Az egyszeres függesztőmű erőjátékáról A címbeli szerkezet az 1. ábrán szemlélhető, részleteivel is.

1. ábra – forrása: [ 1 ] A szerkezet működésének jellemzése: ~ a vízszintes kötőgerenda a két végén szabadon felfekszik, a közepén pedig egy süllyedő többlet - támasz segíti a terhek hordását; ~ a süllyedő támaszt egy függesztő oszloppal valósítják meg, amely a kötőgerenda csavaros felemelését – túlemelését – is lehetővé teszi; ~ a függesztő oszlop felső végét a két dúc tartja, melyek alsó végükkel a kötőgerendához csatlakoznak; ~ a folytatólagos kötőgerenda közvetlen koncentrált és megoszló terhelést is kaphat. Az elemek jellemző igénybevételei: ~ kötőgerenda: hajlítás + nyírás + húzás; ~ függesztő oszlop: húzás; ~ dúcok: nyomás. A kötőgerenda húzását a ferde dúcerő vízszintes összetevője adja.

2

Az 1. ábráról jól leolvashatók az ismert szerkesztési szabályok. Az egyszeres függesztőművet érdemes összehasonlítani a „rokon” szerkezettel: az egyszeres feszítőművel. Ehhez lásd az előző dolgozatot is, melynek címe: Az egyszeres feszítőmű erőjátékáról. Annál a szerkezetnél a közbenső süllyedő támaszt a fix aljzatra támaszkodó dúcpár biztosította; itt viszont a dúcpár a szerkezet egy saját eleméhez csatlakozik. Ez az eltérés lényeges lehet. Bár értjük – [ 2 ] – , hogy az ilyen jellegű – statikailag határozatlan, fa anyagú, fém kötőelemekkel készített, túlemelést is alkalmazó – szerkezetek pontos számítása szinte reménytelen feladat, azért a szerkezet működésének minőségi képe tisztábban felvázol -ható egy akár csak becslő jellegű erőtani számítás kapcsán is. Most erre teszünk kísérle -tet. Megemlítjük, hogy fém anyagú, hasonló jellegű szerkezetek esetében jóval megbíz -hatóbb eredményekre számíthatunk. Ilyen számítások találhatók [ 3 ] - ban is.

Számítás túlemeléssel A szerkezet és felvett terhelésének vázlata a 2. ábra szerinti.

2. ábra Az erőjáték közelítő elemzése az alakváltozásokkal kapcsolódik össze. Képzeljük el, hogy a szimmetrikus szerkezet különböző merevségű részekből áll. Először úgy vesszük, hogy csak a gerenda deformálódik, a dúcok és az oszlop végtelenül merevek – I. eset.

3

A gerenda és az oszlop vége közötti távolságot csavaros megoldás alkalmazásával vál -toztatjuk, a túlemelés során – 3. ábra.

3. ábra Az ábrákon Δ0 - val jelöltük a a gerenda felső síkja és az oszlop végkeresztmetszete közti távolságot, a szerkezet terheletlen állapotában, Δ1 - gyel ugyanezt az előfeszített , azaz túlemelt állapotában. A mellékábra szerint a középső keresztmetszet, valamint a felső szélén elhelyezkedő C pont felfelé történő elmozdulása:

C,I 0 1f . ( 1 ) Az ismert szilárdságtani képlettel – [ 4 ] – :

3I g

C,Ig

X lf .

48 E I

( 2 )

Most ( 1 ) és ( 23 ) - vel:

3I g

0 1g

X l,

48 E I

innen:

0 1I 3

g

g

X .l

48 E I

( 3 )

A ( 3 ) képlettel számolhatjuk ki a kívánt nagyságú – itt fC,I – túlemelést előidéző erő nagyságát, ha a dúcokat és az oszlopot merevnek képzeljük. A Δ0 és a Δ1 mennyiségek a szerkezeten lemérhetők.

