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Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de FısicaFIS1533 - Electricidad y Magnetismo // 1-2018Profesor: Giuseppe De Nittis - [email protected]
Ayudantıa 19Circuitos RC
17 de Mayo de 2018
Ayudante: Matıas Henrıquez - [email protected]
1. Formulas y constantes
1.1. Leyes de Kirchhoff
Las leyes de Kirchhoff son muy importantes en el area de ingenierıa electrica ya que permiten resolvery analizar circuitos. Existen dos leyes, estas son:
Kirchhoff Voltage Law (KVL): esta ley establece que la suma de voltajes en cada malla de un circuitoes cero.
Kirchhoff Current Law (KCL): esta ley establece que el flujo neto de corriente en un nodo es 0, esdecir, toda la corriente que entra a un nodo, es la misma corriente que sale.
Al aplicar las leyes de Kirchhoff en realidad no importa el sentido de la corriente o signos de los voltajesen la medida en que uno sea consistente con los calculos. Recordar que:
Si la corriente sale del terminal positivo y entra por el negativo en un componente, este componenteentrega energıa. Por ejemplo: una fuente de voltaje (esto no quiere decir que toda fuente de voltajeentrega energıa).
Si la corriente entra por el terminal positivo y sale por el negativo en un componente, este componenteconsume energıa. Por ejemplo: un resistor. Todo resistor consume energıa, ya que por Ley de Ohm,el voltaje tiene el mismo signo de la corriente.
Recalcar que al usar KVL, uno deliberadamente puede fijar el sentido de la corriente en la malla. Loimportante es que uno sea consistente con los signos segun lo explicado anteriormente. Tambien al usarKCL, da lo mismo los sentidos de la corriente entrando o saliendo de un nodo, perfectamente todas lascorrientes pueden estar entrando o saliendo del nodo, lo importante es ser consistente.
1
1.2. Carga y descarga de un capacitor
Antes de analizar la carga y descarga de un capacitor, es necesario entender el comportamiento de loscapacitores en los circuitos. La ecuacion que obedece un capacitor esta dada por:
QC(t) = C∆VC(t) (1.1)
en donde QC(t) es la carga instantanea en el capacitor de capacitancia C en el tiempo t y ∆VC(t) esla diferencia de potencial que se encuentra el capacitor en el instante t. Si dividimos a ambos lados dela ecuacion por ∆t (considerando un intervalo de tiempo bastante pequeno) y tomando el lımite cuando∆t→ 0 se obtiene:
iC(t) = CV′
C(t) (1.2)
en donde ic(t) es la corriente instantanea en el capacitor y Vc(t) es el voltaje instantaneo a traves delcapacitor. Vemos que la corriente en el capacitor es proporcional a la derivada del voltaje en el capacitor.Esto quiere decir, cuando un capacitor se encuentra cargado a un voltaje constante DC (DC viene de DirectCurrent), entonces no circula corriente por el ya que la derivada de una constante es 0.
Sin embargo un capacitor por si solo no aparece cargado a un voltaje constante como por arte de magia.Veamos el siguiente circuito:
+−V
S1
C
vC(t)
Supongamos que el interruptor S1 esta abierto y que el capacitor esta inicialmente descargado, es decir,QC(0−) = 0 [C], esto implica que vC(0−) = 0 [V ] segun la ecuacion (1.1), es decir, la diferencia de potencialen el capacitor es nula, lo que implica que se ve como un circuito cerrado o cortocircuito.
Supongamos que justo en t = 0 el interruptor S1 se cierra, entonces el circuito equivalente justo ent = 0+ es:
+−V C
vC(0+)
vemos que el nodo vC(t) se conecta directamente a la fuente de voltaje, es decir vC(0+) = V . Sin embargoel capacitor C se ve como un cortocircuito en t = 0+, es decir, su resistencia o impedancia equivalente es 0.Por ley de Ohm, la corriente que circula por el circuito en t = 0+ esta dada por:
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iC(0+) =V
0→∞ (1.3)
es decir, literalmente un cortocircuito entre V y tierra. Esto tambien se puede demostrar matematica-mente, ya que al cerrar el switch S1 en t = 0 el voltaje en el capacitor cambia drasticamente desde 0 hastaV (esta funcion, matematicamente, se conoce como escalon o step function en ingles). Dado que la corrientees proporcional a la derivada del voltaje, como el voltaje cambia tan abruptamente, entonces la corriente espracticamente infinita (aunque en realidad limitada a la cantidad de potencia maxima que puede entregarla fuente de voltaje, sin embargo, esto no es de nuestra incumbencia por ahora). De hecho la derivada de lafuncion escalon, es la funcion impulso o δ(t) la cual tiene amplitud infinita y dura solamente un instante.
