Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ TOÁN
Tài liệu: Handbook of Applied Cryptography
Katz Jonathan, Menezes Alfred J, Van Oorschot Paul C, Vanstone Scott A
CRC Press
CHƯƠNG 2
1
Nội dung
▪ Lý thuyết xác suất
▪ Lý thuyết thông tin
▪ Lý thuyết về số học
2
Xác suất
▪ 𝑃 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝐴 =# 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝 𝑐ủ𝑎 𝐴
σ 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝
Ví dụ 1:
➢ Tung xúc xắc 1 lần. Gọi 𝐴 là số chấm xuất
hiện. P 𝐴 = 𝑘 = Τ16
➢ Tung xúc xắc 2 lần độc lập. Gọi 𝐴 là tổng số
chấm. P 𝐴 = 3 = Τ118
3
Xác suất
▪ Ví dụ 2: Bài toán trùng ngày sinh nhật
Trong một phòng khách có n người. Hỏi khả năng
xảy ra hai người có trùng ngày sinh là bao nhiêu?
▪ Bài toán tương tự:
Trong 1 bình chứa m quả bóng đánh số khác. Rút
ngẫu nhiên lần lượt từng quả có hoàn lại. Tính xác
suất sau n lần rút xuất hiện ít nhất hai quả giống
nhau?4
Xác suất
5
➢ Kết quả tổng quát:
𝑃 𝑚, 𝑛 = 1 −𝑚 𝑚 − 1 … 𝑚 − 𝑛 + 1
𝑚𝑛
≈ 1 − 𝑒−𝑛2
2𝑚 ≈𝑛2
2𝑚𝑘ℎ𝑖 𝑚 → ∞
➢ 𝑃 𝑚 = 365, 𝑛 = 23 ≈ 1 − 𝑒−232
2∗365 ≈ 0.52
➢ Trung bình số lần rút trước khi lặp lại quả đã rút là
𝜋𝑚
2
Xác suất
6
➢ Ví dụ (về đung độ của hàm băm):
𝐻 𝑠 = 11001 … 10 , ∀ 𝑥â𝑢 𝑠
𝑛 𝑏𝑖𝑡
▪ Hỏi số trung bình thử các xâu đầu vào s làbao nhiêu để bắt gặp có 2 xâu cho cùng kếtquả?
▪ ≈ 2 Τ𝑛2
Entropy (Độ không chắc chắn)
▪ Định nghĩa: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên nhận
các giá trị {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 } và 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] = 𝑝𝑖.
Entropy của X được xác định là:
𝐻(𝑋) = − 𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖𝑙𝑜𝑔2𝑝𝑖
𝑣ớ𝑖 𝑞𝑢𝑖 ướ𝑐 𝑝𝑖 = 0 𝑡ℎì 𝑙𝑜𝑔2𝑝𝑖 = 0
7
Tính chất của Entropy
▪ 0 ≤ 𝐻(𝑋) ≤ 𝑙𝑜𝑔2𝑛
( 𝑙𝑜𝑔2𝑛 𝑝ℎả𝑛 á𝑛ℎ 𝑠ố đơ𝑛 𝑣ị 𝑡ℎô𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑛 )
▪ 𝐻 𝑋 = 0 ⇔ 𝑝𝑖 = 1 𝑣ớ𝑖 𝑚ộ𝑡 𝑠ố 𝑖 𝑣à 𝑝𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖,
𝑛𝑔ℎĩ𝑎 𝑙à 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑞𝑢ả 𝑛à𝑜 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑋 𝑙à 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ℎắ𝑐 𝑐ℎắ𝑛
▪ 𝐻 𝑋 = 𝑙𝑜𝑔2𝑛 ⇔ 𝑝𝑖 = Τ1𝑛 ∀ 𝑖,
𝑛𝑔ℎĩ𝑎 𝑙à 𝑡ấ𝑡 𝑐ả 𝑐á𝑐 𝑘ℎả 𝑛ă𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑋 đề𝑢 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑛ℎư 𝑛ℎ𝑎𝑢
8
Hợp entropy của hai biến ngẫu nhiên
▪ 𝐻 𝑋, 𝑌 = − σ𝑥,𝑦 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)𝑙𝑜𝑔2(𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)
▪ 𝐻 𝑋, 𝑌 ≤ 𝐻 𝑋 + 𝐻 𝑌
Dấu = ⇔ 𝑋, 𝑌độ𝑐 𝑙ậ𝑝
9
Entropy điều kiện của hai biến ngẫu nhiên
▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = 𝑦
= −
𝑥
𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦)𝑙𝑜𝑔2(𝑃(𝑋 = 𝑥 | 𝑌 = 𝑦)
▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = σ𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝐻(𝑋 | 𝑌 = 𝑦)
