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AVALIAÇÃO DO MODELO ARX E DO ESTIMADOR LS DE ELASTOMASSAS MEMS
ATRAVÉS DOS CRITÉRIOS MSE, AIC E BIC
Manuel M. P. Reimbold 1, Airam Sausen
2, Andre L. Bedendo
3, Romulo A. T. Koelher
4
1 UNIJUI, Ijuí, Brasil, [email protected]
2 UNIJUI, Ijuí, Brasil, [email protected] 3 UNIJUI, Ijuí, Brasil, [email protected]
4 UNIJUI, Ijuí, Brasil, [email protected]
Resumo: Neste trabalho é apresentada a obtenção de um
modelo matemático para elastomassas MEMS utilizando
identificação de sistemas. A estrutura do modelo é a auto-
regressiva com entradas exógenas (ARX), cujos parâmetros
são estimados usando Least Squares (LS). A técnica
mostrou-se adequada sob os critérios de análise MSE, AIC e
BIC.
Palavras-Chave: Aplicação de Sistemas Dinâmicos,
Identificação de Sistemas, Elastomassas MEMS.
1. INTRODUÇÃO
Os sistemas microeletromecânicos MEMS (Micro
Electro-Mechanical Systems) são microtransdutores que
desempenham funções de sensoriamento e atuação. Entre
eles cabe destacar o transdutor de deformação elástica
(elastomassas) e atuação eletrostática (comb-drive), pois
apresenta resposta rápida, baixa potência de consumo, e
facilidade de integração com circuitos eletrônicos. Na
indústria, quando estes são convenientemente dispostos
podem-se configurar: relés, pinças, osciladores, filtros,
transformadores, mixers, giroscópios, acelerômetros, entre
outros, conforme apresentado na Figura 1 [1-2].
(a) (b)
(c)
(d)
Fig. 1. MEMS (a) Motor translacional (b) Interruptor (c) Pinça para cauterização (d) Motor rotacional.
O funcionamento básico dos microssensores e
microatuadores baseados em deformação e ação eletrostática
está associado ao conhecimento da frequência de
ressonância, logo há dependência da forma geométrica e das
propriedades do material da elastomassa. Cabe considerar
que: as dimensões de ordem micrométrica, a espessura fina
do dispositivo, a não compreensão dos efeitos físicos das
forças intermoleculares sob essas dimensões, a mudança das
propriedades dos materiais dos elementos quando reduzidos
a pequenas escalas, são fatores que comprometem a
qualidade operacional do dispositivo como um todo [3].
As pesquisas na área de dispositivos MEMS visam
diminuir custos e confirmar a qualidade dos mesmos. Estes
fatores têm sido garantidos na produção em lote (batch),
onde milhões de componentes são fabricados em uma única
lâmina (ou wafer), e testados por amostragem. Por outro
lado, atualmente, a indústria tem interesse em testar cada um
dos dispositivos fabricados. Portanto, testes para detecção
dos defeitos e falhas devem ser otimizados quanto ao tempo
de duração e a confiabilidade [4].
Considerando os dispositivos descritos anteriormente, e
objetivando superar as dificuldades mencionadas, tem-se
utilizado a identificação como uma das alternativas eficazes
[5,6,7]. Nos últimos anos, combinando modelagem “caixa
branca” e “caixa preta” têm ocorrido alguns progressos no
sentido de melhorar a obtenção de um modelo
comportamental destes dispositivos. Tal combinação resulta
na modelagem “caixa cinza”, da qual não se dispõe
literatura científica com aplicação em dispositivos MEMS
[8].
Desta forma, a proposta deste trabalho consiste em
avaliar através dos critérios de informação: MSE (Erro
Quadrático Médio), AIC (Critério de Informação Akaike) e
BIC (Critério Bayesiano de Informação) o modelo ARX
(Autoregressive with Exogenous Inputs), como modelo
matemático representativo do desempenho comportamental
de elastomassas MEMS. O estimador RL (Least Squares) é
utilizado para obter os parâmetros do modelo identificado.
O restante deste trabalho está organizado como segue.
