AYANA (Autoguardado)

1. Se pide a seis economistas que trabajan para la administración del estado que pronostiquen el índice del año próximo. A ocho economistas de la administración dan índices del 4.2, 5.1, 3.9, 4.7, 4.9, 5.8%. Los ocho economistas del sector privado pronostican índices del 5.7, 6.1, 5.2, 4.9, 4.6, 4.5, 5.2 y 5.5%. ¿Cuál es su estimación de la diferencia de pronósticos medios de los grupos de economistas? Analizar con un nivel de significancia del 10% y suponer varianzas iguales.

PlanteamientoHo: μ1= μ2

Ha: μ1≠μ2

Prueba T e IC de dos muestras: Administración, Sec. Privado

T de dos muestras para Administración vs. Sec. Privado

Errorestándar

de la N Media Desv.Est media

Administración 6 4.767 0.674 0.28 Sec. Privado 8 5.213 0.546 0.19

Diferencia = mu (Administración) - mu (Sec. Privado)Estimado de la diferencia: -0.446

IC de 90% para la diferencia: (-1.026, 0.135)Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = -1.37 Valor P = 0.196 GL = 12

Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 0.6029

CONDICIONES:VP>N.S ACEPTAMOS HOVP<N.S RECHAZAMOS HO

Con una confianza del 90% aceptamos Ho y podemos decir que la diferencia de pronósticos medios de los dos grupos de economistas son iguales.

2. Blanca nieves compra a sus siete enanos picos nuevos por navidad. A continuación se indican las cantidades que cada enano tiene que cavar en una mina con los picos viejos y nuevos. Contrastar la hipótesis adecuada con un nivel de significancia del 10% ¿Mejoro la producción el regalo de Blanca nieves a sus sietes camaradas?

PlanteamientoHo: μ1= μ2

Ha: μ1≠μ2

IC y Prueba T pareada: Picos viejos, Picos nuevos

T pareada para Picos viejos - Picos nuevos

Errorestándar

de la N Media Desv.Est. media

Picos viejos 7 1.800 0.316 0.120Picos nuevos 7 1.871 0.293 0.111 Diferencia 7 -0.0714 0.0951 0.0360

Límite superior 90% para la diferencia de la media: -0.0197Prueba t de diferencia media = 0 (vs. < 0): Valor T = -1.99 Valor P = 0.047


Con una confianza del 90% rechazamos Ho y podemos decir que el regalo de Blanca Nieves sí mejoró la producción de los siete enanos.

3. Un banco realizo un estudio sobres su tarjeta de crédito, los directivos argumentan que el uso de la tarjeta no difiere, encontrando que el 131 de 468 mujeres pagaron sus compras al por menor con su tarjeta mientras que de 237 hombres 57 utilizaron la misma tarjeta de tal suerte que podemos asumir que tiene igualdad de proporciones; ¿Hay datos que indican de una diferencia mayor en la proporción de mujeres con respecto a los hombres que utilizan esta tarjeta? Analizar con un nivel de significancia del 5%

PlanteamientoHo: π1≤π2

Ha: π1>π2

Prueba e IC para dos proporciones

Muestra X N Muestra p1 131 468 0.2799152 57 237 0.240506

Diferencia = p (1) - p (2)Estimado de la diferencia: 0.0394082

Límite inferior 95% de la diferencia: -0.0176049Prueba para la diferencia = 0 vs. > 0: Z = 1.12 Valor P = 0.132


Con una confianza del 95% aceptamos Ho y podemos decir que no existe una diferencia mayor en la proporción de mujeres con respecto a los hombres que utilizan esta tarjeta.

ANOVA(Análisis de Varianza Unidireccional: Complemente al azar)

Muchas decisiones empresariales exigen comprobar más de dos poblaciones. Es aquí donde el análisis de varianza de muestra su utilidad.En concreto para contestar si dos o más poblaciones tienen la misma varianza aunque la finalidad es contrastar la diferencia entre días poblacionales.

El empleo de ANOVA surgió en el campo de la agricultura, donde se utilizaba el termino tratamiento al tratar varias parcelas de tierra con diferentes fertilizantes y se recopilaban datos de las discrepancias en el rendimiento medio de las cosechas.

En la actualidad, el termino se emplea en sentido amplio, referirse (tratamiento) a clientes con distintas presentaciones publicitarias y detectar las diferencias posteriores des sus compras medias, al tratamiento de tres grupos de empleados a los cuales se les dqa tres tipos de programas de formación.

