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© Gouvernement du QuebecMinistere de l'Education, 1981

Depot h!gal - quatrieme trimestre 1981Bibliotheque nationale du Quebec.

En fait, Ie portrait-modele a trois dimensions:I'intellectuelle, la socio-affective et la psycho-motrice. Chaque rubrique correspondrait alorsa un objectif donne. Ainsi, on pourrait utiliser,par exemple, une fiche comportant trois par-ties, une par dimension; pour chaque objectif,serait dressee une Iiste de comportementspossibles. Ce serait I'instrument principal d'e-valuation.

On peut penser egalement a un ensemble demises en situation de difficultes graduees pourla classe, pour des sous-groupes, pour desindividus de sorte que les situations puissentpermettre I'observation de comportementsrelies aux objectifs vises. Enfin, on peut prevoirun ensemble de taches, de plus en plusdifficiles et complexes, qui permettent I'obser-vation du progres des eleves dans la poursuitede certains objectifs.

Voila donc, brosse rapidement, un tableaudes moyens d'evaluation que I'on peut utiliserdans une tentative d'evaluation des objectifsde formation generale; Ie meilleur moyenpour recueillir les informations pertinentes acette fin, c'est /'observation. Bien differentede la technique de I'examen, I'observationamene I'enseignant a regarder I'enfant, aanalyser ses comportements, a noter ce qu'ilfait, la fa90n dont ille fait, Ie temps qu'il prendpour Ie faire, etc.

En ce qui concerne les situations a observer, ilfaut etre selectif et fonder ses choix sur lanature des attitudes que I'on veut evaluer.Observer la capacite d'un eleve d'evaluerdifferentes solutions pour an probleme deman-de une situation bien differente de celie quiest requise pour observer son souci de bienpresenter ses travaux de mathematique.

L'age des enfants peut egalement influer surla difficulte et la complexite des taches qu'onleur demande d'accomplir. II va de soi que cestaches doivent toujours s'articuler autour desituations bien reelles si I'on veut soutenirleur interet et ne pas fausser les evaluationsqu'on fait de leurs comportements.

6.2.3 Exemples d'applications

II peut s'agi r, par exemple, d'une classe d'eco-liers de 7 ans pour laquelle on a elabore unegrille d'observation comprenant les trois sec-tions mentionnees plus haut: formation intel-lectuelle, developpement psychomoteur etdeveloppement socio-affectif. Sous chacunede ces rubriques, on retrouve des objectifs decomportements observables chez des enfantsde cet age.

Si I'on veut, par exemple, evaluer Ie comporte-ment des enfants relativement a I'objectifsuivant: "Participer a une discussion ... »1,on pourra alors, au cours d'echanges entreles enfants, et a plusieurs reprises, notersoigneusement sur des fiches les points fortset les points faibles de chacun. Les enfantspeuvent egalement etre invites a faire eux-memes une evaluation personnelle de leurcomportement en pareilles circonstances.

A I'occasion, on observe ainsi Ie comporte-ment des eleves, en concentrant par exempleses observations sur deux ou trois eleves enparticulier au cours d'une journee, tout ens'appliquant a noter au passage les com porte-ments d'autres eleves qui meritent de I'etre.On peut utiliser a cette fin une fiche generalecomportant une ligne par eleve et une colonnepar objectif, ou I'on peut consig ner les observa-tions sous une forme codee. Ainsi, pendantI'activite de sciences, Louis a releve I'aspectmathematique de la situation; alors, vis-a-visson nom et sous I'objectif 52, on note: " E9 :

1. Programme de matMmatique, chapitre 4, objectifs deformation generale, do maine socio-affectif.

2. Programme de matMmatique, chapitre 5, objectifs deformation generale, domaine socio-affectif.

Chapitre 6Mesure et evaluation6.1 Introduction

II importe au debut de ce chapitre d'etablirune nette distinction entre la fonction demesure et celie d'evaluation. Mesurer, dans Iepresent contexte, c'est recueillir des informa-tions au sujet des connaissances et du rende-ment des eliwes tandis qu'evaluer veut direporter des jugements sur la chose mesureegrace aux informations recueillies par la mesu-reoDans cette optique, I'analyse des resultatsdes mesures peut donner lieu a deux typesprincipaux de jugements: I'evaluation formati-ve et I'evaluation sommative.

De fa90n habituelle, a I'ecole, on consigne Ieresultat des mesures au bulletin scolaire. Cesmesures, sur une echellede 100 ou de5 (A, B,C, D, E), servent alors de base a I'evaluationde la situation pour ceux qui utilisent Iebulletin scolaire: les administrateurs scolaires,les parents, les professionnels, les maitres etles enfants. Chacun fait une sorte de bilan.Chacun fait une evaluation sommative. Pour-quoi cette evaluation sommative? Pour deci-der des attitudes a prendre vis-a-vis de I'enfantou des actions a poser: I'encourager, Ie felici-ter, Ie surveiller, I'aider, operer son classement, .I'admettre a la promotion, etc.

Lorsqu'on considere Ie resultat des mesures,non plus pour dresser un bilan des apprentissa-ges, mais plut6t pour intervenir dans Ie develop-pement de ces memes apprentissages, I'onprocede a une evaluation formative: Qu'est-ce qui est reussi? Qu'est-ce qui ne I'est pas?Qu'est-ce qui n'est pas maitrise? Etc. Parexemple, Ie maitre et I'eleve font de I'evaluationformative quand, a la suite des resultats obte-nus dans une epreuve d'examen, ils decidentde travailler davantage a I'apprentissage d'unenotion, de proceder differemment dans leursdemarches, d'operer des revisions ou bien dereprendre certaines manipulations. On faitencore de I'evaluation formative quand ondecide de poursuivre une demarche parcequ'on juge que Ie cheminement choisi nepourra manquer de conduire les eleves ausucces.

Ces deux types d'evaluation, formative etsommative, se completent I'une I'autre et

permettent d'atteindre les deux objectifs ma-jeurs de I'evaluation: intervenir au momentopportun dans les apprentissages de I'eleveet faire Ie bilan de ces apprentissages aI'occasion d'etapes determinees.

6.2 Evaluation des apprentissages dans lesdomaines socio-affectif, psychomoteuret dans celui de la formation intellectuelle

6.2.1 Objectifs

Le programme de mathematique ne se limitepas a I'apprentissage de notions mathemati-ques; il propose egalement la poursuite d'ob-jectifs de formation generale. En effet, si dansI'application de ce programme, I'enfant ap-prend la mathematique, il y developpe aussiun certain mode de penser, une certainefa90n de travailler en groupe, la perseverancedans I'effort, I'habilete a utiliser une regie, uncom pas ou un rapporteur. C'est ce genre deformation que I'on acquiert a I'occasion desapprentissages mathematiques et que I'onretrouve so us Ie titre d'objectifs de formationgenerale.

Ces apprentissages font partie integrante duprogramme de mathematique. II faut doncorganiser son enseignement pour en favoriserla mise en application et Ie developpement. "faut aussi se donner des moyens et desinstruments pour pouvoir suivre cette forma-tion generale de I'enfant. II faut chercher asavoir ou en sont ces memes enfants parrapport aux objectifs d'ordre intellectuel, socio-affectif et psychomoteur. " faut chercher aconnaitre leurs besoins. Ainsi, on sera enmesure d'amenager des situations d'apprentis-sage repondant aux besoins et d'etablir detemps a autre Ie bilan de la situation en regarddes objectifs de formation generale.

6.2.2 Moyens et instrumentsd'evaluation

Le programme indique donc les objectifs aatteindre. "donne en quelque sorte Ie negatifdu portrait d'un eleve dont la formation seraitcomplete. II faut ensuite developper ce portrait-modele, Ie comparer avec celui de chacun deseleves et prendre note des observations quecette comparaison ne peut manquer de susci-ter.

fournir frequemment aux enfants I'occasionde decrire - oralement ou par ecrit - desprocedes de construction ou des strategiesde jeux de fa

Pourfavoriser I'education effective de I'intelli-gence, on devrait tenir compte des dimensionssuivantes:

1) L'entrainement de I'intelligence doit debu-ter au plus jeune age possible et se faire defac;:on intensive et soutenue. En effet, desleur naissance, les enfants sont confrontesa des situations-problemes et on peut lesaider en les laissant resoudre eux-memesbon nombre de ces problemes.

2) II faut respecter les stades d'apprentissage.Certains stades ont ete identifies par Piaget.En gros, ce sont les stades de manipulationd'objets, de verbalisation -Ies mots rempla-cent les actions - et d'operations mentalesqui donnent naissance aux habiletes intel-lectuelles (voir la section 5.3). D'autre part,Dienes a identifie six etapes dans I'appren-tissage de concepts mathematiques: Ie jeulibre, Ie jeu structure, les isomorphismes,la representation, la symbolisation et laformalisation. Ces modeles no us disent,en langage simple, qu'avant d'ecrire debelles phrases a propos des concepts, ilfaut les connaHre de fac;:on approfondie.

3) L'apprentissage se fait par la resolution deproblemes. Si I'on ne resout pas de proble-mes on n'apprend pas, mais on memorise,ce qui n'est ni apprendre, ni comprendre.

4) Les facteurs de I'intelligence etant nom-breux, il faut des activites variees qui lesfassent tous intervenir. Ceci augmente lespossibilites de transfert des habiletes intel-lectuelles acquises.

5) Comme I'intelligence ne peut agir indepen-damment de I'etat emotif de I'individu,certains traits de caractere sont a cultiver.

6) L'exercice de I'intelligence est favorise parles conditions suivantes d'application:

materiel pris dans un champ d'interetil n'y a qu'a voir I'energie depenseepar un individu pour son violon d'ln-gres;

- insistance sur la verbalisation desobservations, des hypotheses, desconsequences;

- accumulation de connaissances prati-ques et theoriques, preferablementacquises pendant des activites deresolution de problemes;

- acquisition de techniques approprieespour des activites techniques, artisti-ques et scientifiques;

- verification de la precision et de lafiabilite de ses raisonnements, de sescalculs;

- eviter les desirs, les inclinaisons, lesprejuges, I'orgueil en matiere de rai-sonnement;

- entrainement a I'observation pendantdes peri odes de plus en plus courtes;

- etude de sujets connexes.

5.5 Objectifs du programme

II ressort des considerations precedentes queles objectifs de formation intellectuelle sontdes objectifs a long terme qu'il faut poursuivreconstamment, du prescolaire a I'universite,tout comme pour Ie musicien ou I'athlete quidoivent travai lIer contin uellement a perfection-ner leur technique. En fait, bien que subdivisesen terminaux et intermediaires pour en facili-ter I'application et I'evaluation, les objectifsde formation intellectuelle sont TaUS desobjectifs intermediaires.

