BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIÁO VIÊN Ch nhi m B … · 2014-06-09 · * Giới thiệu về tập số phức, tập số phức mở rộng; phép toán trên

BỘ MÔN DUYỆT

Chủ nhiệm Bộ môn

Tô Văn Ban

ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI

GIẢNG

(Dùng cho 75 tiết giảng)

Học phần: TOÁN CHUYÊN ĐỀ

Bộ môn TOÁN

Khoa : CNTT

GIÁO VIÊN

Phạm Tiến Dũng

Thông tin về giáo viên

TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị Đơn vị công tác

1 Nguyễn Xuân Viên PGS TS Bộ môn Toán

2 Phạm Tiến Dũng GVC TS Bộ môn Toán

3 Nguyễn Văn Hồng GV Ths Bộ môn toán

4 Vũ Thanh Hà GV TS Bộ môn Toán

5 Bùi Hoàng Yến GV ThS Bộ môn Toán

6 Nguyễn Hồng Nam GV ThS Bộ môn Toán

Thời gian, địa điểm làm việc: Bộ môn Toán- Khoa CNTT- HVKTQS

Địa chỉ liên hệ: [email protected]

Điện thoại, email: 069515330

Bài giảng 1: Комплексные числа

Chương I, Mục: I.1-I.2

Tiết thứ: 1-5 Tuần thứ:

- Mục đích, yêu cầu:

* Giới thiệu về tập số phức, tập số phức mở rộng; phép toán trên trường số

phức, một số tính chât .

* Vận dụng giải 1 số bài tập đơn giản

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: LT: 3t; BT: 2t, Tự học: 3t

- Địa điểm: Giảng đường

- Nội dung chính:

Глава 1. Комплексные числа

1.1. Определение комплексного числа

1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел

Выберем прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Так как число z является парой a,b , то естественной геометрической

интер-пртацей комплексного числа является его изображение точкой

M a,b на плоскости. Обратно, каждая точка M a,b рассматривается

как образ ко-мплексного числа z a,b .

Это условие устанавливает взаимно однозначное соответствие между

м-ножеством всех точек плоскости и множеством всех комплексных

чисел.

1.3. Операции над комплексными числами

Определение 1. Суммой двух чисел 1 1 1z a ,b и 2 2 2z a ,b

называется

1 2 1 2 1 2z z z a a ,b b .

Определение 2. Произведением двух чисел 1 1 1z a ,b и 2 2 2z a ,b

наз-ывается 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z .z a a b b ,a b a b .

Таким образом, число

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

z z .z a a b b b a a bz ,

z z .z a b a b

.

Примеры. Перемножить комплексные числа.

1.4. Различные формы записи коплексного числа

Первая форма- алгебраическая: z a ib, где i мнимая единица.

Вторая форма- тригонометрическая

Третья форма- показательная: iz z e z cos isin .

Примеры. Представить комплексные числа в тригонометрической

форме

1. z 1 i 3. Решение. 22

z 1 3 2, 2

argz .3

Имеем

2 2

1 i 3 2 cos 2k isin 2k3 3

.

2. z 4 4 cos 2k isin 2k .

3. 1 2 1 2 1 2 1 2z z .z z z cos isin .

4. 111 2 1 2

2 2

zzz cos isin

z z .

5. nnz z cosn isinn .

Пример 18

18 18 18 181 i 3 2 cos isin 2 cos isin .

3 3 3 3

1.5. Извлечение корня

Пусть дано комлексное число z 0.

Определение.

Теорема. При z 0 существуют ровно n различных корней kw из

числа n z, которые вычисляются по формулам

nk

argz 2k argz 2kw z cos isin ,

n n

где n z арифметический корень из положительного числа

z , k 0,n 1.

Пример 1. Найти 3 1.

Так как 1 cos0 isin0, то имеем

k

0 2k 0 2kw cos isin , k 0,1,2.

3 3

При 0k 0 w cos0 isin0 1;

1

2 2 1 3k 1 w cos isin i ;

3 2 2 2

2

4 4 1 3k 2 w cos isin i .

3 2 2 2

Пример 2. Решить уравнение 2x 1 0.

2x 1; k

2k 2kx 1 cos isin , k 0,1.

2 2

0 1x i; x i.

1.6. Задачи

- Yêu cầu SV chuẩn bị:

Nắm kiến thức cơ bản, hiểu, làm bài tập đã cho.

- Ghi chú: Ghi tên các tài liệu tham khảo(TL1, TL2.....)

Bài giảng 2: Предел и непрерывность

Chương II, Mục: II.1-II.2



* Khái niệm mặt phẳng phức mở rộng, miền n- liên, đường cong lien tục.

* Khái niệm hàm biến phức, tính liên tục

* Vận dụng giải một số bài tập đơn giản





Глава 2. Предел и непрерывность

2.1. Предел последовательности

Определение 1. Комплексное число 0 0 0z x iy называется пределом

последовательности ком-ных чисел n n nz x iy , n 1,2..., если 0 ,

0 0n n , такое что для всех 0n n выполняется неравенство

n 0z z .

Последовательность nz , имеющая конечный предел, называется

схо-дящейся и обозначается как n 0nlim z z

или n 0z z , n .

Определение 2. Окрестностью точки 0z радиусом называется множ-

ество точек z , удовлетворяющих неравенству 0z z .

Вывод. Соотношение n 0nlim z z

эквивалентно двум соотношениям:

n 0 n 0n nlim x x , lim y y .

2.2. Расширенная комплексная плоскость

Комплексную плоскость вместе с бесконечно удаленной точкой

z будем называется раширенной комплексной плоскостью и

обозначать ее через .

Определение 1. окрестностью бесконечно удаленной точки

z называется внешность круга с центром в начале координат и

радиусом , т.е. множество точек z , для которых z .

Определение 2. Несобственное комплексное число z называется

пределом последовательности nz , если 00 n , такое что при

0 nn n z .

« условие nnlim z

эквивалентно условию n n

1lim 0,

z а также эквивале-

нтно условию nnlim z .

2.3. Понятие области и непрерывной кривой

Определение 1. Областью D на называются множество точек,

облад-ающее следующими свойствами:

Открытость: вместе с каждой точкой из D принадлежат дотаточно

малого круга с центром в этой же точке этому множеству

Связность: любые две точки области D можно соединить ломаной,

состоящей из точек этой области.