4

Most térjünk rá arra az esetre – II. eset – , amikor az egyébként terheletlennek képzelt szerkezet elemei véges merevségűek! A túlemelést biztosító XII erőnagyság meghatáro -zása ekkor az alábbi. Tekintsük meg ehhez a 4. ábrát is!

4. ábra Innen leolvasható, hogy most a C pont felemelkedése:

C,II 0 1f h . ( 4 ) Látjuk, hogy a kötőgerenda felemelkedése most kisebb, mint az előző esetben. A Δh mennyiség két részből tevődik össze:

dúc oszloph h h . ( 5 ) Minthogy mindkettőt az XII erő okozza, és egyenes arányosság áll fenn, ezért írhatjuk:

dúc II 1,dúc

oszlop II 1,oszlop

h X ,h X ;

( 6 )

most ( 5 ) és ( 6 ) - tal:

II 1,dúc 1,oszloph X . ( 7 ) Most ( 2 ) - höz hasonlóan:

3II g

C,IIg

X lf ;

48 E I

( 8 )

majd ( 4 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal:

3II g

0 1 II 1,dúc 1,oszlopg

X lX ,

48 E I

innen:

3g

II 1,dúc 1,oszlop 0 1g

lX ,

48 E I

5

ebből pedig:

0 1II 3

g1,dúc 1,oszlop

g

X .l

48 E I

( 9 )

Hasonlítsuk össze XI és XII - t! ( 3 ) és ( 9 ) - ből kiolvasható, hogy

I IIX X . ( 10 ) A túlemelés nagysága most ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

3g

0 1g

C,II 3g

1,dúc 1,oszlopg

l48 E I

f .l

48 E I

( 11 )

Persze, az eddigi képletek jó része csak azután lesz tényleg használható, ha megadjuk a bennük szereplő δ1,dúc és δ1,oszlop kifejezéseket. Erre hamarosan sor kerül. Végül foglalkozzunk az eredetileg kitűzött feladat esetével – III. eset! Működjön a szerkezetre a 2. ábra szerinti P koncentrált erő és a q intenzitású egyenlete -sen megoszló terhelés, valamint a túlemelést megvalósító XII emelő erő! Ekkor a szuperpozíció alkalmazásával:

C,III P q C,IIf f f f ; ( 12 ) felhasználva – [ 4 ] – , hogy

3g

Pg

4g

qg

P lf ,

48 E I

q l5f ,384 E I

( 13 )

( 11 ), ( 12 ) és ( 13 ) - mal kapjuk, hogy

3g

0 13 4g g g

C,III 3gg g

1,dúc 1,oszlopg

l48 E IP l q l5f .

l48 E I 384 E I48 E I

( 14 )

6

Ha kirójuk a szerkezetre az C,IIIf 0 ( 15 )

feltételt, akkor ( 14 ) és ( 15 ) - ből meghatározható az ezt megvalósító Δ1 érték. Fennáll, hogy

3g

0 1 3 4g g g

3g g g

1,dúc 1,oszlopg

l48 E I P l q l5 .

l 48 E I 384 E I48 E I

( 16 )

Innen ( 9 ) - cel is:

3 4g g

g g0 13 3g g

1,dúc 1,oszlopg g

4g

gg3

g

g

P l q l548 E I 384 E I

Xl l

48 E I 48 E I

q l5384 E I 5 P P q l ,

l 848 E I

( 16 / 1 )

tehát az eredmény ( mint egy merev középső támasz esetén – [ 4 ] – ):

g5X P q l .8

( 17 )

A δ1,dúc kifejezés számítása a következő – 5. ábra.

