UNIVERSIDAD DE CARABOBOFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICADEPARTAMENTO DE POTENCIATECNICAS DE ALTA TENSION

ONDA VIAJERA EN LINEAS DE TRANSMISION

ALUMNO:Miguel Nieves CI: 20.500.300

Prof: Francisco Naveira

Valencia, Febrero de 2016

CAPITULO V

CONTENIDO

5.1 INTRODUCCION 15.2 GENERALIDADES 2

5.2.1 Onda Viajera 25.2.2 Velocidad de Propagación 35.2.3 Energía en una Onda Viajera 4

5.3 MODELO MATEMATICO PARA LA LINEA DE TRANSMISION 7

5.3.1 Ecuaciones Diferenciales Características75.3.2 Solución de Ecuación Diferencial

Característica 115.3.3 Método de la Transformada de Laplace115.3.4 Impedancia Característica de La Línea de

Transmisión Z0 155.4 COEFICIENTES DE REFRACCION Y REFLEXION21

5.4.1 Nodo de Transición 235.4.2 Tabla de Ondas Viajeras 275.4.2 Surge Impedance Loading (SIL) 27

5.5 CALCULO DE SOBRETENSIONES28

5.5.1 Metodo de Bewley 75.6 BIBLIOGRAFIA 28

5.1 INTRODUCCION

Los sistemas eléctricos de potencia están compuestos por Generación, Transmisión y Distribución de energía eléctrica, de los tres componentes la transmisión es de vital importancia, debido a que, su función es la de transportar grandes bloques de energía, desde los centros de generación hasta los centros de consumo. Por esta razón, siempre será de mucho interés analizar ciertos fenómenos y el comportamiento de esta etapa del sistema en determinadas condiciones y como éstos puedan desencadenar problemas en las líneas de transmisión como la discontinuidad del servicio eléctrico del sistema y daño a equipos que suponen grandes costos.

En nuestro caso en particular el estudio se basara en los problemas originados por las ondas viajeras en las líneas de transmisión de un sistema de potencia. El objeto primario en el caso de la onda viajera en líneas de transmisión es saber cómo proteger el sistema de tensiones anormales o de las perturbaciones que puedan dañar los equipos del sistema de potencia y causar discontinuidad de servicio, a modo de ir separando un poco el enfoque del estudio de las ondas viajeras de otra rama muy importante como lo son los sistemas de comunicaciones es que estos tienen como objeto fundamental el análisis de la onda viajera para la transmisión

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de señales. Por mencionar algunas de sus diferencias. En las líneas de alta tensión, a menudo las sobretensiones originadas por causas desconocidas la magnitud y la forma son desconocidas (excepto desde un punto de vista estadístico); mientras que en los circuitos de comunicación la forma inicial y magnitud del tren de ondas se conocen con exactitud. Campos externos (debido a nubes cargadas), efecto corona, descargas, fallas, etc. Son de gran importancia con respecto a las sobretensiones; pero no tienen ninguna repercusión en el normal funcionamiento de una línea telefónica o telegráfica. La atenuación, distorsión, modificación de la forma de onda y reflexiones sucesivas son buscados intencionalmente en los sistemas de potencia como manera de hacer esas sobretensiones inofensivas, pero en los circuitos de comunicación estos efectos debe ser cuidadosamente evitado o anulado a fin de preservar la forma de onda y transmitir la señal con fuerza, con fidelidad y sin interferencias aunque claramente el modelo matemático sea el mismo se puede decir que buscan finalidades diferentes.

5.2 GENERERALIDADES

5.2.1 Onda Viajera

Se entiende por onda viajera a una manifestación de la materia en forma de energía que se puede ubicar perfectamente en el denominado espectro electromagnético,

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su nombre como tal cual indica se trata de una onda electromagnética que viaja liberando determinada energía desde un punto a otro por lo que tiene al espacio y al tiempo como variables independientes, Requiere de un medio para poder propagarse desde un punto inicial hasta un punto final y viceversa, una onda viajera almacena una energía interna que es capaz de liberarse en el medio de propagación en el cual circula, en el caso de la onda viajera causada por campos electromagnéticos contiene una energía almacenada en forma de campo eléctrico y magnético, teniendo aquí una respuesta a lo que en principio se planteó como un objetivo fundamental de todo sistema eléctrico de potencia que bajo conocimiento de causas saber cómo proteger el sistema de tensiones anormales o de las perturbaciones donde las ondas viajeras pueden causar grandes daños en los equipos del sistema de potencia y causar discontinuidad de servicio,

Los sistemas de potencia son largos y complejos, pero para un análisis en régimen permanente, la longitud de onda en las corrientes y voltajes senoidales son muy grandes comparados con las dimensiones físicas de la red, por ejemplo para una frecuencia de 60 Hz la longitud de onda puede alcanzar los 5.000 Km si se considera que esta onda viaja en el vacío1, sin embargo para el régimen transitorio este ya no es el caso y el 1 Se tomó como velocidad de la onda 300.000 Km/S aunque si bien es cierto que esta es la velocidad de propagación de una onda electromagnética ésta no se propaga en el vacío, sino en un medio material por lo que esta no es su velocidad como será explicado más adelante.

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tiempo de viaje de las ondas electromagnéticas puede ser tomado en cuenta, aquí el carácter del régimen transitorio en el estudio de los fenómenos relacionados con la onda viajera.

5.2.2 Velocidad de Propagación

Si partimos del conocido circuito equivalente “π” que se muestra en la figura 5.1, tomamos propiedades del campo eléctrico como capacitancias y propiedades del campo

magnético como inductancias de la siguiente manera:

Figura 5.1 Representación de Parámetros Concentrados en una Línea de Transmisión de 2 Conductores.

Cuando se cierra el switch “S”, circula una corriente mediante la inductancia L1, cargando la capacitancia C1. La acumulación de carga en C1 crea un voltaje que causa una nueva circulación de corriente mediante L2, esta corriente carga C2 y se aumenta un voltaje a través de C2 y ocurre lo mismo sucesivamente. Este tipo de razonamiento muestra que una perturbación en un extremo del modelo “π” es inmediatamente perceptible en el otro extremo de la red. Nos daremos cuenta que esto no sucede cuando una fuente es

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“switchada” en una línea de transmisión, dependiendo la longitud de la línea se requerirá un cierto tiempo antes de que las ondas de corriente y tensión alcancen el final de la línea.