Una vez que circula corriente por el capacitor, este empieza a cargarse ya que empieza a aparecer cargaen sus terminales. Dada que esta corriente es practicamente infinita, entonces el capacitor se carga practica-mente de manera instantanea. Esto es consistente con la definicion de funcion escalon dada anteriormente.
Para evitar este peak de corriente gigante y no quemar componentes o sufrir danos por quemaduras oexplosiones, se utiliza una resistencia para poder limitar esta corriente inicial y evitar este salto de voltajeque hace que su derivada sea infinita.
El circuito es el siguiente:
+−V
R S1
C
vC(t)
Supongamos que interruptor S1 lleva mucho tiempo abierto y C se encuentra descargado, es decir,vC(0−) = 0. Ahora el interruptor se cierra en t = 0. ¿Cuanto vale la corriente inicial por el capacitor ycuanto vale la corriente y voltaje final en el capacitor una vez que ha pasado mucho tiempo con el interruptorcerrado?
Para poder responder esta pregunta vamos a aplicar lo aprendido recien. Dado que el capacitor seencuentra completamente descargado en t = 0−, entonces en t = 0+ se ve como un cortocircuito o circuitocerrado, vC(0+) = 0 , es decir:
+−V
RvC(0+)
entonces la corriente inicial por el capacitor esta dada por:
iC(0+) =V
R(1.4)
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vemos que la resistencia R pudo limitar la corriente inicial y evitar una corriente infinita.
Una vez que empieza a circular corriente en el capacitor, este se empieza a cargar y por lo tanto suvoltaje empieza a subir, segun la ecuacion (1.1). A medida que el voltaje vC(t) sube, entonces la corrientedisminuye ya que la corriente en el circuito esta dada por:
iC(t) =V − vC(t)
R(1.5)
Cuando ya ha pasado mucho tiempo con el switch S1 cerrado, mucha carga ha sido transferida alcapacitor C hasta que ya no circule corriente en el circuito, es decir:
lımt→∞
iC(t) = 0 (1.6)
esto implica que lımt→∞
vC(t) = V segun la ecuacion (1.5). Ahora busquemos el voltaje y corriente ins-
tantanea en el capacitor para todo t.
Justo en t = 0 el switch S1 se cierra. Vamos a utilizar KVL (metodo de mallas) y definimos la corrientede la malla en sentido horario. Notemos que la corriente de la malla es la corriente que pasa tanto por laresistencia como por el capacitor, iC(t). Utilizando KVL se tiene:
−V + vR(t) + vC(t) = 0 (1.7)
en donde V es el voltaje de la fuente constante, vR(t) el voltaje instantaneo de la resistencia R y vC(t)es el voltaje instantaneo en el capacitor. Notemos que el signo negativo de la ecuacion anterior denota uncomponente que entrega energıa o potencia y el signo positivo indica quienes consumen energıa o potencia.
El voltaje en la resistencia esta dado por vR(t) = iC(t)R por Ley de Ohm, utlizando la ecuacion (1.2)entonces la ecuacion de malla (1.7) queda:
vR(t) + vC(t) = V
iC(t)R + vC(t) = V
RCd
dtvC(t) + vC(t) = V
d
dtvC(t) +
vC(t)
RC=
V
RC(1.8)
Ahora debemos resolver la ecuacion (1.8) diferencial de primer orden. La solucion general esta dadopor la superoposicion de las soluciones homogeneas y particular, ası que debemos recordar EDO. Primero,resolvemos la ecuacion homogenea:
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d
dtvC(t) +
vC(t)
RC= 0
dvC(t)
vC(t)= − dt
RC(integramos a ambos lados)
ln(vC(t)) = − t
RC+ α, α ∈ R
vC(t) = e−t
RC · eα︸︷︷︸=K
vhC(t) = Ke−t
RC , K ∈ R
En donde la constante K depende de las condiciones iniciales.