Consideramos, que se desea medir los efectos respectivos de los tres programas de formación diferentes sobre la productividad de los empleos, podría ser:

Auto enseñanza Formación con ayuda de ordenador Transformación impartida por un supervisor.

En un análisis de varianza las unidades experimentales son los objetos que reciben el tratamiento, para el caso del ejemplo anterior son los empleados, el factor es la variable cuyo efecto en estas unidades experimentales queremos medir en este caso, la formación es el factor de interés. Por último los tres tipos de formación constituyen los tratamientos.

Quizá la aplicación más corriente del ANOVA sea el diseño completamente al azar se dice que es completamente al azar por que las observaciones muéstrales son elegidos al azar sometidas a tratamientos diferentes.

Para aplicar ANOVA son importantes las premisas siguientes:

Todas las poblaciones implicadas son normales. Todas las poblaciones tienen varianzas iguales. Más muestras se eligen de manera independiente.

El número de tratamientos se designa por (C) el sistema de hipótesis a contrastar será:

Ho: μ1= μ2=μ3….=μc Ha: μ1≠μ2≠μ3….≠μc

La letra C representa el número de tratamientos.

1. La directora gerente de una empresa industrial quiere determinar si tres programas de formación diferentes ejercen efectos distintos sobre la productividad de los empleados. Estos programas son los tratamientos que el ANOVA analiza. Se evalúan a 14 empleados los cuales son elegidos y asignados al azar a uno de los tres programas, una vez terminada la capacitación, cada empleado realizara un examen para determinar su competencia. A cuatro empleados se les impartirá el primer programa y a los otros cinco empleados cada uno de los otros dos. Los grupos serán tratados como muestras separadas y utilizadas para extraer inferencias sobre las poblaciones de empleados que pudieran pasar por los programas de capacitación. Las puntuaciones de los empleados después de los exámenes se presentan en la tabla siguiente. Analizar con un nivel de significancia del 5%

Planteamiento Ho: μ1= μ2=μ3 Ha: μ1≠μ2≠μ3

TratamientosPrograma 1 Programa 2 Programa 3

85 80 8272 84 8083 81 8580 78 90

82 88

ANOVA unidireccional: PRODUCTIVIDAD vs. PROGRAMA FISHER

Fuente GL SC MC F PPROGRAMA 2 65.7 32.9 1.94 0.189

Error 11 186.0 16.9Total 13 251.7

S = 4.112 R-cuad. = 26.11% R-cuad.(ajustado) = 12.67%

ICs de 95% individuales para la mediabasados en Desv.Est. agrupada

Nivel N Media Desv.Est. ----+---------+---------+---------+-----1 4 80.000 5.715 (------------*------------)2 5 81.000 2.236 (----------*-----------)

3 5 85.000 4.123 (-----------*----------)----+---------+---------+---------+-----

77.0 80.5 84.0 87.5Desv.Est. agrupada = 4.112


Con un nivel de confianza del 95% aceptamos Ho, por lo que podemos decir que los 3 programas de formación ejercen efectos iguales sobre la productividad de los

empleados.

2. Un ingeniero está interesado en maximizar la resistencia a la tensión de una nueva fibra sintética que se empleara en la manufactura de telas para camisas de hombre. El ingeniero sabe por experiencia que la resistencia es influida por el porcentaje de algodón presente en la fibra. Además, él sospecha que elevar el contenido de algodón incrementa la resistencia, al menos inicialmente. El ingeniero decide probar muestras de cinco niveles de porcentaje de algodón 15, 20, 25,30 y 35%. Así mismo decide ensayar cinco muestras a cada nivel de contenido de algodón analizar con un nivel de confianza del 5%

PlanteamientoHo: μ1= μ2=μ3= μ4= μ5

Ha: μ1≠μ2≠μ3≠μ4≠μ5

% de Algodón

Resistencia a la tensión obtenida Lb/pul²1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11

ANOVA unidireccional: Resistencia vs. % de Algodón Tukey

Fuente GL SC MC F P% de Algodon 4 475.76 118.94 14.76 0.000

Error 20 161.20 8.06Total 24 636.96



Nivel N Media Desv.Est. ------+---------+---------+---------+---15 5 9.800 3.347 (-----*----)