C'est pourcette raison que les objectifs propo-ses pour les premier et second cycles sont lesmemes que poursuivent les cegepiens, lesuniversitaires et les chercheurs. Par exemple,ceux qui travaillent a prevenir Ie cancer doi-vent: (a) classifier des donnees (sympt6mes,populations, habitudes, remMes, etc.); (b)chercher des ressemblances et des differencesentre les methodes actuelles de recherche etcelles qui ont reussi pour d'autres maladies;(c) determiner les causes d'insucces; (d) ap-porter les correctifs appropries, etc. Bienentendu, pour se com porter ainsi, ils ont dOprendre I'habitude d'esti mer et de verifierleurs resultats, de s'exprimer avec rigueur etprecision pour que d'autres chercheurs puis-sent repeter leurs experiences et faire avancerles connaissances, de memoriser les informa-tions necessaires ala poursuite de leur travail,d'user de prudence dans les generalisationsqu'i1s font et enfin de developper leur penseedivergente pour pouvoir emettre des hypothe-ses en ce qui a trait aux causes d'erreurs ouaux raisons d'avenues prometteuses.

Comme on Ie voit, viser des objectifs deformation intellectuelle, c'est vouloir appren-dre a penser de fac;:on efficace. Les enfantsaiment les jeux qui font appel a leur intelligen-ce comme les echecs, la bataille navale, IeNIM, Ie Clue, etc. De temps en temps, il est bond'accorder quelques heures aces jeux afin depermettre aux enfants de s'initier a la decouver-te de strategies gagnantes. On peut aussi

analyser constituaient la base de to utes leshabiletes, la tache d'enseignement s'en trouve-rait facilite d'autant puisque Ie developpementde ces deux seules habiletes pourrait suffire aformer I'intelligence.

5.3 Habiletes intellectuelles

Les aptitudes intellectuelles se rattacheraientdonc a !'idee de potentiel tandis que leshabiletes intellectuelles seraient des qualitesde I'esprit acquises a force d'exercice. Voiciles habiletes qu'on a pu relever:

- la connaissance des regles de defini-tion de concepts et de leurs applica-tions;

- I'habitude de s'assurer de la significa-tion des mots et I'habilete a chercherune interpretation dans un dictionnai-re ou dans des livres de reference;I'habitude de juger de la validite desaffirmations que I'on entend;I'habilete a decouvrir une faille dansles discours ou dans les ecrits;I'habilete a evaluer de fac;on objectivedes opinions contraires a la sienne;

- I'habilete et I'habitude a evaluer defac;on critique et objective ses propresjugements;la comprehension des regles d'unebonne observation et I'habilete a ob-server;la comprehension des regles et destechniques d'experimentation;

- la comprehension des principes psy-chologiques de la pensee et de lacreativite;

- I'habilete a contr61er sa pensee entermes de concentration, de classifica-tion et de flexibilite;

- I'habitude d'eviter la foi aveugle, lesprejuges et les superstitions.

Le developpement de ces habiletes est tresinegal dans la population. On peut difficile-ment utiliser son intelligence froidement. Lessentiments entrent en conflit avec Ie raisonne-ment: on croit plus facilement ce que I'on veutcroire (voir chapitre 3).

On rencontre tous les jours des personnestrE3Scritiques dans un certain domaine etpourtant bien na'ives ou dogmatiques dansd'autres. On en rencontre qui exercent naturel-lement leur esprit critique en tout ce quitouche les opinions des autres, mais jamaisen ce qui concerne la leur.

5.4 Formation de I'intelligence

5.4.1 Creativite

La creativite est un autre domaine qui preoccu-pe beaucoup les enseignants. On veut rendreles enfants plus createurs en leur demandantde s'exprimer par I'art (dessin, peinture, musi-que, danse, theatre, expression corporelle) etpar la litterature (contes, descriptions).

Mais Ie domaine de la creativite est tresrapproche de celui de la resolution de proble-mesoLa distinction entre les deux vient du faitque Ie terme creativite est reserve d'habitudea I'activite de resolution de problemes tresgrands et tres complexes touchant plusieursdisciplines et engageant toute la personnalitede I'individu par opposition a I'utilisation uni-que de I'intelligence.

5.4.2 Elements caracteristiques dudeveloppement de I'intelligence

Si I'on examine attentivement la situation quiprevaut encore dans beaucoup de classes, onpeut dire que l'enseignement met trop souventI'accent sur un certain conditionnement. Lesmanuels sont souvent conc;us com me tels: ondonne un exemple, puis on repete - au lieud'apprendre par la resolution de problemes-.On insiste sur des connaissances a transmet-tre, des habiletes et des habitudes a faireacquerir et on mentionne qu'il faut apprendrea I'enfant a raisonner. Mais on ne voit nullepart un entrainement qui consisterait a prendreconscience des principes ou de la methodolo-gie du developpement mental: apprendre aconnaitre tout en apprenant a se connaitre.L'intelligence est Ie plus bel instrument de lacreation; elle obeit certainement a des lois defonctionnement et a des lois de fonctionne-ment efficaces, mais nous en jouons «a I'oreil-Ie».

Les surdoues perdent leur temps: ils sontrecompenses sans avoir eu d'efforts a fournir.lis n'ont pas d'emulation, leur norme de compa-raison etant les eleves d'intelligence moyenne.Les sous-doues n'etant pas soumis a unentrainement methodique d'education de I'in-telligence n'apprennent pas a maitriser cer-tains processus essentiels de pensee telsI'analyse et la synthese; ils sont relegues a unmode d'operation de niveau concret. L'effortmental personnel leur est pratiquement incon-nu.

Chapitre 5Objectifs de formation generale en mathematique:Le developpement intellectuel de I'enfant5.1 Introduction

Les capacites intellectuelles sont-elles com ple-tement determinees a la naissance ou ya-t-ilmoyen d'en ameliorer Ie rendement par unentrainement approprie?

Dans I'etat actuel des connaissances a cesujet, on croit qu'il ya un peu des deux: d'unepart, les enfants heritent de leurs parents uncertain potentiel genetique determinant leurspossibilites, qu'il s'agit de developper; et d'au-tre part, I'environnement ainsi que les acci-dents de parcours contribuent a enrichir Iebagage d'experiences d'un individu, a aiguisersa curiosite, a fa90nner son caractere.Devant ces faits, il ne faut pas croire cepen-dant qu'il faille s'en remettre au hasard descirconstances pour permettre a chacun d'at-teindre son plein epanouissement. Si I'intelli-gence fonctionne selon certaines regles etpossede des caracteristiques connues de struc-ture et de developpement, il n'est pas utopiquede penser que des methodes de developpe-ment d'une pensee efficace puissent s'appli-quer en classe. Sans vouloir faire des geniesde tout Ie monde, on peut probablementameliorer Ie rendement de chacun par unentrainement approprie.

5.2 Aptitudes intellectuelles

Quand on veut travailler au developpementde I'intelligence, iI convient d'en connaitre lescomposantes principales et les mecanismesde fonctionnement.

Pour ce faire, on peut etudier Ie comportementdes hommes qui ont une intelligence superieu-reoToutefois, cette analyse de comportementsn'est pas facile puisqu'on voit souvent desindividus se comporter de fa90n tres intelligen-te dans certains domaines et de fa90n stupidedans d'autres. De plus, la fatigue ou I'emotionpeuvent handicaper grandement les memescomportements.

Dans cette etude des composantes ou desfacteurs de I'intelligence, il existe principale-ment trois ecoles de pensee. Pour les uns,I'intelligence se definit par Ie degre de succesa resoudre des problemes d'un certain type;pour d'autres, I'intelligence est I'ensembledes qualites internes, invisibles, qui permet-tent les comportements; enfin, pour les der-niers, I'intelligence est vue comme I'ensembledes conditions internes desquelles dependentla vitesse et la facilite a apprendre. Ce dernierpoint de vue englobe evidemment Ie prece-dent. Ces differentes interpretations sont sou-vent utilisees sans trop de precision, commeIe montre I'utilisation de I'expression testsd'aptitudes qui laisse peut-etre transpirer Iedesir secret de vouloir mesurer la capacite aapprendre d'un individu plutot que sa compe-tence actuelle.

En questionnant des individus sur leur percep-tion et sur leur raisonnement pendant uneactivite de resolution de problemes, on en estvenu a identifier diverses habiletes mathemati-ques telles I'aptitude a general iser, a compren-dre a la suite d'un tres petit nombre d'exem-pies, a identifier une procedure inverse, aidentifier des donnees non pertinentes, aformer rapidement des habitudes, a analyseret a discriminer. Chose curieuse, ces habiletesmathematiques ne semblent pas etre universel-les: on peut etre habile a faire des generalisa-tions en theorie des nombres et non engeometrie. Si, comme Ie pensent certainsauteurs, I'habilete a generaliser et I'habilete a

auteurs1 avancent me me que dans la percep-tion d'un message, un individu accorde tou-jours la priorite a un sens plut6t qu'a un autre.Ainsi des enfants saisiraient mieux un messagevisuel alors que d'autres prefereraient unmessage auditif. II faut donc utiliser, dans Iemesure du possible, tous les sens des enfants.II est alors plus facile de soutenir leur attentionet d'obtenir de leur part une meilleure compre-hension des consignes; mais au prealable, on

1. TARDIF-Meunier, G., Le principe de Lafontaine, Ed.Libre expression. Montreal, 1979.204 pages.

doit s'assurer que I'enfant est bien detendu etqu'il peut facilement etre attentif et se concen-trer.

Les activites psychomotrices font partie inte-grante de I'apprentissage a I'ecole primaire eta ce titre elles doivent etre per9ues commedes actes educatifs devant faire I'objet d'unecon stante preoccupation de la part du maitre.

4.3 Approche pedagogique

Les differents aspects du developpement psy-chomoteur de I'enfant sont relativement defi-nis et suivent des etapes precises. II est doncpossible de determiner des activites propres achacun de ses aspects, de les cataloguer et deles utiliser de fat;;:on systematique. II y atoutefois des regles generales d'applicationqu'on ne peut negliger, car on risquerait alorsd'imposer a I'enfant des series d'exercicesplus ou moins utiles parce que sans cadre dereference precis. En fait,l'exercice n'est jamaisune fin en soi. Ce n'est qu'un moyen dont onse sert dans la poursuite d'objectifs pedagogi-ques a moyen ou a long terme. Les exerclcesde psychomotricite, com me dans tout acteeducatif, vi sent a I'amelioration du comporte-ment de I'enfant. Dans Ie contexte mathSmati-que, de tels exercices ont pour but de luifaciliter I'apprentissage des notions abstraitesvehiculees par I'utilisation du calcul et par laresolution de problemes.11 importe donc icide souligner certains elements majeurs d'unebonne approche pedagogique.