Ahora encontramos la solucion particular. Dado que la parte derecha o no homogenea de la ecuacion(1.8) es constante, entonces asumimos que la solucion particular vpC(t) = A es constante (metodo de losaniquiladores visto en EDO). Introduciendo esta solucion particular en la EDO (1.8) se tiene:
d
dtA+
A
RC=
V
RC
A = V
Por lo tanto la solucion general esta dada por:
vC(t) = vhC(t) + vpC(t)
vC(t) = Ke−t
RC + V (1.9)
Ahora aplicamos las condiciones iniciales. Dado que vC(0) = 0 se obtiene que K = −V , por lo tanto:
vC(t) = V(
1− e−t
RC
)(1.10)
La ecuacion de carga general para un capacitor C en conjunto con una resistencia equivalente R, esdecir, un circuito RC conectado a una fuente de voltaje DC de valor V , el voltaje en el capacitor esta dadopor:
vC(t) = (vC(0)− V )e−t
RC + V (1.11)
en donde vC(0) es el voltaje inicial en el capacitor. Para nuestro caso anterior vC(0) = 0, y ası obtenemosla ecuacion (1.10).
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A la constante τ = RC la llamaremos constante de tiempo del circuito RC, e indica que tan rapidose carga (o descarga como veremos despues) el capacitor. Notemos que para un cortocircuito R = 0, laconstante de tiempo es 0, entonces el capacitor se carga instantaneamente.
Notemos que cuando pasa una sola constante de tiempo t = τ = RC, el circuito se ha cargado al 63 %aproximadamente (1− e−1 ≈ 0.632). La forma de onda del voltaje para condicion inicial nula lo vemos enla siguiente figura:
Figura 1: Carga de un capacitor
la corriente en el capacitor viene dada por la ecuacion (1.2):
iC(t) =
(V − vC(0)
R
)e−
tRC (1.12)
Figura 2: Carga de un capacitor: forma de onda del voltaje y corriente en este
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Ahora veamos la descarga de un capacitor. Considere el siguiente circuito:
C
+
−vC(0−)
S1
R
y suponga que el capacitor se encuentra cargado inicialmente a una diferencia de potencial vC(0−) = Vy el interruptor S1 ha estado abierto por mucho tiempo y en t = 0este se cierra. Una vez que se cierra elinterruptor S1 empiezan a fluir cargas por R (el capacitor cargado le entrega energıa a la resistencia) y porende una corriente. A medida que el capacitor entrega carga, el voltaje en sus bornes va disminuyendo (adiferencia de una fuente de voltaje, ya que las cargas que dan la vuelta completa en el circuito, al llegar a lafuente de voltaje son energizadas nuevamente, en cambio el capacitor no ya que actua como una baterıa concapacidad limitada). Si el voltaje en sus bornes va disminuyendo, tambien lo hace la corriente en magnitud.
Para resolver el circuito utilizaremos KVL asignando la corriente de la malla iC(t) en sentido horario.Por lo tanto:
vC(t) = iC(t)R
vC(t) = −RC d
dtvC(t) (1.13)
el signo negativo es porque el voltaje va disminuyendo y la corriente en el capacitor es proporcional ala derivada de esta (recordar que se considero en sentido horario). Por lo tanto la ecuacion diferencial quedebemos resolver es la siguiente:
d
dtvC(t) +
vC(t)
RC= 0 (1.14)
la solucion de esta ecuacion diferencial ya la calculamos anteriormente, y esta dada por:
vC(t) = Ke−t
RC (1.15)
en donde K es una constante real que depende de la condicion inicial. Dado que vC(0) = V entoncesK = V y se tiene:
vC(t) = V e−t
RC (1.16)
y la corriente por definicion:
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iC(t) = −VRe−
tRC (1.17)
y el signo negativo es consistente ya que la corriente va en sentido horario.
1.3. Equivalente Thevenin y Norton (Opcional - Avanzado)
Un circuito puede ser representado a traves de una funcion que relaciona una senal de salida con unasenal de entrada, es decir:
xout = f(xin) (1.18)
en donde xin es la senal de entrada y xout es la senal de salida. Sea la entrada x1 que entrega una saliday1 = f(x1) y otra entrada x2 que entrega una salida y2 = f(x2). Sean las constantes reales α y β, entoncesse dice que un circuito es lineal cuando se cumple que:
f(αx1 + βx2) = αf(x1) + βf(x2)
= αy1 + βy2 (1.19)
Existen circuitos en la realidad que son lineales como tambien circuitos no lineales los cuales son linea-rizados en un punto de operacion.
Todo circuito lineal tiene una representacion equivalente Thevenin o Norton vista desde un puerto:
Equivalente Thevenin:
b
a
≡ +−Vth
Rth
a
b
Linear CKT
en donde el voltaje Thevenin Vth corresponde al voltaje visto desde el puerto ab con el puerto abierto,es decir Vth = Vab y la resistencia equivalente de Thevenin que corresponde a la resistencia equivalentevista desde el puerto ab, lo cual ya sabemos calcular.