Por lo tanto una representación de las líneas aéreas largas y cables subterráneos por parámetros concentrados no es útil para entender el fenómeno de la onda porque las ondas electromagnéticas tienen un tiempo de viaje. Solamente cuando las dimensiones físicas de ciertas partes del sistema de potencia son pequeñas en comparación con la longitud de onda en los transitorios, el tiempo de viaje de las ondas electromagnéticas puede no tomarse en cuenta y por eso tal representación pudiera ser usada.

Si el tiempo de viaje de la onda es tomado en cuenta y se representan las propiedades del campo eléctrico por medio de capacitancias y las propiedades del campo magnético por medio de inductancias, llamaremos a estos parámetros “distribuidos”. Una línea de transmisión aérea, un nodo de barra, o un cable subterráneo tiene ciertas dimensiones físicas y por lo tanto su inductancia general, capacitancia y resistencia es considerado distribuida en toda su longitud.

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Como ya se ha mencionado utilizaremos un modelo que representa la distribución en pequeñas variaciones de longitud como se muestra en la figura 5.2

Figura 5.2 Representación del Campo Eléctrico y Magnético Alrededor de un Segmento ∆ x en una Línea de Transmisión de 2 Conductores

Si esta fuente de voltaje U es “switchada” en una línea de trasmisión en t=0, la línea será cargada por el voltaje de la fuente. Después de un instante muy pequeño ∆ t , solo un pequeño segmento de línea ∆ x será cargado instantáneamente con una carga de ∆ Q=C ∆ U . Esta carga, igualmente distribuida sobre el segmento de línea ∆ x, causa un campo eléctrico E alrededor de este segmento de línea y la corriente crea un campo magnético H alrededor del segmento de línea ∆ x.

Si hacemos ∆ x lo suficientemente pequeño, la expresión de corriente será:

i= lim∆ x →0

∆ Q∆ t

=lim

∆ x→ 0C ∆ xU

∆ t=¿ lim

∆ x →0C U dx

dt=C U v ¿ (5.2)

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Porque la distancia ∆ x es recorrida en un tiempo ∆ t , ∆ x /∆ t es la velocidad a la cual la carga viaja a lo largo de la línea. El flujo magnético presente alrededor de la línea es ∆∅=L ∆ x i. Si esta ecuación es sustituida en la ecuación (5.2) y ∆ x →0, La expresión para la fuerza electromotriz inducida en el lazo cerrado por los dos conductores sobre la distancia ∆ x es:

f . e .m=lim

∆ x →0∆∅

∆ t=lim

∆ x→0L ∆ xC U

∆ t∆ x∆ t

= lim∆ x→0

L C U ( dxdt

)2

=L C U v2 (5.3)

Debido a que no puede haber discontinuidad de voltaje, esta f.e.m es igual a la onda de voltaje U, obteniendo una expresión para la velocidad de la onda:

v= 1√L C

(5.4)

La velocidad de la onda depende solamente de la geometría de la línea y la permitividad y permeabilidad que rodea el medio.

Por ejemplo, para una línea de transmisión de 150 KV con un conductor por fase, de radio r=25mm y una distancia equivalente entre fase de dm=5,5m, los valores de inductancia y capacitancia son:

L=( μ02π ) ln( dm

0.779 r )=1,13mHKm

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C=2 π ε0

ln ( dmr

)=10,3 nF

Km

Esto resulta una velocidad de onda de vlinea=293.117Km

s . Cuando

calculamos la inductancia y capacitancia distribuida para un solo conductor de polietileno y núcleo reticulado (XLPE), aislamiento 18/30 KV, cable para media tensión con 120mm2, conductor de cobre y una pantalla de tierra de 16mm2 (N2XS2Y – 1 x 120/16 – 18 / 30 KV), los valores son:

L=0,430mHKm ; C=0,178 μF

Km

Esto resulta una velocidad de onda de vcable=114.302Km

s . En una

línea de transmisión las ondas electromagnéticas se propagan a velocidades cercanas a las de la luz pero en un cable subterráneo la velocidad es un poco más lenta en comparación a la de la línea.

Siguiendo este interesante punto para la comprensión de la velocidad de propagación de las ondas consideremos que tenemos una línea de transmisión de 1000 Km de longitud, si asumimos la vlinea obtenida anteriormente, podemos calcular el tiempo en que esta onda recorre la línea:

t= 1000293.117

=3,41ms

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Si la frecuencia con la que opera el sistema es 60 Hz este tiempo representaría un desfasaje de aproximadamente ¼ de periodo respecto del voltaje entregado por el generador a la carga, si las distancias aumentan pudieran obtenerse desfasajes considerables y que pudieran afectar al sistema de potencia con repentinas sobretensiones.

5.3 MODELO MATEMATICO PARA LA LINEA DE TRANSMISION

5.3.1 Ecuaciones Diferenciales Características

Si tomamos un diferencial de longitud de una línea de transmisión y expresamos cada unos de sus parámetros obtenemos lo que se observa en la figura 5.3

Figura 5.3 Representación de Parámetros Distribuidos en una longitud ∆ x y x+∆ x en una Línea de Transmisión de 2 Conductores

Dónde:

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R [Ωm]: Resistencia Distribuida

L [ Lm]: Inductancia Distribuida

G [ Sm]: Conductancia Distribuida

C [ Fm]: Capacitancia Distribuida

Ya que ∆ →0 es posible aplicar la Ley de Voltajes de Kirchoff ya conocida, tenemos:

v ( x+∆ , t )−v ( x ,t )=−R ∆ i ( x+∆ , t )−L ∆ ∂ i(x+∆ , t)∂ t

(5.5)

Al dividir (5.5) por ∆ se obtiene:

v ( x+∆ , t )−v ( x , t )∆

=−R i ( x+∆ , t )−L ∂ i (x+∆ , t )∂ t

(5.6)

Obteniendo así la derivada de una función por definición:

lim∆→ 0

v ( x , t )−v ( x ,t )

∆=−R i ( x ,t )−L ∂i(x , t)

∂t (5.7)

∂ v (x ,t )∂ x

=−Ri ( x , t )−L ∂ i(x ,t )∂ t

(5.8)