4.3.1 Necessite de I'observation

Le maitre, avant de proposer des activites auxenfants, doit proceder a des observationsdetaillees de leur comportement. II peut ainsipreciser a quel niveau les enfants du groupese situent quant a leurs acquisitions psychomo-trices et determiner quels sont les enfants quivont requerir une attention plus particulierede sa part. Illui est alors plus facile d'exercerdes choix dans les activites a proposer, danssa fat;;:on de proceder et dans I'etablissementd'une bonne planification des objectifs a attein-dre. L'observation continue doit egalement sepoursuivre tout au long de I'annee: elle permetau maitre de faire des reajustements oppor-tuns et constitue un excellent moyen d'evalua-tion des activites en fonction des objectifsetablis. Une bonne qualite d'observation est ala base de to ute demarche pedagogique.Sans elle, en effet, on court Ie risque de nejamais atteindre les objectifs fixes.

4.3.2 Etapes du developpement deI'enfant

Les enfants de 6 a 12 ans ont leurs caracteristi-ques propres, determinees en partie par lesetapes de leur developpement. On doit doncveiller a respecter ces etap~ dans Ie choixdes activites a proposer aux eleves, dans les

consignes a leur donner et dans leur fat;;:ondeproceder~ Ainsi, des activites trop faciles outrop difficiles risquent fort d'ennuyer les en-fants au lieu de les interesser. L'enfant de 6 a12 ans a, de par son fonction nement intellectLiel,une approche plutot concrete de la realite. IIaime beaucoup utiliser des objets et dessituations de jeu dans ses activites de decou-verte et d'aprentissage; on aura donc soin defavoriser I'utilisation d'objets connus pOl.frque I'enfant puisse referer a ses propresexperiences.

4.3.3 Demarches pedagogiquesadaptees aux deux cycles desetudes primaires

L'education psychomotrice se fait de fat;;:oncontinue tout au long du primaire. D'abord,les elements acquis de 4 a 8 ans demeurentpresents au cours du second cycle, meme sion les retrouve a un niveau d'integration et demanifestation different. On doit donc, aupremier cycl~, tenir compte de I'importance-au vecu chez I'enfant. Par exemple, dans une

~...activite concernant I'organisation spatiale, onpeut demander aux enfants de sauter dans uncercle, par-dessus une corde, etc; celui-cipert;;:oitalors avec tout son corps ses premieresnotions d'organisation spatiale. Ensuite, a lafin du premier cycle et au debut du second,I'enfant est davantage en mesure de travaillera I'aide d'elements pert;;:us anterieurement; iln'a pas necessairement a vivre une situationpour utiliser correctement de elements enrapport avec la psychomotricite. Par exemple,on peut I'amener a percevoir la lateralitegrace aux objets qui sont en relation directeavec lui. Enfin, au terme d'une progressioncontinue, I'enfant en arrive a I'etape des ima-ges mentales: au second cycle, il aura grandavantage a utiliser la representation mentalequ'il se fait d'une chose ou d'une situationpour en arriver a transposer une meme notiondans des situations variees. Ainsi, I'enfant enarrive a distinguer la gauche de la droite surautrui et grace a I'image mentale qu'il s'en fait,il parvient a une bonne reversibilite dansI'exercice de la lateralite.

4.3.4 Utilisation de tous les sens deI'enfant

Dans toutes les activites psychomotrices queI'on propose aux enfants, on doit accorderune grande importance a la qualite et aumode de transmission du message. Certains

corps, la relation de celui-ci avec Ie milieu etles possibilites qu'il a de se mouvoir a l'inte-rieur de certaines limites. II lui sera alorsperm is d'utiliser un espace donne: la classe,Ie tableau, un carton, un interligne sur unefeuille. II pourra etablir des distinctions entre

paralleles, perpendiculaires ou concourantes,percevoir des differences ou des ressemblan-ces entre des figures ou des proprietes, cons-truire ou tracer des figures, des symbolesmathematiques, etc.

Chapitre 4Objectifs de formation generale en mathematique:Le developpement psychomoteur de I'enfant4.1 Introduction

Beaucoup d'auteurs (ex.: Piaget, Gesell) sesont appliques a souligner I'importance dudeveloppement psychomoteur chez I'enfant.C'est grace en partie a ses qualites motricesque I'enfant decouvre Ie monde environnant,qu'il fait ses premieres experiences et qu'iletablit des relations constantes avec les ele-ments de son milieu. On ne peut, pour autant,separer les elements du developpement psy-chomoteur de ceux du developpement intellec-tuel et affectif. II existe en effet des liens d'uneetroite dependance entre ces trois aspects deI'education; cette relation, bien qu'attenuee,subsiste toujours a I'age de cinq ou six ans.

Jusqu'a son entree a I'ecole, I'enfant fait sonapprentissage de facon non structuree etdans un esprit exclusivement ludique. Sonentree a I'ecole signifie, entre autres choses,qu'il va devoir utiliser ses possibilites motricesa des fins precises telles que la lecture etI'ecriture. II va donc falloir que ses activitesmotrices soient organisees, structurees etorientees.

4.2 Mathematique et developpementpsychomoteur

L'exercice mathematique se developpe sponta-nement chez Ie jeune enfant: il a 3 freres, 2boutons, 3 bonbons rouges; il joue souvent aranger des objets, ales ordonner selon sesschemes a lui. Mais I'education mathematiqueva se faire de facon organisee et les elementsdu domaine psychomoteur vont prendre unegrande importance: I'enfant va prendre cons-cience de son corps, integrer ses perceptionset utiliser celles-ci dans la bonne executionde ses mouvements.

En considerant qu'au 1er cycle I'enfant aurad'abord a construire des ensembles et aetablir des relations, il est essentiel de degagerles principaux aspects de son developpementpsychomoteur qui devront sous-tendre lesobjectifs du programme de mathematique.Une mise en garde s'impose toutefois: il n'estpas facile de dissocier des elements tels queIe schema corporel, la lateralite, I'orientationspatiale, I'organisation temporelle, la motriciteglobale et la motricite fine.

Le premier element, considere par plusieurscomme un denominateur commun, c'est Iedeveloppement du schema corporel de I'en-fant: la prise de conscience de son corps etde la place qu'il occupe dans I'espace. AI'interieurdes activites mathematiques, Iedeve-loppement du schema corporel tire son impor-tance du fait que Ie corps est pour I'enfant soncadre de reference dans I'interpretation deses perceptions et qu'une bonne connaissancede son corps est essentielle a la precision dumouvement, a de bonnes aptitudes globaleset a une bonne coordination oculo-manuelle.Les objectifs psychomoteurs du programmede mathematique se trouvent donc directe-ment mis en cause par cette conscience queI'enfant doit avoir de son corps.

Quand cette prise de conscience est bienengagee, I'enfant commence alors a differen-cier sa gauche de sa droite pour pouvoirensuite integrer cette differenciation en vued'une utilisation convenable.

La «Iateralisation» prend une dimension tresimportante au debut des etudes primaires. Enmathematique, elle s'exprime surtout dansces apprentissages fondamentaux que sont lalecture et I'ecriture des nombres. En effet,I'expression graphique du nombre supposeune ecriture et une lecture qui va de gauche adroite: trois cent cinquante-quatre (354). Orcette demarche va a I'encontre de celie qu'ilpoursuit lorsqu'il regroupe des unites en dizai-nes et en centaines. II ne faut donc pas trop seSUfprendre de voir des enfants ecrire 453 aulieu de 354. Une bonne lateralisation chezI'enfant pourra lui permettre de surmonterplus facilement ce genre de difficultes.

Dans certaines activites mathematiques, com-me la construction d'ensembles ou I'etablisse-ment de relations entre differents elements,les notions de pareil-pas pareil, plus grand-plus petit, sur-sous, de meme que les notionsde distance et cj.e forme occupent une placede tras grande importance. La structure deI'envi ronnement et I'orientation dans cet espa-ce sont essentielles. L'enfant va donc appren-dre a decouvrir I'espace occupe par son

tres lents a se former ou a evoluer et nepeuvent etre facilement evalues ou appreciesqu'au bout de longues periodes.

3.2 Fa~on de realiser ce developpement

La responsabilite du maitre en ce domaine esttres grande. Elle s'appuie, d'une part, sur lesrelations d'affectivite qui peuvent exister entreles eleves et Ie maitre et, d'autre part, sur Iesoin que celui-ci app6rte a rendre I'apprentis-sage de la mathematique plus attrayant. Quandon place I'enfant, par exemple, devant unensemble d'objets varies et heteroclites, cha-cun reagit selon son gout, son humeur ou sesinterets. Les classifications se font tantotd'apres la couleur, tantot d'apres la forme, latail Ie, Ie poids ou I'epaisseur.

Presenter a I'enfant des problemes «ouverts»,des problemes sans solution ou a plus d'unesolution apparait done une demarche importan-te dans Iecadre de I'enseignement mathemati-que. Pour I'enfant, par exemple, etre certainqu'une solution existe est securisant, maissavoir qu'il peut en exister plusieurs peutfacilement produire I'effet inverse et fairenaitre chez lui un certain sentiment d'inconfort.Par contre, retrouver dans les autres discipli-nes ou dans la realite quotidienne des ele-ments de mathematique qu'il aura pu exploreren classe, sera pour lui I'occasion d'unegrande satisfaction.

Souvent I'enfant hesite, UHonne, com met deserreurs. La pire qui puisse lui arriver, ce n'estpas de se tromper, mais de demeurer passifdevant un probleme. II faut done susciter chezles enfants des attitudes dynamiques de fonc-tionnement intellectuel qui leur fassent accep-ter d'avance ces hesitations, ces desequilibreset ces faux pas inherents a tout nouvel appren-tissage.

Enfin, Ie travail en equipe peut soutenir chezI'enfant cette recherche d'attitudes dynami-ques face au travail intellectuel en favorisant,par des communications avec ses pairs, I'eta-blissement d'un meilleur equilibre affectif etd'une socialisation plus efficace. En echan-geant leurs points de vue, en confrontantleurs resultats ou en s'aidant mutuellement,les enfants en viennent a mieux structurerleur pensee sur un mode operatoire et adepasser de simples intuitions egocentriquespour elever leur demarche intellectuelle a unniveau de fonctionnement qui permette unepensee plus souple et plus coherente.

