AYRIK YAPILAR · 2015. 11. 17. · AYRIK YAPILAR Prof. Dr. Ömer Akın ve Yrd. Doç. Dr. Murat Özbayoğlu’nun Çeviri Editörlüğünü üstlendiği «Ayrık Matematik ve Uygulamaları»

AYRIK YAPILAR

P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d . D o ç . D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u ’ n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i « A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı » i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemler«x>3», «x=y+3», «x+y=z» ve

«Bilgisayar x, bir saldırgan tarafından saldırı altında» ve

«Bilgisayar x, düzgün çalışıyor»

gibi değişkenleri kapsayan bildirimler, matematiksel iddialarda, bilgisayar programlarında vesistem özelliklerinde sıkça bulunur. Değişkenlerin değerleri belirtilmediği zaman bu ifadeler nedoğru ne de yanlıştır.

«x büyüktür 3» ifadesi, iki bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, x değişkeni bildirimin konusudur.İkinci bölüm- yüklem, «3’ten büyüktür» açıklamasına konu olabilecek bir özellik anlamına gelir.«x büyüktür 3» ifadesini P(x) ile belirtebiliriz. Burada P, «3’ten büyüktür» yüklemini belirtir ve xbir değişkendir. P(x) ifadesi aynı zamanda önerme x noktasında P önerme fonksiyonunun değeriolarak da söylenebilir. Bir kere x değişkenine değer atandığında P(x) ifadesi bir önerme olur vedoğruluk değeri vardır.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemler

ÖRNEK: P(x), «x>3» ifadesini belirtsin. P(4) ve P(2)’nin doğruluk değerleri ne olur?

ÇÖZÜM: P(4) ifadesini «x>3» ifadesinde x yerine 4 yazarak elde ederiz. Böylece P(4), ifadesi 4>3,doğrudur. Bununla birlikte P(2) ifadesi, 2>3, yanlıştır.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemlerÖRNEK: A(x) «Bilgisayar x bir saldırgan tarafından saldırı altında.» ifadesini belirtsin. Kampüstekibilgisayarlardan halen sadece CS2 ve MATH1’in saldırganlar tarafından saldırı altında olduğunuvarsayalım. A(CS1), A(CS2) ve A(MATH1)’in doğruluk değerleri nelerdir?

ÇÖZÜM: A(CS1) ifadesini «Bilgisayar x bir saldırgan tarafından saldırı altında.» ifadesinde x=CS1yazarak elde ederiz. CS1 saldırı altnda olan bilgisayarların listesinde olmadığından A(CS1) yanlışsonucuna varırız. Benzer olarak CS2 ve MATH1 saldırganlar tarafından saldırı altnda olanbilgisayarların listesinde olduğundan A(CS2) ve A(MATH1) doğrudur.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemlerAyrıca, birden fazla değişken içeren ifadeler olabilir. Örneğin, «x=y+3» ifadesini ele alalım. Buifadeyi Q(x,y) ile belirtebiliriz. Burada x ve y değişkenler ve Q yüklemdir. x ve y değişkenlerinedeğerler atandığında Q(x,y) ifadesinin bir doğruluk değeri olur.

ÖRNEK: «x=y+3» ifadesini Q(x,y) ile belirtelim. Q(1,2) ve Q(3,0) önermelerinin doğruluk değerlerinedir?

ÇÖZÜM: Q(1,2)’yi elde etmek için Q(x,y) ifadesinde x=1, y=2 koyalım. Böylece Q(1,2) ifadesi«1=2+3» olur ki bu da yanlıştır. Q(3,0) ifadesi «3=0+3» olur ki bu da doğrudur.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemlerÖRNEK: A(c n), «c bilgisayarı, n ağına bağlıdır.» ifadesini göstersin. Burada c bir bilgisayarı temsileden bir değişken ve n bir ağı temsil eden bir değişkendir. MATH1 bilgisayarının CAMPUS2 ağınabağlı fakat CAMPUS1 ağına bağlı olmadığını kabul edelim. A(MATH1, CAMPUS1) ve A(MATH1,CAMPUS2)’nin değerleri nelerdir?

ÇÖZÜM: MATH1, CAMPUS1 ağına bağlı olmadığından, A(MATH1, CAMPUS1)’in yanlış olduğunugörüyoruz. MATH1, CAMPUS2 ağına bağlı olduğundan A(MATH1, CAMPUS2)’nin doğru olduğunugörüyoruz.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemlerBenzer şekilde, «x+y=z» ifadesini R(x, y, z) ile gösterebiliriz. x, y ve z değişkenlerine değerleratandığı zaman bir doğruluk değeri olur.