Aplicando la Ley de Corriente de Kirchoff en el diferencial de línea se obtiene:

i (x+∆ ,t )−i ( x , t )=−G ∆ v ( x+∆ , t )−L ∆ ∂ v (x+∆ , t )∂ t

(5.9)

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Al dividir (5.9) por ∆ y aplicando el límite cuando ∆ →0 se obtiene:

lim∆→0

i ( x+∆ , t )−i ( x , t )

∆=−G v ( x ,t )−C ∂ v ( x , t)

∂ t (5.10)

Y así la expresión equivalente para la variación de la corriente respecto a la posición:

∂i(x , t)∂ x

=−G v ( x , t )−C ∂ v (x ,t )∂t

(5.11)

Hasta ahora tenemos dos ecuaciones de suma importancia, ya que desde aquí será el punto de partida para el posterior desarrollo, estas ecuaciones son:

∂ v (x ,t )∂ x

=−Ri ( x , t )−L ∂ i(x ,t )∂ t

(5.8)

∂i(x , t)∂ x

=−G v ( x , t )−C ∂ v (x ,t )∂t

(5.11)

Con el objetivo de desacoplar estas ecuaciones y dejar cada una en función de una sola variable, se derivará la ecuación (5.8) respecto al tiempo y la ecuación (5.11) se derivará respecto al espacio a modo de poder encontrar términos semejantes entre ambas ecuaciones y así mediante relaciones conseguir la separación de las variables, entonces:

∂2 v (x ,t)∂ x ∂ t

=−R ∂ i(x , t)∂ t

−L ∂2i(x ,t )∂ t 2

(5.12)

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∂2i(x , t)∂ x2

=−G ∂ v (x , t)∂ x

−C ∂2v (x ,t )∂ t ∂ x

(5.13)

Si sustituimos (5.8) y (5.12) en (5.13), se obtiene:

∂2i(x , t)∂ x2

=−G(−R i ( x , t )−L ∂ i ( x ,t )∂ t

)−C (−R ∂ i ( x ,t )∂ t

−L ∂2 i ( x ,t )∂t 2 ) (5.14)

Reordenando (5.14) queda una ecuación en derivadas parciales para la corriente:

∂2i(x , t)∂ x2

=RGi ( x , t )+(LG+RC )∂i ( x , t )

∂ t+LC ∂2 i ( x ,t )

∂ t 2 (5.15)

Para lograr el mismo resultado pero para la expresión de la tensión se derivará la ecuación (5.8) respecto al espacio y la ecuación (5.11) respecto al tiempo y haciendo el mismo procedimiento se obtiene:

∂2 v (x ,t)∂ x2

=−R ∂ i(x , t)∂ x

−L ∂2i(x ,t )∂t ∂ x

(5.16)

∂2i(x , t)∂ x∂ t

=−G ∂ v (x , t)∂ t

−C ∂2 v (x ,t )∂t 2

(5.17)

Si sustituimos (5.11) y (5.17) en (5.16), se obtiene:

∂2 v (x ,t)∂ x2

=−R (−G v ( x , t )−C ∂ v ( x , t )∂ t

)−L(−G ∂ v (x , t )∂ t

−C ∂2v ( x ,t )∂t 2 ) (5.18)

Reagrupando términos queda la ecuación en derivadas parciales para la tensión:

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∂2 v (x ,t)∂ x2

=RG v ( x , t )+(LG+RC ) ∂ v ( x , t )∂ t

+LC ∂2 v ( x , t )∂ t2

(5.19)

Ya teniendo las expresiones desacopladas, lo que sigue es utilizar un método que permita conocer la solución para estas ecuaciones en derivadas parciales.

Recordando lo que tenemos hasta ahora:

∂2i(x , t)∂ x2

=RG i ( x , t )+(LG+RC )∂i ( x , t )

∂ t+LC ∂2 i ( x ,t )

∂ t 2 (5.15)

∂2v (x ,t)∂ x2

=RG v ( x , t )+(LG+RC )∂ v ( x , t )

∂ t+LC ∂2 v ( x , t )

∂ t2 (5.19)

Estas ecuaciones también se conocen como las “ecuaciones del telegrafista” en honor a Oliver Heaviside que fue un importante científico en el estudio de la propagación de las ondas, en ese caso de las ondas transmitidas por el telégrafo.

Si nos fijamos y hacemos algunas conclusiones acerca de estas ecuaciones véase que si la línea no tiene pérdidas es decir R = G = 0 la ecuación del telegrafista toma la forma de una onda unidimensional, es decir:

∂2i(x , t)∂ x2

=LC ∂2i (x , t )∂ t2

(5.15)

∂2 v (x ,t)∂ x2

=LC ∂2v ( x , t )∂ t 2

(5.19)

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Ecuación de la que existen variados métodos para darle solución, en el presente trabajo se eligió el método de la Transformada de Laplace el cual se desarrollara con extenso cuidado, aunque se mencionaran algunos otros métodos importantes que conducen a análisis importantes en el estudio de la onda viajera.

5.3.2 Solución de Ecuación Diferencial Característica

5.3.3 Método de la Transformada de Laplace

Recordando la transformada de Laplace, se tiene que:

L [ f ( t ) ]=F ( S ) ; F ( S )=∫0

∞

f ( t ) e− st dt

Además:

L[ d2 f (t)dt 2 ]=Sn F ( S )−Sn−1 f (0 )−…−S0 f n−1 (0 )

Cabe destacar que al aplicar la transformada de Laplace a las variables que dependen del espacio tiempo, dejan de depender del tiempo ya que se traslada el sistema al dominio de la variable S.