Si I'on reconnait la justesse de ces observa-tions, on entrevoit des lors, les consequencesdidactiques qu'il faut en tirer. Encourages desles premieres annees de I'ecole primaire as'engager dans cette voie, les enfants accep-tent volontiers de mettre en commun leursdifficultes et de travailler ensemble a I'elabora-tion, a la realisation et meme a I'evaluationd'un travail collectif. ~videmment ces demar-ches ne vont pas sans donner lieu a quelquesfrictions ou a quelques heurts. Mais il fautbien convenir que c'est sans doute a ce prixque doit s'operer une veritable socialisationde I'enfant.

Les echanges de groupe profitent a I'enfantaussi bien sur Ie plan cognitif qu'affectif. Eneffet, les efforts deployes par les enfants pourtenter de communiquer leur pensee aux autresou de bien saisir I'expression de la pensee desaut res forceront la clarification de cette penseepar une plus grande precision dans I'expres-sion.

II faut aussi aider I'enfant a s'auto-evaluer enIe questionnant sur son travail, sur la valeurde ce travail et sur la qualite de sa presentation.De cette faQon I'enfant apprendra a juger de laqualite de son travail selon des criteres d'ordre,de precision et de qualites graphiques anterieu-rement etablis avec lui. L'enfant s'appreciera asa juste valeur et s'acceptera tel qu'il est, ensachant tres bien ce qu'il doit ameliorer,comment et pourquoi il doit I'ameliorer.

Comme on I'a deja dit, Ie developpementsocio-affectif fait appel a un processus lent. IIne faut done pas s'etonner que I'on poursuivea peu pres les memes objectifs pour les deuxcycles du primaire. Au second cycle, il s'agirasimplement d'aller un peu plus loin sur Ie plande I'auto-evaluation, de la rigueur et de laprecision requises, selon les situations propo-sees.

Le developpement socio-affectif est un domai-ne tres peu connu comparativement au deve-loppement intellectuel et meme au developpe-ment psychomoteur. La philosophie de I'educa-tion actuellement vehiculee a I'ecole primairevient heureusement appuyer cette preoccupa-tion d'inscrire des objectifs d'ordre socio-affectif dans un programme de mathematiqueque I'on veut tres pres des besoins reels deI'enfant et non axe sur ses seules aptitudes.

Chapitre 3Objectifs de formation generale en mathematique:Le developpement socio-affectif de I'enfant3.1 Raison d'etre de ce type d'objectifs

La formulation, dans un programme de mathe-matique, d'objectifs de formation qui tiennentcompte du developpement socio-affectif deI'enfant constitue unepreoccupation relative-ment nouvelle. A I'interieur d'un programmequi, par sa nature, relEwesurtout des domainesdu cognitif et du developpement intellectuel,il convient sans doute de situer dans quelesprit les objectifs ont ete definis et de mesurerI'influence qu'ils peuvent exercer sur l'appren-tissage des mathematiques.

La mathematique au primaire est loin den'etre que pure speculation de I'esprit. Levecu scolaire de la derniere decennie a reveleI'importance de la manipulation dans I'appren-tissage de cette discipline. S'appuyant surdes theories d'apprentissage reconnues, dontcelie de Piaget, on admet aujourd'hui I'impor-tance d'une participation physique reelle dansl'apprentissage de la mathematique, meme sicertaines caracteristiques essentielles de lamathematique com me I'ordre, la rigueur etI'exactitude ne semblent pas a priori s'accom-moder facilement d'une telle demarche.

Ce chapitre du guide pedagogique tente defaire ressortir les elements majeurs du develop-pement socio-affectif qui sont sous-jacents aI'apprentissage de la mathematique.

Ce n'est pas simple effet du hasard si I'onaime ou si I'on n'aime pas la mathematique.La fa«on dont se fait cet apprentissage joueun role preponderant dans la determinationdes attitudes actuelles et futures de I'enfantvis-a-vis des mathematiques et peut jouer unrole des plus importants dans ses echecs oudans sa motivation a faire I'apprentissage decette discipline.

En mathematique comme dans les autresdomai nes de I'apprentissage, l'enfant est con-sidere comme un etre qui existe avant tout entant qu'enfant et non pas uniquement en tantqu'adulte en devenir. Et cet enfant est un etrequi vit, qui aime, qui deteste, qui apprend, quiaccumule les succes et les echecs. II faudraitdonc se garder de ne traiter des difficultes del'apprentissage des mathematiques que sur Iemode unique de I'aptitude ou de I'inaptitudede l'enfant.

Dans Ie but d'aider les enseignants a mieuxpercevoir cette problematique, Ie nouveauprogramme propose un ensemble d'objectifsd'ordre socio-affectif dont la poursuite est denature a soutenir grandement celie des objec-tifs d'ordre purement cognitif.

Quels que soient les apprentissages proposesaux enfants, il est inevitable que, pour desmotifs souvent obscurs, ils en viennent aaimer ou a detester certaines matieres. Ledegre de motivation qui en resulte peut doncavoirdesconsequences plus ou moins heureu-ses sur I'efficacite ou I'inefficacite de cesmemes apprentissages. II faut toutefois conve-nir d'une chose: la mathematique a contribueplus que toute autre matiere a susciter beau-coup d'angoisses et d'apprehensions chez leseleves de tout age. L'ecolier d'aujourd'huin'echappe pas a ce phenomene et, commetout etre humain, il cherche a eviter tout ce quipeut lui causer embarras ou deplaisir. Avoir afaire des choix, a com parer des resultats, aeviter les erreurs devient facilement une sour-ce d'angoisse pour I'enfant. D'otJ la necessitede chercher a developper des attitudes sainescapables de contrer I'apparition des anxietesque I'application d'une certaine rigueur mathe-matique ne saurait manquer de provoquer.

On doit donc rechercher, a la lumiere de cesobjectifs, la mise en oeuvre de moyens et deprocedes capables d'eveiller chez I'enfant Iegout et I'interet pour les activites mathemati-ques, en avant soin de graduer les difficulteset d'ajuster celles-ci aux capacites de chacun.L'enfant do it en venir egalement a apprecierles elements d'esthetique et de rigueur reliesala mathematique, a vouloir s'ameliorer cons-tamment, a reconnaitre la valeur du travail enequipe, a se sentir a l'aise dans I'explorationde pistes nouvelles et a decouvrir I'utilite decertains elements mathematiques dans d'au-tres disciplines et dans son vecu quotidien.

II ne faut pas oublier cependant que, si I'acqui-sition d'habiletes me me complexes du domai-ne cognitif peut souvent se faire a l'interieurd'une seule etape, il n'en va pas de me me dudeveloppement d'attitudes, d'interets et detraits de personnalite, lesquels sont souvent

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II reste que la mathematique constitue de plusen plus un langage universel qui tend aenvahir un grand nombre·de domaines, memesi la langue maternelle demeure sans doute laforme de langage la plus fondamentale et laplus utile. L'utilisation du langage mathemati-que dans toutes sortes de contextes et desituations contribue indirectement a une plusgrande integration des divers enseig nements.(Dans differents domai nes, les occasions sontnombreuses de faire des graphiques. descalculs, des releves statistiques. etc.).

Pour varier la presentation des problemes etpour mieux atteindre les objectifs fixes, onpeut faire appel en particulier:

a des problemes qui suscitent diffe-rents types de comportements chezles eleves: manipulation d'objets, com-portement verbal, comportementecrit, gestes, etc.a des problemes destines tant6t atoute une classe, tant6t a des equipesd'enfants, tant6t a des eleves prisind ivid uellement:

a des problemes de type convergent(parexemple: «trouver Ie produit ... »ou «parmi les cinq figures suivantes,laquelle ... »), problemes dans les-quels il s'agit d'atteindre un but ou unresultat determine, ou encore a desproblemes de type divergent (parexemple: «comment pourrait-on clas-ser ces objets?», «peux-tu trouver des«regularites» dans ce tableau de nom-bres?», «peux-tu imaginer des proble-mes semblables a celui-ci?»).

2.5 Integration de I'apprentissage desmatieres au primaire

Etant donne les objectifs de I'ecole primaire etla nouvelle philosophie que I'on cherche a yimplanter dans toutes les matieres, il estdesirable et necessaire d'arriver dans I'avenira une plus grande integration de I'enseigne-ment des diverses disciplines.

Cette integration doit d'abord se traduire parla poursuite d'objectifs pedagogiques com-muns dans ces matieres: enseignement centresur I'enfant, apprentissage a base d'activites,recours a des situations pedagogiques varieeset stimulantes, apprentissage des conceptsen spirale, developpement de la pen see et deI'activite creatrice des enfants, etc.

Le maitre eveille ou experimente saura egale-ment profiter de multiples situations pedagogi-

ques ou centres d'interet qui peuvent naturelle-ment donner lieu a des activites dans plusieursdomaines. Ainsi certaines activites de classifi-cation ou de seriation pourront, a I'occasion,porter sur des sons, des mots ou des phrasesen franc;:ais,ou s'inspi rer d'une situation peda-gogique vecue dans I'apprentissage des scien-ces. La necessite de decrire, d'expliquerou deresumer certaines activites mathe-matiquesou encore de formuler correctement uneobservation, une definition ou une proprieteen mathematique est naturellement I'occasionde progres dans I'apprentissage de la langue.Par contre, beaucoup d'activites (geometri-ques par exemple) ont des aspects esthetiq uescertains et peuvent suggerer des activites denature artistique, et reciproquement.

On a reconnu, chez les personnes habiles aresoudre des problemes, certaines methodesou certains traits communs qu'il y auraitinteret a developper avec tous les enfants. Parexemple, la personne habile a resoudre desproblemes decele I'existence d'un problemela ou la majorite n'en voit pas. Elle lit, relit,analyse les donnees d'un probleme plus long-temps que les autres. Dans sa recherched'une solution, elle peut analyser la situation,en isoler les parties, se poser des problemesauxiliaires, faire des essais et emettre deshypotheses. Elle n'abandonne pas facilement.Enfin, elle verifie sa solution finale et essaiede I'ameliorer. Elle compare ses difterentessolutions et en apprecie la forme, I'elegance,la rigueur, la generalite. Elle va me me jusqu'areflechir sur sa propre pensee, sur ses chemine-ments et sur ses erreurs.