20 5 15.400 3.130 (----*----)25 5 17.600 2.074 (----*----)

30 5 21.600 2.608 (----*----)35 5 10.800 2.864 (-----*----)

------+---------+---------+---------+---10.0 15.0 20.0 25.0

Desv.Est. agrupada = 2.839

Intervalos de confianza simultáneos de Tukey del 95%

Todas las comparaciones de dos a dos entre los niveles de % de AlgodonNivel de confianza individual = 99.28%

% de Algodon = 15 restado de:

% deAlgodon Inferior Centro Superior ------+---------+---------+---------+---

20 0.229 5.600 10.971 (-----*----)25 2.429 7.800 13.171 (-----*----)

30 6.429 11.800 17.171 (-----*----)35 -4.371 1.000 6.371 (----*----)

------+---------+---------+---------+----10 0 10 20



25 -3.171 2.200 7.571 (----*-----)30 0.829 6.200 11.571 (----*-----)

35 -9.971 -4.600 0.771 (----*-----)------+---------+---------+---------+---

-10 0 10 20



30 -1.371 4.000 9.371 (----*----)35 -12.171 -6.800 -1.429 (----*-----)

------+---------+---------+---------+----10 0 10 20



35 -16.171 -10.800 -5.429 (----*-----)------+---------+---------+---------+---

-10 0 10 20

ANOVA unidireccional: Resistencia vs. % de Algodón Fisher

Fuente GL SC MC F P% de Algodon 4 475.76 118.94 14.76 0.000

Error 20 161.20 8.06Total 24 636.96



Nivel N Media Desv.Est. ------+---------+---------+---------+---15 5 9.800 3.347 (-----*----)

20 5 15.400 3.130 (----*----)25 5 17.600 2.074 (----*----)

30 5 21.600 2.608 (----*----)35 5 10.800 2.864 (-----*----)

------+---------+---------+---------+---10.0 15.0 20.0 25.0Desv.Est. agrupada = 2.839

Intervalos de confianza individuales de Fisher del 95%Todas las comparaciones de dos a dos entre los niveles de % de Algodon

Nivel de confianza simultánea = 73.57%


% deAlgodon Inferior Centro Superior --------+---------+---------+---------+-

20 1.855 5.600 9.345 (----*----)25 4.055 7.800 11.545 (----*---)

30 8.055 11.800 15.545 (----*---)35 -2.745 1.000 4.745 (---*----)

--------+---------+---------+---------+--8.0 0.0 8.0 16.0



25 -1.545 2.200 5.945 (----*---)30 2.455 6.200 9.945 (----*---)

35 -8.345 -4.600 -0.855 (---*----)--------+---------+---------+---------+-

-8.0 0.0 8.0 16.0



30 0.255 4.000 7.745 (----*----)35 -10.545 -6.800 -3.055 (----*---)

--------+---------+---------+---------+--8.0 0.0 8.0 16.0



35 -14.545 -10.800 -7.055 (----*---)--------+---------+---------+---------+-

-8.0 0.0 8.0 16.0


Con un nivel de confianza del 95% rechazamos Ho y podemos decir que la resistencia es diferente.

3. A medida que las personas huyen de las presiones urbanas, se observa un marcado incremento de la carga de los parques, producto de las personas que desean acampar los fines de semana, una revista publicada hace poco que el parque Nacional de Yosemite, que se encuentra en las altas sierras de California, contrato a un asesor económico para estudiar la situación financiera del parque. Parte del trabajo consistía en comparar los ingresos del parque los cuales proceden de varias fuentes, como la cuota por acampar, venta de licencias de pescas y el alquiler de canoas. Los datos se presentan en la siguiente tabla: analizar con un nivel de significancia del 5%

PlanteamientoHo: μ1= μ2=μ3 Ha: μ1≠μ2≠μ3

Visitantes Acampada $ Pesca $ Alquiler de canoas1 47 30 192 32 18 253 35 27 204 25 35 225 38 256 35

ANOVA unidireccional: Ingresos vs. Servicios

Fuente GL SC MC F P Tratamientos 2 480.6 240.3 6.48 0.012 Error 12 445.1 37.1 Total 14 925.7


ICs de 95% individuales para la mediabasados en Desv.Est. agrupadaNivel N Media Desv.Est. -------+---------+---------+---------+--1 6 35.333 7.230 (------*-------)2 4 27.500 7.141 (--------*---------)3 5 22.200 2.775 (--------*-------)-------+---------+---------+---------+--21.0 28.0 35.0 42.0Desv.Est. agrupada = 6.091


Con un nivel de confianza del 95% rechazamos Ho y podemos decir que los ingresos del parque en la cuota por acampar, venta de licencias de pescas y el alquiler de canoas son diferentes.