Equivalente Norton:
b
a
≡Isc
a
Rnorton
b
Linear CKT
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en donde la corriente de corto circuito (short circuit current) se calcula cortocircuitando el puertoab y midiendo la corriente de cortocircuito. La resistencia equivalente Norton es la misma resistenciaequivalente Thevenin. Notemos que:
Rnorton = Rth (1.20)
Vth = IscRth (1.21)
Para calcular la resistencia equivalente vista desde el puerto ab es necesario apagar todas las fuentesindependientes del circuito lineal.
• Las fuentes de voltaje se apagan cortocircuitandolas:
b
+−V
a
⇒
b
a
• Las fuentes de corriente se apagan dejandolas en circuito abierto:
b
a
I ⇒
b
a
Reducir un circuito lineal a su equivalente Thevenin resulta muy conveniente para circuitos de primerorden ya que ası podemos utilizar directamente la ecuacion (1.11) sin tener que utilizar Kirchhoff yresolver la EDO. Veamos el siguiente ejemplo, considere el siguiente circuito:
+−V
R1 S1
R2 C
vC(t)
Suponga que el interruptor S1 lleva abierto mucho tiempo y que el capacitor C esta descargado. Elinterruptor se cierra en t = 0, en este instante el circuito equivalente es:
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+−V
R1
R2 C
vC(t)
a
b
Veamos el circuito equivalente Thevenin visto desde el puerto ab:
+−V
R1
R2
a
b
Tenemos que el voltaje de thevenin Vth esta dado por:
Vth = Vab =R2
R1 +R2
V (1.22)
y ahora apagamos la fuente de voltaje V como un cortocircuito y vemos que la resistencia equivalentevista desde el puerto ab es:
Rth = R1 || R2 =R1R2
R1 +R2
(1.23)
Por lo tanto podemos simplicar el circuito a su circuito equivalente de primer orden:
+−R2
R1 +R2
V
R1R2
R1 +R2
C
vC(t)
Utilizando la ecuacion (1.11) y recordando la condicion inicial vC(0) = 0 se obtiene:
vC(t) =R2
R1 +R2
V ·(
1− e−t(R1+R2)CR1R2
)(1.24)
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2. Problemas
Problema 1
Considere el circuito de la siguiente figura:
+−V
S1
R2
R1
C
R3
el interruptor S1 ha estado cerrado por un perıodo de tiempo muy largo.
(a) ¿Cual es la corriente en cada resistencia?
Respuesta:
Dado que el interruptor S1 ha estado cerrado por mucho tiempo, el capacitor C se encuentracompletamente cargado, lo que implica que no circula corriente por el, y por ende tampococircula corriente por R3. Por lo tanto el circuito equivalente para t < 0 es:
+−V R2
R1
Notemos que R2 esta en paralelo con C serie R3. Dado que no circula corriente por la rama Cserie R3 la caıda de potencial en R3 es 0, lo que implica que el voltaje en el capacitor C es elmismo voltaje que en R2, es decir, vC(0−) = vR2(0
−). Este voltaje esta dado por:
vC(0−) = vR2(0−) =
R2
R1 +R2
V
luego las corrientes por R2 y R1 estan dadas por:
IR1(0−) = IR2(0
−) =vR2(0
−)
R2
=V
R1 +R2
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(b) ¿Cual es la carga en el condensador C?
Respuesta:
La carga en el condensador C es:
Q(0−) = CvC(0−) =R2C
R1 +R2
V
(c) En t = 0 se abre el interruptor S1. Encuentre la corriente que pasa por la resistencia R2 en funciondel tiempo.
Respuesta:
El circuito equivalente cuando se abre el interruptor en t = 0 es el siguiente:
R2
C
+ −vC(t)
R3
Para resolver el circuito utilizaremos KVL y supondremos que la corriente iC(t) de la malla vaen sentido antihorario, entonces por KVL:
vC(t) = vR2(t) + vR3(t)
= (R2 +R3)iC(t) = −(R2 +R3)Cd
dtvC(t)
d
dtvC(t) +
vC(t)
(R2 +R3)C= 0
resolviendo la ecuacion diferencial se obtiene:
vC(t) = Ke− t
(R2+R3)C
en donde K es una constante real que depende de la condicion inicial. Utilizando la condicioninicial:
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vC(0+) = vC(0−) = K =R2
R1 +R2
V
Por lo tanto el voltaje en el capacitor esta dado por:
vC(t) =R2
R1 +R2
V · e−t
(R2+R3)C
Notar que esta ecuacion se pudo haber obtenido directamente de la ecuacion (1.16) ya que la re-sistencia equivalente vista desde el puerto donde esta el capacitor C (cuando el interruptor S1 estaabierto) es simplemente R2 +R3, y el voltaje inicial del capacitor lo encontramos anteriormente.
