separado, o denominado de otro modo (''es papel'') e inclusive escamoteado (una niña lo oculta debajo de la mesa, sobre sus rodillas).”
Pudimos observar en nuestras prácticas que esta situación se repetía en algunos de nuestros alumnos.
En el ejemplo 3 la unidad es una colección de objetos.
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Ejemplo 3: ¿En qué caso se pintó 3/5 de la colección de puntos? ¿Por qué?
¿En qué caso se pintó 3/5 de la colección de puntos? ¿Por qué?
Para justificar su respuesta, lo que hacían varios alumnos, como se ve en el dibujo, era formar grupos de 5 bolitas en la colección de la izquierda, de las cuales 3 estaban pintadas. Está claro que al hacer esto los alumnos no están teniendo en cuenta la unidad dada, es decir, la colección de 15 bolitas. Como indica Wu (2011), la literatura educativa generalmente presenta a la parte entera prototípica como una pizza, es decir, como una unidad continua. Entonces, cabe preguntarse, cuando a un alumno se le presentan situaciones en las cuales la unidad deja de ser continua y no se tiene un modelo típico de unidad discreta ¿esto no desconcierta al alumno?
El ejemplo 4 consta de 3 respuestas distintas dadas por diferentes alumnos para el siguiente problema que fue tomado de una de las evaluaciones:
Ejemplo 4: Se tienen 13 pizzetas para repartir en partes iguales entre 5 chicos y sin que sobre nada, ¿cuántas pizzetas le corresponderá a cada chico?¿Por qué?La respuesta esperada para este problema es 2 3/5 de pizzetas, no todos los alumnos llegaron a esta respuesta como se ilustra a continuación.
Respuesta 1:
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A partir de la respuesta que da el alumno, 2 3/15 pizzetas, podemos indicar que lo que comienza haciendo es repartir 2 pizzetas para cada chico, por lo que la unidad tomada en este caso es cada pizzeta. De las tres pizzetas que sobran se reparten 3/15, por lo tanto la unidad tomada aquí es el conjunto de las 3 pizzetas. En este último reparto no se logra reconocer la unidad en cuestión, que es cada pizzeta, sucediendo lo comentado en el ejemplo 1.
Respuesta 2:
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Aquí el reparto se realiza de manera distinta al de la respuesta 1 ya que primeramente se da 2 pizzetas a cada chico, quedando 3 sin repartir. A estas últimas se las parte en mitades y se les da una a cada chico, dejando media pizzeta sin repartir. Por lo tanto, con este reparto la unidad no es agotada en su totalidad, como lo comentado en el ejemplo 2.
Respuesta 3:
Con la respuesta que da el alumno: ''cada chico recibe 2 pizzetas y una porción de pizza'', se puede ver que comienza repartiendo 2 pizzetas a cada chico y de las 3 que quedan hace un reparto pero no logra cuantificar las porciones, de este modo el alumno no le da un sentido a las fracciones. Como podemos ver en las tres respuestas no hay problemas para distribuir las unidades de una colección cuando a cada uno le corresponde un número natural. Pero aún después de desarrollado el tema durante un mes observamos distintas dificultades para dar un valor al ''pedacito'' con respecto a la unidad que conforma dicha colección.
Definición de fracción
Muchos textos escolares definen a la fracción teniendo en cuenta el contexto dentro del cual se la utiliza, presentando definiciones provisorias que originan en muchos casos ambigüedades. De las definiciones vistas tomamos 3 :
La definición 1, tomada de ''Carpeta de Matemática 7'' de Luis Garaventa, Nora Legorburu y Patricia Rodas. Editorial AIQUE, 2006 se presenta luego de haber dado una serie de ejercicios referidos a la fracción como parte del todo:
''En los casos anteriores consideramos la fracción como parte del todo. Para esto se coloca en en el denominador (abajo) las partes en que se divide el todo y en el numerador (arriba), las partes que se seleccionan. Es decir,
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NUMERADOR (número de partes que se toman) DENOMINADOR (número de partes en que se divide el todo) ''
La definición 2 tomada de ''Matemática ES 1'' de Liliana Kurzrock. Editorial Tinta Fresca, 2008 luego de enunciar algunos problemas introductorios en los cuales el resto se puede repartir en unos (alfajores) y en otros no (globos) dice: ''En algunas ocasiones puede repartirse el resto. En ese caso lo que recibe cada uno se expresa como un número racional escrito en forma de fracción.''