Quelles sont les repercussions de ces observa-tions pour I'enseignement? Pour rendre toutindividu capable de resoudre des problemesdans la vie, y compris dans sa vie person nelle,iI faut I'engager dans des activites de resol utionde problemes qui seront pour lui des occasionsd'apprendre. II ne s'agit pas d'apprendre, puisd'appliquer, mais plutot d'apprendre en appli-Quant. Get entrainement consistera a rE3duireapres analyse Ie nombre de voies a explorer, a

formuler des hypotheques avec soi n en tenantcompte de toutes les donnees du probleme, aenvisager diverses possibilites, a verifier leshypotheses mais sans obstination, a chercherles causes d'echecs et a determiner ce que leshypotheses onten commun, a laisserle proble-me de cote si

moins stereotypees possible. Sans sous-esti-mer la valeur pedagogique et I'importance deplusieurs materiels structures et de certainessituations pedagogiques plutotartificielles, ilreste que c'est souvent en puisant dans I'envi-ronnement et parmi les interets des enfantsque I'on trouvera les situations pedagogiquesles meilleures et les plus stimulantes: jeux,evenements d'actualite, situations problemati-ques, anecdotes, casse-teHe, projets, activitesde I'ecole, etc. II y a d'ailleurs d'excellentesoccasions d'accroitre la motivation des enfantset I'efficacite de leurs apprentissages (voirchapitre 7).

2.4 Role des problemes dans I'apprentissagede la mathematique

Les problemes continuent a jouer un role-cledans I'apprentissage de la mathematique.

L'intelligence n'est pas une faculte simple etelle n'agit pas froidement puisqu'elle est sou-mise aux sentiments et a to utes sortes depressions exterieures. Pourtant Ie niveau dedeveloppement qu'elle atteint depend en quel-que sorte du nombre et de la qualite desproblemes qu'elle a reussi a resoudre puis-qu'en somme tout apprentissage de conceptspeut etre ramene a la resolution de problemes.Des Ie plus jeune age, I'enfant do it resoudre Ieprobleme de decouvrir ce que I'adulte veutdire parchacun des mots qu'il emploie, et illuifut un temps assez long pour comprendre Iesens de mots tels que table, gros, etc.

/I ne faudrait pas confondre probleme etexercice. Un probleme, c'est une situationdans laquelle un but est vise, mais dont lesmoyens pour I'atteindre sont inconnus. Deplus, il n'y a probleme que si Ie sujet s'yengage consciemment et que si ces actionsne relevent ni de I'habitude ni de I'instinct.D'unefayon simplifiee, resoudre un probleme,c'est penser. C'est ce qui explique que Iedomaine privilegie, sinon unique, pour develop-per I'intelligence soit justement celui de laresolution de problemes.

2.3 Utilisation de situations pedagogiquesvariees et stimulantes

II decoule de ce qui precede qu'il est essentiela I'ecole primaire de multiplier et de diversifiersuffisamment les situations d'apprentissagepour permettre la formation des conceptsmathematiques. Cela importe d'autant plusque I'on vise a tenircompte dans ces apprentis-sages des differences individuelles existantchez les enfants.

La nature des situations pedagogiques peutvarier beaucoup, selon les objectifs que I'onvise dans I'apprentissage et selon la prepara-tion des enfants. II pourra s'agir par exemple:

1. de situations dont I'objectif est d'EX-PLORER certains concepts et, Ie mo-ment venu, de les ABSTRAIRE;

2. de situations dont I'objectif est deFAIRE ou d'INTERPRETER une DES-CRIPTION (avec des mots, des signes,des phrases, des formules, etc.) ou laREPRESENTATION de certains con-cepts (a I'aide de figures, schemas,graphiques);

3. de situations dont I'objectif est d'AP-PLiQUER ou d'UTILISER certains con-ceptsetde les METTREen RELATIONavec d'autres concepts;

4. de situations dont I'objectif est d'EN-TRETENIR ou de FIXER certaineshabiletes techniques ou certains auto-matismes.

Quel que soit Ie type de situations pedagogi-ques auxquelles on fait appel, il importequ'elles soient adaptees aux enfants et Ie

Une insistance marquee sur la comprehensionfait que I'eleve, guide par Ie maitre, cherche asaisir Ie veritable sens des notions et desalgorithmes, plut6t que de se contenter detrucs d'utilisation. L'enfant ne do it pas appren-dre uniquement a repondre de fa

Chapitre 2Principes pedagogiques2.1 Philosophie de I'enseignement au

primaire

A plusieurs reprises, depuis les travaux de laCommission Parent, Ie ministere de l'Educa-tion a pris de nombreuses mesures en vued'implanter progressivement dans lesecolesprimaires du Quebec une nouvelle philosophiede I'enseig nement.1

Or, lesobjectifs pedagogiquesdu programme-cadre de mathematique n'etaient essentielle-ment que la concretisation de cette nouvellephilosophie que Ie nouveau programme veutegalement defendre. Com me on a deja beau-coup dit et ecrit a ce sujet, il suffira ici derappeler quelques aspects de ce renouveaupedagogique.

Dans Ie contexte de cette pedagoflie dynami-que, I'enfant demeure Ie principal agent deson apprentissage par ses explorations, sesdecouvertes ou ses «essais et erreurs". De

1. On se rappelera, par exemple, I'entree en vigueur duReglement no. 1.

cette fa90n, tout apport de I'enfant peut contri-buer plus ou moins directement a I'elaborationde ses apprentissages, qu'il s'agisse d'unepartie de billes ou .d'une randonnee en voiture.L'enseignement proprement dit a souventcom me poi nt de depart des activites, des ieuxet des recherches dans lesquels la participa-tion de I'enfaht est prioritaire tandis que Iemaitre devient un guide attentif au travail deI'enfant et aux nouvelles idees que ce dernierformule.

Exterieurement, cette individualisation de I'en-seignement se traduit par un usage frequentde materiel, par I'utilisation de fiches detravail, par la consultation de plusieurs ma-nuels, par I'emploi de fiches de controle, etc.Elle est facilitee par une organisation souplede la classe, ou tantot Ie travail collectif, tantotIe travail individuel, tantot letravail parequipesest a I'honneur.

Bien sur, la psychologie et la pedagogie ontmarque des progres certains si bien quemaintenant les donnees dont on dispose enpsychologie sont suffisamment avancees pourpermettre et encourager la poursuite d'unereflexion toujours plus poussee sur I'enseigne-ment de la mathematique a I'ecole primaire.Ainsi, certains travaux en psychologie cogniti-ve - ceux de Piaget en particulier - montrentque I'apprentissage d'un concept est Ie produitd'un long processus, comportant des etapesmultiples, se deroulant a des rythmes variablesselon les individus et prenant racine dans dessituations «concretes".

On a donc cherche a individualiser davantageI'enseignement en faisant appel, si necessaire,a de nouveaux moyens, medias et modes deregroupement des eleves.

De plus, un enseignement qui s'appuie sur lamemorisation de faits ou sur I'applicationrepetee de techniques a partir d'exemplesstereotypes a bien peu de chances d'etreefficace, sinon en apparence. Car Ie fait qu'uneleve peut reciter vite et bien une definitionapprise ou qu'il peut jongler avec des symbo-les ne signifie pas necessairement qu'il com-prend ce qu'il dit ou ce qu'il fait; certainscomportements peuvent etre Ie resultat d'unpur conditionnement.

L'ecolier se situ ant, selon Ie langage de Piaget,au «stade des operations concretes", il abesoin, pour apprendre et comprendre vrai-ment, de se referer souvent - au moinsmentalement - a des situations concretes etmeme, dans certains cas, de se livrer lui-meme a des activites et a des manifestationsde niveau concret materiel. II faut donc tenircompte de ces considerations dans I'enseigne-ment des mathematiques a I'ecole primaire,tant du point de vue de I'esprit que desmethodes selon lesquelles I'enseignement doitse faire. II semble en effet que I'eleve moyenpuisse apprendre encore plus et mieux, lors-qu'on veut bien se donner la peine de suivreune pedagogie dynamique, en evitant derevenir a des methodes qui par Ie passe sesont revelees inadequates ou qui ont cree desblocages parfois insurmontables chez plu-sieurs enfants.

D'autres recherches mettent encore en eviden-ce Ie r6le-cle que peut jouer la motivationdans I'apprentissage et I'importance de «parti rde" ou de «se reterer a" diverses situationspedagogiques mieux adaptees aux interetsdes enfants.

1.3 Recherches et developpements endidactique de la mathematique

II s'est fait beaucoup de recherches et dedeveloppements ici et 180dans Ie monde depuisune vingtaine d'annees en didactique de lamathematique. Relativement a I'enseignementprimaire, les travaux de Z.P. Dienes, de Made-leine Goutard, de Nicole Picard, de FrederiquePapy, du Nuffield Project et de quelquesgroupes americains sont sans doute les plusconnus au Quebec.

~videmment une certaine prudence s'imposedevant les resultats de ces recherches. On nepeut pas toujours transposer sans risques detelles experiences dans Ie vecu quotidien dela classe; il faut s'assurer de pouvoir y retrouverles memes conditions d'experimentation quiont prevalu lors des recherches elles-memes.De plus, certaines de ces recherches, apresavoir produit des fruits pleins de promesses,ont du etre soit abandonnees, soit profonde-ment modifiees, tout simplement parce que larealite des apprentissages ne resistait pas aune certaine analyse.

Par contre, d'autres recherches plus heureu-ses ont permis de constater com bien il peutetre arbitraire et dangereux de pretendre apriori que les enfants sont ou ne sont pascapables de telle ou telle demarche d'apprentis-sage a un age donne. Des constatationsrepetees, emanant de sources les plus diver-ses, permettent en effet de croire que cesmeme$ enfants sont souvent capables d'assi-milerdes notions, des concepts ou des techni-ques qu'on croyait jusque-I8o accessibles auxseuls adultes. En effet, on a vu des enfantsexplorer et utiliser avec profit - a un niveauconcret tout au moins - certains conceptsmathematiques plut6t abstraits portant sur lageometrie, la combinatoire, la resolution deproblemes ou la recherche de «regularites». IIy a d'ailleurs encore beaucoup de travail afaire dans ces differents domaines de I'ensei-gnement mathematique au niveau primairepour adapter cet enseignement aux realitesquotidiennes vecues par I'enfant.

Chapitre 1Fondements du programme1.1 Evolution de la societe

Une nouvelle forme de culture est en voie dese definir dans la societe d'aujourd'hui. Ainsi,une sorte d'humanisme scientifique emergeprogressivement, qui integre et actualise plu-sieurs elements de I'humanisme litteraire d'an-tan.