Aplicando la Transformada de Laplace a las ecuación (5.8) y haciendo las condiciones iniciales = 0, se obtiene la siguiente expresión:

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∂V (x , s)∂ x

=−R I ( x , s )−L s I ( x , s ) (5.20)

∂V (x , s)∂ x

=−( R+L s ) I (x , s ) (5.21)

Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuación (5.11), y haciendo las condiciones iniciales = 0 se obtiene la siguiente expresión:

∂ I (x , s)∂ x

=−G V ( x , s )−C sV (x , s) (5.22)

∂ I (x , s)∂ x

=−(G+C s )V ( x , s ) (5.23)

Si derivamos la ecuación (5.21) respecto a la posición tenemos:

∂V 2( x , s )∂ x2

=−(R+L s ) ∂ I (x , s)∂ x

(5.24)

Ahora sustituyendo la ecuación (5.23) en (5.24) se obtiene:

∂V 2( x , s )∂ x2

= (R+ Ls ) (G+Cs )V ( x , s ) (5.25)

γ=√(R+Ls)(G+Cs) (5.26)

Para efectos prácticos nos trasladamos al dominio de la frecuencia sustituyendo s= jω entonces:

γ=√(R+ jωL)(G+ j ωC)=α+ jβ (5.27)

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Dónde:γ: Constante de Propagaciónα: Constante de Atenuaciónβ: Constante de Fase

Una vez denotado lo anterior queda claro que para la corriente su ecuación diferencial queda:

∂ I 2(x , s)∂ x2

=( R+Ls ) (G+Cs ) I ( x , s ) (5.28)

Para lograr dar respuesta a la ecuación diferencial que rigen nuestras incógnitas es necesario considerar los valores en la frontera, en el caso de la tensión por deducción se afirma que en x=0 se puede encontrar un generador, cuya f . e .m . sea e=e(t ) es decir, E(s) en el dominio de la variable s, con la impedancia interna Z1=Z1(s). En el otro extremo de la línea (x=l) se conecta

una red con la impedancia Z2=Z2(s). Gráficamente seria:

Figura 5.4 Representación de Línea de Transmisión para cálculo de valores en la frontera (x=0 y x=l)

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Donde se aprecia de manera clara que:

Para x=0:

E (s )=Z1 ( s ) I (0 , s )+V (0 , s ) (5.29)

Para x=l:

V ( l , s)=¿ Z2 (s ) I ( l , s ) (5.30)

Y con la ayuda de las ecuaciones (5.29) y (5.30) estamos en la posibilidad de resolver las ecuaciones (5.25) y (5.28)

∂V 2( x , s )∂ x2

= (R+ Ls ) (G+Cs )V ( x , s ) (5.25)

∂ I 2(x , s)∂ x2

=( R+Ls ) (G+Cs ) I ( x , s ) (5.28)

Recordando que estamos trabajando para R = G = 0, las ecuaciones (5.25), (5.28) quedan de la siguiente manera:

∂V 2( x , s )∂ x2

=LC s2V ( x , s ) (5.31)

∂ I 2(x , s)∂ x2

=LC s2 I ( x , s) (5.32)

Entonces, podemos hablar de una solución para la tensión y corriente de la forma:

V ( x , s )=V 1e−s√ LC x+V 2 es√LC x (5.33)

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I ( x , s )=I 1e−s√ LC x+ I 2 es√ LCx (5.34)

En la sección 5.2 se habló de velocidad de propagación la cual definimos según la ecuación (5.4) como:

v= 1√L C

(5.4)

Por lo tanto reacomodamos las ecuaciones (5.33) y (5.34) y queda como:

V ( x , s)=V 1e−sv x

+V 2 esv x (5.35)

I ( x , s )=I 1e−sv x

+ I 2 esv x (5.36)

Desde aquí, necesitamos conseguir V 1 ,V 2 , I1 , I 2 ,pero no tenemos las suficientes ecuaciones para determinar tales coeficientes es por ello que se busca una relación entre las ecuaciones (5.35) y (5.36) que nos permita abrir paso:

Comencemos desde la ecuación (5.20) donde R=0Ω por lo tanto:

I ( x , s )=−1Ls

∂V ( x , s )∂ x

(5.37)

Dónde:

∂V (x , s)∂ x

= ∂∂ x

(V 1 e−sv x

+V 2 esv x )=−s

vV 1e

−sv x

+ sv

V 2esv x (5.38)

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Sustituyendo (5.38) en (5.37) queda:

I ( x , s )=−1Ls (−s

vV 1e

−sv

x+ s

vV 2e

sv

x)= 1L v

(V 1e−sv

x−V 2 e

sv

x) (5.37)

5.3.4 Impedancia Característica de La Línea de Transmisión Z0

Llegando a una importante expresión que relaciona la tensión con la corriente, que se denomina IMPEDANCIA CARACTERISTICA DE LA LINEA Z0, de la que se pueden mencionar algunos aspectos.

Z0=L v= L√LC

=√ LC

(5.38)

Quedando relacionados los números complejos V 1 conI 1 yV 2 con I 2

de la siguiente manera:V 1=Z0 I 1 (5.39)V 2=−Z0 I 2 (5.40)

Antes de continuar en la resolución de la ecuación es oportuno mencionar algunas generalidades acerca de la impedancia característica Z0:

La impedancia característica no depende de la longitud de la línea de trasmisión, sino de su geometría, el medio que la rodea.

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Si bien en este caso se asumió que las perdidas R = G = 0, pudiéramos buscar la impedancia característica Z0 de manera más general como:Sin olvidar las ecuaciones validas cuando habíamos despreciado las pérdidas, obteníamos en las ecuaciones (5.25) y (5.26) que:

∂V 2( x , s )∂ x2

= (R+ Ls ) (G+Cs )V ( x , s ) (5.25)

γ=√(R+Ls)(G+Cs) (5.26)

Y siempre teniendo clara la solución planteada desde el comienzo pero ahora asumiendo tanto R como a G tenemos:

V (x , s)=V 1e−γx+V 2eγx (5.35)

I (x , s)¿ I 1 e−γx+ I 2eγx (5.36)

Siendo las ecuaciones (5.35) y (5.36) soluciones generales a nuestro problema se sustituyen en la ecuación (5.25) obteniendo:

∂∂ x (V 1 e−γx+V 2 eγx)=−R ( I 1 e−γx+ I 2e

γx )−Ls( I 1e−γx+ I2 eγx ) (5.37)

−γ V 1e− γx+γ V 2e

γx=−(R+Ls)(I 1e−γx + I2 eγx) (5.38)

−γ (V 1 e−γx−V 2 eγx )=−(R+Ls)( I 1 e−γx+ I 2 eγx) (5.39)

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(V 1e−γx−V 2 eγx)=(R+Ls)

γ(I 1e

−γx+ I2 eγx) (5.40)

Finalmente:

V 1=(R+ Ls)

γI1 Por lo tanto Z0=

(R+Ls)γ

=(R+Ls)

