AXIOMA DEL SUPREMO.pdf

A. Gutiérrez Borda

Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional

“San Luis Gonzaga” de Ica

Axioma del Supremo

2 Alberto Gutierrez B. Departamento de Matemáticas - UNSLG

1. Introducción

Los números reales surgen de los huecos que dejan los racionales, y se pueden

definir de varias maneras. Se atribuye a los pitagóricos la expresión “Todo es

número”. La escuela Pitagórica fue la primera escuela matemática griega. Antes

de ellos se había acumulado una buena cantidad de conocimiento matemático

debido a culturas tales como la egipcia y la babilónica; conocimientos con el que

entra en contactos los griegos por medio de los viajes de Tales de Mileto y, luego,

del propio Pitágoras. Este contacto significa para la matemática de la época un

enorme salto conceptual, debido a que de una matemática dedicada en lo esencial

a la solución de problemas de tipo práctico, se traslada a una matemática

interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, esto es una

matemática teórica.

A partir de Tales y Pitágoras, aparece un texto de importancia capital para la

historia de la matemática: los Elementos de Euclides, esfuerzo totalitario de

recolección del saber matemático acumulado hasta la época; dotado de un enorme

sentido pedagógico que llevó desde su creación a separarlo en trece volúmenes.

Pitágoras viene a ser el predecesor original de Leopold Kronecker, el matemático

que afirmó que “Dios creo los enteros, lo demás lo hizo el hombre”, porque

cuando un pitagórico hablaba de número lo que tenía en mente específicamente

era un numero racional.

Esto se puede ver en “Los Elementos” de Euclides, definiciones como, “una

unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada

una”, otra como “un número es una pluralidad compuesta de unidades”.

Definiciones lo suficientemente restrictivas para separar el concepto de unidad del

concepto mismo de número: una unidad no es un número, es el ente que

constituye a los números.

La visión pitagórica del número como la sustancia constitutiva del universo,

condujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema: la

absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir la existencia de una

Axioma del Supremo


medida común para dos segmentos distintos cualesquiera. También se asigna a los

pitagóricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre, lo cual, entre otras

cosas, conduce a una importante proporción: el cuadrado construido sobre la

diagonal de un cuadrado es el cuadrado original como 2 es a 1.

Ahora bien, esta proporción trae como consecuencia inmediata una

interrogante: ¿Cuál es la proporción que establece al comparar la diagonal del

cuadrado y el lado del mismo?

La respuesta demolió la convicción pitagórica de la conmensurabilidad de los

segmentos: ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible

conseguir una medida común para ellos. De esta forma surge la primera noción de

irracionalidad y desde entonces el concepto de número ha sufrido una

considerable evolución histórica, estableciéndose distintos tipos de números que

conforme son más evolucionados permiten resolver distintos tipos de problemas.

Por ejemplo, algunos problemas que se fueron subsanando en el camino:

i) El problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos

axiomas de Peano (números naturales ).

ii) El problema de la resta (números enteros Z). En el conjunto de los

números naturales la ecuación no siempre tiene solución (en

particular solo cuando ). Extendiendo de esta forma el conjunto de

los números naturales de manera que se puedan representar cantidades

negativas.

iii) El problema de la división. En el conjunto de los números enteros la

ecuación solo tiene solución cuando m es múltiplo de n. se

introduce así un nuevo concepto, el número fraccionario.

No todos los puntos de la recta representan números racionales; existen

segmentos de medidas de un conjunto más amplio. Se atribuye a Pitágoras el

notable descubrimiento de la inconmensurable de la diagonal del cuadrado de lado

Axioma del Supremo


uno. Si en Geometría no se consideran otros números que los naturales y los

racionales, pronto se llegarían a varias contradicciones.

Por otra parte, inmediatamente se ve que las ecuaciones del tipo

carecen de raíces fraccionarias, pues si fuese

resultaría que es

absurdo; otro problema imposible en números racionales es por tanto, el de

logaritmación.

Existen, además, multitud de tipos de ecuaciones como, por ejemplo

, que no tiene solución en el campo racional. En resumen, la ampliación de

los números racionales tiene su origen, al igual que la ampliación de los números

enteros, en una necesidad teórica de solucionar problemas de ese tipo.