La definición 3 tomada de ''Matemática 1'' de Mariana B. Amenedo, Susana G. Carranza y otros. Editorial Santillana,1995 presenta a la fracción como cociente, parte de un todo, operador y como indicadora de una probabilidad y luego la define como un cociente entre dos números enteros a y b, con b distinto de cero; a es el numerador y b el denominador.
Es muy probable que los alumnos traigan de primaria definiciones de ese estilo.
En nuestro caso decidimos tomar la siguiente definición:
''Toda expresión del tipo a/b, en la cual a y b son números naturales, incluido el cero, y b distinto de cero, se llama fracción. a es el numerador b es el denominador.''
Como definición es más correcto hablar de ''número'' en lugar de ''expresión'', elegimos esta última para dar cierto tiempo de trabajo a los alumnos con esta noción y favorecer que aquello considerado como una operación entre dos números (a dividido b) se construya como un número racional. (Kieran, 1992)En relación a esto, Sfard (1991) sugirió que las nociones matemáticas abstractas pueden concebirse en dos formas fundamentalmente diferentes: estructuralmente (como objetos) u operacionalmente (como procesos). Afirma que para la mayoría de las personas la concepción operacional es el primer paso en la adquisición de nuevos conocimientos matemáticos. La transición desde una concepción de “proceso” hacia una concepción de “objeto” no se logra ni rápidamente ni sin esfuerzo. Una vez que ambas concepciones se han desarrollado, juegan papeles muy importantes en la actividad matemática ulterior.
Según Wu (2011), la matemática depende de definiciones precisas pero el modo en que las fracciones son enseñadas, no tiene casi definiciones o se modifican para su enseñanza. Formalmente se define fracción como un par de números naturales, dados en un cierto orden,el segundo de ellos no nulo, afectados por un signo + ó - . Esta definición es desde el punto de vista aritmético puro, independientemente de todo contexto de uso. Las fracciones tienen carácter de números racionales y el uso de la palabra número (inicialmente reservada para los números naturales) para estos nuevos símbolos (m,n) esta justificado por el hecho de que la adición y la multiplicación obedecen a las mismas leyes que rigen con los números naturales. (Pastor, 1948; Courant y Robbins,1979) Como se puede ver, dar una definición formal en los inicios del nivel medio resulta demasiado complejo por lo que los docentes debemos saber seleccionar definiciones
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provisorias pero adecuadas, es decir, aquellas que sean comprensibles para los alumnos y al mismo tiempo que logren abarcar los distintos contextos de uso. En definitiva pareciera que, para los primeros años del secundario, resultaría conveniente abrir un abordaje intuitivo y problemático para introducir números racionales.
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A modo de reflexión
Consideramos que las prácticas realizadas fueron una experiencia muy importante para nosotras como futuras docentes, pues mediante ellas tuvimos contacto con el espacio concreto de trabajo del docente: el aula. En esta última pudimos observar muchas de las dificultades con las que un profesor se encuentra a diario.Queremos destacar además, que no sólo fue enriquecedora la práctica en sí, sino también toda la instancia previa a ella, es decir, la planificación del tema que íbamos a desarrollar como así también el período de observaciones que se realizó al grupo de alumnos con el cual se iba a trabajar. La primera porque además de seleccionar y organizar los contenidos se trataba de prever posibles respuestas de los alumnos y la segunda porque fue la primera vez que entramos a un colegio no como alumnas sino como docentes.Queremos agradecer especialmente al instituto privado en el cual realizamos las prácticas, por abrirnos sus puertas para poder llevarlas a cabo. Particularmente a la docente a cargo de los cursos por permitirnos trabajar en ellos y darnos la libertad de planificar nuestras clases a gusto y por brindarnos su experiencia como docente.Para finalizar, agradecemos a las profesoras Érika Delgado, Cristina Esteley, Dilma Fregona y Fernanda Viola por el apoyo constante brindado durante los períodos de prácticas y de realización de este informe.