√(R+Ls)(G+Cs)=√ (R+Ls)

(G+Cs)

(5.41)

Si trasladamos Z0 al dominio de la frecuencia tal que S= jω entonces:

Z0=√ ( R+ jωL)(G+ jωC )

(5.42)

Y por analogía y ya sabiendo el procedimiento concluimos que:

V 1=√ (R+ jωL )(G+ jωC )

I 1 (5.43)

V 2=−√ (R+ jωL )(G+ jωC )

I 2 (5.44)

Teniendo así una expresión mas general de la impedancia característica Z0 ratificando además que esta no depende de la longitud de la línea de transmisión, pero si aparece un factor que resulta importante analizar y es el factor ω, el cual nos indica que tal impedancia característica depende de la frecuencia, destaquemos que para efectos de cálculo muchas

veces se utiliza la impedancia característica Z0=√ LC

, es

primordial aclarar que no debe confundirse muchas veces el enfoque de los sistemas de telecomunicaciones en los cuales

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son ignorados por completo los términos R y G puesto que operan a altas frecuencias por lo que jω≫≫ R yG, siendo esta la razón para ese caso. Desde el enfoque de una línea de transmisión de un sistema de potencia un punto tomado en consideración es que si bien el factor jω no es tan alto como el caso anterior las pérdidas por resistencia del conductor y de conductancia entre líneas es despreciable.

A menos que se indique lo contrario y en condiciones muy particulares se recurrirá para efectos de cálculo, de sencillez y de que en la aplicación se asume a la impedancia

característica como Z0=√ LC

.

Si mencionamos el ejemplo ilustrado en la sección 5.2.3 del conductor que conforma una línea de transmisión donde L=1,13 mH

Km y C=10,3 nFKm se obtiene una ZLINEA=330Ω, y para el cable

XLPE donde L=0,430mHKm y C=0,178 μF

Km se obtiene una ZCABLE=49Ω.

Que sirve de referencia para el orden de magnitudes de la impedancia característica de distintos conductores que más tarde serán recurrentemente usados.

Recordemos que se ha hecho un paréntesis para explicar a detalle este importante concepto y sus implicaciones, cabe destacar que así se irá desarrollando la investigación, a medida que surja un nuevo concepto que implique un análisis

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minucioso se hará, por lo tanto como se venía en el orden de ideas se busca darle respuesta a la solución de las siguientes ecuaciones por el método de la Transformada de Laplace:

V ( x , s)=V 1e−sv x

+V 2 esv x (5.35)

I ( x , s )=I 1e−sv x

+ I 2 esv x (5.36)

Y con el resultado obtenido de impedancia característica Z0:

I ( x , s )= 1Z0

(V 1e− s

v x−V 2 e

sv x

) (5.37)

Para la condición x=0:

E (s )=Z1 ( s )i (0 , s)+V (0 , s ) (5.29)

V (0 , s )=E ( s)−Z1 ( s ) I (0 , s) (5.45)

Tenemos:

V (0 , s )=V 1 e0+V 2e0=V 1+V 2 (5.46)

V (0 , s )=E ( s)−Z1 I (0 , s )=E (s )−Z1( 1Z0 (V 1 e0−V 2 e0 )) (5.47)

V (0 , s )=E ( s )−Z1Z0

(V 1−V 2 ) (5.48)

Igualando (5.46) y (5.48):

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V 1+V 2=E ( s )−Z1Z0

(V 1−V 2 ) (5.49)

Si despejamos V 1 de la ecuación (5.49) obtenemos:

V 1=Z0

Z0+Z1E (s )−

Z0−Z1Z0+Z1

V 2

(5.50)

Para la condición x=l:

V ( l , s)=¿ Z2 (s ) I ( l , s) (5.30)

V (l , s )=V 1e−sv l

+V 2 esv l (5.51)

I (l , s )=V 1

Z0e

−sv l

−V 2

Z0e

sv l (5.52)

Sustituyendo (5.51) y (5.52) en (5.30)

V 1e−sv l

+V 2esv l=

Z2Z0

V 1e−sv l

−Z2Z0

V 2e− s

v l (5.53)

Sustituyendo (5.50) en (5.53) se obtiene:

(Z0

Z0+Z1E (s )−

Z0−Z1Z0+Z1

)e−sv l

+V 2esv l=

Z2Z0

(Z0

Z0+Z1E ( s)−

Z0−Z1Z0+Z1

)e−sv l

−Z2Z0

V 2 e−sv l (5.54)

Al despejar V 2 queda finalmente:

24

V 2=E ( s)Z0

Z0+Z1 ( e−sv

l

( Z0+Z2Z2−Z0 )e

sv l+(Z0−Z1

Z0+Z1 )e−sv l ) (5.55)

Realizando una serie de artificios matemáticos, tenemos:

V 2=E ( s)( Z0Z0+Z1 )( e

−sv

l

( Z0+Z2Z2−Z0 )e

sv l+(Z0−Z1

Z0+Z1 )e−sv l ) e

−sv

l

e−sv

l (5.56)

V 2=E ( s)Z0

Z0+Z1e

−2 sv l

( Z0+Z2Z2−Z0 )+(Z0−Z1

Z0+Z1 )e−2 s

v l (5.57)

Surgen otros factores muy importantes que reciben el nombre COEFICIENTES DE REFLEXIÓN el cual denotaremos de manera siguiente:

r1=Z1−Z0Z0+Z1

y también r2=Z2−Z0Z2+Z0

por lo que la ecuación (5.57)

queda de la siguiente forma:

V 2=E ( s)Z0

Z0+Z1e−2 s

vl

( 1r2 )−(r1)e−2s

vl= E (s )

Z0Z0+Z1

r2 e−2 s

v l

1−r1r2 e−2 s

vl (5.58)

Sustituyendo (5.58) en (5.50) queda:

25

V 1=Z0

Z0+Z1E (s )−

Z0−Z1Z0+Z1 (E (s )

Z0Z0+Z1

r2 e−2 s

vl

1−r1r2 e−2 s

v l ) (5.59)

V 1=Z0

Z0+Z1E (s )−

Z0−Z1Z0+Z1 (E (s )

Z0Z0+Z1

r2 e−2 s

vl

1−r1r2 e−2 s

v l ) (5.60)