Con esto surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números a un

conjunto numérico mayor con ayuda del cual se pueda expresar la longitud de

cualquier segmento del eje numérico. El concepto de número real figura entre los

conceptos matemáticos fundamentales, para la deducción de las propiedades

principales, se usa mucho el famoso axioma del supremo.

Una propiedad de los números racionales e irracionales es que entre dos

números racionales existen infinitos números irracionales y entre dos números

irracionales existen infinitos números racionales, es decir, y son densos en .

Los conjuntos , , , y , verifican,

.

En estas notas se hará ver la diferencia en y . Hay tres resultados importantes,

el principio arquimediano, la existencia del máximo entero y la propiedad de la

densidad de los racionales e irracionales sobre los reales, como consecuencia

natural del axioma del supremo. El conjunto de los números racionales cumple

con todos los axiomas de un cuerpo ordenado, entonces surge la pregunta; ¿Cuál

Axioma del Supremo


es la diferencia entre los números racionales y los números reales? La respuesta,

lo encontrarás en estos apuntes.

2. Cotas Superiores e Inferiores de un Conjunto

Definición 1. Sea , ,

i) Se dice que S es acotado superiormente, si existe tal que

, .

El número m se llama cota superior de S.

ii) Se dice que S es acotado inferiormente, si existe tal que

, .

El número n se llama cota inferior de S.

iii) Se dice que S es acotado, si existe tal que

| | , .

Es decir, un conjunto es acotado, si es acotado superiormente e inferiormente.

Ejemplo 1. Sea el conjunto -.

El conjunto A es acotado superiormente, una cota superior es 6, y el conjunto de

las cotas superiores es , . El conjunto no es acotado inferiormente, pues

no hay número menor al infinito.

No hay cota superior , ya que siempre existe tal que ( ) y

. El conjunto A no es acotado inferiormente pues dado un número real

, una cota inferior sería n sería n – 1, pero ( ) .

Ejemplo 2. Sea el conjunto , -.

Observación:

Resulta evidente que si m es una cota superior de un conjunto S, también lo

será cualquier otro número mayor que m.

Si n es una cota inferior de un conjunto S, también lo será cualquier otro

número menor que n.

Axioma del Supremo


Este conjunto es acotado superiormente, una cota superior es 4, y el conjunto de

las cotas superiores es , ,. El conjunto B es acotado inferiormente, y una cota

inferior es -2 y el conjunto de las cotas inferiores es - -. Por lo tanto el

conjunto B es acotado.

Ejemplo 3. Sea el conjunto - ,.

Una cota inferior de C es -1, y como se observa no tiene necesariamente que estar

en C.

Ejemplo 4. El conjunto .

Es acotado inferiormente, no es acotado superiormente.

Ejemplo 5. Sea el conjunto {

}.

El conjunto D es acotado. Pues tiene como cota inferior a 0 y como cota superior a

.

Ejemplo 6. Sea el conjunto * ( ) +.

El conjunto E es acotado. Tiene como cota superior digamos 4 y cota inferior

digamos -2.

Ejemplo 7. Sea el conjunto - ,.

El conjunto F no es acotado; tiene sólo cota superior, pero no tiene cota inferior.

3. Máximo y Mínimos

Definición 2. (Máximo y mínimo). Sea ,

i) Diremos que es el máximo del conjunto S, ( ), si se cumple

que m es cota superior de S y además .

Es decir,

ii) Diremos que es un mínimo del conjunto S, ( ), si se cumple

que n es cota inferior de S y además .

Axioma del Supremo


Es decir,

Ejemplo 8. Sea el conjunto .

El conjunto de los números reales no tiene máximo ni mínimo; además, no es

acotado.

Ejemplo 9. Sea el conjunto * +.

El conjunto D no tiene máximo ni mínimo. Sin embargo el conjunto D es acotado.

Ejemplo 10. Sea el conjunto ⟨ ⟩.

El conjunto no tiene máximo, ya que el conjunto de todas las cotas superiores

es, , , , y vemos que , , ⟨ ⟩ .

Ejemplo 11. Sea el conjunto , -.

El conjunto N tiene como mínimo a -5 y como máximo a 4, que también se

escribe:

( ) ,

( ) .

Observación:

1. El máximo de un conjunto, si existe es único.

2. El mínimo de un conjunto, si existe es único.

Observación:

Todo subconjunto no vacío de los números naturales tiene mínimo (esta

propiedad se conoce como “principio de una buena ordenación de los

números naturales” y es equivalente al “principio de inducción”

Observación:

La definición de máximo y mínimo nos dicen que el máximo de un conjunto

es el mayor elemento del conjunto y que el mínimo de un conjunto es el

menor elemento del conjunto.