Определение 2. Точка M D называется граничной точкой области D ,

если в любой ее окрестности лежат точки области D.

Совокупность граничных точек области D наз-ся границей этой

области.

Пуст функция z z t x t iy t орпеделена в

0t ,T действительного переменого t. Если x t и y t непрерывны на

0t ,T то уравнение z z t x t iy t определяет непрерывную

кривую на .

Непрерывная кривая называется кривой Жордана на 0t ,T , если 1 2t t то

1 2z t z t . Если 0z t z T , то кривая Жордана наз-ся замкнутой.

Пример 1. Окрестность точки a : z a радиусом является

областью.

Пример 2. Окружность 0z z делит на внутреннюю область

0z z и внешнюю область 0z z .

Пример 3. Уравнение z it, 1 t 1, определяет уравнение отрезка

мни-мой оси от точки z i до точки z i. Кривая является жордановой.

Пример 4. 0z и 0 . Уравнение 0z z cos t isin t , 0 t 2

опр-еделяет окружность радиусом с центром в точке 0z . Окружность-

кривая замкнутая жорданова.

Определение . Область D назы-ся односвязной, если любая кривая зам-

кнутая жорданова L , проведенная в области D, ограничивает некоторую

область E D.

Область, не обладающую этим свойством, будем называть многосвя-

зной,

2.4. Определение функции

Пусть D некоторое множество точек на .

Определение .

Пример5. Для функции 22 2 2w z x iy x y i2xy, следовательно

2 2Rew u x,y x y , Imw v x,y 2xy.

2.5. Предел функции

Пусть однозначная фукция w f z определена в окрестности 0z , за

иск-лючением, может быть, самой точки.

Определение. 0z z

lim f z A

если для любой n 0z z , то nf z A.

2.6. Непрерывность функции

Пусть однозначная фукция w f z определена в области D и 0z D.

Полагая

0 0 0 0 0 0 0 0z x iy , f z u x,y iv x,y , f z u x ,y iv x ,y .

Непрерывность функции f z в точке 0z эквивалентно следующим

ус-ловиям:

0 00 0

0 0 0 0x x x xy y y y

lim u x,y u x ,y , lim v x,y v x ,y .

2.7. Задачи




Bài giảng 3: Производная

Chương III, Mục: III.1-III.4



* Khái niệm đạo hàm. Trình bày chi tiết định lý Cosi-Rieman, biểu diễn dạng

tọa độ cực .






Глава 3. Производная

3.1. Определение производной

Пусть в области D определена однозначная функция w f z . Для

точек 0z D и 0z z D составим приращение фу-ции

0 0w f z z f z , соотвествующее приращению 0 0z z z z .

Определение. Функция w f z называетя дифференцируемой в точке

0z если существует конечный предел

'0

z 0

wlim f z .

z

(3.1)

Предел '0f z производной f z в точке 0z .

3.2. Дифференциал

Используя (3.1), запишем в виде '0 0w f z f z z z .

Диффе-ренциалом функции w f z в точке 0z (обозначаеся через dw )

называется часть '0f z z . Обозначая z через dz , получим формулу:

'dw f z dz.

Замечание. Дифференцируемая в точке 0z функции w f z

непрерывна в этой точке.

3.3. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

функции

Пример. Исследовать дифференцируемость функции w z.Imz.

Теорема. Для того чтобы функция f z u x,y iv x,y , определеная

в области D, была дифференцируема в точке z D, необходимо и

достаточно , чтобы функци u x,y и v x,y были непрерывно

дифференцируемы в той же точке, как функции действительных

переменных x и y, и чтобы, кроме того, выпольнялись условия

u v u v

, .x y y x

(К-Р)

Из теоремы следует, что 'f z функции f z можно представить в следу-

ющих:

' u v v u u u v vf z i i i i .

x x y y x y x x

Пример 1. Проверим выполнимость условий К-Р для w z.Imz.

Пример 2. Проверим выполнимость условий К-Р для 2w z .

Определение. Однозначная функция w f z , заданная в области D,

наз-ывается аналитической в области D (голоморфной, регулярной,

моногенной), если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Замечание. Понятие дифференцируемости и аналитичности в точке

z функция w f z различны.

Пример 1. Функция w z.Imz является аналитической в точке z 0?

Доказано, что функция дифференцируема в точке z 0 . Но в любой

окрест-ности точки z 0 функция не дифференцируема, поэтому она не

является аналитической в точке z 0.

Пример 2. Функция 2w z является аналитической на плоскости .

Задача. Записать условия К-Р в полярной системе координат.

Перейдем от декартовых координат x и y к полярным координатам r и

по формулам:

x rcos , y rsin .

Тогда

u 1 v 1 u v

. , .r r r

условия К-Р в полярных

координатах.

3.4. Правила дифференцирования

1. Если f z c, то 'f c 0, c const.

2. ' 'cf z c.f z , где c const.

3. ' ' 'f z g z f z g z .

4. ' ' 'f z .g z f z .g z f z .g z .

5.

' ' '

2

f z f z .g z g z .f z, g z 0.

g z g z

6. Если h h z дифференцируема в точке 0z , а функция w f h

дифф-еренцируема в точке 0h z , то сложная функция w f h z

дифференци-руема в точке 0z и

dw dw dh

.dz dh dz

7. Пусть отображение w f z однолистное в D, тогда обратная функ-

ция 1f w однозначна в G f D . Если w f z дифференцируема в

точке 0z D и '0f z 0, то обратная функция 1f w

дифференцируема

в точке 0 0w f z и

'0 '

0

1f w .

f z




Bài giảng 4: Производная (продол.)

Chương III, Mục:III.5-III.6



* Giới thiệu về ý nghĩa hình học của modun và arg; khái niệm hàm điều hòa.






3.5. Геометрический смысл модуля и аргумента производно

3.6. Гармонические функции

Определение 1. Функция f x,y , влажды непрерывно дифференциру-

емая в области D и

2 2

2 2

f f0,

x y

называется гармонической функцией ( уравнение Лапласа)

Определение 2. Две гармонические функции u x,y и v x,y в области

D называются сопряженными , если они удовлеворяют условиям К-Р.

Теорема. Аналитическую функцию w f z можно получить, произво-

льно задав одну из сопряженных гармонических : u x,y или v x,y .

Пример. Найти аналитическую функцию w f z , если известна

3 2u x,y x 3xy , w 0 0.