V 1=( Z0Z0+Z1

E ( s))(1−Z0−Z1Z0+Z1 ( r2 e

−2 sv

l

1−r1 r2 e−2 s

v l )) (5.61)

V 1=( Z0Z0+Z1

E ( s ))(1− r1 r2e−2 s

vl

1−r1r2e−2s

v l )=( Z0Z0+Z1

E ( s ))( 1

1−r 1r2 e−2 s

v l ) (5.62)

Finalmente obtenidos los dos números complejos, quedan las soluciones de la siguiente forma:

V ( x , s )=( Z0Z0+Z1

E (s ))( 1

1−r 1r2 e−2 s

vl )e

−sv x

+E (s )Z0

Z0+Z1

r2 e−2s

v l

1−r1 r2e−2 s

vle

sv x (5.63)

V ( x , s)=( Z0Z0+Z1

E (s ))( e−sv

x+r2e

−2 sv

l+ sv

x

1−r1 r2 e−2 s

v l ) (5.64)

V ( x , s )=( Z0Z0+Z1

E (s ))( e−sv

x+r2e

−sv

(2l−x)

1−r1 r2e−2 s

v l ) (5.65)

26

I ( x , s )=( 1Z0+Z1

E ( s))( e−sv

x+r2e

−sv

(2 l−x)

1−r1r2 e−2 s

v l ) (5.66)

5.4 COEFICIENTES DE REFLEXION Y REFRACCION

Siguiendo la misma línea de análisis, si se quiere indagar más a profundidad ante la ecuación obtenida para las variables de tensión y corriente es preciso desmenuzar un poco cada uno de sus factores y explicar a detalle el sentido físico del fenómeno de reflexión.

Si se intenta conseguir una ecuación en el dominio del tiempo se puede utilizar el método de Series Infinitas para evaluar el comportamiento de la solución general como una suma de acontecimientos de las que se harán algunas interpretaciones.

Debido a la naturaleza de la ecuación para poder determinar si es posible hacer un desarrollo en serie es necesario ver su convergencia, en este caso guarda semejanza a una serie geométrica de la forma:

Serie Geométrica:

1

1−r1 r2 e−2 s

vl=∑

n=0

∞

¿¿ (5.67)

27

Si ℜ ( s)es muy grande se asegura que r1 r2 e−2 s

v l≪1 condición

necesaria para que tenga convergencia el desarrollo de la serie.

Podemos expresar la función de tensión como:

V ( x , s )=Z0

Z0+Z1E (s ) ¿ (5.68)

Que si se desarrolla para n=0 ,1,2 ,3 ,4 queda de la siguiente manera:

V ( x , s )=Z0

Z0+Z1E (s ) ¿ (5.68)

Donde se puede interpretar bajo nuestro enfoque como un sistema de ondas viajeras que se propagan a través de la línea y donde ocurren sucesivas reflexiones tal como lo indican sus respectivos factores de reflexión r1 yr 2, donde r2es la reflexión ocurrida al final de la línea y r1al comienzo de la línea producto de una oscilación sucesiva de frentes de ondas en sentido progresivo y regresivo.

Para cada uno de los términos mostrados al querer representarlos en el dominio del tiempo debido a su forma −xv

;− (2 l−x )v

; −( x+2l )v

;−(4 l−x )v

que no es más que instantes de

tiempo específicos, si aplicamos el teorema del desplazamiento indica que tales factores existen para todo t >t0

28

. Además asumiendo esta respuesta bajo el modelo de una onda viajera podemos decir que estos tiempos representan los distintos frentes de ondas al final e inicial de la línea donde ocurren reflexiones.

Después de ver todo este comportamiento, cabe traer a colación el aporte del matemático francés Jean D’Alembert quien modelo un método de solución a las incógnitas antes planteadas y que aun permiten seguir desarrollando ideas alusivas a nuestro tema, este matemático francés planteo que la respuesta en función del espacio tiempo para las ondas de tensión y corriente que salen del generador estaba conformada por dos ondas una progresiva y una regresiva, de la siguiente manera:

v ( x ,t )= f p ( x−vt )+ f r ( x+vt )=vp+vr (5.69)

Y por consiguiente la corriente:

i (x , t )= 1Z0

( f p (x−vt )−f r ( x+vt ) )= 1Z0

(v p−vr ) (5.70)

Entendiendo lo anterior y habiendo comprobado además con la ecuación (5.68) que resulta del modelo matemático y expresado en series infinitas en el que también aparecen términos con frentes de ondas distintos y factores que se denominaron “factores de reflexión” nos permitimos generalizar un poco más y denominar al “factor de refracción”

29

como el resultado de la onda viajera que verdaderamente incide en la carga y no se refleja.

5.4.1 Nodo de Transición

No es más que el nodo en el cual se el análisis cualitativo de cualquier onda viajera que se propague por ese nodo, ya que generalmente en el existe un cambio de impedancia o un cambio de medio de propagación lo que ocasiona un punto de interés en la línea. Para visualizar mejor lo que se busca contextualizar ver figura 5.5

Figura 5.5 Representación del fenómeno de reflexión y refracción en un nodo de transición.

Dónde:

v1+vr=v2 (5.71)

i1−ir=i2 (5.72)

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Colocando la corriente en función de la tensión se obtiene:

v1Z1

+vr

Z1=

v2Z2

(5.73)

Al despejar v1 queda de la siguiente forma la ecuación (5.73)

v1=Z1Z2

v2−vr (5.74)

Si se despeja vr de la ecuación (5.71) y se sustituye en la ecuación (5.74) para luego despejar v2

v2=2Z2

Z1+Z2v1 (5.75)

Si obtenemos la relación entre el voltaje que sale del nodo respecto al que entra es lo que se llama FACTOR DE

REFRACCIÓN ( v2v1 ) que será denotado con la letra b ,en este

caso para la onda de voltaje (b¿¿v )¿ y no es más que un porcentaje de cuanto el voltaje de entrada es refractado a la salida, fijemos la atención en el hecho de que las reflexiones en las ondas de voltaje no son deseadas, si ubicamos de nuevo la figura 5.5 podemos observar que la reflexión genera un voltaje mayor en el nodo, puesto que se suma con el voltaje que entra al nodo de transición, en tal caso lo más deseado es que todo el voltaje que entra al nodo de transición tenga salida plena sin ningún tipo de reflexión, este hecho se

31

logra para Z1=Z2y resulta fácil de comprobar con la ecuación (5.75), aunque esto pueda parecer ideal no lo es puesto que en la práctica se utiliza este concepto que se desarrollara posteriormente y que se denomina SURGE IMPEDANCE LOADING o SIL de la línea por sus siglas.