Incontestablement, la mathematique doit occu-per, de droit et de fait, une place privilegiee aucoeur de cet humanisme scientifique. Plusque jamais dans I'histoire, Ie mode de penseeet Ie langage mathematiques s'imposent danstoutes les sciences et dans plusieurs domainesde I'activite humaine.

Meme en sciences humaines et en sciencesde I'administration, on en est venu recemmenta creer et a etudier des modeles mathemati-ques de gestion d'entreprises (de to utes dimen-sions); de comportement d'individus en grou-pe; de structure de langue; de conception, deproduction et de mise en marche d'un produit;d'etudes demographique ou economique d'unpays, etc. Par ailleurs, Ie caractere universeldu langage mathematique (sous ses formessymbolique et graphique tout au moins) estindeniable: meme dans les medias d'informa-tion fourmillent tableaux, schemas, graphi-ques et statistiques de toutes sortes.

L'ecole primaire doit tenir compte de telschangements quand elle se donne commetache de reviser ses programmes de mathema-tique. D'abord, il importe que chaque citoyenso it suffisamment initie au monde de penseeet au langage mathematiques: il ne s'agit pastant de former de nombreux mathematiciensque de permettre a chaque individu de mieuxfaire face aux besoins des societes d'aujourd'-hui et de demain. Ensuite, il faut, des I'ecoleprimaire, donner aux enfants la meilleureformation mathematique possible pour facili-ter, chez les uns, I'acces a des etudes plusavancees ou pour favoriser, chez les autres, lapreparation d'une carriere ou vraisemblable-ment la place de la mathematique sera de plusen plus grande.

1.2 Evolution de la psychopedagogie

Qu'est-ce qu'apprendre? Qu'est-ce que com-prendre? Comment se torment les conceptsmathematiques? Ces questions, pour fonda-mentales qu'elles soient, n'en demeurent pasmoins mysterieuses et tascinantes, et malgreI'importance et I'interet qu'elles peuvent revetirpour les psychologues, il serait presomptueuxde pretendre que ceux-ci en connaissentparfaitement toutes les reponses.

CHAPITRE 5 OBJECTIFS DE FORMATION GENERALE ENMATHEMATIQUE: LE DEVELOPPEMENTINTELLECTUEL DE L'ENFANT 17

5.1 Introduction 17

5.2 Aptitudes intellectuelles 17

5.3 Habiletes intellectuelles 18

5.4 Formation de I'intelligence , . .. . .. . . . . . .. . . . .. .. .. 185.4.1 Creativite 185.4.2 Elements caracteristiques du developpement de I'intelligence 18

5.5 Objectifs du programme......................................................... 19

6.1 Introduction 21

6.2 Evaluation des apprentissages dans les domaines socio-affectif, psychomoteuret dans celui de la formation intellectuelle 216.2.1 Objectifs 216.2.2 Moyens et instruments d'evaluation 216.2.3 Exemples d'applications 226.2.4 L'ecole et la formation generale 23

6.3 Evaluation des objectifs mathematiques 236.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3.2 Choix des instruments de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.3 Expression des resultats de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.4 Objectivite de la mesure 25

7.1 Place et importance du materiel didactique 27

7.2 Classification du materiel didactique 27

7.3 Materiel propre a la mathematique 277.3.1 Abaq ues 287.3.2 Instruments de mesure . . .. . . . .. . .. . .. . . . .. . . . .. . .. .. . . . 287.3.3 Modeles geometriques 287.3.4 «Geoplans» 297.3.5 Miroirs 297.3.6 «Blocs multi bases» 307.3.7 Papier pointille, quadrille et triangule 307.3.8 «Centicubes» 307.3.9 Reglettes Cuisenaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3.10Tableau de fractions....................................................... 31

7.4 Tableau - Guide d'utilisation du materiel didactique 31

7.5 Jeux mathematiques 31

7.6 Place de la calculatrice au primaire . .. . . .. . . .. .. .. . .. . .. .. .. . . . . 32

7.7 Sources de documentation 32

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE 1 FONDEMENTS DU PROGRAMME .

1.1 Evol ution de la societe .

1.2 Evolution de la psychopedagogie 1

1.3 Recherches et developpements en didactique de la mathematique 2

2.1 Philosophie de I'enseignement au primaire 3

2.2 L'apprentissage d'un concept matMmatique: un long processus 4

2.3 Utilisation de situations pedagogiques variees et stimulantes 5

2.4 Role des problemes dans I'apprentissage de la matMmatique 6

2.5 Integration de I'apprentissage des matieres au primaire 8

CHAPITRE 3 OBJECTIFS DE FORMATION GENERALE ENMATHEMATIQUE: LE DEVELOPPEMENTSOCIO-AFFECTIF DE L'ENFANT 11

3.1 Raison d'etre de ce type d'objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Fa90n de realiser ce developpement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

CHAPITRE 4 OBJECTIFS DE FORMATION GENERALE ENMATHEMATIQUE: LE DEVELOPPEMENTPSYCHOMOTEUR DE L'ENFANT 13

4.1 Introduction 13

4.2 MatMmatique et developpement psychomoteur 13

4.3 Approche pedagogique 154.3.1 Necessite de I'observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3.2 Etapes du developpement de I'enfant 154.3.3 Demarches pedagogiques adaptees aux deux cycles des etudes primaires 154.3.4 Utilisation de tous les sens de I'enfant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.3.2 Choix des instruments de mesure

Selon I'aspect que I'on cherche a mesurer, onutilisera differents types d'instruments de me-sure. La connaissance de faits precis (tables,vocabulaire) peut se mesurer oralement oupar ecrit par Ie biais de questions precises areponse unique et breve. C'est generalementIe type de mesure Ie plus facile a faire. II fautnoter ici que Ie questionnaire a choix multiplesn'est habituellement pas Ie plus appropriedans ce cas, car il verifie davantage la recon-naissance des faits que leur connaissance.

Pour mesurer Ie developpement d'automatis-mes (apprentissage des tables), on pourra,par exemple, choisir I'epreuve ecrite chronome-tree ou I'epreuve ecrite dont les questionssont donnees oralement une a la fois.

II n'est pas facile de mesurer par ecrit Ie degrede comprehension d'un concept (valeur deposition, notion de fraction, notion de con-gruence) puisque les enfants a cet age n'ontpas encore acquis une maitrise suffisante deI'expression ecrite qui leur permette de tradui-re leur pen see ou d'exposer un raisonnement.Par contre, I'interrogation orale, dans ce con-texte, est toujours possible; I'enseignant peutpar des questions, des sous-questions, desobjections, des exemples contraires aux enon-ces d'hypotheses, amener I'enfant a exprimer,dans une certaine mesure, Ie niveau de compre-hension qu'il a d'un concept. II peut aussidemander a un enfant d'expliquer a un cama-rade sa fac;:on de voir tel ou tel concept etd'illustrer sa pensee par des exemples quiviennent verifier ou infirmer cette notion.

Le developpement d'habiletes ou de techni-ques (techniques d'operations, mesurage,constructions geometriques) se mesure plusfacilement par Ie biais d'une tache precise quipermet a I'eleve de reveler son niveau d'habile-te ou son degre de maitrise de la technique.Le savoir-faire se mesure dans I'action meme,en donnant la preuve qu'on Ie possede. SiI'habilete mesuree est une habilete ecrite(effectuer des operations), I'epreuve pourraetre ecrite; parcontre, si I'habilete est manuel Ie(constructions geometriques), I'eleve devraexecuter un travail qui demontre sa competen-ce. Celle-ci sera evaluee a partir de criteresbien precis.

Pour mesurer la capacite d'un eleve a pouvoirutiliser un concept (activites de classification,resolution de problemes, decouverte de «regu-

larites»), il faut se servir de situations plusgenerales et plus complexes qui exigeront desa part une organisation des elements de cesmemes situations dans une structure ordon-nee pour lui permettred'appliquerses connais-sances a la resolution du probleme pose.

Comme ici Ie cheminement suivi est souventplus revelateur que la solution, il convientdonc de permettre a I'enfant d'exposer so it aufur et a mesure, soit a la fin seulement, sademarche, les decisions prises, les choix qu'ila faits, la justesse ou I'a-propos de la solutionproposee. L'entrevue est un bon moyen pourevaluer ce type d'apprentissage. Meme si lamesure de ce type d'objectifs est plus difficileet demande plus de temps de la part dumaitre, iI ne faudrait pas negliger pour autantI'evaluation de ce type d'apprentissage, car ils'agit 180sans doute de I'un des comportementsles plus importants qu'on doit developperchez les enfants dans Ie cadre de I'applicationdu programme de mathematique. De plus, cegenre de comportements exige de I'enfantune certaine autonomie de pensee et d'action,une assez bonne capacite d'organisation etdes aptitudes de creativite capables de debou-cher sur la production d'une solution. C'est la,en quelque sorte, I'aboutissement ou Ie pointde convergence des autres objectifs du pro-gramme. Enfin, les habiletes acquises dans cedomaine peuvent parfaitement etre appliqueesdans I'apprentissage d'autres disciplines etdans la resolution d'une foule de situationsque I'on retrouve en dehors du domainescolaire.

6.3.3 Expression des resultats de lamesure

Comme on peut Ie constater, il n'existe pasd'instrument de mesure passe-partout conve-nant a tous les objectifs indistinctement. Serestreindre a un seul type d'instrument, c'ests'obliger a ne mesurer qu'un seul aspect deI'apprentissage. Un autre piege a eviter estcelui des chiffres. Ce n'est pas parce qu'unemesure est chiffree qu'elle est plus valable oume me plus significative. Au contraire, I'infor-mation chiffree est une information codee quirequiert I'intelligence du code pour son inter-pretation et sa comprehension. Par contre,I'information transmise sous une forme litterai-re reste toujours significative; elle ne requiertaucun decodage.

Chiffrer I'information ne devient necessaireque lorsqu'i1 faut resumer beaucoup d'informa-

(1-23)>>.Ce qui signifie une attitude positiveobservee Ie 23 janvier. II se peut egalementque, deux jours plus tard, on note pour Mariesous I'objectif 153:« G: (1-25)>>.Si ce n'est pasla premiere fois que cette situation se presente,il faudra des lors chercher a y porter remade.II se peut enfin que certaines observationsapparaissent pour la premiere fois sous cer-tains points, par exemple, pour I'objectif 164.C'est sans doute que Ie maitre aura introduitdes situations qui permettent I'acquisition oula poursuite de nouvelles habiletes.