Второй способ: 2 2u3x 3y .

x

По условию К-Р имеем: 2 2v

3x 3y .y

Инте-грируя, получаем 2 3v x,y 3x y y x . По условию К-Р

u v

y x

'6xy x . Так как

u6xy,

y

то

' '6xy x 6xy; x 0, x C, 2 3v x,y 3x y y C.

1.7. Задачи




Bài giảng 5: Некоторые элементарные функции

Chương IV, Mục:IV1-IV.7



* Giới thiệu về một số hàm cơ bản thường gặp và các tính chất .






Глава 4. Некоторые элементарные функции

4.1. Степенная функция

Функция nw z , где n натуранное число, называется степенной. Она

определена и однозначна на , точке z ставится в соответствие

точка w .

Ее производная ' n 1w nz существует в любой точке плоскости .

Определение. Функция

Lnzz e (8)

называется общей степенной функцией комплексного переменного

z z 0,z с комплексным показателем .

Пример. Вычислить

1 i1 i

.2

4.2. Показательная функция

Определение. Показательной функцией комплексного переменного

называется функция вида

z xw e e cos y isin y expz, (1)

где z x iy.

Некоторые свойство

Определение. Функция

z zLnaa e (9)

называется общей показательной функцией комплексного переменного z

a 0,a .

4.3. Функция nw z

Функция nw z извлечения корня n й степени из любого комплексного

числа z, z 0 и z :

n nargz 2k argz 2k

z z cos isin , k 0,n 1n n

(3)

n различных значений (3) , в которых nw принимает одно и то же знание z.

4.4. Логарифмическая функция

Определение . Функция w Lnz, обратная к показательной функции

wz e , называется логарифмической функцией.

Для всех z 0 и z имеет место формула

Lnz ln z i argz 2k , k 0, 1,... (4)

Пример. Найти Ln 1 i , ln 1 i .

z 1 i, z 2, Arg 1 i 2k , k .4

По формуле (4): 1

Ln 1 i ln 2 i 2k , ln 1 i ln 2 i .4 2 4

4.5. Тригонометрические и гиперболичесие функции

Функции sinz, cosz, tgz, ctgz, shz, chz, thz, cthz аналитичны в области

определения каждой функции и их производные:

' ' ' '

sinz cosz, cosz sinz, shz chz, chz shz

' '

2 2

1 1tgz z 2k 1 , k ; ctgz z k , k

2cos z sin z

' '

2 2

1 1thz , cthz z 0 .

ch z sh z

Пример. Вычислить sin iln5 sin .cos iln5 cos .sin iln5

ln5 ln5e e 5 1/ 5

sin iln5 ish ln5 i i .2 2

4.6. Обратные тригонометрические функции

Определение. Функции

w Arcsinz, w Arccosz, w Arctgz, w Arcctgz определяются как

функции, обратные по отношению к тригонометрическим функциям

w sinz, w cosz, w tgz, w ctgz соответственно и называются

обратными тригонометрическими функциями комплексного переменного.

Пример 1. Вычислить Arctgz, z x.

Пример 2. Решить 12cosz 13 0.

4.7 Обратные гиперболические функции

Определение. Функция, обратные функциям

z shw, z chw, z thw, z cthw, называются соответственно

аркгиперболическим синусом, аркги-перболическим косинусом,

аркгиперболическим тангенсом, аркгиперболи-ческим котангенсом и

обозначаются так: w Arshz, w Archz, w Arthz, w Arcthz .

4.8. Задачи




Bài giảng 6:

Интегрирование функции комплексного переменного

Chương V, Mục:V.1-V.4



* Định nghĩa tích phân, định lý tích phân Cosi cho miền đơn và đa liên và một

số tính chất .






Глава 5.


5.1. Определение интеграла

Определение. Предел суммы n при kmax z 0, если он существует и

конечен , называется интегралом от функции f z по кривой (вдол

кривой) и обозначается символом f z dz, т.е.

k

n

k kmax z 0

k 1

lim f z f z dz.

Теорема. Если кусочно-гладкая , а однозначная функция w f z

неп-рерывна на , то интеграл на пути интегрирования существует.

5.2. Вычисление интеграла.

Положим z x iy, f z u x,y iv x,y ,

Таким образом, вычисление интеграла сводится к вычислению двух

криволинейных интегралов второго рода от действительных функций:

f z dz u x,y dx v x,y dy i v x,y dx u x,y dy.

Если зададим кривую параметрическими уравнениями:

z t x t iy t , t , , a z , b z .

Тогда

' 'f z dz u x t ,y t iv x t ,y t x t iy t dt

'f z t z t dt.

Пример 1. Вычислить z 2z dz, где отрезок прямой от z 0 до

z 1 i.

Пример 2. Найти dz

,z a

где a , кривая окружность z a в

положительном направлении.

5.3. Теорема Коши для односвязной области

Теорема Коши 1. Если функция f z аналитическая в односвязной

области D, то интеграл от f z вдоль любой кусочно-гладкой замкнутой

жордановой кривой D равен нулю, т.е.

f z dz 0.

Следствие 1. Для любых кусочно-гладких жордановых кривых в D и

имеющих общее начало a и общий конец b , то b

a

f z dz принимает один и

то же значние.

Следствие 2. Если функция f z аналитическая в односвязной

области D, то

z

a

f d F z ,

Рассматриваемый в зависимости переменного верхнего предел z, таже

явля-ется аналитической функцей в D, причем

z

'

a

dF z f d f z .

dz

Определение. Функция z , f z аналитическая в области D,

называ-ется первообразной функции f z , если ' z f z , z D.

Следствие 3. Если функция f z аналитическая в области D, то для

любых двух фиксированных точек a D и b D справедива формула

Ньютона-Лейбница:

b

b

aa

f z dz F z F b F a ,

где F z произвольная первообразная функция для f z .


i2

1

z dz.

Решение. Так как подыинтегральная функция 2z аналитическая на ,

то имеем

ii 32

1 1

z 1z dz 1 i .

3 3

5.4. Теорема Коши для многосвязной области

Теорема Коши 2. Пусть область D n 1 связная область, граница L

которой представляет собой совокупность попарно не пересекающихся

зам-кнутых кусочно-гладких жордановых кривых 0 1 nL ,L ,...,L , причем

0L внешняя кривая, 1 2 nL ,L ,...,L внутренние кривые. Если w f z

аналити-чная в замк-нутой D, то интеграл от f z вдоль L равен нулю.