Axioma del Supremo


4. Supremo e Ínfimo de un Conjunto

Sea ,

i) Si el conjunto S está acotado superiormente, llamamos supremo del conjunto

S, ( ), al mínimo (si existe) del conjunto de las cotas superiores de S.

Es decir,

es llamado supremo de S, ( ), si:

a) p es cota superior de S, es decir

,

b) Si y , entonces existe

tal que .

ii) Si el conjunto S está acotado inferiormente, llamamos ínfimo del conjunto S,

( ), al máximo (si existe) del conjunto de las cotas inferiores de S.

Es decir,

es llamado ínfimo de S, ( ), si:

c) q es cota inferior de S, es decir

d) Si y , entonces existe

tal que .

Ejemplo 12. Sean los conjuntos,

- - , {

}, * +

⟨ ⟩ , * +

Se verifican:

a) Inf(M) = 0, ( ) ( ).

b) ( ) , ( ) ( ).

c) W es acotado, pues tiene cota superior e inferior, W no tiene máximo.

Observación:

El supremo de un conjunto es la menor cota superior y el ínfimo es la mayor

cota inferior. Si el supremo o el ínfimo de un conjunto S pertenecen al

conjunto, estos son llamados máximo de S y mínimo de S, respectivamente.

Axioma del Supremo


Si , siempre existirá tal que .

En otras palabras, no existe tal que .

De igual forma W no tiene mínimo. Además,

( ) ( )

d) ( ) , pero A no tiene supremo.

e) ( ) ( ), pero B no tiene supremo.

f) ( ) ( ) .

5. Característica de intervalos

Vamos a resumir todos los conceptos anteriores para el caso de intervalos. Sean

con , ver tabla1.

Intervalos mínimo máximo Ínfimo supremo

, - a b A b

⟨ ⟩ No existe No existe A b

, a No existe A b

- No existe b A b

- No existe b No existe b

no existe No existe No existe b

No existe No existe A No existe

, a No existe A No existe

Tabla 1. Características de intervalos

5. Propiedades del Supremo

Aclaramos que, si el mínimo q de un conjunto S existe, entonces el ínfimo a

de S también existe y son iguales. Es decir

( ) ( ),

ocurre porque, el mínimo de q es una cota inferior de S, y por la definición de

ínfimo .

Por otro lado, como q pertenece al conjunto, toda cota inferior debe ser menor

que él, en particular el ínfimo a, es decir . Por lo tanto a = q.

Axioma del Supremo


Lo mismo se tiene para máximos y supremos.

Proposición 1. Sean C y D dos conjuntos. Definimos,

i) * +

ii) * +

Entonces

a) ( ) ( ) ( )

b) ( ) ( ) ( ), para , .

Demostración. Para la parte a).

Como un elemento de C + D se escribe como x + y, lo cual es menor que

( ) ( ), pues ( ) y ( ), por lo que se tiene que

( ) ( ) es una cota superior del conjunto C + D. Entonces el supremo

de C + D debe ser menor que ( ) ( ). Por lo tanto se tiene la

desigualdad

( ) ( ) ( ). (1)

Por otro lado, se sabe que para todo , se tiene

( ) ( ), es decir se tiene ( ) , lo

que equivale a decir para todo se tiene que el número real ( ) ,

es cota superior de C. Entonces, se tiene que ( ) ( ) ,

Pero como es para todo , entonces se tiene ( ) ( ),

luego, ( ) ( ) ( ). O bien

( ) ( ) ( ) (2)

Por tanto de (1) y (2) se cumpla la igualdad.

Proposición 2. Si es un subconjunto no vacío de , se cumple que

( ) { ) )

.

Demostración. Si ( ), basta probar ii). En efecto:

Dado cualquiera, no es cota superior de S, es decir,

( ),

Axioma del Supremo


O bien

, tal que .

Por lo tanto, para todo existe tal que .

Recíprocamente, si m es un número real tal que y suponemos que

entonces tomando , por la hipótesis ii) concluimos que

tal que ( ) , lo cual significa que (absurdo).

Por lo tanto .

Proposición 3. Si , se cumple,

( ) { ) )

La demostración es similar a la proposición 2.

