Embed Size (px)
Citation preview
Ugao izmedju dva vektora je ugao za koji treba zarotirati jedan od njih da bi se poklopio po pravcu I smeru sa drugim vektorom.
a
b
a
b
),( ba
),( ab
UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA
Skalarni proizvod dva vektora i je skalar, koji je jedanak proizvodu intenziteta vektora i kosinusa ugla izmedju njih.
a
b
ba
O
x
y
z
A
a
B
b
cos baba
a
b
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA
O
x
y
z
A
a
B
b
cos baba
Osobine skalarnog proizvoda
abba
bababa cabacba
022 aaaa 00 aaa
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA
O x
y
z
A
a
B
b
zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,
zzyyxx babababa
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
1 0 0
0 1 0
0 0 1
i
j
k
i
j
k
PRIMER
)2,1,1( a )4,1,1( b
84)2()1(111 ba
)2,5,1( a )4,1,1( b
124)2()1(511 ba
)2,2,1( a )3,1,1( b
33)2()1()2(11 ba
Izračunati skalarni proizvod datih vektora:
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐ USLOV ORTOGONALNOSTI DVA VEKTORA
O
x
y
z
A
a
B
b
cos baba
Dva nenula vektora su ortogonalni ako I samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli.
0900 ba
zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,
00 zzyyxx babababa
Uslov ortogonalnosti vektora zadatih pomoću koordinata
)2,3,3(a )3,6,4( b
Vektori
Su ortogonalni zato sto je
061812)3(2634)3( ba
)2,3,3(a )2,6,4( b
Vektori
nisu ortogonalni zato sto je
0241812)2(2634)3( ba
PRIMER
)2,3,(a ),6,4( b
3
PRIMER
Odrediti vrednost parametra tako da su vektori
ortogonalni. i
02634 ba
0 baba
0186
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐ UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA
O
x
y
z
A
a
B
b
baba
cos
zyx aaaa ,,
zyx bbbb ,,
zzyyxx babababa
cos baba
222222cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
PRIMER
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. OB je dijagonala donje osnove te kocke. Odrediti kosinus ugla izmedju vektora i
1a
OA OB
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
a
xa
ya
za )1,1,1( OAa
)0,1,1( OBb
2b
3a
baba
cos
36
32011111cos
PRIMER
)1,0,1(a )1,1,0( b
Odrediti ugao izmedju vektora i .
baba
cos
21
221
1)1(010111)1(001cos
222222
0603
ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA
O
x
y
z
a
B
b
bortaaab
cosPr
bbbort
0Pr ab
A
A
ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA
O x
y
z
a
B
b
bortaaab
cosPr
bbbort
0Pr ab
AA
VEKTORSKI PROIZVOD
a
b
bac
Vektorski proizvod vektora i je vektor čiji je intezitet jednak površini paralelograma konstruisanog nad vektorima i , pravac normalan na ravan odredjenu tim vektorima, a smer je takav da vektori , , čine trijedar iste orjentacije kao i koordinatni sistem.
bac
a b
a
b
a
b
c
VEKTORSKI PROIZVOD
bac
bababacP
,sin
bcac
,a
b
P
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ OSOBINE
a
b
bac
baab
bababa
cabacba
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE
i
j
k
0
0
0
i
i
j
j
k
k
k
k
j
j
i
i
i
j
k
zyx aaaa ,,
zyx bbbb ,,
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
xyyxxzzxyzzy
zyxzyx
babakbabajbabaiba
kbjbibkajaiaba
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE
zyx
zyxyx
yx
zx
zx
zy
zy
bbbaaakji
bbaa
kbbaa
jbbaa
iba
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx bbaa
kbbaa
jbbaa
ibbbaaakji
ba
Izracunati determinantu, drugog I treceg reda
19107224331
21321
1423
2143231212
5)3(34)1(4331
221222112221
1211 aaaaaaaa
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA
PRIMER
a
b
bac
Izračunati vektorski proizvod vektora
)2,1,1( a
)0,1,1(b
1111
0121
0121
011211
kjikji
ba
jiba 22
)0,2,2( ba
PRIMER
Za date vektore )2,1,1( a )2,0,1(b
)1,4,2( ba
0111
2121
2021
201211 kji
kjiba
kjiba
42
)1,4,2()1,4,2( baab
Izračunati i . ba
ab
PRIMER
Izračunati površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima:
a
b
P
)2,5,1( a )2,0,1( b
201251
kji
ba
kiba 510 )5,0,10( ba
0151
2121
2025
kjiba
55125)5(010 222 baP
PRIMER
a
b
P
Izračunati površinu trougla konstruisanog nad datim vektorima:
)2,5,1( a )2,0,1( b
201251
kji
ba
kiba 510 )5,0,10( ba
0151
2121
2025
kjiba
255125
21)5(010
21
21 222 baP