Граница Lобходится в одном направлении, т.е.

0 k

n

k 1L L L

f z dz f z dz f z dz 0,

И ли

0 k

n

k 1L L

f z dz f z dz.

Пример. Вычислить n

0

L

z z dz,

где n , L кусочно-гладких замк-

нутая жорданова кривая, содержащая точку 0z внутри себя.




Bài giảng 7: (продол.)


Chương V, Mục:V.5-V.8



* Công thức tích phân Cosi, và 1 số áp dụng .






5.5. Интегральная формула Коши

Теорема 3. Пусть f z аналитическая в некоторой области

G, L замк-нутая кусочно-гладкая жорданова кривая, принадлежащая

области G вместе со своей внутренней областью D. Тогда для любой

точки 0z справедлива формула

00

L

f z1f z dz,

2 i z z

называемая интегральной формулой Коши, (т.е. можно наитй значения

ана- литической функции контура L через значения той же функции на

контуре L. )

5.6. Вычисление интегралов по замкнутой кусочно-гладкой

жордановой кривой

Примеры. 1. n

L

z dz 0, n 0,1,2...;

2. z

L

e dz 0;

3.

L

sin zdz 0;

4.

L

shzdz 0,

где L произвольная кусочно-гладкая жорданова

кривая.

Пример 5. Вычислить 2

z 2

dz.

z 1

Пример. Вычислить 2

z 2

coszdz.

z 5z

5.7. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема. Функция f z , аналитическая в области D, имеет

производные любого порядка в этой области, и ее производная n ого

порядка находится по формуле:

n

n 1

L

fn!f z d , n 1,2...

2 i z

где L замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая, принадлежащая

D вместе со своей внутренней областью.

Из теоремы следует, что производная 'f z аналитической функции

f z является аналитической функцей. И, более того, производная n

f z

для любого n является аналитической функцей.

Пример. Вычислить 4

z 2

sin zdz.

z

5.8. Задачи




Bài giảng 8: Ряды

Chương VI, Mục:VI.1-VI.5



* Chuỗi lũy thừa và một số tính chât, và 1 số áp dụng .






Глава 6. Ряды

6.1. Числовые ряды

Пусть последовательность nz коплексных чисел 1 2 nz ,z ,...,z ,.. . Символ

k 1 2 n

k 1

z z z ... z ...

(1)

называют комплексным числовым рядом. n

n k

k 1

S z

называется

частичной суммой ряда (1).

Определение 1. Если nnlim S S

конечный, то ряд (1) называется

сходящимся, и S называется суммой ряда. Если nS не имеет конечного

предела или не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Запишем частичную сумму:

n n n n

n k k k k k

k 1 k 1 k 1 k 1

S z x iy x i y ;

так как S a ib, то

n n

k kn n

k 1 k 1

a lim x , b lim y .

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд k

k 1

z

сходится. И

так, абсолютно сходящийся ряд сходится.

1. Признак сравнения. Если k kz w для 0k n и ряд k

k 1

w

сходится, то ряд k

k 1

z

сходится.

2. Признак Даламбера. Если n 1

n n

zlim q,

z

то ряд k

k 1

z

сходится при

q 1 и расходится при q 1.

3. Признак Коши. Если nn

nlim z q,

то ряд k

k 1

z

сходится при q 1

и расходится при q 1.

Пример. Исследовать сходимость

n

nn 1

n 1 i.

2

6.2. Функциональные ряды

Пусть на некотором множестве G определена последовательность

nf z функий . Ряд

k 1 2 n

k 1

f z f z f z ... f z ...

(3)

называется функциональным.

Определение 1. Ряд (3) называется сходящимся на множестве D G,

если он сходится в каждой точке z D.

Множество D называется областью сходимости функционального ряд (3).

На множестве D определена сумма ряда

n

n kn n

k 1

S z lim S z lim f z ,

(4)

где nS z n я частичная сумма ряда (3).

Определение 1. Ряд (3) называется равномерно сходящимся на

множестве D G, если

0 0 n0 и z D, n : n n S z S z , где

S z сумма функционального и nS z n я частичная сумма ряда (3).

Разность n n k

k n 1

S z S z R z f z

называется остатком ряда (3).

Теорема 1. Если g z ограниченная по модулю на множестве D, то

ряд k

k 1

g z f z

сходится равномерно в области равномерной сходимости

D ряда (3).

Теорема 2. (признак Вейерштрасса). Если в области сходимости D для

всех z D члены nf z функционального ряда (3), начиная с некоторого

0n , удовлетворяют условию n nf z a и ряд

0

k

k n

a

сходится, то ряд (3)

сход-ится равномерно в области D .

Теорема 3. (критерий Коши). Для того чтобы ряд (3) сходился в области

сходимости D,необходимо и достаточно чтобы 0, 0n : z D и

для всех 0n n и m выполнялось неравенство

n m nS z S z .

Пример. Рассматривать ряд 2 n1 z z ... z ...

6.3. Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 1. Если члены функционального ряда (3) является

непрерывными функциями в области D и ряд сходится равномерно в D ,

то его сумма S z непрерывна в D .

Теорема 2. Если члены ряда (3) непрерывны на некоторой кусочно-

гладкой дуге L и ряд на дуге L сходится равномерно, то ряд (3) можно

полученно интегрировать вдоль этой дуги, т.е.

n

n 1L L

S z dz f z dz.

(5)

Теорема 3. Если члены ряда (3) является аналитическими функциями в

D и ряд сходится равномерно в D , то его сумма S z является

аналитическими функциями в D .

Теорема 4. Если члены ряда (3) является аналитическими функциями в D и

ряд в D сходится равномерно к S z , то ряд (3) можно дифференцировать

полученно любое число раз в области D :

m mk

k 1

S z f z ,

(7)

где m любое.

6.4. Степенные ряды

Функциональный ряд вида

n n

0 1 0 n 0 n 0

n 0

c c z z ... c z z ... c z z ,

(8)

называется степенным рядом, числа 0 1 nc ,c ,...,c ,..называют коэффициен-

тами степенного ряда.

Теория 1. Если ряд (8) сходится в точке 1z ( 0z ), то он абсолютно сход-

ится в круге 0 1 0z z z z . Если ряд (8) расходится в точке 2z , то он

расходится во всех точках z, для которых 0 2 0z z z z .