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Anexo
Los siguientes contenidos fueron previstos en la planificación pero a causa de la falta de tiempo, no fueron desarrollados.
Fracciones Equivalentes Para introducir la noción de fracciones equivalentes, amplificación y simplificación retomaremos la actividad de la goma eva y haremos un debate donde nos aproximaremos a dichos conceptos.Tomaremos, entre otros casos, los siguientes:
− la pieza rosa representa ½ de la pieza roja y la azul representa 1/8 de la misma por lo que 4 piezas azules forman una rosa, y trataremos de que surja de los alumnos la siguiente escritura:
÷4 ×4
48 =
12 y
48 =
12
÷4 ×4
− la pieza violeta representa 1/10 de la pieza roja, por lo tanto 5 piezas violetas forman una pieza rosa, y trataremos de llegar a la siguiente conclusión:
× 5 ÷5
12
=5
10 y
12
= 5
10
× 5 ÷5 A continuación daremos las siguientes definiciones:
Una fracción a/b es equivalente a otra c/d si se verifica que a.d =b.c.
Para obtener fracciones equivalentes se pueden seguir dos caminos: − se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número natural
(distinto de cero). A este procedimiento se lo denomina amplificación .− Se divide el numerador y el denominador por un número que sea divisor de los
dos. A este procedimiento se lo denomina simplificación. Decimos que una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más. Ejercicios de equivalencia, amplificación y simplificación:
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14) Reemplace la linea punteada por un número natural, de modo que se obtengan fracciones equivalentes.. .. .
2=
2510
. .. .12
= 4836
2510
=250. .. .
73
= . .. .15
15) Complete de manera que las fracciones sean equivalentes.
a) 35
=. .. .50
= . .. .15
= 27. .. .
b) 8
. .. .=
120100
= 32. .. .
= . .. .1000
16) Indique cuáles de las fracciones que aparecen en los incisos 14 y 15 son irreducibles.
Dejamos como tarea los ejercicios 31,32 y 33 de la página 66 del libro, que transcribimos a continuación:
Ejercicio 31: Indique en cuáles de estos repartos, cada chico recibe la misma cantidad.
Anoten cómo lo pensaron.a- 4 alfajores entre 3 personas. b- 21 alfajores entre 8 personas.c- 12 alfajores entre 9 personas. d- 42 alfajores entre 16 personas.e- 20 alfajores entre 15 personas. f- 40 alfajores entre 14 personas.
Ejercicio 32: Determinen cuáles de estos números fraccionarios son equivalentes. Anoten cómo hicieron para darse cuenta.
a) 24
b) 18
c) 3
15 d)
36
e) 5
40 f)
945
Ejercicio 33: Escriban dos fracciones equivalentes a cada número fraccionario.
a) 139
b) 2112
c) 7124
d) 6555
e) 2
34 f)
2391
Algunos problemas de comparación y orden:Con el ejercicio 49 de la página 69 se establecerán criterios para comparar fracciones.
Ejercicio 49: Para hallar cuál de las fracciones es mayor, los chicos pensaron lo siguiente:
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17) Compara las fracciones indicadas y explica qué criterio utilizaste en cada caso:
a )1722
y 1
b)5
13 y
74
c )125
y 185
d)117
y2214
e)93
y 174
f)125
y 116
g)23
y 32
Ejercicios de orden:
18) Encontrar una fracción mayor que 38
y menor que 1320
:
a) con denominador 5, b) con denominador 9, c)con denominador 11
19) Las siguientes fracciones están ordenadas de menor a mayor: 15
<25
< 35
< 45
. Intercala las fracciones23
y 7
20.