Na Seção 2 as elastomassas MEMS são descritas e
caracterizadas. Na Seção 3 é apresentada a identificação de
sistemas utilizada. Na Seção 4 são apresentados os
359
http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0092
Avaliação do Modelo ARX do Estimador LS de Elastomassas MEMS através dos Critérios MSE, AIC e BIC Manuel M.P.Reimbold, Airam Sausen, Andre L. Bedendo, Romulo A. T. Koelher
resultados encontrados e sua discussão. E por fim, na Seção
5 são apresentadas as conclusão e proposta de trabalho
futuro.
2. ELASTOMASSAS MEMS
As elastomassas ou núcleos elásticos se constituem
basicamente de vigas e colunas, como elementos não rígidos
(deformáveis); e de âncoras (ou engastes) e massa, como
elementos rígidos (não deformáveis). A viga é o elemento
formado por uma barra de eixo plano submetida a esforços
contidos no mesmo plano. Dois tipos de vigas são
importantes para a construção de elastomassas: vigas
isostáticas e vigas hiperestáticas, cuja diferença básica está
nos engastes das mesmas. Além das vigas, outro elemento
importante são as colunas, que suportam forças de tensão ou
compressão aplicadas ao longo do eixo longitudinal. A
combinação destes elementos pode gerar diferentes
topologias de elastomassas. Neste trabalho é abordada a
topologia “Ponte Simples” (conforme ilustrada na Figura 2),
pela simplicidade, com um grau de liberdade. A modelagem
caixa cinza segue o mesmo procedimento para todas as
outras topologias. As dimensões e propriedades do material
da elastomassa são apresentadas nas Tabelas 1 e 2.
Fig. 2. Elastomassa ponte simples.
Tabela 1. Propriedades do ambiente e do material.
Valor U Definição
E 140x109 N/m2 Modulo de Young do Poli-silício
ρpoli 2.33x103 Kg/m3 Densidade do Poli-silício
ε0 8.854x10-12 C/Nm2 Permissividade do vácuo
εar 1.006 Permissividade relativa do ar
uar 1.8e-5 N.s/m2 Viscosidade absoluta do ar
ρar 1.22 Kg/m3 Densidade do ar
Tabela 2. Geometria dos núcleos.
Valor U Definição
h 2.1x10-6 m Espessura do núcleo
wv 2x10-6 m Largura da viga
lv 200x10-6 m Comprimento da viga
wm 102x10-6 m Largura da massa
lm 102x10-6 m Comprimento da massa
d 2x10-6 m Vão abaixo da viga
e 2x10-6 m Vão acima da viga
3. MODELAGEM CAIXA CINZA
Os parâmetros característicos de elastomassas têm sido
modelados matematicamente utilizando técnicas de
modelagem “caixa branca” e “caixa preta”. Os modelos
“caixa-cinza” buscam combinar as vantagens dos modelos
citados anteriormente. Dessa forma dados de entrada e saída
obtidos no sistema, quanto informação a priori são usados
na identificação conforme Figura 3.
Fig. 3. Identificação de sistemas.
A modelagem caixa cinza segue o procedimento de
identificação. O processo é dividido em cinco etapas
principais: testes dinâmicos e coleta de dados, escolha da
representação matemática a ser usada, determinação da
estrutura do modelo, estimação dos parâmetros e validação
do modelo [5]. Neste trabalho a elastomassa é considerada
como um sistema linear, pois se deseja estudar seu
desempenho em uma faixa relativamente estreita de
operação.
3.1 Testes dinâmicos e coleta de dados
A coleta de dados é feita a partir da plataforma de testes
desenvolvida a partir do aplicativo ANSYS. A força �(�)
versus o deslocamento da elastomassa �(�) apresentam o
comportamento mostrado na Figura 4.
Fig. 4. Resposta ao degrau força da ponte simples.
Para os sinais amostrados, �(�) e �(�), reter as
características fundamentais do sinal original, é necessário
obedecer ao teorema de Shannon definido através da
equação (1) �� ≥ 2� (1)
onde �� é a frequência de amostragem e � é a frequência do
sinal a ser amostrado.