Теория 2. Если область сходимости степенного ряд (8) не вырождается

в точку 0z и не совпадает с плюскостью , то существует положительное

чи-сло R такое, что ряд (8) сходится абсолютно при 0z z R, а

расходится при 0z z R . Открытый круг 0z z R называеся кругом

сходимости степен-ного ряда, а R радиусом сходимости степенного

ряда.

Теория 3. Если для последовательности 0 1 nc , c ,..., c ,... составленной

из коэффициентов степеного ряда (8), существует предел

n 1

n n

clim ,

c

то радиус сходимости ряда (8) равен 1

R , при этом полагают R 0 при

и R при 0 .

Теория 4. Если для последовательности nc составленной из

коэффици-ентов степеного ряда (8), существует предел

nn

nlim c ,

то радиус сходимости ряда (8) равен 1

R .

Если , то R 0 и ряд сходится только в точке 0z .

Если 0 , то R и ряд сходится абсолютно на .

Примеры. Найти радиус сходимости следующих:

n0

n 1

z z,

n

n

0

n 0

z z,

n!

n0

n 0

n! z z .

6.5. Свойства степенных рядов

Теорема 1. Степенной ряд (8) в области сходимости 0z z R

сходится равномерно в любом круге 0z z , где R.

Теорема 2. Сумма степенного ряда (8) в круге сходимости 0z z R

яв-ляется аналитической функцией.

Теорема 3. Степенной ряд (8) в круге сходимости 0z z R можно

поч-ленно дифференцировать любое число раз. Полученные при этом

степенные ряды

n 1'

1 2 0 n 0S z c 2c z z ... nc z z ...

n 2"

2 3 0 n 0S z 2c 3.2c z z ... n n 1 c z z ...

..............................

n ppn 0

n p

S z n n 1 ... n p 1 c z z

имеют тот же круг сходимости, что и ряд (8).

Теорема 4. Степенной ряд (8) можно почленно интегрировать в круге

сходимости 0z z R

0

z2 n 11 n

0 0 0 0

z

c cS d c z z z z ... z z ...

2 n 1

где 0z z любая точка круга сходимости. Полученный степенной ряд

имеет тот же радиус сходимости R.




Bài giảng 9: Ряды

Chương VI, Mục:VI.6-VI.8



* Khai triển thành chuỗi Taylo và 1 số áp dụng .






6.6. Ряд Тейлора

Теорема. Функция f z , аналитическая в открытом круге 0z z R,

представима в виде суммы степенного ряда

n

n 0 0

n 0

f z c z z , z z R,

(9)

где

n

00n 0 0

f zc , n 0,1,2... f z f z

n! (10)

Представление функции f z степенным рядом (9) называют

разложением функции в степенной ряд.

6.7. Нули аналитической функции

Определение 1. Точка 0z из области определения функции f z

называется нулем функции f z , если 0f z 0.

Пусть f z аналитична в окрестности своего нуля 0z z , причем

f z 0.

Тогда разложим f z в ряд Тейлора в окрестности 0z z , коэффициенты

которого не все равны нулю:

m m 1 m

m 0 m 1 0 m 0f z c z z c z z ..., c f z 0.

(14)

Число m в разложении называется кратностью нуля 0z аналитической

f z . Если m 1, то точка 0z называется простым нулем f z .

Определение 2. Точка z называется нулем функции f z , если

z

f lim f z 0.

Теорема 1. Если аналитическая функция f z 0 и 0z является нулем

функ-ции кратности m, то существует окрестность 0z z , в которой f z

не имеет других нулей.

Теорема 2. Если две аналитические в области D функции 1f z и

2f z совпадают на некоторой последовательности точек 1 2 nz ,z ,...,z ,..

сходяцейся к точке 0z , то функции 1f z и 2f z равны между собой в

области D.

6.8. Разложение функций в ряд Тейлора

Используя аналитическое продолжение, нетрудно показать

справедливость разложений:

Пример 1. Разложить функцию действительную 2

1f x

1 x

в ряд

Тейлора по степеням x .

Пример 2. Разложить функцию действительную в ряд Тейлора по x :

21/xe при x 0

f x0 при x 0

Пример 3. Найти первые три члена разложения в ряд Тейлора функции

в окрестности точки 0z 0 функции z

1f z .

1 e

Пример 4. Найти разложение в ряд Тейлора функции в окрестности

точки 0z 0 по степеням z функции 2f z cosz .

Пример 5. Разложить в ряд Тейлора по степеням z функции

1

f z .1 z

Пример 6. Разложить функции

z 8f z

3 z z 2

в ряд Тейлора в

окрестности 0z 1 .

Пример 7. Разложить функции 2 2

13f z

z 4 z 9

в ряд Тейлора в

окрестности 0z 0 .

6.9. Задачи




-

Bài giảng 10: Ряд Лорана

Chương VII, Mục:VI.6-VI.8



* Khai triển thành chuỗi Lorang , .






Глава 7. Ряд Лорана

7.1. Понятие ряда Лорана

7.2. Разложение функции в ряд Лорана

Теорема Лоранна. Если f z аналитична в (3), то существует единстве-

нное раэложение функции f z в ряд Лорана (4), где

n n 1

0L

f z dz1c , n 0, 1,...

2 i z z

(5)

где L окружность радиусом 0z z , r R.

Пример 1. Найти все возможные разложенния функции в ряд Лоранна

по степеням z :

1f z .

z 2 z 3

Выводы. Пусть f z аналитична на за исключением нескольких

изоли-рованных особых точек.

1. Пусть 0z точка аналитичности f z . Разложить f z в ряд Лорана

по степеням 0z z . Проведем окружности с центром 0z через все

особые точки. Комплексная будет разделит на области: а) круг

сходимости ряда Тейлора 0 1z z r , окружность 0 1z z r проходит

через ближай-шую к точке 0z особую точку(может быть несколько).

б) круговые ко-льца, в которых функция f z разлагается а ряд

Лорана. Коэффициен-ты nc в общем случае находятся по формуле

(8).

2. Пусть 0z особая точка функции f z . В этом случе применяем

теор-ему разложения функции в ряд Лорана вырожденном круговом

кольце 0 10 z z r .

3. Пусть f z правильная добро-рациональная функция

m m 1

0 1 mn n 1

0 1 n

a z a z ... af z , m n.

b z b z ... b

Известно, что любую правильную добро-рациональную функцию

f z

можно разделить на сумму простейших дробей вида s

sn

s

A,

z z где

sA некоторые числа, sz корни многчлена в знаменателе кратности

sn .