Ahora calculemos la corriente en el capacitor:
iC(t) = Cd
dtvC(t) = − R2
(R1 +R2)(R2 +R3)V e− t
(R2+R3)C
por definicion esta es la corriente que pasa a traves del capacitor (en sentido de terminal positivoal negativo, como si fuera un elemento que consume energıa). Luego:
iR2(t) = −iC(t) =R2
(R1 +R2)(R2 +R3)V e− t
(R2+R3)C
(d) ¿Cuanto tiempo debe pasar para que la carga en C disminuya hasta 4/5 del valor en t = 0?
Respuesta:
La carga en el capacitor esta dado por:
q(t) = CvC(t) =R2
R1 +R2
CV · e−t
(R2+R3)C
buscamos t0 tal que:
e− t0
(R2+R3)C =4
5
t0 = (R2 +R3)C ln
(5
4
)
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Problema 2
Se tienen dos condensadores C1 y C2 con cargas iniciales Q1(0) = Q y Q2(0) = 0 respectivamente. Loscondensadores estan conectados a una resistencia R como indica la figura abajo. En el instante t = 0 secierra el switch. Suponga que C1 = C2 = C.
Determine la ecuacion diferencial que satisface Q2(t).
Respuesta:
Por conservacion de la carga electrica se cumple que:
Q1(t) +Q2(t) = Q, ∀t
Una vez que se cierra el switch, el circuito equivalente es el siguiente:
C1
+ −vC1(t) C2
+−vC2(t)
R
Quizas uno se pregunte por que la polaridad de los voltajes en los capacitores es ası. Aquı se supusoque la corriente va en sentido antihorario. Lo importante es que las polaridades de C1 y C2 son distintas,ya que C1 se va descargando (entregando carga) y C2 se va cargando (recibiendo carga). Si fijamos lacorriente en sentido horario, las polaridades se invierten.
Aplicando KVL se tiene:
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i(t)R + vC2(t)− vC1(t) = 0
i(t)R +Q2(t)
C− Q1(t)
C= 0
i(t)R +2Q2(t)−Q
C= 0
i(t) =Q− 2Q2(t)
RC
la corriente i(t) se dispuso en sentido antihorario, y esta carga el capacitor C2, por lo tanto:
i(t) =dQ2(t)
dt
reemplazando se obtiene:
dQ2(t)
dt=
Q− 2Q2(t)
RC
Problema 3
Considere el siguiente circuito en donde el interruptor S1 ha estado cerrado por un tiempo muy largo:
+−V1
R1
I1
S1
R2 C
+
−vC(t)
en t = 0 el interruptor S1 se abre.
(a) Calcule el voltaje en el capacitor para t < 0.
Respuesta:
El interruptor ha estado cerrado por mucho tiempo por lo tanto el capacitor esta completamentecargado y no circula corriente por el, el circuito equivalente es el siguiente:
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+−V1
R1
I1 R2
+
−vC(0−)
Utilizando KCL en el nodo compartido por R1, R2 e I1 se tiene:
iR1(0−) + I1 = iR2(0
−)
V1 − vC(0−)
R1
+ I1 =vC(0−)
R2
despejando vC(0−) se obtiene:
vC(0−) =R2
R1 +R2
V1 + I1(R1 || R2)
(b) Determine la corriente en R2 para t > 0.
Respuesta:
En t = 0 el interruptor S1 se abre, y el circuito equivalente es simplemente:
C
+
−vC(t)R2
con condicion inicial:
vC(0) = vC(0+) = vC(0−)
=R2
R1 +R2
V1 + I1(R1 || R2)
la resistencia equivalente que ve el capacitor C es simplemente R2, por lo tanto el capacitor sedescarga con una constante de tiempo R2C. Utilizando la ecuacion (1.16) se obtiene:
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vC(t) =
(R2
R1 +R2
V1 + I1(R1 || R2)
)e− t
R2C
Por lo tanto la corriente en la resistencia R2 para t > 0 es:
iR2(t) =vC(t)
R2
=1
R2
(R2
R1 +R2
V1 + I1(R1 || R2)
)e− t
R2C
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