3) El presidente de mercado de un banco. En la compañía de promoción para atraer nuevo s depositantes se incluyen determinados sorteos en las 4 sucursales del banco. El está convencido de que diferentes clases de premios promocionales atraerá a personas de ingresos distintos. Las personas de un determinado nivel de ingresos prefieren regalos, mientras que a otro grupo de personas con otros ingresos le interesaran mas los viajes gratis a lugares de vacaciones. El director decide valerse de las cantidades depositadas en el banco como medida aproximada de los ingresos. Quiere determinar si hay diferencia en el nivel medio de depósitos entre las 4 sucursales. Si se encuentra alguna diferencia, el director ofrecerá diferentes premios promocionales. Analizar con un n.s del 5%, se eligen 7 depósitos de cada sucursal redondeados a los 100 dólares más próximos, los datos se muestran en la siguiente tabla.

PlanteamientoHo: μ1= μ2=μ3= μ4 Ha: μ1≠μ2≠μ3≠μ4

DEPOSITO SUCURSAL 1

SUCURSAL 2

SUCURSAL 3

SUCURSAL 4

1 1.3 1.9 3.6 5.12 1.5 1.9 4.2 4.9

3 0.9 2.1 4.5 5.6

4 1 2.4 4.8 4.8

5 1.9 2.1 3.9 3.8

6 1.5 3.1 4.1 5.1

7 2.1 2.5 5.1 4.8

X = 1.4571 X= 2.2857 X =4.3142 X = 4.8714

SST3.7249 1.7689 0.1369 3.4969

2.9929 1.7689 0.9409 2.7889

5.4289 1.2769 1.6129 5.61694.9729 0.6889 2.4649 2.46491.7689 1.2769 0.4489 0.32492.9929 0.0169 0.7569 3.49691.2769 0.5329 3.4969 2.4649

Totales = 61.0012

SSTR

1.4571 7(1.4571-3.23)²= 21.932.2857 7(2.2857-3.23)²= 6.194.3142 7(4.3142-3.23)²= 8.164.8714 7(4.8714-3.23)²= 18.83

SSTOTALES= SSTRATAMIENTOS – SSERRORSSERROR = SSTOTALES – SSTRATAMIENTOS

SSERROR = 61.0012 – 55.11SSERROR = 5.8912

TABLA DE ANOVAFUENTES SUMA DE

CUADRADOSG.L C.M F.C F.T

Tratamiento

55.11 3 18.37 74.83 3.01

Error 5.8912 24 0.2454

Totales 61.0012 27

CONDICIONES:FC<FT Aceptamos Ho

FC>FT Rechazamos Ho

∑ = 55.11

TUCKEY

ANOVA unidireccional: DEPOSITOS vs. SUCURSALES

Fuente GL SC MC F PSUCURSALES 3 55.332 18.444 78.09 0.000Error 24 5.669 0.236Total 27 61.001


ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupadaNivel N Media Desv.Est. -+---------+---------+---------+--------1 7 1.4571 0.4392 (--*--)2 7 2.2857 0.4259 (--*--)3 7 4.3143 0.5210 (--*--)4 7 4.8714 0.5469 (---*--) -+---------+---------+---------+-------- 1.2 2.4 3.6 4.8


Intervalos de confianza simultáneos de Tukey del 95%Todas las comparaciones de dos a dos entre los niveles de SUCURSALES

Nivel de confianza individual = 98.90%

SUCURSALES = 1 restado de:

SUCURSALES Inferior Centro Superior2 0.1122 0.8286 1.54503 2.1408 2.8571 3.57354 2.6979 3.4143 4.1307

SUCURSALES -------+---------+---------+---------+--2 (--*---)3 (--*---)4 (---*---) -------+---------+---------+---------+-- -2.0 0.0 2.0 4.0