ÖRNEK: R(1, 2, 3) ve R(0, 0, 1) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

ÇÖZÜM: R(1, 2, 3) önermesi R(x, y, z) ifadesinde x=1, y=2 ve z=3 yerlerine yazılarak elde edilir.R(1, 2, 3) önermesinin «1+2=3» ifadesine eşit olduğunu görürüz ve bu da doğrudur. Aynızamanda R(0, 0, 1) önermesi «0+0=1» ifadesine eşittir ve yanlıştır.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerYüklemlerGenel olarak n tane x1, x2 ... xn değişkenlerini içeren bir ifade P(x1, x2 ... xn) n-değişkenlergrubunda P önermeli fonksiyonun değeridir ve p aynı zamanda n- yerli yüklem veya n-li yüklemolarak adlandırılır.

Önermeli (önermesel) fonksiyonlar aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, bilgisayar programlarındagörülür.

ÖRNEK: İf x>0 then x:= x+1 ifadesini ele alalım.

Bu deyimle, bir programda karşılaşıldığı zaman, programın icrasında x noktasındaki değeri P(x)’dekoyularak elde edilir. Burada «x>0» dır. Eğer x’in bu değeri için P(x) doğruysa x:=x+1 çalıştırılır,böylece x’in değeri 1 artar. Eğer x’in bu değeri için P(x) yanlışsa atama ifadesi çalıştırılmaz,böylece x’in değeri değişmez.


ÖN KOŞULLAR VE SON KOŞULLARYüklemler aynı zamanda bilgisayar programlarının doğruluğunun gösterilmesinde kullanılır,geçerli girdi verildiğinde bilgisayar programlarının her zaman istenilen çıktıyı ürettiğini göstermekiçin kullanılır. Eğer program doğruluğu gerçekleştirilmediyse, tüm girdi değerleri test edilmeden,bir bilgisayar programının her girdi için istenilen çıktıyı ürettiğini, ne kadar çok test yaparsakyapalım bilemeyiz. Geçerli giriş tanımlayan ifadeler önşartlar olarak bilinir, program çalıştığındaçıkışın sağladığı şartlar son şartlar olarak bilinir.


1.4 Yüklemler ve NiceleyicilerNiceleyicilerBir önermesel fonksiyonda değişkenlerin değerleri atandığı zaman, çıkan ifade belli bir doğrulukdeğeri olan bir önerme olur. Ancak, bir önermesel fonksiyondan bir önerme oluşturmak içinniceleme olarak adlandırılan başka önemli bir yol vardır. Niceleme bir yüklemin bir aralıktakiöğeler üzerinde gerçek olduğu dereceyi ifade eder. Hep, bazı, birçok, hiçbiri ve birkaç kelimeleriniceleyiciler olarak kullanılmaktadır.

Evrensel niceleme, inceleme altındaki her eleman için doğru olduğunu söyleyen bir yüklemdir vevaroluşsal niceleme, doğru olan yüklem için inceleme altında bir ya da daha fazla öğe olduğunusöyler. Yüklemler ve niceleyiciler ile ilgilenen bu mantık alanı yüklemli temel matematik olarakadlandırılır.


EVRENSEL NİCELEMEMatematiksel ifadelerin, birçoğu bir özelliğin belirli bir tanım bölgesindeki bir değişkenin tümdeğerler için geçerli olduğunu iddia eder. Bu tanım bölgesi söylem alanı (veya söylem evreni)olarak adlandırılır, genellikle sadece etki alanı olarak adlandırılır. Böyle bir ifade evrenselniceleme kullanılarak ifade edilir. Belirli bir tanım bölgesi için P(x)’in evrensel nicelemesi, butanım bölgesindeki bütün x değerleri için P(x)’in doğru olduğunu ileri süren önermedir. Tanımbölgesini değiştirdiğimizde P(x) evrensel nicelemesinin anlamı değişir. Evrensel bir nicelikkullanıldığında tanım bölgesi her zaman belirtilmelidir. Bu yapılmazsa, bir ifadenin evrenselnicelemesi tanımlı değildir.