360
3.2 Representação matemática
Na identificação de sistemas lineares dispõe-se de
modelos do tipo: auto-regressivo com entradas exógenas,
ARX; auto-regressivo com média móvel e entradas
exógenas, ARMAX; saída e erro, OE; e Box-Jenkins, entre
outros. O modelo selecionado para realização deste estudo é
o ARX cuja representação é dada pela equação (2) (�)�(�) = �(�)�(�) (2)
onde (�) = ����� + ⋯ + ������� e �(�) = ����� +⋯ + ������� são os polinômios que contém,
respectivamente, os pólos e os zeros do sistema; � é
operador de atraso; �� e �� os maiores atrasos dos
polinômios (�) e �(�). A escolha deste modelo se deve ao
fato da sua Função de Transferência (FT) ser simples e não
adicionar novos parâmetros.
3.3 Determinação da estrutura
Neste trabalho, o modelo é de segunda ordem, e sua
escolha é feita com base no modelo analítico representado
por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem
não-homogênea, a qual corresponde a sistemas com
deslocamentos de translação.
3.4 Estimação de parâmetros
Neste trabalho os parâmetros são obtidos através do
estimador de mínimos quadrados em batelada. Supondo-se
que um sistema possa ser escrito conforme a equação (3), �(�) = ���� + � (3)
onde ϕ é o vetor de regressores, �� é o vetor que contém os
parâmetros a serem identificados e � é o erro do modelo,
que é suposto de média nula.
O método dos mínimos quadrados tem por objetivo
estimar θ� de modo a minimizar o funcional.
Consequentemente, o vetor que contém os parâmetros
característicos da elastomassa é obtido pela equação (4) �� = (���)����# (4)
resultando no modelo discreto dado pela equação (5)
�(�) = %−�(� − 1) − �(� − ��) + ⋯ + �'� − ��( + ⋯ ) *���+⋮�-. (5)
onde 0 é o número de parâmetros a estimar.
3.5 Capacidade do modelo estimado
A validação do modelo é feita, inicialmente, através da
comparação entre os dados do modelo estimado e os dados
do modelo medido. Em um segundo momento, para saber a
validade do modelo obtido, este é testado com outro
conjunto de dados observados sob o mesmo sistema.
Recomenda-se usar indicadores que permitam quantificar a
aproximação entre o modelo estimado e os dados
observados. Entre esses índices estão os índices e critérios
estruturais: MSE (erro quadrático médio), AIC (Critério de
Informação Akaike) e BIC (Critério Bayesiano de
Informação). A avaliação destes índices e critérios
estruturais possibilita estabelecer se o modelo estimado
representa adequadamente o modelo experimental.
O índice MSE calcula os desvios em relação aos valores
observados da variável �, ou seja, as diferenças entre o valor
de referência �1 e sua respectiva estimativa �21 prevista pelo
modelo para a i-ésima amostra, sendo 3 o número de
amostras. O MSE é dado pela equação (6)
456 = 78(x: − x2 :)+;:<� = N.@ (6)
O critério AIC fornece uma medida da qualidade do
modelo estimando através da distância relativa entre o
modelo na sua verossimilhança máxima e o processo real.
Valores menores indicam modelos mais próximos ou que
possuem menor perda de informação em relação à realidade
[9]. A distância é uma medida de discrepância entre as
linhas do modelo experimental e o modelo estimado. O
critério de AIC é definido pela equação (7) BC = −2DEFG + 2� (7)
onde G é a Verossimilhança Maximizada do modelo
candidato, e I é o número de parâmetros do modelo.
Por fim, o índice BIC é o valor da máxima
verossimilhança com uma penalização para o número de
parâmetros no modelo, o que permite comparar modelos
com diferentes parametrizações e/ou diferentes número de
agrupamentos. Através deste valor o algoritmo determina o
provável modelo a usar de acordo uma aproximação baseada
no critério de informação Bayesiana [10]. O critério BIC é
definido pela equação (8) �BC = −2DEFG + �DEF3 (8)
4. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Para realizar a coleta de dados, o valor de 0,14�10�M 3
de amplitude e a forma degrau são adotados
convenientemente. Os valores obtidos dos parâmetros
estimados são apresentados na Tabela 3.
Tabela 3. Valor dos parâmetros estimado.