SUCURSALES Inferior Centro Superior3 1.3122 2.0286 2.74504 1.8693 2.5857 3.3021

SUCURSALES -------+---------+---------+---------+--3 (--*---)4 (---*---) -------+---------+---------+---------+-- -2.0 0.0 2.0 4.0


SUCURSALES Inferior Centro Superior4 -0.1592 0.5571 1.2735

SUCURSALES -------+---------+---------+---------+--4 (---*--) -------+---------+---------+---------+-- -2.0 0.0 2.0 4.0

CONDICIONES:VP>N.S ACEPTAMOSVP<N.S RECHAZAMOS

Con un nivel de confianza del 95% rechazamos Ho y podemos decir que si hay diferencia en el nivel medio de depósitos entre las 4 sucursales, por lo que el director ofrecerá diferentes premios promocionales.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

Las decisiones económicas exigen a menudo que probemos alguna hipótesis sobre la distribución poblacional desconocida. Ya que no podemos suponer automáticamente que la distribución se ajusta a una estructura concreta. Nos vemos obligados a contrastar cualquier hipótesis que podemos formular en relación con la distribución. Podemos suponer que la distribución poblacional es uniforme y que todos los valores tienen la misma probabilidad, de aparecer. Las hipótesis que contrastamos son:

Ho: La distribución poblacional es uniforme.Ha: La distribución poblacional no es uniforme.

Después se aplica la prueba de bondad de ajuste para determinar si la distribución de valor en la población se acomoda a una forma hipotética en particular. (Distribución uniforme). Al igual que en todas las pruebas estadísticas de esta

ANOVA unidireccional: DEPOSITOS vs. SUCURSALES

Fuente GL SC MC F PSUCURSALES 3 55.332 18.444 78.09 0.000Error 24 5.669 0.236Total 27 61.001


ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupadaNivel N Media Desv.Est. -+---------+---------+---------+--------1 7 1.4571 0.4392 (--*--)2 7 2.2857 0.4259 (--*--)3 7 4.3143 0.5210 (--*--)4 7 4.8714 0.5469 (---*--) -+---------+---------+---------+-------- 1.2 2.4 3.6 4.8


Intervalos de confianza simultáneos de Tukey del 95%Todas las comparaciones de dos a dos entre los niveles de SUCURSALES

Nivel de confianza individual = 98.90%


SUCURSALES Inferior Centro Superior2 0.1122 0.8286 1.54503 2.1408 2.8571 3.57354 2.6979 3.4143 4.1307

SUCURSALES -------+---------+---------+---------+--2 (--*---)3 (--*---)4 (---*---) -------+---------+---------+---------+-- -2.0 0.0 2.0 4.0


SUCURSALES Inferior Centro Superior3 1.3122 2.0286 2.74504 1.8693 2.5857 3.3021

SUCURSALES -------+---------+---------+---------+--3 (--*---)4 (---*---) -------+---------+---------+---------+-- -2.0 0.0 2.0 4.0


SUCURSALES Inferior Centro Superior4 -0.1592 0.5571 1.2735

SUCURSALES -------+---------+---------+---------+--4 (---*--) -------+---------+---------+---------+-- -2.0 0.0 2.0 4.0

naturaleza, se toman datos muéstrales de la población y estos constituyen el fundamento de nuestros hallazgos. Determina si las observaciones muéstrales se ajustan a nuestras expectativas. La prueba toma la siguiente forma.

x ²=∑ (0i−Ei ) ²

Donde:

0i=Es lafrecuencia de los sucesos observados en los datosmuestrales .

Ei=Esla frecuencia de los sucesos esperados sila hipotesisnula es correcta.

k=Esel numerode categoriasoclases .

La prueba lleva consigo k-m=1 grados de libertad, donde (m) es el numero de parámetros a estimar.

La expresión mide la diferencia de las frecuencias observadas.

Cuando estas diferencias son grandes y hacen que aumente Ji cuadrada la hipótesis nula debe ser rechazada.

PRUEBA DE AJUSTE UNIFORME

El director de marcado de una compañía de veleros tiene la responsabilidad de controlar el nivel de existencias de los 4 tipos de veleros. Tiene que evitar la posibilidad por la falta de existencias. Antes encargaba veleros nuevos pensando que los 4 gozaban de la misma popularidad y demanda de todos ellos era la misma. Pero desde hace poco tiempo las existencias son más difíciles de controlar. El gerente piensa que debe contrastar su hipótesis de demanda uniforme.