Les exemples qui precedent illustrent biencomment proceder chaque jour a I'observationsystematiquede quelques eleves et a I'observa-tion occasionnelle de certains autres selonque les circonstances Ie favorisent ou Iepermettent. Plusieurs faits et gestes, construc-tifs ou negatifs, qui seraient peut-etre passesinaper9us sont maintenant consignes, et I'ana-lyse de ces observations par Ie maitre saurasans doute orienter son action pedagogiqueaupres des enfants en cause.

Enfin, les observations pourraient encore etreconsignees par Ie maitre ou meme par leseleves sur des fiches individuelles ou lescommentaires auraient I'avantage d'etre pluselabores et plus significatifs que de simples«+» ou «-».

6.2.4 L'ecole et la formation generale

Pour mesurer et evaluer la formation generaledes enfants, il est a conseiller, entre autreschoses, de bien connaitre les objectifs qu'ondesire leur faire atteindre en elaborant, parexemple, une liste de comportements illus-trant chacun de ces objectifs et en organisantIe travail de classe de fa90n a favoriser I'obser-vation des comportements attend us. II resteraensuite a porter des jugements fondes sur lesinformations recueillies, lesquels jugementspourront appuyer certaines decisions.

Quoi qu'il en soit, I'eeole aura toujours un roleprimordial a jouer dans la formation generaledes enfants. II est donc tres important deproceder a des mesures et a des evaluationsde cette formation afin de reorienter ou deresituer I'action du maitre en ce domaine.

3. Programme de mathematique, chapitre 5, objectifs deformation g(merale, domaine de la formation intellec-tuelle.

4. Programme de mathematique, chapitre 5, objectifs deformation generale, domaine de la formation intellec-tuelle.

6.3 Evaluation des objectifs mathematiques

6.3.1 IntroductionS'il est important de parler, comme on I'a faitdans la section precedente, du developpe-ment des objectifs dans les domaines de lasocio-affectivite, de la psychomotricite et dela formation intellectuelle, il convient de nepas oublier cependant de parler des objectifsmathematiques du programme. II faut preciserici que ce programme ne vise pas uniquementI'apprentissage de notions mathematiquescomme telles, mais egalement I'acquisitiond'habiletes permettant a I'enfant la resolutiond'une foule de problemes qui se presentent alui tous les jours.

Pour evaluer la realisation de ces objectifs, ilfaut evidemment recourir ala mesure; I'evalua-tion fait en effet partie integrante des proces-sus d'enseignement et d'apprentissage. Maiscette evaluation, pour etre valable, doit s'ope-rer sur des bases solides qui respectent a lafois Ie souci de mesurer Ie plus possibleI'ensemble des notions contenues dans Ieprogramme et la preoccupation d'effectuercette mesure de la fa90n la plus objectivepossible. II faudra pour cela mesurer lesniveaux de reussite des objectifs proposesaussi bien du point de vue qualitatif quequantitatif. line s'agit donc pas uniquementde determiner Ie nombre ou la Iiste desobjectifs maitrises, mais aussi d'aller jusqu'apreciser, par exemple, si I'acquisition esttemporaire ou permanente, si I'enfant se limitea une simple memorisation de faits ou degestes, s'i I a developpe des automatismes, s'i Iest capable d'expliquer sa demarche, d'etablirdes relations ou d'appliquer ses connaissan-ces. Comme c'est en grande partie de laqualite des apprentissages que depend lapermanence des acquisitions, la mesure devrasurtout s'attarder a cet aspect.

Avec I'analyse des resultats de la mesure, Iemaitre pourra ameliorer la qualite des deci-sions qu'il doit prendre relativement a I'appren-tissage des eleves, les parents pourront serendre compte du cheminement scolaire deleur enfant et les com missions scolai res, plan i-fier ou ajuster leurs objectifs pedagogiques.

tions en peu d'espace ou qu'on veut com parerles resultats d'un grand nombre d'elewes com-me c'est Ie cas a la fin d'une annee scolaire,par exemple. Dans les autres cas, une brevedescription du niveau de maitrise atteint ouune information relative au seuil du rendementobtenu renseignent suffisamment bien Ie mai-tre et rendent I'interpretation des resultatsplus facile. On mesure les apprentissages desenfants afin de les mieux connaitre et pourinspirer les decisions pedagogiques a prendreen telle ou telle occasion. L'information doitetre la plus pertinente possible, redigee dansun langage clair, concis et susceptible d'etrecompris par toutes les personnes interessees:eleves, parents, enseignants.

6.3.4 Objectivite de la mesure

II ne faudrait pas terminer ce chapitre sanssouligner I'une des qualites les plus importan-tes de la mesure: I'objectivite. Pour sauvegar-der cette qualite dans la construction d'uninstrument de mesure, il faut veiller a reduireau minimum la place laissee a I'interpretationpersonnelle. Pour ce faire, on doit fixer avecbeaucoup de soin les criteres qui doiventservir a I'evaluation du rendement afin depouvoir juger tous les candidats de la memefac;:on.

Plus I'objectif est general, plus il convientd'etablir des criteres precis. II ne faut cepen-dant pas s'attendre a eviter toute subjectivitecar, des Ie depart, Ie choix meme des criteresd'evaluation ne peut etre exempt de toutesubjectivite; ainsi, mettre I'accent sur la rapiditeplut6t que sur I'originalite est un choix person-nel. Bien plus, les decisions prises a la suitede I'etude des resultats d'une mesure ne sontcertainement pas entierement independantesdes personnes qui les prennent. Le choix d'unbon instrument de mesure est done d'une tresgrande importance, car c'est a partir desdonnees recueillies que des jugements devaleur seront partes. Si I'instrument traduitmal la realite que I'on veut cerner, il est bienclair que les jugements portes sur les resultatsobtenus ne pourront revetir qu'une validitefort douteuse.

Chapitre 7Materiel didactique7.1 Place et importance du materiel

didactique

L'enseignement, pour etre valable, doit s'ap-puyer sur la decouverte, I'utilisation et lastructuration de certains concepts de base:classification, nombre, numeration, mesure,operation, forme geometrique. Pourfavorisercette demarche de I'enfant, Ie maitre peutrecourir a un certain nombre d'instrumentsdidactiques appropries.

De fac;:ongenerale, Iemanuel peut etre consi-dere comme Ie principal outil utilise par Iemaitre. D'oLJ I'importance de Ie choisir avecsoin et de s'en servir avec discernement. Unebonne utilisation du manuel doit permettre etencourager les decouvertes par I'enfant denotions nouvelles de meme que la libre explora-tion de concepts ou de structures. En aucuncas Ie manuel ne doit etre considere commeune fin, mais bien comme un moyen pouratteindre les objectifs superieurs d'une forma-tion valable et reel Ie.

Les premiers apprentissages de la mathemati-que ne sauraient cependant etre assures parla seule utilisation d'un manuel, aussi bien faitsoit-il. Les manipulations concretes revetentune importance telle qu'on ne saurait s'enpasser. En effet, c'est a partir de situationsquotidien nes, de taches motivantes et d'expe-riences diverses que I'enfant, grace a desjeux, des codes et des representations, cons-truit ses propres concepts et qu'il elabore sespropres abstractions.

Pour realiser une telle demarche, maitre eteleves doivent recourir a un materiel didacti-que abondant, varie et facile d'acces. A causedes contraintes multiples imposees par Iecout du materiel, par Ie nombre d'enfants quipeuvent s'en servi r et par les problemes d'entre-posage, une organisation pedagogique etrationnelle dans I'utilisation de ce materieldevient une necessite.

Dans les sections qui vont suivre, on donnerades indications concernant la classificationdu materiel, sa description, la quantite sugge-ree et la clientele visee. Bien sur, ce ne sont laque des indications, des normes, mais il seraitsans doute avantageux de s'en rapprocher Ieplus possible.

7.2 Classification du materiel didactique

Pour des fins d'ordre pratique, on a vouluinscrire ici dans une premiere categorie, diverselements de materiel didactique d'utilisationcourante: papier, ciseaux, colle, etc. Dans ladeuxieme categorie, on s'est arrete a decrireun materiel dont I'usage appartient surtout aI'enseignement de la mathematique.

MATERIEL D'UTILISATION COURANTE

On retrouve sous cette rubrique un materielcouramment utilise par I'enfant, mais qui n'estpas a caractere strictement mathematique:elastiques de differentes couleurs, pailles,batonnets a cafe, colle, feuilles de papier«construction», carton «4 plis», com pas, ci-seaux, plasticine, boltes de formes et degrandeurs differentes, papier transparent, fi-celie, corde, gros rouleau de papier, monnaiepour jouer, crayons de couleur, jetons, bou-tons, capsules de bouteilles, epingles a ressort,epingles a linge, cartes a jouer, dominos,anneaux metalliques, trombones, cataloguesdes grands magasins, etc.

A partir de ce materiel, les enfants pourront, aI'aide d'un cintre et d'epingles a linge, sefabriquer leur propre abaque et faire desgroupements par 2,3,4, etc., diviser 24 en 3, 4,ou 6 groupes, determiner Ie nombre d'epinglespar groupe, etc. lis pourront encore se fabri-quer un cadran en utilisant, par exemple, Iecouvercle de plastique d'une boite de cafe etdes aiguilles taillees dans un contenant d'eaude javel. Les aiguilles sont ensuite fixees aucad ran a I'aide d'une attache parisienne.

Ce genre de materiel bien que non propre alamathematique est souvent celui qui sert Ieplus etant donne ses multiples usages.

MATERIEL PROPRE A LA MATHEMATIQUESous cette rubrique, on retrouve Ie materielreserve a la mathematique: abaques, instru-ments de mesure, formes geometriques, «geo-plans», miroirs, «blocs multibases», papier(pointille, quadrille, triangule), «centicubes»,reglettes Cuisenaire, tableau de fractions,diagrammes maison (Venn, Carroll, arbre,diagrammes a doubles entree: de type carte-sien), blocs logiques.

NOTE: en favorisant Ie travail de groupe et enorganisant I'emploi du temps des differentesclasses, chaque ecole peut reduire Ie cout deson equipement et permettre une utilisationoptimale du materiel.

7.3 Materiel propre a la mathematique7.3.1 Abaques

DescriptionDispositifs pratiques constitues d'une basesur laquelle sont fixees des tiges recourbeesou des glissieres permettant de faire passerou d'enfiler des disques de differentes cou-leurs.

Pistes d'exploitationIllustration de nombres; addition ou soustrac-tion; bases de numeration; valeur de positiondans I'ecriture des nombres naturels et desnombres 11virgule.