5. ábra Pitagorász tételével:

7

2g 2 2l

h s ;2

( a )

2

2 2gdúc

lh h s s ;

2

( b )

utóbbit kifejtve:

2

2 2g 2 2dúc dúc

lh 2 h h h s 2 s s s ;

2 ( c )

most figyele mbe véve, hogy

2dúc

2

h 0,

s 0,

( d )

(c ) és ( d ) - vel: 2

g 2 2dúc

lh 2 h h s 2 s s;

2 ( e )

majd ( a ) és ( e ) - vel: dúch h s s, ( f )

innen az 5. ábra jelöléseivel:

dúc dúchs h sin h .s

( 18 )

Ha a dúcokban ébredő nyomóerő nagysága S, akkor a dúcok összenyomódása Hooke törvénye szerint:

dúc

S ss .E A

( 19 )

Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

dúcdúc

S ssin h ;E A

( 20 )

az 5. ábra szerint:

g

g

ll2s ;

cos 2 cos

( 21 )

ezután ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:

8

g

dúcdúc

S lsin h ,

E A 2 cos

innen:

g

dúcdúc

S lh .

E A 2 sin cos

( 22 )

Most tekintsük a 6. ábrát, mely az X erővel terhelt D csomópont egyensúlyát fejezi ki!

Majd ( 22 ) és ( 23 ) - mal:

g

dúc 2dúc

X lh .

E A 4 sin cos

( 24 )

Innen kapjuk, hogy

gdúc

1,dúc 2dúc

lh .X E A 4 sin cos

( 25 )

Most ( 9 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

X 2 S sin , innen:

XS .2 sin

( 23 )

6. ábra

A δ1,oszlop kifejezés számítása a következő – 7. ábra. Hooke törvénye szerint:

oszlop

oszloposzlop

X hh ;

E A

innen:

oszlop oszlop

1,oszloposzlop

h h.

X E A

( 26 )

7. ábra

9

0 1II 3

g g oszlop2

g dúc oszlop

X .l l h

48 E I E A 4 sin cos E A

( 27 )

Majd ( 11 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

3g

0 1g

C,II 3g g oszlop

2g dúc oszlop

0 1

g g oszlop3 2g dúc oszlop

l48 E I

fl l h

48 E I E A 4 sin cos E A

,48 E I l h

1l E A 4 sin cos E A

tehát:

0 1C,II

g g oszlop3 2g dúc oszlop

f .48 E I l h

1l E A 4 sin cos E A

( 28 )

Ezután ( 14 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

3 4g g 0 1

C,IIIg g g g oszlop

3 2g dúc oszlop

P l q l5f .48 E I 384 E I 48 E I l h

1l E A 4 sin cos E A

( 29 ) Majd ( 15 ) és ( 29 ) - cel:

3 4g g0 1

g gg g oszlop3 2g dúc oszlop

P l q l5 ,48 E I 384 E I48 E I l h

1l E A 4 sin cos E A

3 4g g oszlop g g

0 1 3 2g dúc oszlop g g

48 E I l h P l q l5* 1 ,l E A 4 sin cos E A 48 E I 384 E I

más alakban – v.ö. ( 16 / 1 )! – :

10

3g g oszlop

0 1 g2g dúc oszlop

l l h 5* P q l ,48 E I E A 4 sin cos E A 8

( 30 ) vagyis a lehajlásmentes eset eléréséhez szükséges gerenda ~ oszlopvég - távolság, amennyit a csavarorsóval állítani kell a szükséges túlemelés eléréséhez:

3g g oszlop

1 0 g2g dúc oszlop

l l h 5* P q l .48 E I E A 4 sin cos E A 8

( 31 ) Megjegyzések: M1. Természetesen feltesszük, hogy van elég menet a csavaron, valamint, hogy a szerkezet elemei mindvégig a rugalmas tartományban dolgoznak. M2. Ez nem az a számítás, ezek nem azok az eredmények, amelyek e szerkezettel fog -lalkozó művekben általában megtalálhatók; ugyanis itt a C keresztmetszet lehajlás -mentességének feltételével dolgoztunk, míg a szokásos számításokban a lehajlás középen általában nem nulla – ld. alább! M3. Láttuk, hogy a túlemelés és megterhelés utáni behajlásmentesség feltételéből követ -kezik, hogy a közbenső támasz úgy viselkedik, mintha merev lenne. Eszerint a szerkezet gerendája merev háromtámaszú gerendaként működik, függetlenül a merevségi viszo -nyoktól. Ez lényegesen leegyszerűsíti a további erőtani számítást. Ezt most nem folytat -juk tovább.

