aXIOMATICA DE kOLMOGOROV

5/12/2018 aXIOMATICA DE kOLMOGOROV

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LA AX IO M ATICA DE KO LM OG O RO V:FUNDAM ENTO DE LA TEO R iAD E LA PR OB AB IL ID ADN ativ idad Jim enez S aavedra

La palabra probabilidad afecta hoy en dia a un amplio abanico de situacio-nes en nuestra vida, 10 cual se desprende del abundante uso que se hace deesta palabra en todos los medios de comunicacion, en nuestras casas y entodo el mundo cientifico. Y si bien tenemos una idea de 10 que es la probabili-dad,muchas veces resulta dificil definirla de una manera que se aplique a cadasituacion donde usamos el termino y en la que estemos de acuerdo la mayoriade las personas.

La definicion que Kolmogorov establece en 1933 resuelve el problemadesde un punto de vista formal y practice yes, sin duda alguna, 10 que ha con-figurado el gran desarrollo de la teoria de la probabilidad a partir de esemomento. EI problemaque nos concierne escomo hacer llegar estebello concepto, alta-mente abstracto en suexpresion formal, apersonas de otras dis-ciplinas que no tienenuna base matematicapara entenderlo.

Para ella bastarecordar que much osmodelos matematicosparten de un simplehecho de la vida quedeseamos explicar. Ymuchas veces sucedeque se desarrolla todauna teoria a partir deese modelo abstracto,y luego resulta aplica-ble a muchas y muyvariadas situaciones.Este es el caso de laprobabilidad. Quizas,en algun momento,tambien ha sucedido

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La aproximacion entre la teo ria y la practtca asegura los resultados mas favor ables,y no solo la practica se beneficia con esto; las ciencias se desarrollan bajo el influ-jo de la practica que descubre nuevos objetos a investigar 0 facetas desconocidasde los objetos ya conocidos ... si la teoria gana mucho aplicando un metodo viejo 0sus modificaciones, gana mas creando metodos nuevos, y en este caso la cienciacuenta con un guia certero en su quehacer.

que nos hemos quedado atrapados en los "modelos", y hemos perdido la belle-za subyacente tras ellos y, posiblemente en muchos casos, hemos perdido lacapacidad de comunicar la idea a personas que no hablan nuestro lenguaje,pero que, con toda certeza, pueden beneficiarse de su comprension y de suutilizacion. Este tam bien puede ser el caso de la probabilidad. Como P.Chebyshev ha dicho:

Con el objeto de clarificar la definicion de probabilidad, vamos a relacio-narla con las nociones intuitivas e interpretaciones fundamentales que consti-tuyen la base para las aplicaciones.

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Concepto intuitivo de probabilidadEn el pensamiento popular abundan nociones imprecisas, pero intuitivas,

de probabilidad. En este senti do, la palabra probabilidad indica una aprecia-cion de la facilidad que se atribuye a que ocurra cierto acontecimiento alea-torio (suceso aleatorio), partiendo de una tendencia (mas 0 menos incons-ciente) a pensar que un os hechos son mas verosimiles que otros, y de undeseo de medir esa verosimilitud. Incluso en este tipo de pensamiento, la pro-babilidad se considera como un mimero p que se Ie asigna a un suceso A, quepuede ocurrir como resultado de algun experimento.

Esta idea de que la probabilidad del suceso aleatorio A admite, bajo cier-tas condiciones, una estimacion cuantitativa mediante un mimero, fue desa-rrollada en el siglo XVII,en las obras de P. Fermat, B . Ch. Huygens y, en espe-cial, de J. Bernoulli. Y es precisamente este deseo de querer medir de unaforma mas objetiva la probabilidad, 10 que lIevaria a Kolmogorov a establecersu axiomatlca varios siglos despues,

Concepto frecuentista de probabilidadLa evidencia experimental muestra como, en experimentos que se pueden

repetir bajo identicas condiciones, la frecuencia relativa de un suceso concre-to se aproxima a un valor, ya este valor se Ie denomina la probabilidad de queocurra ese determinado suceso. Este concepto frecuentista esta apoyado porla Ley empiric a del azar (teorema de Bernoulli), publicada en 1713 en su obrapostuma "Ars Conjectandi":

Cuando el mimero de realizaciones de un experimento aleatorio' crece mucho, la fre-cuencia relativa del suceso asociado se va acercando cada vez mas y mas hacia uncierto valor.