Разложение f z в ряд Лорана простейших дробей s

sn

s

A.

z z

Пример 2. Разложть 1

f z sinz 2

в ряд Лорана в окрежности точки

0z 2 .

7.3. Особые точки и их классификация

Пусть f z аналитична в кольце 00 z z R, в точке 0z не является

ана-литической . Точка 0z называется изолированной особой точкой

функции f z . По теореме Лорана f z разлагается в кольце в ряд Лорана

(4) . Ряд (4) используется для классификации изолированных особых

точек (три типа):

Определение 1. Изолированная особая точка 0z функции f z

называется устранимой особой точкой, если в ряд Лорана не сожерит

главной части, т.е. n

n 0

n 0

f z c z z .

Определение 2. Изолированная особая точка 0z функции f z

называется полюсом, если в ряд Лорана, главная части сожерит конечное

число слагае-мых, т.е.

1

n nn 0 n 0

n m n 0

f z c z z c z z .

( m 1, то 0z называется простым)

Определение 3. Изолированная особая точка 0z функции f z называется

существенно особой точкой, если в ряд Лорана, главная части сожерит

беско-нечное число слагаемых, т.е.

1

n nn 0 n 0

n n 0

f z c z z c z z .

Теорема 1. Для того чтобы 0z была устранимой особой точкой функции

f z , аналитической в кольце 00 z z R, необходимо и достаточно,

чтобы существовал конечный предел

0z z

lim f z A.

(12)

Пример 1.

Теорема 2. Для того чтобы 0z была полюсом функции f z ,

аналитичес-кой в кольце 00 z z R, необходимо и достаточно, чтобы

существовал конечный предел

0z z

lim f z .

Теорема 3. Для того чтобы 0z была полюсом порядка m функции f z ,

необходимо и достаточно, чтобы она была нулем кратности m функции

1

z .f z

Теорема 4. Если 0z -существенно особая точка функции f z , то для

любого комплексного числа A ( A не исключается) существует такая

последовательность точек nz , сходится к 0z ,чтобы nnlim f z A.

Пример 2. 1

f z cosz 2

имеет существенно особую точку 0z 2,

Теорема 5. Если для любого заданного числа A существует

n 0z z что последовательность nf z значений аналитической в

кольце 00 z z функции f z стремится к A , то точка 0z является

существенно особой точкой функции f z .

Пример 3. Показать что 1/zf z e имеет существенно особую точку

0z 0.




Bài giảng 11: Ряд Лорана

Chương VII, Mục:VI.6-VI.8



* Khai triển chuỗi Lorang trong 1 lân cận nào đó và 1 số vi dụ .






7.4. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности

бесконечно удаленной точки

Пример 1. 1

w .5 z

Пример 2. f z cosz.

7.5. Целые и мероморфные функции

Определение 1. Целое функцией называется функция f z ,

аналитическая на .

На точка z является единственной особой точкой. Лорановское

разло-жение в окрестности z R точка z имеет

nn

n 0

f z c z .

(16)

1. Если z является устраннмой особой точкой функции f z , то

0f z c , т.е. целая функция является постоянной.

2. Если z есть полюс порядка m , то m

nn

n 0

f z c z ,

т.е. целая

функция является полиномом.

3. Если z есть существенно особая точка функции f z , то

nn

n 0

f z c z ,

т.е. целая функция называется трансцендентной

функцией.

Пример. Функции zsinz, cosz, e являются целыми трансцендентными

функциями.

7.6. Задачи




Bài giảng 12: Вычеты и их приложения

Chương VIII, Mục:VIII.1-VIII.6



* Định nghĩa thặng dư, và các tính chất.





- Nội dung chính: Глава 8. Вычеты и их приложения

8.1. Определение вычета

Пусть f z аналитична в области D за исключением , быть может,

точки 0z .

Определение. Вычетом функции f z в точке 0z называется число,

обоз-начаемое символом 0Ref z и равное L

1f z dz,

2 i

где

L D произволь-ная кусочно-гладкая замкнутая жорданова кривая,

обходимая а положитель-ном направлении и содержащая точку 0z внутри

себя.

Таким образом, 0

L

1Resf z f z dz.

2 i

(1)

8.2. Основной прием вычисления вычета

Теорема. Вычетом f z в изолированной особой точке 0z равен коэфф-

ициенту 1c ряда Лорана функции f z в окрестности 0z :

0 1Ref z c . (2)

Пример 1. Найти вычет 1/zf z ze в особой точке 0z 0.

Пример 2. Найти вычет 1

f z zcosz 2

в особой точке 0z 2.

8.3. Вычисление вычета функции в полюсе

Рассмотрим случай простого полюса 0z функции f z . Ряд Лорана

имеет вид: n1

n 00 n 0

cf z c z z .

z z

Тогда

0 0

n 10 1 n 0

z z z zn 0

lim z z f z lim c c z z .

Отсюда 0

0 1 0z z

Resf z c lim z z f z .

(4

Пример 1. Найти вычет ze

f zz 1


Пример 2. Найти вычет

2

3

zf z

z 1


8.4. Вычет функции в бесконечно удаленной точке

Определение.

Теорема. Вычет f z в бесконечно удаленной точке z равен 1c

при 1

z лорановского разложения функции f z в точке z .

Пример 1. Найти вычет f z , если z является устранимой особой

точкой.

Пример 2. Найти вычет 1/zf z e , если z является устранимой

особой точкой.

Отсюда Resf 1.

Пример 3. Найти вычет f z cosz , в точке z .

2 2nnz z

cosz 1 ... 1 ...2! 2n !

Точка z будет существенно особой точкой. 1Resf c 0.

Пример 4.

8.5. Основная теорема о вычетах

Теорема 1.(Коши). Если f z аналитична в ограниченной области D за

исключением конечного числа точек kz D, k 1,n, то

n

k

k 1L

f z dz 2 i Resf z ,

(9)

где L D произвольная кусочно-гладкая жорданова закнутая кривая,

содержащая внутри себя все особые точки kz , k 1,n.

Пример 1. Вычислить с помощью вычетов

2 2

L

dz,

z 1 z 1 где L окружность: 2 2x y 2x 2y 0.

Теорема 2. Если f z аналитична на за исключением конечного

числа изолированных особых точек 1 2 n n 1z ,z ,...,z ,z , то

n 1

k

k 1

Resf z 0.