Ejemplo 16. Sea {

}. Muestre que ( )

.

En efecto. Para , entonces . Luego

, y así

es una

cota superior del conjunto S. Por otro lado, dado , existe

talque

. Por lo tanto ( )

. Además ( ) .

6. Axioma del Supremo

Se ha visto hay conjuntos acotados superiormente que no tiene máximo. En

estos casos como ejemplo para el conjunto , el candidato a ser máximo

es 2, pero que no pertenece al conjunto.

Sin embargo nuestra intuición nos dice que todo conjunto acotado

superiormente posee supremo. De hecho, la única forma que un conjunto no posea

supremo parece ser, que no sea acotado. Sin embargo esta intuición no se puede

deducir de las propiedades de los números reales, por lo tanto se tiene que agregar

como axioma.

Axioma del Supremo. Sea , ,

Axioma del Supremo


S acotado superiormente, S tiene supremo.

El axioma del supremo, junto con los axiomas de la adición, la multiplicación y

orden, permite caracterizar de forma única el conjunto de los números reales. El

axioma del supremo también se conoce como axioma de completitud de

continuidad, porque garantiza que los números reales “llenan” la recta. Además

nos permite distinguir entre y , porque no satisface el axioma del supremo.

Ejemplo 13. Sea el conjunto * +

Vemos que el conjunto F está acotado superiormente en , pero no tiene

supremo puesto que √ no es racional.

Se puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado superiormente posee

ínfimo. En este caso, basta verificar que ( ) ( ).

Teorema 1. con . Si S es acotado inferiormente, entonces posee

ínfimo.

Demostración. Sea, * + , ahora si p es cota inferior de S,

entonces de donde , es decir , luego, es

cota superior de F. Por el axioma del supremo, F tiene supremo, es decir, existe

tal que

( ) y ( )

7. Aplicaciones del Axioma de Supremo

Tres resultados trascendentales que son consecuencia inmediata de este

axioma. Estos son el principio arquimediano, la existencia del máximo entero y la

Observación:

No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo. En efecto el conjunto

no tiene máximo, peri si supremo.

El axioma del supremo caracteriza a IR como un cuerpo ordenado y completo.

Axioma del Supremo


densidad de los números racionales. Para estudiar algunas aplicaciones del

supremo, vamos definir la parte entera de un número real positivo.

7.1. Existencia del Máximo Entero

Definición 3. (Parte entera). La parte entera de un número real , se define

como el supremo del conjunto * +. Lo cual está bien definido,

pues el conjunto S es acotado superiormente por x, y además . Por lo tanto,

por el axioma del supremo, el conjunto S posee supremo. Este supremo se denota

por ⟦ ⟧ y se llama el cajón inferior de x o parte entera de x.

Ejemplo 14. La parte entera del número real 2,5 es 2. Es decir ⟦ ⟧ .

Ahora veamos que ⟦ ⟧ es un número natural. Como ⟦ ⟧ ( ), el número

real ⟦ ⟧

, no puede una cota superior de S. Por lo tanto, debe existir un

elemento en S talque, ⟦ ⟧

.

Por otra parte, como ⟦ ⟧ es una cota superior de S se tiene que ⟦ ⟧.

Veamos que es una cota superior de S. Esto lo tendremos si todo natural que

sea mayor estricto que , no pertenece a S.

Si , se deduce que . Pero sabemos que, ⟦ ⟧

, con

esto tenemos, ⟦ ⟧

⟦ ⟧. Por lo tanto, es el mayor que el supremo de S

y entonces . Con esto se concluye que es una cota superior de S. como

, se afirma que es un máximo entero y por tanto es igual a ⟦ ⟧.

Consecuencia importante de este último es que

⟦ ⟧ ⟦ ⟧ .

Otra forma de utilizar el axioma del supremo es para deducir propiedades

acerca de .

Teorema 2. Los números naturales no son acotadas superiormente.

Axioma del Supremo


Demostración. Se probará por contradicción. Supongamos que es acotada

superiormente, esto implicaría por el axioma del supremo que posee supremo,

el cual llamaremos q. Para este supremo se tendría que,

⟦ ⟧ ⟦ ⟧ , donde ⟦ ⟧ .

Esto es una contradicción con q que es cota superior de .

7.2. Principio Arquimediano

Teorema 3. (Propiedad Arquimediana). El conjunto es arquimediano. Es

decir, para todo número real , existe un número natural , tal que

.

