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Autovetor e Autovalor de um Operador Linear
Definicao
Seja T : V→ V um operador linear. Um vetor v ∈ V, v 6= 0, edito um autovetor de T se existe um numero real λ tal que
T (v) = λv.
O numero real λ acima e denominado autovalor de T associadoao autovetor v.
Autovetor e Autovalor de um Operador Linear
Exemplo 1
T : R2 → R2, T (x, y) = (4x+ 5y, 2x+ y).T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).∴ 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .
Exemplo 2
T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, y, 0).T (x, y, 0) = 1 · (x, y, 0).∴ qualquer vetor (x, y, 0) e um autovetor de T e seu autovalorassociado e 1.
Autovetor e Autovalor de um Operador Linear
Exemplo 1
T : R2 → R2, T (x, y) = (4x+ 5y, 2x+ y).T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).∴ 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .
Exemplo 2
T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, y, 0).T (x, y, 0) = 1 · (x, y, 0).∴ qualquer vetor (x, y, 0) e um autovetor de T e seu autovalorassociado e 1.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores
I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).
I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com
T (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,
det
[(a− λ) b
c (d− λ)
]= 0.
I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores
I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).
I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com
T (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,
det
[(a− λ) b
c (d− λ)
]= 0.
I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores
I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).
I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com
T (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,
det
[(a− λ) b
c (d− λ)
]= 0.
I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores
I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).
I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com
T (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,
det
[(a− λ) b
c (d− λ)
]= 0.
I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores
I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).
I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com
T (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,
det
[(a− λ) b
c (d− λ)
]= 0.
I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovetores
I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.
I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovetores
I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.
I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovetores
I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.
I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovetores
I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.
I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).
I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy
⇔{
(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0
.
I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].
2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.
3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .
4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .
5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].
2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.
3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .
4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .
5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].
2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.
3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .
4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .
5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].
2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.
3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .
4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .
5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].
2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.
3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .
4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .
5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Exemplo 1
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).
Exemplo 2
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (−y, x).
Exemplo 3
Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dadopor T (x, y, z) = (4x+ 2y,−x+ y, y + 2z).
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Exemplo 1
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).
Exemplo 2
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (−y, x).
Exemplo 3
Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dadopor T (x, y, z) = (4x+ 2y,−x+ y, y + 2z).
Determinacao dos Autovalores e Autovetores
Exemplo 1
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).
Exemplo 2
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (−y, x).
Exemplo 3
Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dadopor T (x, y, z) = (4x+ 2y,−x+ y, y + 2z).
Propriedades de Autovalores e Autovetores
TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.
Prova
I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).
Logo, u+ v ∈ Sλ.
I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.
I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.
Propriedades de Autovalores e Autovetores
TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.
Prova
I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.
I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).Logo, u+ v ∈ Sλ.
I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.
I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.
Propriedades de Autovalores e Autovetores
TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.
Prova
I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).
Logo, u+ v ∈ Sλ.
I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.
I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.
Propriedades de Autovalores e Autovetores
TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.
Prova
I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).
Logo, u+ v ∈ Sλ.
I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.
I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.
Propriedades de Autovalores e Autovetores
TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.
Prova
I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).
Logo, u+ v ∈ Sλ.
I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.
I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.