10
Tính chất của entropy điều kiện
▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = 𝑦
= −
𝑥
𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦)𝑙𝑜𝑔2(𝑃(𝑋 = 𝑥 | 𝑌 = 𝑦)
▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = σ𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝐻(𝑋 | 𝑌 = 𝑦)
11
Lý thuyết số học
12
Cho a, b là 2 số tự nhiên. Ta nói a chia hết b (hoặc a là ước của b;
b chia hết cho a; a là nhân tử của b) nếu tồn tại số tự nhiên c sao
cho b = ac
Khi a là ước số của b, ta ký hiệu a | b
Định nghĩa:
Ví dụ:
• 5 | 15
• 17 | 85
Lý thuyết số học
13
Tính chất của phép chia:
• 𝑎 | 𝑎
• Nếu 𝑎 | b và b | 𝑐 thì 𝑎 | 𝑐
• Nếu 𝑎 | 𝑏 và 𝑎 | c thì 𝑎 | (𝑏𝑥 + 𝑐𝑦) , với ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ
• Nếu 𝑎 | b và b | a thì 𝑎 = ±𝑏
Lý thuyết số học
14
Cho 𝑎, 𝑏 là 2 số tự nhiên với 𝑏 ≥ 1, phép chia 𝑎 cho 𝑏 được
thương là 𝑞 và dư 𝑟 sao cho:
𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟, ở đó 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.
Cặp q, r là duy nhất. Ký hiệu phần thương và dư lần lượt là
𝑎 𝑑𝑖𝑣 𝑏, và 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑏.
Định nghĩa: (Phép chia hai số tự nhiên)
Ví dụ:
• 15 mod 4 = 3, 15 div 4 = 3
Lý thuyết số học
15
• Số tự nhiên 𝑐 gọi là ước chung của 𝑎 và b nếu c|𝑎 và 𝑐|𝑏.
• Một số không âm 𝑑 gọi là ước chung lớn nhất của 𝑎 và b, ký
hiệu d = gcd(𝑎, 𝑏), nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
✓ d là ước chung của 𝑎 và 𝑏; và
✓ ∀ c|a và c|b thì c|d
Định nghĩa: (ước số chung)
Ví dụ:
• gcd(15,10) = 5
Lý thuyết số học
16
Một số không âm 𝑑 gọi là bội số chung nhỏ nhất của 𝑎 và b, ký
hiệu d = lcm(𝑎, 𝑏), nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
✓ a|d , 𝑏|𝑑✓ ∀ a|c và b|c thì d|c
Chú ý: ab = lcm a, b . gcd(a, b)
Định nghĩa: (bội số chung nhỏ nhất)
Ví dụ:
• lcm(15,10) = 30
Lý thuyết số học
17
Hai số tự nhiên a, b gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd 𝑎, 𝑏 = 1
Định nghĩa: (hai số nguyên tố cùng nhau)
Ví dụ:
• 21 và 17 là nguyên tố cùng nhau vì gcd(21,17) = 1
Lý thuyết số học
18
Số tự nhiên a gọi là số nguyên tố a chỉ có ước dương duy nhất là 1
và chính nó.
Nếu a không là số nguyên tố thì được gọi là hợp số.
Định nghĩa: (số nguyên tố)
Ví dụ:
• 17 là số nguyên tố
• 21 là hợp số
Lý thuyết số học
19
Tính chất của số nguyên tố:
• Nếu 𝑝 là số nguyên tố và 𝑝|𝑎𝑏 thì 𝑝|𝑎 hoặc 𝑝|b
• Tập các số nguyên tố là vô hạn
• lim𝑥→∞
𝜋(𝑥)
Τ𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥= 1, với 𝜋(𝑥) ký hiệu số các số nguyên
tố ≤ 𝑥.
Lý thuyết số học
20
Mọi số tự nhiên n ≥ 2 đều được phân tích thành tích của lũy thừa
các số nguyên tố:
n = 𝑝1𝑒1𝑝2
𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘 ,
ở đó 𝑝𝑖 là các số nguyên tố. Sự phân tích trên là duy nhất không kể
thứ tự.