Otro punto de interés después de ver la expresión (5.75) es que a medida que la impedancia Z2 aumenta por tanto la sobretensión, aspecto a tener en cuenta para análisis finales.

Siguiendo con los coeficientes de reflexión y refracción, según la ecuación (5.75) y por Ley de Ohm podemos calcular las mismas expresiones para la corriente:

i2Z2=2Z2

Z1+Z2i1Z1 (5.76)

Al despejar i2, se obtiene:

i2=2Z1

Z1+Z2i1 (5.77)

Por analogía al comentario expuesto anteriormente para la onda de tensión, se tiene:

b i=2Z1

Z1+Z2 (5,78)

Si se busca ratificar la respuesta conseguida en la sección 5.3 para el coeficiente de reflexión solo basta con colocar a vr f ¿ y

32

no es más que sustituir v2de la ecuación (5.71) en la ecuación (5.74) para luego despejar vr, quedando:

v r=Z2−Z1Z2+Z1

v1 (5.79)

Por lo tanto si se busca el factor de reflexión (r ) nos queda como:

vr

v1=

Z2−Z1Z2+Z1

=r v (5.80)

Obteniendo el factor de reflexión (r )que anteriormente fue descrito, si aplicamos la Ley de Ohm a la ecuación (5.79) para determinar r i, se obtiene:

−ir Z1=Z2−Z1Z2+Z1

i1Z1 (5.81)

Entonces:

ir

i1=

−Z2−Z1Z2+Z1

=r i (5.82)

Quedando así definidos todos los factores que forman parte del análisis y que son de gran interés, para la comprensión de cómo se manifiesta la onda viajera en un nodo cualquiera donde haya un cambio de impedancia.

33

5.4.2 Surge Impedance Loading (SIL)

Es la potencia (MW ) de una línea de transmisión cuando se produce un equilibrio en la potencia reactiva (QMVAR=0).

Para el cálculo de esta potencia se utilizara la impedancia característica de la línea, entonces el SIL quedara determinado como:

SIL=V 2

LINEA KV

Z0

Recordando el convenio de potencia entregada y absorbida, sabemos que la potencia reactiva de una capacitancia es positiva (Entrega Potencia Reactiva) y que la potencia reactiva de una inductancia es negativa (Absorbe Potencia)2

Entonces el concepto de SIL está directamente relacionado con la compensación de reactivos en una línea de transmisión, ya que a partir del valor del SIL podemos decir que si la potencia en la línea es mayor al SIL la línea se comporta como un reactor de potencia y si la potencia en la línea es menor al SIL la línea se comporta como una carga capacitiva.2 Tanto capacitancia como inductancias son elementos pasivos por lo que no entregan potencia nunca, solo son capaces de almacenar energía en forma de campo eléctrico y magnético una vez energizados además la potencia que reciben la entregan y la vuelven a recuperar sucesivamente pero para efectos de cálculo se estableció un convenio donde la QC es positiva y QL es negativa.

34

Además el SIL nos ayuda a estimar aproximadamente cuanto es la potencia que puede transferirse en una línea de transmisión según el nivel de tensión y de su impedancia característica.

La siguiente tabla muestra la potencia teórica que pueden transmitir algunas líneas de transmisión del sistema eléctrico venezolano tanto con conductores unifilares sencillos (ASCR, ACAR, cobre hueco, etc.) como conductores bifilares (sistema de 400 KV) Y cuatrifilares (400 Y 800 KV). La impedancia de los cables de potencia está por lo general comprendida entre los 40 y 60 𝛺.

V LINEA KV 69 115 230 400 800Z0(Ω) 400 375 375 250 260

SIL(MVA) 12 35 140 640 2.460

5.5 CALCULO DE SOBRETENSIONES

Los diagramas de Lattice fueron introducidos por Bewley y son de gran ayuda cuando se trabaja en el cálculo de ondas viajeras.

Este Método se apoya en una construcción gráfica de la evolución en el tiempo de estas ondas progresivas y regresivas.

35

Para el cálculo se asumirá la impedancia de onda o impedancia característica como:

Z0=√ LC

Lo que implica indirectamente que tanto R=G=0, y que la velocidad de propagación viene dada por:

v= 1√L C

Debe señalarse que el Método de Bewley es sólo apropiado para lidiar con formas de onda escalón.

La solución gráfica del Método consiste en:

1. Asociar a los extremos de cada Línea de la red los correspondientes coeficientes de reflexión y refracción.

2. Dibujar la red eléctrica a resolver, dando a cada elemento de la misma una longitud proporcional a su tiempo de tránsito de onda.

3. Discretizar el tiempo en intervalos coincidentes con el tiempo de tránsito del componente de menor tiempo de tránsito de todos los que formen parte de la red.

4. Trazar rayos descendentes en el Diagrama tiempo-distancia, los cuales se originarán en las proyecciones sobre éste de los puntos de discontinuidad que presente la red.

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5. Respetando los puntos 2 y 3, todos estos rayos tendrán la misma pendiente y un único sentido: en la dirección positiva del tiempo. (Estos rayos representarán los desplazamientos de las ondas electromagnéticas a través de la red y el tiempo).

6. Luego, comenzando desde el punto de nacimiento del primer rayo y desplazándose siempre en la dirección positiva del tiempo, al llegar a cada punto de discontinuidad se obtendrán las ondas reflejadas y refractadas allí generadas por la onda incidente, aplicando el coeficiente correspondiente. Se anotan en el diagrama tales valores.

7. El potencial que toma cada nudo en cada instante de tiempo se obtendrá superponiendo a su valor previo todas las variaciones de tensión que ocurran en ese mismo momento. La variación es la onda refractada. La notación tabular facilitará esta tarea, es decir la tensión en cada nudo y en cada instante de tiempo resulta de sumar al valor previo del mismo el de:

La onda que en él se refracta o, alternativamente, Sumarle los valores de las ondas incidente más la

reflejada.