(10)


z 2

zdz.

z 1 z 1

8.6. Логарифмический вычет

Пусть f z аналитическая в области D всюду, кроме конечного числа

изолированных особых точек. Функция

'f zg z

f z (11)

называется логарифмической производной функции f z .

Определение. Логарифмическим вычетом функции f z в точке

0z D называется вычет в этой точке логарифмической производной

функции f z .

Теорема 1. Если аналитическая функция f z имеет в точке 0z нуль

кратности m, то ее логарифмическая производная (11) в этой точке имеет

простой полюс.

Следствие 1. Если аналитическая функция f z имеет в точке 0z нуль

кратности m, то

'0

00

f zResg z Res m.

f z

Теорема 2. Если 0z полюс функции f z порядка m, то ее логарифми-

ческая производная (11) в этой точке имеет простой полюс.

Следствие 2. В полюсе порядка m особой точки 0z функции f z ее

лога-рифмический вычет равен m , т.е. 0Resg z m.

Пример. Найти логарифмический вычет функции

2

3

z 4f z

z 2 z 1

в

нулях и полюсах.

Теорема 3. Пусть f z аналитична в односвязной области D за

исключе-нием конечного числа полюсов и пусть L D произвольная

жорданова зам-кнутая кусочно-гладкая кривая, не проходящая через

особые точки. Если внутрии замкнутого контура Lимеются m нулей

kz кратности k и n полусов kc кратности k , то логарифмический вычет

функции f z по контуру L вычисляется по формуле:

' m n

k s

k 1 s 1L

f z1dz N P

2 i f z

(12)

где N и P соответственно число нулей и полюсов функции f z внутри

контура L .




Bài giảng 13: Вычеты и их приложения (tiếp)

Chương VIII, Mục:VIII.7-VIII.8



* Ứng dụng thặng dư để tính tích phân .






8.7. Применение вычетов к вычислению интегралов

1. Вычисление интегралов от функции комплексного переменного

Применяя формулу (9) и (10) , вычисляют интегралы по контуру L.


2

z 2

zdz.

z 1 z 1

2. Вычисление интегралов вида 2

0

R sin x,cosx dx

, где R рациональ-

ная функция от sin x и cosx. Выражаем sin x и cosx по формуле Эйлера:

ix ix ix ixe e e e

sin x , cosx .2i 2

Замена ixz e , 1 1

ix dz z z z zdz ie dx, dx , sin x , cosx ,

iz 2i 2

то

2

0 z 1

1 1 1 1 dzR sin x,cosx dx R z , z ,

2i z 2 z iz

Предлагая , что на окружности z 1 нет особых точек, применяем

формулу (9) .


2

0

2 cosxdx.

2 sin x

Следовательно, 2

0

2 cosx 4dx 2 i Resf 0 Resf 2 3 .

2 sin x 3

3. Вычисление несобственных интегралов вида f x dx.

Пуст функция f x является рациональной функцией

P xf x ,

Q x

причем degQ x degP x 2, и Q x не имеет нулей на действительной

оси. Так как f x является аналитической функцией в верхней

полуплюскости Imz 0 всюду, кроме полюсов kz функции f x . Тогда

k

k

f x dx 2 i Resf z .

(15)

4. Лемма Жордана и ее применение к вычислению интегралов

Лемма. Пусть правильная дробь f z аналитична в полуплюскости

Imz 0 за исключением полюсов, расположенных в области Imz 0.

Тогда для любого 0 имеем

1

i z

RL

lim f z e dz 0,

(16)

где 1L верхняя полуокружность с радиусом R , что все полюсы функции

расположенные в области Imz 0, находятся внутри контура L.

Теорема. Пусть f z удовлетворяет условиям леммы Жордана, тогда

i x i zk

k

f x e dx 2 i Res f z e ,z ,

(17)

где вычеты вычисляются по всем полюсам kz функции f x в области

Imz 0.


4

x dx.

x 1


0

cos4xdx.

x 9


0

xsin 4xdx.

x 9

Пример 4. Вычислить

0

sin xdx.

x

(дамошное задание)

8.8. Задачи




Bài giảng 14: Основы операционного исчисления

Chương IX, Mục:IX.1-IX.4



* Giới thiệu về toán tử Laplax và 1 số tính chất.





- Nội dung chính: Глава 9. Основы операционного исчисления

9.1. Понятие преобразования Лапласа

Некоторой функции x t действительного переменного t называемой

оригиналом, ставится в соотвествие другая функция X p комплексного

переменного p , называемая изображением функции x t , по формуле

pt

0

X p x t e dt.

(1)

Преобразование (1) называется преобразованием Лапласа,

несобственный интеграл, называется интегралом Лапласа. Процесс

нахождения изображения для заданого оригинала x t и нахождения

изображения по заданому изобра-жению X p называется операционным

исчислением.

Для связи изображения X p и соответствующего оригинала x t

вводятся различные обозначения:

x t ≑ X p , X p x t , x t X p , L x t X p .

Определение. Оригиналом называется функция x t , удовлетворяющая

следующим условиям:

а) x t 0 при t 0.

б) Функция x t кусочно-непрерывна на любом промежутке при t 0.

с) Существуют такие действительные числа 0s и M 0, что для всех

t 0 выполняется неравенство

0s tx t Me , (2)

Число 0s называется показателем роста функции x t .

Пример1

Пример 2. Функции 2t1 t .t, 1 t sin t, 1 t e оригиналы и будем писать

2tt, sin t, e .

9.2. Сходимость интеграла Лапласа

Теорема 1. Лапласа сходится абсолютно в полуплоскости 0Rep s , где

0s показатель роста оригинала x t .

Теорема 2. Интеграл Лапласа сходится равномерно в полуплоскости

1 0Rep s s s .

Теорема 3. Если x t оригинал, то его изображение X p является

аналитической функцией в полуплоскости 0Rep s и

' pt

0

X p tx t e dt.

(3)

Теорема 4. Если x t оригинал, то Rep

lim X p 0.

Теорема 5. Если изображение X p аналитично в бесконечно

удаленной точке p , то plim X p 0.

9.3. Основные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность. Если 1 1 2 2 n nx t X p , x t X p ,...,x t X p , то

для любых комплексных чисел 1 2 n, ,..., :

n n

k k k k

k 1 k 1

x t X p .