Para introducir la propiedad de densidad en los números fraccionarios daremos el siguiente problema:
20) Zenón de Elea (490-430 a. C.) planteó la siguiente paradoja:Aquiles, el valeroso guerrero, compite con una tortuga en una carrera de varios kilómetros de distancia. El griego - conocido como ''el de los pies ligeros'' por ser el más veloz de los aqueos – concede darle una ventaja de 10 kilómetros a la pequeña tortuga. Le permite que se adelante, de tal manera que ambos inician la carrera en posiciones diferentes.Aquiles- 10 veces más veloz que la tortuga- recorre el tramo de los 10 primeros kilómetros que lo separan de la tortuga, pero cuando llega a ese punto la tortuga a avanzado 1 kilometro. Aquiles, entonces, continua corriendo hasta llegar al punto de ese kilometro de distancia que la tortuga lo aventaja, pero al llegar allí el quelonio ha avanzado 100 metros más. Nuevamente el hijo de Peleo emprende carrera hasta cubrir
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esos 100 metros, pero al llegar a ese nuevo punto se encuentra con que la tortuga todavía le lleva una ventaja de 10 metros. De esta forma, siempre que Aquiles pretende remontar la distancia que lo separa de la tortuguita, esta ha avanzado 1decimo de esa distancia, haciendo imposible para el gran héroe alcanzar al acorazado competidor.¿Por qué Zenón dice que es imposible que Aquiles alcance a la tortuga?
Partida Llegada
Daremos la siguiente definición a partir de la resolución del problema anterior:
El conjunto de los números fraccionarios es denso porque siempre hay otros números fraccionarios entre ellos.
Problemas del tema densidad:
21) a) ¿Cuántas fracciones con denominador 5 hay entre 2 y 3?¿Cuáles son? b) ¿ Cuántas fracciones hay entre 2 y 3?
c) ¿Es 35
el siguiente de 25
? ¿Por qué?
d) ¿ Es 5
10el anterior de
610
? ¿Por qué?
Con los incisos c y d del ejercicio 21 esperamos concluir que los números fraccionarios no tienen anterior y posterior a diferencia de los números naturales.
22) a) ¿Cuántas fracciones hay entre 13
y 49
que tenga denominador 9?
b)¿Y que tengan denominador 18? c)¿Y que tengan denominador 10?
d)¿Cuántas fracciones hay entre 13
y 49
?
De tarea dejaremos los ejercicios 54, 55, 56 y 57 de la página 71, que transcribimos a continuación.
Ejercicio 54:
a) Escriban, si existen, tres números fraccionarios que se encuentren entre 8 y 10.
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b) Encuentren, si existen, tres números naturales que estén entre 8 y 10.c)Busquen, si existen, tres fracciones que se encuentren entre 8 y 10 y que tengan denominador 9.d)En cada uno de los items anteriores, indique cuántos números pueden encontrar. Expliquen como lo pensaron.
Ejercicio 55:
a) Escriban, si existe, un número fraccionario con denominador 4 que esté entre 54
y 94
.
¿Cuántos puede haber?¿Por qué?
b) Escriban, si existe, un número fraccionario con denominador 8 que se encuentre entre 54
y 94
. ¿Cuántos puede haber?¿Por qué?.
c)¿Cuántos números fraccionarios hay entre 54
y 94
? ¿Por qué?
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Bibliografía
CAGLIERO, L; BREGA, O y otros (2009), Postítulo de la enseñanza de la matemática.
CANTEROS, L.; FELISSIA, A; FREGONA, D.; (1997), El libro de Matemática 7, Editorial Estrada.
GARAVENTA, L.; LEGORBURU, N.; y RODAS, P.; (2006), Carpeta de Matemática 7 Editorial AIQUE.
KURZROK, L.; (2008); Matemática ES 1, Editorial Tinta Fresca.
Bibliografía utilizada para el análisis del problema del problema desde un marco teórico
AMENEDO, M.; CARRANZA,S.; y otros,(1995) Matemática 1. Editorial Santillana.
COURANT R., ROBBINS H., (1955, 5° edi. 1979) ¿Qué es la matemática? Oxford University Press.
PIAGET J., INHELEDER B., SZEMINSKA A.,(1948, 2° edi. 1973) La géométrie spontanée de l' enfant''. Edición: Presses Universitaires de France, capítulo XII (traducción de un fragmento de ese capítulo realizado por Dilma Fregona).
REY PASTOR J.; (3°edi. 1948) Elementos de análisis algebraico. Talleres gráficos ''JOSE MANUEL ESTRADA, Buenos Aires.
WU H,(2011) The Mis- Education of Mathematics Teachers en Notice of the AMS, Vol. 58 N° 3 pp. 372- 384 (traducción no autorizada realizada por Cristina Esteley).
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