EVRENSEL NİCELEMETANIM 1: P(x) evrensel nicelemesi «Tanım bölgesindeki tüm x değerleri için P(x)» ifadesidir. xP(x) gösterimi p(x) için evrensel bir niceleme gösterir. Burada evrensel niceleyici olarakadlandırılır. x P(x)’i «Tüm x P(x) için» veya «Her x P(x) için» şeklinde okuruz. Yanlış olan bir P(x)elemanı x P(x)’in bir karşı örneği olarak adlandırılır.

Tablo 1. Niceleyiciler


İfade Doğru olduğunda Yanlış olduğunda

x P(x) P(x) her bir x için geçerli P(x)’in yanlış olduğu bir x değeri vardır.

x P(x) P(x)’in doğru olduğu bir x sayısı vardır. P(x) her x için yanlıştır.

EVRENSEL NİCELEMEÖRNEK: P(x), «x+1>x» ifadesi olsun. x P(x) nicellemesinin doğruluk değeri nedir? Burada tanımbölgesi tüm gerçek sayılardan oluşur.

ÇÖZÜM: P(x) tüm x gerçek sayıları için geçerli olduğundan x P(x) nicellemesi doğrudur.

NOT: Genellikle üstü kapalı bir varsayım, boş olmayan niceleyiciler için söylemin bütün tanımbölgelerinde yapılır. P(x)’in yanlış olduğu tanım bölgesinde herhangi bir x elemanı olmadığından,herhangi bir önermesel P(x) fonksiyonu için tanım bölgesi boş ise o zaman x P(x)’in doğruolduğuna dikkat ediniz.


EVRENSEL NİCELEMEBunun yanı sıra «tümü için» ve «her için» evrensel niceleyicileri, «hepsi», «herhangi bir», «keyfiiçin», «her biri için» ve «herhangi biri için» ifadelerini de içeren pek çok başka şekillerde deifade edilebilir.

NOT: «herhangi bir» ifadesini «her» veya «bazı» anlamında kullanmak genellikle belirsizolduğundan «herhangi bir x için» ifadesini kullanmak kaçınmaktan en iyisidir. Bazı durumlarda,mesela negatif olarak kullanıldığında «herhangi bir» ifadesi belirsiz değildir. Örneğin,«incelemekten kaçınmak için herhangi bir neden yoktur.»


EVRENSEL NİCELEMEÖRNEK: Q(x), «x<2» ifadesi olsun. Tanım bölgesi bütün gerçek sayılar içeriyorsa x Q(x)niceleyicisinin doğruluk değeri nedir?

ÇÖZÜM: Örneğin, Q(3) yanlış olduğundan Q(x) her x reel sayısı için geçerli değildir. Yani x=3, xQ(x) ifadesi için bir ters örnektir. Böylece x Q(x) yanlıştır.


EVRENSEL NİCELEMETanım bölgesindeki tüm elemanlar x1, x2, ..., xn şeklinde listelenerek söylendiğinde, x P(x)evrensel niceleyicisi, P(x1), P(x2), ..., P(xn) niceleyicilerinin hepsi doğru olduğunda doğruolduğundan P(x1) ^ P(x2) ^ ... ^P(xn) ile aynıdır.

ÖRNEK: P(x) ifadesi «x2<10» olduğunda ve tanım bölgesi 4’ü geçmeyen pozitif tamsayılarolduğunda x P(x)’in doğruluk değeri nedir?

ÇÖZÜM: Tanım bölgesi 1, 2, 3 ve 4 tam sayılarından oluştuğundan x P(x) ifadesi P(1) ^ P(2) ^P(3) ^ P(4) birleşimi ile aynıdır. P(4) yani «42<10» yanlış olduğundan x P(x) yanlıştır.


VAROLUŞSAL NİCELEYİCİMatematiksel ifadelerin birçoğunun belli bir özelliği olan bir eleman olduğu iddia edilir. Bu türifadeler varoluşsal niceleme kullanılarak ifade edilir. Varoluşsal niceleme ile doğru bir önermeoluşturulması için gerek ve yeter şart tanım bölgesindeki en az bir x elemanı için P(x)’in doğruolmasıdır.

TANIM 2: P(x)’in varoluşsal nicelemesi «Tanım bölgesinde P(x) olacak şekilde bir x elemanıolmalıdır.» önermesidir. x P(x) gösterimini P(x)’in varoluşsal nicelemesi için kullanırız. Burada varoluşsal niceleyici olarak adlandırılır. x P(x) ifadesi kullanıldığında her zaman bir tanım bölgesibelirtilmelidir. Ayrıca, tanım bölgesi değiştiğinde x P(x) ifadesinin anlamı da değişir. Tanımkümesi belirtilmediği sürece x P(x)’in anlamı yoktur.