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Esta definici6n no pudo darse por valida durante mucho tiempo porquepresentaba varios inconvenientes:

1. No da ningun indicio del grado de aproximaci6n entre la frecuencia rela-tiva y la probabilidad.

2. Tampoco da indicios acerca del numero de experimentos que se debenrealizar para conseguir una aproximaci6n previamente establecida.3. Su validez se fundamenta unicarnente en la experiencia.Sin embargo, es interesante observar tres de las propiedades que verifican

la frecuencia relativa jr(A) de un suceso A:1. La frecuencia relativa de un suceso es un mimero comprendido entre

cero y uno; esto es: 0 ~ jr(A) ~ I, para todo suceso A.2. La frecuencia relativa del suceso seguro Svale uno; esto es: jr(S) = I.3. SiA y B son dos sucesos incompatibles, la frecuencia relativa de su uni6n

es la suma de sus frecuencias relativas; es decir: si A y B son disjuntos, enton-ces jr(A uB) = jr(A) + jr(B).

Concepto clasico de probabilidadLaplace, a finales del siglo XVIII, introdujo la definici6n de probabilidad de

un suceso A como "el cociente entre el mimero de casos favorables a que ocu-rra dicho suceso y el numero de casos posibles, bajo el supuesto de que todoslos casos posibles sean igualmente probables",

Desde un punto de vista formal, no obstante, esta definici6n es incorrecta,pues introduce el termlno definido en la definici6n. Y,atendiendo a un puntode vista practice, s610 es aplicable a los casos de "equiprobabllidad'', dejandoal margen much os casos de interes. Ademas, si el numero de resultados posi-bles fuera infinito, esta definici6n seria inadecuada.

Sin embargo, en un gran numero de aplicaciones es imposible determinarlas probabilidades de los sucesos via la definici6n frecuentista, repitiendo elexperimento un numero "suflclente" de veces. En tales casos, la unica alterna-tiva que nos queda es usar la definici6n clasica como una "hip6tesis de traba-jo", y aceptar esta hip6tesis si las consecuencias observables valid an la expe-riencia, y rechazarla en otro caso.

Por tanto, esta definici6n no permite la construcci6n y desarrollo de unateo ria maternatlca de la probabilidad, 10 que justifica el rechazo que tuvodurante mucho tiempo, y la necesidad de encontrar una definici6n satisfacto-ria.

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Concepto axlomatlco de probabilidadLa definici6n axiomatlca de Kolmogorov surge a partir de la acumulaci6n

de diferentes hechos y del desarrollo de otras disciplinas cientificas y mate-

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maticas. Con esto, el autor coloca en su lugar natural los conceptos basicos dela teoria de la probabilidad, conceptos que hasta este momenta se considera-ron bastante peculiares. No obstante, es importante sefialar que esta cons-truccion axiornatica arranca de las propiedades fundamentales de la probabi-lidad, que surgen del analisis de las definiciones frecuentista y clasica ante-riormente descritas, y que, ademas, estas definiciones quedan total mente jus-tificadas a partir de estos axiomas (vease Ash, Robert B.)

El sistema de axiomas establecido por Kolmogorov, cuando tratamos conprobabilidades de solo un mimero fin ito de sucesos, es el siguiente:

Sea Q una colecci6n de elementos, llamados sucesos elementales, y sea Fun con-junto de subconjuntos de Q; a los elementos del conjunto F se les llama "sucesosaleatorios". F es un algebra de conjuntos.I. F contiene el conjunto 0.II. A cada conjunto A de F se Ie asigna un numero real no negativo PiA). Este nurne-ro PiA) se llama "probabilidad del suceso A".III.P(Q) = JIV.SiA YB son disjuntos, entonces PtA + B) = PtA) + PCB).Un sistema de conjuntos F , con una asignaci6n definida de mimeros peA) que satis-faga los axiomas I - IV se llama algebra de probabilidad.

Nota de Kolmogorov:Un sistema de conjuntos se llama algebra si la suma, producto, y la diferencia de dosconjuntos del sistema tambien pertenece al mismo sistema. Por A+B se entiende elconjunto compuesto por los elementos de Q contenidos en A 0B, 0 bien en A y Bstrnultaneamente: por AB, el conjunto de los elementos de Q pertenecientes aA y Bal mismo tiempo; y, finalmente, por A * (B*) se entiende el conjunto de los elemen-tos de Q no contenidos en A (0 en B).

[Literalmente de la traduccion al Ingles (1950) del trabajo original, en aleman,de Kolmogorov. Aqui tambien se puede consultar el caso en que disponemosde un numero infinito de sucesos. Vease bibliografiaJ.