Parâmetros
Característicos
Valor Parâmetros
Estimados
Valor
ME-Kg 54.75x10-12 θ1 -1.109189832515121
CE-N s/m 0.205x10-6 θ2 0.967009317875133
KE-N/m 0.583 θ3 1.105798154814928
θ4 0.363465507695335
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Avaliação do Modelo ARX do Estimador LS de Elastomassas MEMS através dos Critérios MSE, AIC e BIC Manuel M.P.Reimbold, Airam Sausen, Andre L. Bedendo, Romulo A. T. Koelher
O sinal degrau gera um movimento oscilatório no início
do deslocamento, o qual era esperado. No entanto, mesmo
na existência de erros mais acentuados neste transitório, o
modelo estimado consegue acompanhar a dinâmica do
sistema real, reproduzindo a instabilidade inicial do mesmo
conforme mostrado na Figura 5. Observa-se que, na medida
em que o sistema converge para regime permanente o erro
entre os dois modelos tende a zero.
Fig. 5. Comparação entre o modelo estimado e o modelo medido.
A teoria estabelece que se o modelo estimado responder
da mesma forma que o modelo medido a diferentes dados
daqueles utilizados na estimação, o modelo é validado [6].
Logo, a aplicação do sinal sinusoidal em ambos os modelos
(conforme Figura 6) permite concluir que o modelo
estimado representa adequadamente ao modelo real.
Fig. 6. Resposta de ambos os modelos submetidos a sinal sinusoidal.
A comparação entre os valores preditos pelo modelo e os
valores experimentais demonstra que a representação
encontrada prediz de forma satisfatória a dinâmica do
processo, e os índices conseguidos através do modelo
estimado para esta elastomassa mostram que os resultados
obtidos para o comportamento linear do atuador são
satisfatórios, uma vez que: MSE = 1,4368x10-15
,
AIC = -9180,7 e BIC = -9165,9.
5. CONCLUSÃO
A técnica utilizada, na realização deste trabalho, mostra-
se interessante uma vez que permite obter o modelo
comportamental da elastomassa, sem alterar as propriedades
intrínsecas das mesmas e do meio em que se encontram
inseridas. São técnicas não invasivas e, portanto se mostram
necessárias na identificação do modelo de dispositivos
microscópicos. A precisão alcançada nos resultados deste
trabalho é satisfatória, pois foi obtida sem inserção de ruído
branco. Como trabalho futuro deseja-se comparar o
desempenho do modelo ARX com ruído branco.
AGRADECIMENTOS
Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico) pela bolsa concedida.
REFERÊNCIAS
[1] C. Ajluni, “Pressure sensors strive to stay on top,
electronic design”, 1994.
[2]DOI S. D. Senturia, “Perspectives on MEMS, past and
future: the tortuous pathway from bright ideas to real
products”, Transducers’03, The 12th International
Conference on Solid State Sensors, Actuators and
Microsystems, pp. 10, 2003.
[3]DOI R. M. Lin, “Structural dynamics of microsystems-
current state of research and future directions”,
Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 20,
pp. 1015-1043, 2006.
[4]DOI M.T. Song, D.Q. Cao, W.D. Zhu, “Dynamic analysis
of a micro-resonator driven by electrostatic combs”,
Elsevier B.V., doi:10.1016/j.cnsns.2010.12.004.
[5]LI L. A. Aguirre, “Introdução a Identificação de
Sistemas: técnicas lineares e não lineares aplicadas a
sistemas reais”, 2o.ed., Belo Horizonte UFMG, 2004.
[6]TE M. V. Correa, Identificação caixa cinza de sistemas
não-lineares utilizando representações NARMAX
racionais e polinomiais, UFMG, 2001.
[7] L. Ljung, “Systems Identification. Theory for the
user”, Prentice Hall, London, 1999.
[8] H. Wolfram, “Implementation issues on MEMS – A
study on systems identification”, Chemnizer
Fachtagung MST, Chemnitz, pp. 1-8, 2005.
[9]PUB K. P. Burnham, D. R. Anderson, “Kullback – Leibler
information as a basis for strong inference in
ecological studies”, Wildlife Research, vol. 28, pp.
111-119, 2001.
[10]DOI C. Fraley, A. E. Raftery, “Model-Based Clustering,
Discriminant Analysis, and Density Estimation”,
Technical Report, vol. 38, pp. 1-46, 2000.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10-3
0
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1.5
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3.5
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4.5
5x 10
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Tempo (s)
Deslo
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Estimado
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