Bunun yanı sıra, «mevcuttur» ifadesini, «bazıları için», «en az biri için» veya «vardır» gibi diğerbir çok yollarda varoluşsal niceleme olarak ifade edebiliriz. x P(x) varoluşsal nicelemesi «P(x)olacak şekilde bir x vardır.», «P(x) olacak şekilde en az bir tane x vardır.» veya «Bazı xP(x)’leriçin» şeklinde okunur.


VAROLUŞSAL NİCELEYİCİÖRNEK: P(x) «x>3» ifadesini göstersin. Tanım bölgesi bütün reel sayılardan oluştuğunda x P(x)niceleyicisinin doğruluk değeri nedir?

ÇÖZÜM: x>3 bazen doğru olduğundan, mesela x=4 için doğrudur, P(x)’in varoluşsal niceleyicisi xP(x) doğrudur.

x P(x)’in yanlış olması için gerek ve yeter şartın P(x)’in doğru olduğu tanım bölgesinde hiç xelemanı olmadığını gözlemleyiniz. Yani, x P(x)’in yanlış olması için gerek ve yeter şart tanımbölgesindeki her x elemanı için P(x)’in yanlış olmasıdır.


Niceleyicilerin Önceliği ve niceleyicileri önermesel analizde bütün diğer mantıksal operatörlerden daha yüksekönceliğe sahiptir. Örneğin, x P(x)˅Q(x) ifadesi x P(x) ve Q(x)’in ayrılmasıdır. Başka bir ifade ilex P(x)˅Q(x) demektense (x P(x))˅Q(x) demek daha iyidir.

Değişkenleri Bağlama

x değişkeni üzerinde bir niceleyici kullanıldığında değişkenin bu oluşumu bağımlıdır deriz. Birniceleyici tarafından bağımlı olmayan veya belirli bir değerin bir cümlesine eşit bir değişkeninoluşumu bağımsızdır denir.


Niceleyicileri İçeren Mantıksal DenkliklerTANIM 3: Yüklemler ve niceleyicileri içeren ifadeler mantıksal olarak denktir ancak ve ancakhangi yüklemler olursa olsun bu ifadeler yerine konursa aynı doğruluk değerine sahip olması vebu önermesel fonksiyonlarda değişkenler için söylemin tanım kümesinin kullanılmasıgerekmektedir. ST notasyonunu mantıksal olarak yüklemler ve niceleyicileri içeren S ve Tifadelerini belirtmek için kullanırız.

Nicelendirilmiş İfadeleri Olumsuzlama (Değillerini alma)

Tablo 2. Niceleyiciler İçin De Morgan Kuralları


Değil Eşdeğer ifade Değili ne zaman doğru? Ne zaman yanlış?

¬x P(x) x ¬ P(x) Her x için P(x) yanlış P(x) doğru olacak şekilde bir x vardır.

¬x P(x) x ¬P(x) P(x) yanlış olacak şekilde bir x vardır. Her x için P(x) doğrudur.

Niceleyicileri İçeren Mantıksal Denklikler

UYARI: n sayısı 1’den büyük bir tamsayı olmak üzere bir P(x) yükleminin tanım kümesi n taneelemandan oluştuğunda ifadelerin miktarları için değilleme kuralları De Morgan kuralları ile tamolarak aynıdır. Tanım kümesi n tane x1, x2, ..., xn elemanlarından oluştuğunda De Morgan kurallarıile ¬(P(x1)^P(x2) ... ^ P(xn)) ile aynıdır ve bu x ¬P(xn) ile denk olan ¬(P(x1)˅P(x2) ˅... P(xn))’inaynısıdır ve bu x ¬P(x)’e denktir.


ALIŞTIRMALAR1. «x4» ifadesini P(x) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir?

A)P(0)

B)P(4)

C) P(6)


ALIŞTIRMALAR1. «x4» ifadesini P(x) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir?

A)P(0) Doğru

B)P(4) Doğru

C) P(6) Yanlış


ALIŞTIRMALAR2. «y’nin başkenti x’tir.» ifadesini Q(x,y) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir?