Clientele viseeFin du premier cycle et second cycle.

Quantite suggereeUne quinzaine par classe.

Type de materielCommercial ou artisanal.

7.3.2 Instruments de mesure

DescriptionCe sont des instruments d'usage courant telque: regles d'un metre, rubans 11mesurer,grilles au "cm2», papier quadrille, rapporteursd'angle.

Pistes d'exploitationLongueur, perimetre, aire, volume, angle.

Clientele viseeRegles et rubans: toutes les classes. Papierquadrille, grilles au "cm2», structure d'unmetre cube, rapporteurs d'angle: au 2' cycleseulement.

Quantite suggereeA la discretion de I'ecole.Type de materielCommercial

7.3.3 Modeles geometriques

DescriptionEnsemble de "blocs" de differentes formes,en bois ou en plastique. Ensemble de formesgeometriques planes variees en carton decouleur, epaisseur: ,,4 plis».

Pistes d'exploitationEtude des figures 11deux dimensions; explora-tion et construction de formes a trois dimen-sions; observation, classification et identifica-tion de figures 11deux ou a trois dimensions;etude des faces, des sommets et des aretesdes solides; etude des cotes des figures;etude des angles; geometrie des ombres;recherche de modE!les; comparaison de mesu-res de surface; differenciation des mesuressuivantes: aire, volume, peri metre.

Quantite suggereeA la discretion de I'ecole.Type de materielCommercial ou artisanal.

Clientele viseeToutes les classes.

7.3.4 «Geoplans»

DescriptionPlanches cam~es ou rectangulaires sur les-quelles on trace des reseaux; ces reseauxsont formes generalement de carres et parfoisde triangles. Des tiges metalliques sont enfon-cees aux intersections des lignes des reseauxet ces tiges servent a tendre des elastiques decouleurs differentes.

Pistes d'exploitationObservation et construction de figures geome-triques; classification de figures; peri metre etaire; transformations geometriques.

Clientele visee2' cycle.

Quantite suggereeUne trentai ne par classe; iIserait souhaita-ble de presenter aux enfants des «geo-plans» de types varies.

Type de materielCommercial ou artisanal.

7.3.5 Miroirs

DescriptionTout miroir peut servir. Pour les 5-6 ans, il estpreferable d'avoir un miroir suffisammentgrand pour que les enfants puissent se voir aucomplet. Pour les manipulations, on suggereun miroir incassable d'environ 10 x 15 cm, ilexiste egalement sur Ie marche des miroirs en«plexiglas» qui assurent, en meme tempsqu'une certaine transparence, une assez bon-ne qualite de reflexion: miroirs de couleursemi-transparents.

Pistes d'explorationSymetries, rotations, translations, parrallelis-me, perpendicularite, axes de symetrie, bissec-trices point-milieu d'un segment, etc.

Type de materielCommercial.

Quantite suggereeUne trentaine par classe.

Clientele viseeToutes les classes.

7.3.6 «Blocs multi bases»

DescriptionMateriel structure permettant une concretisa-tion de la numeration dans differentes bases.

Pistes d'exploitationEtude des systemes de numeration dans diffe-rentes bases; etude de la valeur de positiondes nombres dans differentes bases; etudedes operations sur les nombres naturels dansdifferentes bases; etude des nombres deci-maux; forme exponentielle; etude de I'aire, duvolume, du peri metre; etude de la fraction,partie d'un objet; etude de la fraction, partied'un ensemble.

Type de materielCommercial.

Quantite suggereePour une classe: un ensemble comprenantdeux systemes a base «trois», un systeme abase «quatre», un systeme a base «cinq», unsysteme a base «six» et un systeme a base«dix».

Clientele visee1"r cycle: 7 - 8 ans;2'"cycle: 9 - 10 - 11 ans.

7.3.7 Papier pointille, quadrille ettriangule

DescriptionFeuilles de format ordinaire graduees a I'aided'un reseau de carres ou de triangles.

Pistes d'exploitationEtude des triangles; etude des quadrilateres;etude du peri metre, de I'aire; reperage; trans-formations geometriques: symetries, rotations,translations, dilatations; reieves statistiques,histogrammes, graphiques; fractions: notions,addition, soustraction; nombres naturels: droi-te des nombres, grilles de nombres.

Clientele visee2' cycle.

Types de materielArtisanal ou commercial.

Quantite suggereeSelon les besoins.

DescriptionCubes de couleurs differentes, en plastiquede 1 cm de cote, pouvant s'attacher les unsaux autres a I'aide de mortaises et de tenons.

Pistes d'exploitationApprentissage du nombre; bases de numera-tion: construction de barres, de plaques ou decubes; notion de groupement; forme exponen-tielle; operations sur les nombres dans differen-tes bases; fraction, partie d'un tout; fraction,partie d'un ensemble; constructions de formesa deux ou a trois dimensions; symetries,translations, rotations; etude du peri metre, deI'aire, du volume; entiers relatifs: notion dedominance.

Quantite suggereeTrois sacs de mille cubes par classe.

Clientele viseeToutes les classes.

Type de materielCommercial.

7.3.9 Reglettes Cuisenaire

DescriptionEnsemble de baton nets en bois ou en plastiquedont les longueurs varient de un a dix centime-tres; une couleur determinee identifie chacunede ces longueurs.

Pistes d'exploitationRelation d'ordre; recherche des «complemen-taires» a une reglette choisie ou a un nombredesigne; recherche de facteurs, de multipleset de «regularites»; initiation aux quatre opera-tions mathematiques et decouverte de leursproprietes; exploration des bases de numera-tion; introduction au concept de fraction, auxoperations sur les fractions; construction defigures a deux ou a trois dimensions; mesuresde longueur, d'aire et de volume,

Clientele viseeToutes les classes.

Quantite suggeree1 ensemble (boHe) par deux eleves.

Types de materielCommercial.

7.3.10 Tableau de fractions

DescriptionFeuille rectangulaire illustrant des fractionssimples a I'aide de bandes, comme 1/2, 1/4,1/8, 1/3, 1/5, 1/10; egalement une banderepresentant I'unite et une droite numerique

ou sont situees des fractions comprises entreo et 1.

Pistes d'exploitationNotions de fractions; comparaison de frac-tions; fractions equivalentes; initiation auxquatre operations sur les fractions.

Clientele vi see2" cycle.

Quantite suggereeQuinze par classe.

Type de materielArtisanal.

7.4 Tableau - Guide d'utilisation dumateriel didactique

nombresnaturels

abaques,blocs multi bases»

"Centicubes»rf3glettes

Cuisenaire

abaques"blocs multi bases»

papier quadrille,triangule

reglettes Cuisenaire

abaques"blocs multibases»

fractions papier quadrille,triangule

"Centicubes»reglettes Cuisenairetableau de fractions

entiersrelatifs

formesgeometriques

miroirs"Centicubes»

reglettesCuisenaire

formesgeometriques

"geoplans»miroirs

papier pointille,triangulequadrille

"Centicubes»reglettes Cuisenaire

reglesde1 m,rubansa mesurer, papier

regles de 1 m quadrille, grilles enrubans a mesurer cm2, structure de

reglettes 1 m3, "blocsCuisenaire multibases»,

rapporteurs d'angles,"geoplans», reglettes

Cuisenaire,"Centicubes»,

7.5 Jeux mathematiques

Une des caracteristiques de I'ecole nouvelleest I'activite de I'eleve, jugee plus importanteque celie du maitre. Une des fa

7.6 Place de la calculatrice au primaire

Un grand nombre d'activites ont ete mises aupoint dans Ie cadre de la recherche surI'utilisation de la calculatrice dans I'enseigne-ment. Que ce soit pour Ie calcul sur les grandsnombres, pour I'apprentissage des algorith-mes et des operations, pour la resolution deproblemes, pour la rapidite et la verificationdes calculs, pour I'etude des "regularites»; ondoit considerer I'utilisation de la calculatricecom me une fac;:onuti Ie et agreable d'effectuerdes apprentissages mathematiques. Contraire-ment a des prejuges generalement repandus,il semble que, a la suite de nombreusesrecherches faites aux Etats-Unis sur la ques-tion1, I'utilisation de la calculatrice en classen'a a peu pres pas d'infl uence sur I'apprentissa-ge des techniques de calcul. Autrement dit,les eleves qui font usage de la calculatrice nesont ni pires ni meilleurs en calcul que ceuxqui ne I'utilisent pas,

1 Research on Hand-Held Calculators. K-12. CalculatorInformation Center, Bulletin n° 9, Aug. 77,1200 Cham-bers Rd, Columbus, Ohio, 43212.

De plus, Ie National Council of Teachers ofMathematics (N.C.T.M.) encourage I'usagede la calculatrice en classe aussi bien commemoyen d'apprentissage· que comme instru-ment de calcul. Cet organisme soutient, entreautres choses, que la calculatrice:

• peut contribuer au developpement eta la decouverte de concepts;

• peut reduire Ie temps requis pourresoudre un probleme, permettant ain-si un eventail plus grand de situationsa resoudre;

• permet une pius grande concentrationde I'enfant sur I'analyse de situationsa resoudre et sur Ie choix des opera-tions a effectuer;

• provoque tres souvent, chez I'enfant,un interet et une motivation plus gran-de pour I'apprentissage de la mathe-matique.

Cependant, ie choix d'un tel materiel souleveplusieurs problemes d'ordre pratique commeI'alimentation electrique et I'adaptation techni-que de la machine en fonction des besoinsdes enfants selon leur age et leur niveaud'apprentissage. La Federation quebecoisedu loisir scientifique a publie un dossierinteressant a ce sujet concernant les criteresde selection d'un tel instrument pour les finsd'utilisation en classe1.

7.7 Sources de documentation

L'Office National du Film (O.N.F.), l'Office duFilm du Quebec (O.F.Q.) et Ie Service generaldes moyens d'enseignement mettent a ladisposition des enseignants des productionsvisuelles. Parmi ces dernieres, il y a d'excellen-tes sources de retlexion pouvant aider a fairedemarrer des discussions a caractere pedago-gique. Certains documents peuvent etre utili-ses en classe tels: Ronde carree, Notes sur untriangle. On aurait tout avantage egi\lement aconsulter certaines revues pedagogiques con-sacrees a I'enseignement des mathematiquesdans lesquelles, outre des articles a caracteredidactique, on peut trouver des suggestionsd'activites toute faHes pour une utilisationimmediate en classe: Instantanes mathemati-ques et Arithmetic Teacher.

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