Demostración. La prueba lo haremos por contradicción.

Es decir, supongamos que no cumple tal propiedad, entonces existiría un real

positivo x tal que el conjunto * + sería acotado por 1, siendo no vacío,

tendría supremo q. Pero entonces

sería una cota superior para los naturales, lo

cual contradice el teorema anterior.

Ejemplo 15. Sea el conjunto {

}, {

} .

Si suponemos que esto no es cierto, es decir que existe tal que

. Por la propiedad arquimediana, existe tal que , lo cual

equivale a

. Que es una contradicción.

7.3. Densidad de los racionales

Teorema 4. Los racionales son densos en los reales.

Observación:

El último teorema puede interpretarse como: sumar una cantidad suficientemente

grande de veces x consigo mismo da origen a un real que es mayor que 1, sin

importar que tan pequeño sea x. Y además el valor de 1 puede cambiarse por

cualquier real positivo.

Axioma del Supremo


Esto significa que dados dos números reales a y b con , entonces existe un

número racional r tal que .

Demostración. i) Si a y b son racionales se puede escoger

.

ii) Si algunos de ellos no es racional ocurren dos situaciones:

1) Si con b no racional, entonces se puede escoger ⟦ ⟧. Pues

sabemos que ⟦ ⟧ . Si b es racional, entonces

podemos escoger ⟦ ⟧ , pues en este caso tenemos ⟦ ⟧

.

2) Si con b no racional, podemos definir

, con ⟦

⟧

y ⟦ ⟧ Se demuestra que r satisface la propiedad estableciendo las

siguientes relaciones: ( se obtiene de

);

, entonces (b no es racional).

Otra aplicación es ocupar el axioma del supremo como constructor de

números. Utilizamos los resultados anteriores para definir la raíz cuadrada de un

número.

Problema 1. (Raíz cuadrada de un número). Obtener un número tal que

.

Sea el conjunto * +. Ya vimos que A es acotado superiormente

por

, además A es no vacío pues . Por el axioma del supremo tenemos que

A posee supremo.

Demostraremos que no puede ocurrir que , ni tampoco que

Parte 1: No puede ocurrir que :

Probemos que si , entonces existe tal que

( )

En efecto

( )

( )

Axioma del Supremo


Si se escoge , tal que

( )

Se habrá probado la propiedad

( ).

Luego ( ) , lo cual implica que ( ) . Lo cual contradice

que p es cota superior, ya que . Por tanto no puede ser que

.

Parte 2. No puede ocurrir que .

Se prueba que existe una cota superior de A menor que p, lo cual nos

daría una contradicción pues p no sería la menor cota superior de A. esto

se puede hacer realizando un razonamiento similar al anterior llegando a

que ( ) y ( ) , lo cual implica que ( )es una

cota superior de A menor que p. Finamente podemos concluir que .

Por lo tanto podemos definir la raíz cuadrada de 2, como

√ * +.

Ahora veremos que √ ( ), es decir que √ .

Problema 2. √

Demostración. Supongamos que √ , entonces se tendría que √

con

y la fracción es irreductible (a y b no tienen factores enteros comunes).

Entonces necesariamente a o b es impar, si no tendrían 2 como factor común.

Luego √

equivales a .

/

(por la definición de raíz cuadrada). Entonces

, lo cual implica que es par, luego a es par.

En efecto si a fuese impar , entonces , el cual es

impar, lo cual no puede ser. Entonces si a es par, lo podemos escribir , con

. Luego , entonces y así es par, lo cual no

puede ser. Por tanto √ .

Axioma del Supremo


Lo anterior permite definir y generalizar la raíz cuadrada de un número real

positivo y también la raíz n-ésima de un número real positivo.

Definición 4. (Extensiones). La raíz cuadrada de un número real positivo a, es

√ * +.

Definición 5. La raíz n-ésima de número real positivo es

√ * +

8. Números Irracionales

Las siguientes propiedades quedan propuestas como ejercicios.

Proposición 2

Si y b entonces .

Proposición 3

Si , , entonces .

Proposición 4.

entonces .

Proposición 5

.

Demostración. Se sabe por el teorema ( ) que

, .

Con esto definimos,

√

( ),

que por la propiedad anterior pertenece a I (conjunto de los racionales).

Observación:

El axioma del supremo hace la diferencia entre y .

Observación:

𝐼 es el conjunto de los irracionales

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