Ho: La demanda es uniforme para los 4 tipos de veleros.Ha: La demanda no es uniforme para los 4 tipos de veleros.

El director elige una muestra n= 48 veleros vendidos en los últimos meses. Si la demanda es uniforme que puede esperar en los veleros de cada tipo. Los datos se muestran en la siguiente tabla, analizar con un n.s del 5%.

TIPO DE VELERO VENTAS OBSERVADAS VENTAS ESPERADASP.R 15 12

J.R 11 12D.T 10 12A.Q 12 12

∑= 48 ∑=48

x2=k−m−16g .l ∞=0.5 ,4

x2=4−o−1=36g .l ∞=0.5 ,4

xc ²=(15−12) ²

12+(11−12) ²

12+(10−12) ²

12+(12−12) ²

12 = 1.16

x t2= 7.815

CONDICIONES:xC2 >x t

2= RECHAZAMOS HO

xC2 <x t

2= ACEPTAMOS HO

Prueba chi-cuadrada de bondad de ajuste para conteos observados en variable: OI

Uso de nombres de categorías en TIPO DE VELERO

Proporción ContribuciónCategoría Observado de prueba Esperado a Chi-cuad.

P.R 15 0.25 12 0.750000J.R 11 0.25 12 0.083333D.T 10 0.25 12 0.333333A.Q 12 0.25 12 0.000000

N GL Chi-cuad. Valor P

48 3 1.16667 0.761

CONDICIONES:

VP>N.S ACEPTAMOS HOVP<N.S RECHAZAMOS HO

Con un nivel de confianza del 95% aceptamos Ho y podemos decir que la demanda es uniforme para los 4 tipos de velero.

DISTRIBUCIÓN POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, la demanda (necesidades) de los pacientes que requieren servicio en una institución de salud, las llegadas de camiones a una caseta de cobro y el número de accidentes registrados en una cierta intersección de calles. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2…).

Características de los procesos que producen una distribución de probabilidad de Poisson.

El promedio (la media) del número de eventos que se producen por hora, puede estimarse a partir de datos que se tengan disponibles.

Si dividimos la hora pico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que las siguientes afirmaciones son verdaderas: La probabilidad de que exactamente un evento ocurra por segundo es muy pequeña y es constante para cada intervalo de un segundo. La probabilidad de que dos o más eventos ocurran en un intervalo de un segundo es tan pequeña que le podemos asignar un valor cero. El número de eventos que ocurren en un intervalo de un segundo es independiente del tiempo en que dicho intervalo se presente en la hora pico. El número de eventos en un intervalo de un segundo no depende del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo de un segundo.

Cálculo de la probabilidad de Poisson. La letra X por lo general representa a una variable discreta y puede tomar valores enteros. Utilizamos la letra X para representar a la variable aleatoria y la letra x para señalar un valor específico que esta variable pueda tomar. La probabilidad de tener exactamente x presentaciones en una distribución de Poisson se calcula con la fórmula:

La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial. La distribución de Poisson puede ser un razonable aproximación a la binomial, pero sólo bajo ciertas condiciones. Tales condiciones se presentan cuando n es grande y p es pequeña, esto es, cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad binomial de tener éxito es pequeña. La regla que utilizan con más frecuencia los estadísticos es que la distribución de Poisson es una buena

aproximación de la distribución binomial cuando n es igual o mayor que 20 y p es igual o menor que 0,05. En los casos en que se cumplen estas condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial (np) en lugar de la media de la distribución de Poisson (l ).

SUGERENCIA:

El uso de una distribución para aproximar a otra es una práctica bastante común en probabilidad y estadística. La idea consiste en buscar situaciones en las que una distribución (como la de Poisson), cuyas probabilidades son relativamente fáciles de calcular, tiene valores que se encuentran razonablemente cercanos a las de otra distribución (como la binomial) cuyas probabilidades implican cálculos más complicados.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La Distribución Normal: una distribución de una variable aleatoria continua. Una muy importante distribución continua de probabilidad es la distribución normal. Varios matemáticos intervinieron en su desarrollo entre ellos figura el astrónomo del siglo XVIII Karl Gauss, a veces es llamada en su honor la distribución de Gauss. Características de la distribución normal de la probabilidad. 1. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal. Presenta una forma de campana.