A) Q(Atina, Yunanistan)

B) Q(Tahran, İran)

C. Q(Rusya, Moskova)

D. Q(Barcelona, İspanya)


ALIŞTIRMALAR2. «y’nin başkenti x’tir.» ifadesini Q(x,y) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir?

A) Q(Atina, Yunanistan) Doğru

B) Q(Tahran, İran) Doğru

C. Q(Rusya, Moskova) Yanlış

D. Q(Barcelona, İspanya) Yanlış


ALIŞTIRMALAR3. x’in tanım kümesi bütün öğrencilerden oluşmak üzere P(x), «x derste her hafta sonu beş saatten fazla zaman geçirir.» ifadesini göstersin. Aşağıdaki niceleyicilerin her birini Türkçe olarak açıklayınız.

A) x P(x)

B) x P(x)

C. x ¬P(x)

D. x ¬ P(x)


ALIŞTIRMALAR3. x’in tanım kümesi bütün öğrencilerden oluşmak üzere P(x), «x derste her hafta sonu beş saatten fazla zaman geçirir.» ifadesini göstersin. Aşağıdaki niceleyicilerin her birini Türkçe olarak açıklayınız.

A) x P(x) Sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcayan bir öğrenci vardır.

B) x P(x) Her öğrenci sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcar.

C. x ¬P(x) Sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcamayan bir öğrenci vardır.

D. x ¬ P(x) Hiçbir öğrenci sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcamaz.


ALIŞTIRMALAR4. Tanım kümesi bütün insanlar, C(x), «x bir komedyendir.» ve F(x), «x eğlencelidir.» olmak üzere aşağıdaki ifadeleri Türkçe’ye çeviriniz.

A) x (C(x)F(x))

B) x (C(x)^F(x))

C) x (C(x)F(x))

D) x (C(x)^F(x))


ALIŞTIRMALAR4. Tanım kümesi bütün insanlar, C(x), «x bir komedyendir.» ve F(x), «x eğlencelidir.» olmak üzere aşağıdaki ifadeleri Türkçe’ye çeviriniz.

A) x (C(x)F(x)) Her komedyen komiktir.

B) x (C(x)^F(x)) Her kişi bir komedyendir.

C) x (C(x)F(x)) Bir kişi vardır ki, eğer o bir komedyen ise o zaman o komiktir.

D) x C(x)^F(x)) Bazı komedyenler komiktir.


ALIŞTIRMALAR5. P(x), «x Rusça konuşabilir.» ifadesi olsun ve Q(x), «x C++ Bilgisayar dilini bilir.» ifadesi olsun. Aşağıdaki cümlelerin her birini P(x), Q(x), niceleyiciler ve mantıksal bağlaçlar cinsinden ifade ediniz.

A) Okulunuzda Rusça konuşabilen ve C++ bilen bir öğrenci vardır.

B) Okulunuzda Rusça konuşabilen fakat C++ bilmeyen bir öğrenci vardır.

C) Okulunuzda her öğrenci ya Rusça konuşabilmekte ya da C++ bilmektedir.

D) Okulunuzda Rusça konuşabilen ya da C++ bilen hiç bir öğrenci yoktur.


ALIŞTIRMALAR5. P(x), «x Rusça konuşabilir.» ifadesi olsun ve Q(x), «x C++ Bilgisayar dilini bilir.» ifadesi olsun. Aşağıdaki cümlelerin her birini P(x), Q(x), niceleyiciler ve mantıksal bağlaçlar cinsinden ifade ediniz.

A) Okulunuzda Rusça konuşabilen ve C++ bilen bir öğrenci vardır. x (P(x) ^ Q(x))

B) Okulunuzda Rusça konuşabilen fakat C++ bilmeyen bir öğrenci vardır. x (P(x) ^ ¬Q(x))

C) Okulunuzda her öğrenci ya Rusça konuşabilmekte ya da C++ bilmektedir. x (P(x) ˅ Q(x))

D) Okulunuzda Rusça konuşabilen ya da C++ bilen hiç bir öğrenci yoktur. x ¬(P(x) ˅ Q(x))


ALIŞTIRMALAR6. P(x), «x=x2» ifadesi olsun. Eğer tanım kümesi tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin doğruluk değeri nedir?

A) P(0)

B. P(1)

C. P(2)

D. P(-1)

E. x P(x)

F. x P(x)


ALIŞTIRMALAR6. P(x), «x=x2» ifadesi olsun. Eğer tanım kümesi tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin doğruluk değeri nedir?