Számítás túlemelés nélkül

Ehhez tekintsük a 8. ábrát!

8. ábra

11

Eszerint a C pont függőleges elmozdulása:

C dúc oszlopf h h ; ( 32 ) másrészt:

C P q Xf f f f ; ( 33 ) most ( 32 ) és ( 33 ) - mal:

P q X dúc oszlopf f f h h ; ( 34 ) majd ( 2 ), ( 6 ), ( 13 ), ( 25 ), ( 26 ) szerint:

3 4 3g g g g oszlop

2g g g dúc oszlop

P l q l X l l h5 X X ,48 E I 384 E I 48 E I E A 4 sin cos E A

innen:

3 3 4g g oszlop g g

2g dúc oszlop g g

l l h P l q l5X ,48 E I E A 4 sin cos E A 48 E I 384 E I

ebből:

3 4g g

g g3g g oszlop

2g dúc oszlop

P l q l548 E I 384 E I

X ,l l h

48 E I E A 4 sin cos E A

( 35 / 1 )

vagy

g

g g oszlop3 2g dúc oszlop

5P q l8X ,

48 E I l h1

l E A 4 sin cos E A

( 35 / 2 )

illetve a

g oszlop

2dúc oszlop

l hE A 4 sin cos E A

( 36 )

rövidítő jelöléssel, ( 35 / 2 ) és ( 36 ) - tal a közbenső támaszerő nagysága:

12

g

g3g

5P q l8X .

48 E I1

l

( 37 )

A középső keresztmetszet lehajlása ( 32 ) alapján:

g oszlop

C 2dúc oszlop

l hf X ,

E A 4 sin cos E A

( 38 )

vagy ( 35 / 2 ) és ( 38 ) szerint:

g oszlop2

dúc oszlopC g

g g oszlop3 2g dúc oszlop

l hE A 4 sin cos E A5f P q l ,

8 48 E I l h1

l E A 4 sin cos E A

( 39 )

illetve ( 36 ) és ( 39 ) - cel:

C gg

3g

5f P q l .48 E I8

1l

( 40 )

A ( 36 ), ( 37 ), ( 40 ) képletekből kiolvasható, hogy igen merev oszlop és dúcok esetén:

g

C

0,5X P q l ,8

f 0.

( 41 )

Ez megfelel a korábban kapott eredményeknek. Az igénybevételek megállapításához az alábbiakat mondhatjuk. ~ A függesztő oszlopban ébredő húzóerő nagysága: X ( 35 / 2 ) képlet. ~ A dúcerők nagysága: S ( 23 ) képlet. ~ A gerendában ébredő H húzóerő nagysága:

X cos XH S cos .2 sin 2 tg

( 42 )

13

~ A gerendában ébredő M hajlítónyomaték és Q nyíróerő lefutásának meghatározása most már az adott külső erőkkel terhelt kéttámaszú tartónál szokásos módon történik. Megjegyzés: Az eddigi számítások eredményei az egyszeresen alulfeszített gerenda legegyszerűbb esetében is alkalmazhatóak. A 9. ábra segíthet ennek belátásában.

9. ábra Az egyszeres függesztőműnél a dúcok nyomottak, az oszlop húzott, míg az egyszeresen alulfeszített gerenda esetében a feszítőrudak húzottak, az oszlop pedig nyomott elem. Irodalom: [ 1 ] – Kollányi Béla: Ácsmunka Ipari Szakkönyvtár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. [ 2 ] – Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ 3 ] – A. A. Vojevodin: Predvarityelno naprjazsennüje szisztemü elementov konsztrukcij Sztrojizdat, Moszkva, 1989. [ 4 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár

Sződliget, 2011. április 21.