9. A partir de la tabla del punto 7, se construye la gráfica de V k (t ) para el nudo k.

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El Diagrama de celosía de Bewley tiene las siguientes propiedades: -

Todas las ondas viajan cuesta abajo, porque el tiempo siempre aumenta.

La posición de cualquier onda en cualquier momento se puede deducir directamente a partir del diagrama.

El potencial total (Perfil de Voltaje) en cualquier instante de tiempo es la superposición de todas las ondas que han llegado a ese punto hasta ese instante de tiempo, desplazada en posición el uno del otro por intervalos iguales a la diferencia en su tiempo de llegada.

La historia de la onda se traza fácilmente. Es posible encontrar de dónde viene y simplemente por lo que las otras ondas fueron.

La atenuación está incluida, por lo que la onda de llegada en el extremo final de una línea se corresponde con el valor que entra multiplicado por el factor de atenuación de la línea.

Ejemplo #1: Diagrama de Lattice

Para demostrar las aplicaciones del diagrama de Lattice, se investigara que ocurre cuando en la Figura 1, el interruptor

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cierra y energiza una línea sin carga en serie con un cable sin carga y un transformador sin carga.

Cuando los interruptores se cierran en t = 0 seg, el voltaje que suministra el transformador está en su máximo.

Las siguientes características aplican:Línea de Transmisión: Impedancia característica, Zlinea=400Ω

Longitud de la línea, Llinea=3000m

Velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas, vlinea=300.000 km /s

Tiempo de viaje τ linea=10us

Cable: Impedancia característica, Zcable=40Ω

Longitud de la línea, Lcable=3000m

Velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas, vcable=100.000 km /s Tiempo de viaje τ cable=1u s

Fuente de Voltaje: v (t)=cos (ωt ) por unidad, frecuencia 50

Hz.

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Figura 1. Diagrama Unificar de un interruptor (CB) cerrando una conexión serie de una línea sin carga, un cable sin carga y un transformador de

distribución sin carga

Cuando el interruptor se cierra en t = 0 seg, la fuente de suministro posee un máximo valor de uno por unidad, y una onda de voltaje con una amplitud de 1 por unidad viaja a lo largo de la línea aérea. Una vez que al onda de voltaje alcanza la discontinuidad donde la línea está conectada al cable, la onda incidente se descompone e una onda reflejada con una

amplitud de r2=(Z2−Z0)(Z2+Z0)

=(40−400)(40+400)

=−0.818 por unidad y una onda

transmitida con amplitud de b2=2Z2

(Z2+Z0)= 2∗40

(40+400)=0.182 por

unidad. La onda transmitida se propaga a lo largo del cable hasta el transformador sin carga. El transformador sin carga posee una muy alta impedancia característica comparada con el cable y puede entonces se tratado como una terminación en circuito abierto; el voltaje es duplicado debido a que la onda reflejada se suma con la onda de voltaje incidente.

La onda viajera de voltaje que viene desde el transformador sin carga regresa al cable y esta se encuentra nuevamente con la discontinuidad donde la línea y el cable están conectados y la onda reflejada se regresa de nuevo al transformador, y una onda transmitida viaja hacia la fuente.

40

Este proceso se repite sucesivamente. Debido a que el fenómeno de la onda es de la escala de tiempo de los microsegundos, la fuente de voltaje puede ser asumida que permanece constante dotante el proceso de reflexión y refracción de la ondas electromagnéticas. Si se construye un diagrama en donde se coloque el tiempo de viaje a lo largo del eje vertical y la distancia a lo largo del eje horizontal se está construyendo el denominado DIAGRAMA DE LATTICE (ver Figura 2).

En este diagrama de Lattice, se puede observar cómo se efectúa las reflexiones y se descomponen las ondas viajeras. Cuando se comienza con una onda incidente de 1.0 p.u, las constantes de reflexión y refracción en las discontinuidades de las ondas de voltaje son también colocados en el eje horizontal, para determinar la amplitud de la onda de voltaje en un cierto lugar a lo largo de la línea y el cable, siendo la superposición de las amplitudes de las ondas que han arribado en ese instante.

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Figura 2. Diagrama de Lattice mostrando las reflexiones y refracciones de las ondas viajeras en el circuito de la Figura 1. La línea de transmisión es

terminada en un cable subterráneo en X 0

La amplitud de los voltajes en el transformador de suministro Ustart, el lugar donde la línea y el cable se encuentra conectados Udis, y en los terminales del transformador sin

42

carga Uend, puede ser construido con la ayuda del diagrama de Lattice de la Figura 2, y las curvas de voltaje son mostradas en la Figura 3.

Se puede ver desde la Figura 3, que los voltajes son discontinuos en el tiempo. En la forma de la onda de voltaje en el extremo de recepción, se reconoce la respuesta de una red de parámetros concentrados RC. Esta es lógica debido a

que la capacitancia distribuida en el cable es cargada y esto toma cierto tiempo. Cuando el interruptor cierra su valor de régimen estacionario gradualmente entonces el cable de cargado.

Figura 3. Forma del Voltaje Transitorio como una suma de las ondas viajeras de reflexión

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Ejemplo #2: Diagrama de Lattice

1.-Considérese un sistema formado por una línea aérea (A-B) de 60 km y un cable subterráneo (B-C) de 20 km, ambos

ideales (efecto resistivo nulo). Estos están conectados uno a continuación del otro y con el extremo de carga en circuito abierto, tal como se muestra en la figura:

Ocurre una descarga (Rayo) de 200 kA en medio de la línea AB; esta descarga tiene una duración de 300 μseg.

Mediante Bergeron (o Reflexiones de Bewley), se requiere bosquejar durante 1000μseg, la evolución de la onda de tensión que llega a la subestación B (por el lado de la línea aérea).

Se puede suponer que la velocidad de propagación de la onda en la línea de transmisión aérea es aproximadamente igual a la velocidad de la luz y que en el cable subterráneo es aproximadamente 2/3 la velocidad de la luz.

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5.6 BIBLIOGRAFIA

[1] Grainger, John J. - Stevenson Jr, William D. (1996). Análisis de sistemas de potencia.

[2] Luis Siegert. Líneas de Transmisión y Alta Tensión.

[3] Lou van der Sluis. Transients in Power Systems.

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