2. Подобие. Если x t X p , то для любого a 0 :

1 p

x at X .a a

3. Изображение производных. Если n'x t ,x t ,...,x t оригинал и

x t X p , то:

'

" 2 '

n n 1n n 1 n 2 '

x t p.X p x 0 ,

x t p X p px 0 x 0 ,

.......

x t p X p p x 0 p x 0 ... x 0 ,

(4)

где k k

t 0x 0 lim x t , k 0,n 1.

4. Изображение интеграла. Если x t X p , то t

0

x d также

является оригиналом и

t

0

X px d .

p (5)

5. Запаздывание оригинала. Если x t X p и x t 0 при

t , где 0 , то px t e X p , т.е. запаздыванию оригинала на

соответствует умножение его изображения на pe .

6. Смещение изображения. Если x t X p то для любого числа

te .x t X p .

7. Изображение свертки. Сверткой кусочно-непрерывных функции x t

и y t называется функция t

0

x y t d и обозначается x y :

t

0

x y x y t d .

Не трудно докажем, что x y y x.

Теорема. Если x t и y t оригиналы, то функция

t

0

t x y x y t d

Также оригинал и свертка x y X p .Y p , где

X p x t ,Y p y t .

Следствие. Пусть x t X p , y t Y p , 'y t pY p y 0 .

Тогда имеет место формула Дюамела

t

'

0

pX p Y p x t y 0 x y t d .

8. Дифференцирование изображения. Так как X p является

аналитической функцией в полуплоскости 0Rep s , то функция X p

дифференцируема бесконечное чило раз и

nn nX p 1 t x t . (6)

9. Интегрирование изображения. Если x t X p и x t

tоригинал,

то

p

x tX q dq,

t

где пусть интегрирования находится в полуплоскости 0Rep s .

Следствие.

0 0

x tdt X q dq,

t

если сходятся несобственные

интегралы.

9.4. Изображения некоторых простейщих функций




Bài giảng 15: Основы операционного исчисления (продол.)

Chương IX, Mục:IX.5-IX.7



* Ứng dụng phép biến đổi Laplax .






9.5. Восстановление оригинала по известому изображению

а) Задача. Восстановить оригиналов по изображению

m

n

P pX p ,

Q p где mP p и nQ p многчлены степерней m и n, причем

m n.

Решение. Дробь X p представляем в виде суммы простейших дробей

вида:

k 2 r2

A A Mp N Mp N, , , ,

p a p bp qp a p bp q

где

A, M, N, a, b, q числа, k N и r N, k 1, r 1, а 2p bp q имеет

комплексные корни. Для каждой дроби, используя изображения и их

свойства из 9.4, находим ее оригинал, затем находим оригинал x t .

Пример 1. Найти x t по изображению 4

pX p .

p 1

б) Теорема 1. Если x t оригинал, а X p его изображение, то в

любой точке непрерывности функции x t имеет место формула

a i

pt

a i

1x t X p e dp,

2

(7)

где действительное число 0a s , интеграл понимается в смысле главного

значения, 0s показатель роста оригинала x t .Формула (7) называют

фор-мулой обращения преобразования Лапласа или формулой Меллина.

Первая теорема разожения.

Если изображение X p аналитично в окрестности p и имеет разло-

жение в ряд Лорана:

kk

k 1

cX p ,

p

то оригинал вычисляется по формуле:

k 1

k

k 1

tx t c .

k 1 !

(11)

Вторая теорема разложеня.

Если изображение X p имеет конечное число особых точек

1 2 np ,p ,...,p в полуплюс кости 0Rep s , то оригиналом x t является

функция

n

ptk

k 1

x t Res X p e ,p

(12)

Следствие. Если

m

n

P pX p ,

Q p где mP p и nQ p многчлены

соответст-венно степеней m и n , и если m n, то

k

k

kk

s 1rs pt

ks 1p pkk 1

1 dx t lim p p X p e ,

s 1 ! dp

(13)

где 1 2 np ,p ,...,p корни nQ p с кратностями соответственно 1 2 rs ,s ,...,s .

Пример 2. Найти оригинал функции 1/p1X p e .

p

Пример 3. Найти оригинал

2

5p 3X p .

p 1 p 2p 5

9.6. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциаль-

ных уравнений

Задача 1. Наитй частное решение с постоянными коэффициентами

n n 1 '

0 1 n 1 na x a x ... a x a x f t

(14)

Удовлетворяющее условиям n 1'0 1 n 1x 0 x ,x 0 x ,..,x 0 x

, где

0 1 na ,a ,...,a постоянные коэффициенты, f t оригинал, x t искомая

фун-кция.

Пример1. Решить " 'x x t, x 0 0,x 0 1.

Решение. 2

2 2

1 1p X p 1 X p X p .

p p Следовательно x t t.

Пример 2. Решить " 'x 4x 2cos2t, x 0 0,x 0 4.

Решение. 1

x t 2sin 2t tsin 2t.2

Задача 2. Найти частное решение

n

'm mk k m

k 1

x a x f t , m 1,n

(15)

Удовлетворяющее началым условиям

1 10 2 20 n n0x 0 x ,x 0 x ,...,x 0 x , а mf t , m 1,n оригиналы и

kx t , k 1,n искомое решение системы (15).

Пример 3. Решить задачу

'

'

x 2x 4y cos t

y x 2y sin t

x 0 y 0 0.

9.7. Задачи

Tài liệu tham khảo.

Пн Наименнование литер.

Автор Год изд.

Изд- ство

Гос- ство

1 Теория функций Е. Титчмарш 1980 Наука- Москва

Россия

2 Функции комплексной переменной и

преоб- разование

Лапласа

Фан Ба Нгок 1980 В&С Об.

Вьетнам

3 Функции одной комплексно

й

переменной

Дау Тге Кап 1999 Образ. Вьетнам

4 Высшая математика. Я. С. Бугров, С. М.

Никольски

й

1980, 1981

Наука- Москва

Россия

5 Методы теории функции комплексного переменного ппперемен переменной и

Лаврентьев М.А и Шабат Б.В

1987 М. Наука

Россия

6 Теория функции комплексного переменного

Морозова В.Д.

2000 М. Изд-во МГТУ

Россия

7 Сборник задач по теории функций комплесного...

Волковыский Л.И.

1975 М. Наука

Россия

Documents

BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIÁO VIÊN Ch nhi m B … · 2014-06-09 · * Giới thiệu về tập số phức, tập số phức mở rộng; phép toán trên