2. La media de una población distribuida normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.

3. A causa de la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución también se hallan en el centro, por tanto en una curva normal, la media, la mediana y la moda poseen el mismo valor.

4. Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

El área total bajo la curva normal será de 1.00 por lo cual podemos considerar que las áreas bajo la curva son probabilidades.

El valor de Z. Z= Número de desviaciones estándar de x respecto a la media de esta distribución. Z= x-m / s X=valor de la variable aleatoria que nos interesa.m= media de la distribución de esta variable aleatoria.s = desviación estándar de esta distribución. Las variables aleatorias distribuidas en forma normal asumen muchas unidades diferentes de medición, por lo que hablaremos de forma estándar y les daremos el símbolo de Z.3

4. Un asesor económico es contratado por un aeropuerto para estudiar la estructura del tráfico, los registros de vuelo de los últimos años que lleva el aeropuerto indican una media de 3.2 aterrizajes por minuto, el asesor quiere contrastar la hipótesis de que los aterrizajes siguen una distribución de Poisson:

Ho: Los aterrizajes siguen una distribución de Poisson.Ha: Los aterrizajes no siguen una distribución de Poisson.

Los datos se presentan en la siguiente tabla:

NUMERO DE ATERRIZAJES

FRECUENCIAS OBSERVADAS

POISSON FRECUENCIAS ESPERADAS

(Xi) (Oi) P(Xi) (Ei)0 10 0.040762

28.15

1 23 0.130439 26.082 45 0.208702 41.743 49 0.2226 44.524 32 0.1781 35.62

5 o mas 41 0.2195 43.9∑= 200 ∑=1 ∑= 200

Prueba chi-cuadrada de bondad de ajuste para conteos observados en variable: OI

Uso de nombres de categorías en N.DE APREN

Proporción ContribuciónCategoría Observado de prueba Esperado a Chi-cuad.0 10 0.0408 8.16 0.4149021 23 0.1304 26.08 0.3637422 45 0.2087 41.74 0.2546143 49 0.2226 44.52 0.4508184 32 0.1781 35.62 0.3678945 41 0.2194 43.88 0.189025

N GL Chi-cuad. Valor P200 5 2.04100 0.843


Con un nivel de confianza del 90% aceptamos Ho y podemos decir que los aterrizajes siguen una distribución de Poisson.

PRUEBA DE NORMALIDAD

Si se tiene en cuenta la importancia que posee la distribución normal en análisis estadístico, es importante que se considere este tipo de prueba.

Las especificaciones de producción de los tanques de aire que se emplean en inmersión exigen que se llenen hasta una presión media de 600 psi. Admitiendo una desviación típica de 10 psi. Las tolerancias de las normas de seguridad permiten una distribución normal en los niveles de llenado.

1. Suponga que le acaba de contratar un fabricante de estos equipos y su primera tarea consiste en determinar si los niveles de llenado cumplen una distribución normal. El director está seguro de que el llenado medio es de 600 psi y la desviación típica de 10 psi. Solo queda por probar la naturaleza de la distribución. Para ello se decide medir n=1000 botellas, cuyos datos se muestran en la siguiente tabla.La hipótesis que se plantea es la siguiente:

Ho: Los niveles de llenado siguen una distribución normal.Ha: Los niveles de llenado no siguen una distribución normal.

Analizar con un nivel de significancia del 5%.

Psi Frecuencia real P(DN)0 y menos de 580 20 0.0228580 y menos de

590142 0.1359

590 y menos de 600

310 0.1587

600 y menos de 610

370 0.3413

610 y menos de 620

128 0.1359

620 0 mas 30 0.2054

∑=1

Prueba chi-cuadrada de bondad de ajuste para conteos observados en variable: FR

Uso de nombres de categorías en PSI

Proporción ContribuciónCategoría Observado de prueba Esperado a Chi-cuad.0 y menos de 580 20 0.0228 22.8 0.34386580 y menos de 590 142 0.1359 135.9 0.27380590 y menos de 600 310 0.3413 341.3 2.87047600 y menos de 610 370 0.3413 341.3 2.41339610 y menos de 620 128 0.1359 135.9 0.45923620 0 mas 30 0.0228 22.8 2.27368

N GL Chi-cuad. Valor P1000 5 8.63444 0.125

Gráfica de valores observados y esperados


Con un nivel de confianza de confianza del 95% aceptamos Ho, con esto decimos que los niveles de llenado siguen una distribución normal.