A) P(0) T

B. P(1) T

C. P(2) F

D. P(-1) F

E. x P(x) T

F. x P(x) F


ALIŞTIRMALAR7. Eğer tanım kümesi bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz.

A) n (n+1>n)

B) n (2n=3n)

C. n (n=-n)

D) n (3n4n)


ALIŞTIRMALAR7. Eğer tanım kümesi bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz.

A) n (n+1>n) T

B) n (2n=3n) T

C. n (n=-n) T

D) n (3n4n) T


ALIŞTIRMALAR8. Eğer değişkenlerin tanım kümeleri bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz.

A) n (n2 0)

B) n (n2 =2)

C. n (n2 n)

D) n (n2 <0)


ALIŞTIRMALAR8. Eğer değişkenlerin tanım kümeleri bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz.

A) n (n2 0) T

B) n (n2 =2) F

C. n (n2 n) T

D) n (n2 <0) F


ALIŞTIRMALAR9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz.

A. Bir hava yolu üzerinde bir yolcu eğer yolcu 1 yılda 25000 milden daha fazla uçmuşsa veya bu yıl boyunca 25 uçuş satın almışsa elit yolcu olarak sınıflandırılmaktadır.

B. Eğer bir erkeğin önceki derecelerinin en iyisi 3 saatin altında ve bir kadının önceki derecelerinin en iyisi 3,5 saatin altında ise maraton için uygundur.

C. Bir öğrenci yüksek lisans derecesi alması için en az 60 saatlik ders almalıdır veya 45 saat ders almalı ve bir yüksek lisans tezi yazmalıdır ve bütün gerekli derslerden B seviyesinden daha aşağı bir not almamalıdır.

D. Bir dönemde 21 saat krediden daha fazla ders alan ve hepsinden A alan bir öğrenci vardır.



A. Bir hava yolu üzerinde bir yolcu eğer yolcu 1 yılda 25000 milden daha fazla uçmuşsa veya bu yıl boyunca 25 uçuş satın almışsa elit yolcu olarak sınıflandırılmaktadır.

x ((F(x,25000) ˅ S(x,25))E(x), burada E(x) «Verilen yılda elit yolcu olarak seçilen x kişisi», F(x,y) «Verilen yılda y milden fazla uçan x kişisi.» ve S(x,y) «Verilen yılda y uçuştan daha fazla uçuş yapan x kişisi»dir.

B. Eğer bir erkeğin önceki derecelerinin en iyisi 3 saatin altında ve bir kadının önceki derecelerinin en iyisi 3,5 saatin altında ise maraton için uygundur.

x ((M(x) ^ T(x,3)) ˅ (¬M(x) ^ T(x,3,5)))Q(x)), burada Q(x) «Maraton için seçilen x kişisi», M(x) «x kişisi erkektir.» ve T(x,y) «Maratonu y saatten daha az bir sürede tamamlayan x kişisi» dir.



C. Bir öğrenci yüksek lisans derecesi alması için en az 60 saatlik ders almalıdır veya 45 saat ders almalı ve bir yüksek lisans tezi yazmalıdır ve bütün gerekli derslerden B seviyesinden daha aşağı bir not almamalıdır.

M((H(60) ˅ (H(45) ^ T) ^ y G(B,y), burada M »Öğrenci yüksek lisans yaptı.» önermesi, H(x) «Öğrenci en az x saat ders aldı.», T «Öğrenci tez yazdı.» önermesi ve G(x,y) «Kişi y dersinden x veya daha yüksek not aldı.» dır.

D. Bir dönemde 21 saat krediden daha fazla ders alan ve hepsinden A alan bir öğrenci vardır.

x ((T (x, 21) ^ G(x,4.0)), burada T(x,y) «y kredi saatinden fazla alan x kişisi.» ve G(x,p) «ortalama p düzeyi notu kazanan x kişisi» dir (Verilen bir sömestirdan bahsedildiğini kabul ediyoruz. Tüm derslerde A alan bir öğrencinin dönem matematik ortalaması 4 olur.)


Documents

AYRIK YAPILAR · 2015. 11. 17. · AYRIK YAPILAR Prof. Dr. Ömer Akın ve Yrd. Doç. Dr. Murat Özbayoğlu’nun Çeviri Editörlüğünü üstlendiği «Ayrık Matematik ve Uygulamaları»