En muchos experimentos aleatorios pueden surgir complicaciones tecni-cas cuando queremos asignar probabilidades a los diferentes sucesos, dadoque, por ejernplo, puede no ser siempre posible considerar todos los subcon-juntos de ncomo sucesos, pues podria pasar que descartemos 0 cometamoserrores en medir alguna informacion que sea el resultado de alguno de losexperimentos realizados, (j) E n, de modo que para un subconjunto A de n,pueda no ser posible dar una respuesta s t 0 NO a la pregunta Lesta (j) en A?

De aqui surge la importancia y la necesidad, como se manifiesta en el axio-rna I de Kolmogorov, de considerar una cIase particular F de subconjuntos de nque, por razones de consistencia matematica, requeriremos que sea un algebra(a-algebra, en el caso infinito). Asi, por ejemplo, si la pregunta Locurrio An? tieneuna respuesta definida, para n = 1,2,3, ... k, tambien tendran respuesta definidalas preguntas: Locurrio al menos uno de los An? y Locurrieron todos los An?

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Ahora, aplicando los axiomas de Kolmogorov, sf estariamos en condicionesde asignar probabilidades a los elementos de F. Si, A E Fla probabilidad peA)deberfa reflejar la frecuencia relativa de del suceso A en un gran mimero derepeticiones independientes del experimento. Por tanto, PtA) deberia ser unnumero entre 0 y 1, y P(Q) deberia ser 1.

Consecuentemente, definimos la probabilidad, con nuestra notacion actualy para el caso en que Q sea finito, como una funcion P: F -7 R que asigna unnumero peA) a cada conjunto A del algebra F , y que satisface las siguientescondiciones (observese la total analogia entre estos tres axiomas y las pro-piedades de las frecuencias relativas):

1. peA) ~ 0, \fA E F2. P (Q ) = 1.3. Si AI,"" An son conjuntos disjuntos de F, entonces:peAl u...uAn) = P (AI) + ... +P (An)'

Consideraciones finalesLa dificultad basica con las definiciones frecuentista y cldsica es que se

encaminan a tratar de probar matematicamente que, por ejemplo, la probabi-lidad de sacar un "oro" de una baraja espanola de 40 cartas perfectamentebarajadas es i. Y esto no se puede hacer. Todo 10 que podemos decir es que,si cogemos una carta de manera aleatoria y luego la reemplazamos, y repeti-mos el proceso una y otra vez, la relacion entre el numero de oros que se obtie- 37ne y el ruirnero total de extracciones estara proxima a 1 , de acuerdo a nues-tra intulcion y nuestra experiencia fisica. Por tanto, deberiamos asignar unaprobabilidad de tal suceso de obtener un "oro". De esta manera, las conse-cuencias estarlan de acuerdo con nuestra experiencia. Y si consideramos queexiste alguna razon misteriosa por la que el "Rey de copas" sale mas veces quecualquier otra carta, entonces podriamos incorporar este factor asignandouna mayor probabilidad al "Rey de copas", Y asl, el desarrollo matematlco dela teorla no se veria afectado, aunque las conclusiones que obtengamos pue-dan discordar con la experiencia.

Nunca podemos usar realmente las matematicas para probar un hechoespeciftcamente flsico. Por ejemplo, no podemos probar matematicamenteque existe una cantidad fisica llamada "velocidad". Lo que podemos hacer espostular una entidad matematica, que podemos llamar "velocidad", que satis-faga una cierta ecuacion diferencial; es decir, podemos construir una colec-cion de resultados matematlcos que, interpretados de una manera apropiada,dan una descrlpcion razonable de un cierto fenorneno fislco. Igualmente, enteoria de la probabilidad nos podemos encontrar con situaciones que nossugieren ciertos resultados. La intulclon y experiencia nos sirven para asignarprobabilidades a los sucesos. Nuestra esperanza es desarrollar resultadosmatematlcos que, cuando son interpretados y relacionados con la experienciafisica, nos ayudaran a hacer precis as ideas como "la relacion entre el mimero

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de oros que se obtiene y el numero total de extraccionesj en un muy granmimero de extracciones independientes, estara proxima a 4".Consecuentemente, la definicion axiomatica de Kolmogorov no descarta

las definiciones frecuentista y clasica, sino mas bien las valida y les confiereuna forma mas precisa.BihliografiaAsh, Robert B.: Basic Probability Theory. Wiley, 1970.Gnedenko, B.: Teoria de las probabilidades. Euro Omega-Rubifios, 1995.Kolmogorov, A. N.: Foundations of the Theory of Probability. Chelsea Publishing Company,1950.

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