PRUEBAS DE CONTINGENCIA. PRUEBAS DE INDEPENDENCIA

Ji cuadrada nos permite comparar dos atributos para determinar si hay alguna relación entre los dos o bien se prueba la suposición de que las dos variables son estadísticamente independientes.Ejemplo:

5. Una agencia de autos se esmera en determinar si existe una relación entre el ingreso de los clientes y la importancia del precio de los autos de lujo, por lo que se quiere contrastar la siguiente hipótesis.

Ho: El ingreso y la importancia del precio son independientes.Ha: El ingreso y la importancia del precio no son independientes.

Nota: los datos se agrupan en tres niveles de ingreso y se les pide que asignen un nivel de importancia en sus decisiones de compra. Analizar con un nivel de significancia del 1%.

Atributo A Atributo B TotalNivel de importancia Bajo Mediano Alto

Grande Oi= 83Ei= 66.98

Oi= 62 Ei=64.61

Oi= 3Ei= 50.41

1820.338

Mediano Oi=52Ei=63.30

Oi= 71 Ei=61.06

Oi= 49Ei= 47.64

1720.320

Pequeño Oi= 63Ei= 67.72

Oi= 58 Ei=65.32

Oi=63Ei=50.96

1840.342

Total 198 191 149 538

Chi-cuadrada calculada = 15.170Chi-cuadrada de tabla = 13.27

CONDICIONES:

X²C < X²t ACEPTAMOS HOX²C> X²t RECHAZAMOS HO

Prueba chi-cuadrada: C2, C3, C4

Los conteos esperados se imprimen debajo de los conteos observadosLas contribuciones chi-cuadradas se imprimen debajo de los conteos esperados

C2 C3 C4 Total 1 83 62 37 182 66.98 64.61 50.41 3.831 0.106 3.565

2 52 71 49 172 63.30 61.06 47.64 2.018 1.617 0.039

3 63 58 63 184 67.72 65.32 50.96 0.329 0.821 2.845

Total 198 191 149 538

Chi-cuadrada = 15.170, GL = 4, Valor P = 0.004


Con un nivel de confianza del 99% rechazamos Ho y podemos decir que el ingreso y la importancia del precio no son independientes.

6. La directora de investigación de productos de la compañía fulminante exige analizar la eficiencia de un nuevo insecticida. A ella le interesa en particular si la inclusión de diclorovinilo un ingrediente mortífero en la formula química del producto produce resultados más favorables, su prueba más reciente consistía en elegir al azar 100 clientes y pedirá a 75 de ellos que prueben con diclorovinilo y el resto sin él, también a las 100 personas se les pidió que definieran el producto con la calificación de: mayor que la media, como la media y peor que la media. Los datos se presentan en la siguiente tabla. Analizar con un nivel de significancia del 10%.

PlanteamientoHo: La calificación y el uso de diclorovinilo son independientes

Ha: La calificación y el uso de diclorovinilo no son independientes

Atributo a Atributo b TotalNivel de importancia Con diclorovinilo Sin diclorovinilo TotalMejor que la media Oi 20

Ei 6.2Oi 11Ei 3.41

31.31

Igual que la media Oi 40Ei 19.2

Oi 8Ei 3.84

48.48

Peor que la media Oi 15Ei 3.15

Oi 6Ei 1.26

21.21

Prueba chi-cuadrada: CON DICLOROVINILO, SIN DICLOROVINILO

Los conteos esperados se imprimen debajo de los conteos observadosLas contribuciones chi-cuadradas se imprimen debajo de los conteos esperados

CON SIN DICLOROVINILO DICLOROVINILO Total 1 20 11 31 23.25 7.75 0.454 1.363

2 40 8 48 36.00 12.00 0.444 1.333

3 15 6 21 15.75 5.25 0.036 0.107

Total 75 25 100

Chi-cuadrada = 3.738, GL = 2, Valor P = 0.154


Con un nivel de confianza del 90% aceptamos Ho y podemos decir que la calificación y el uso de diclorovinilo son independientes.

ESTADISTICA INFERENCIAL 1

V UNIDAD

Adriana Fernández Torres 10610652

Reyna Romero Flores 10610345

PROFE: Ramón Cortes Castillo

IGE 4ºA

“Entre los individuos como en las naciones el respeto al derecho ajeno es la paz”

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