Định lý: (về phân tích ra thừa số nguyên tố)
Ví dụ:
• 105 = 3.5.7
• 196 = 22. 72
Lý thuyết số học
21
Tìm gcd và lcm của hai số:
Giả sử a = 𝑝1𝑒1𝑝2
𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘 và b = 𝑝1
𝑓1𝑝2𝑓2 … 𝑝𝑘
𝑓𝑘, khi đó:
• gcd(a, b) = 𝑝1min(𝑒1,𝑓1)
𝑝2min(𝑒2,𝑓2)
… 𝑝𝑘min(𝑒𝑘,𝑓𝑘)
• lcm(a, b) = 𝑝1max(𝑒1,𝑓1)
𝑝2max(𝑒2,𝑓2)
… 𝑝𝑘max(𝑒𝑘,𝑓𝑘)
Lý thuyết số học
22
Với số tự nhiên n ≥ 2, ký hiệu ϕ(𝑛) là số các số tự nhiên trong
khoảng [1, n] mà nguyên tố cùng nhau với n.
Định nghĩa: (hàm Ơ le)
Ví dụ:
• ϕ 10 = 4 vì trong khoảng từ 1,…,10 có 4 số
nguyên tố cùng nhau với 10 là: 1, 3, 7, 9
Lý thuyết số học
23
Tính chất của hàm Ơ le:
• Nếu 𝑝 là số nguyên tố thì ϕ 𝑝 = 𝑝 − 1
• Hàm ϕ bảo toàn với phép nhân, tức là nếu
gcd 𝑚, 𝑛 = 1 thì ϕ 𝑚. 𝑛 = ϕ(m). Φ(n).
• Nếu có phân tích thành nhân tử n = 𝑝1𝑒1𝑝2
𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘
thì: ϕ 𝑛 = 𝑛 1 −1
𝑝11 −
1
𝑝2… (1 −
1
𝑝𝑘)
Lý thuyết đồng dư
24
Với 2 số tự nhiên a, b, khi đó 𝑎 được gọi là đồng dư với b modulo
𝑛, ký hiệu a ≡ b mod n , nếu 𝑛 |(𝑎 − 𝑏). Số n gọi là modulo của
đồng dư.
Định nghĩa:
Ví dụ:
• 15 ≡ 3 mod 4 vì 4 | (15-3)
Lý thuyết đồng dư
25
Tính chất của đồng dư:
• 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⟺ 𝑎, 𝑏 có cùng số dư khi chia cho 𝑛.
• 𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛
• 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⇒ 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛
• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⇒ 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑛
• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑐 ≡ 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛
⇒ 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛
⇒ 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛
Lý thuyết đồng dư
26
Tập các số tự nhiên modulo 𝑛, ký hiệu ℤ𝑛, là tập các số tự nhiên
gồm {0, 1, … , 𝑛 − 1} (hay chính xác là lớp các số có cùng số dư). Ở
đó các phép toán cộng ,trừ, nhân được thực hiện theo modulo 𝑛.
Định nghĩa: (tập các lớp đồng dư)
Ví dụ:
• Trong ℤ13 thì 6+7 =0, 7+9 = 3
Lý thuyết đồng dư
27
Giả sử 𝑎 ∈ ℤ𝑛, ta gọi nghịch đảo modulo 𝑛 của 𝑎 (nếu có) là số
x sao cho 𝑎𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).
Trong trường hợp tồn tại x thì ta nói 𝑎 khả nghịch và nghịch đảo
của 𝑎 ký hiệu là 𝑎−1.
Phép chia 𝑎 cho 𝑏 theo modulo 𝑛 là phép nhân a với nghịch đảo
của 𝑏 nếu tồn tại.
Định nghĩa: (nghịch đảo modulo)
Ví dụ:
• Trong ℤ9 thì 5, 7 khả nghịch và 5−1 = 2, 7−1 = 4• Và trong ℤ9 thì 5:7 = 5.4 = 2
Lý thuyết đồng dư
28
Kết quả chú ý:
• 𝑎 ∈ ℤ𝑛, 𝑎 khả nghịch ⇔ gcd 𝑎, 𝑛 = 1
• Hệ phương trình:
𝑥 ≡ 𝑎1 𝑚𝑜𝑑 𝑛1
𝑥 ≡ 𝑎2 𝑚𝑜𝑑 𝑛2
⋮𝑥 ≡ 𝑎𝑘 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑘
ở đó {𝑛𝑖} là nguyên tố cùng nhau từng đôi có nghiệm duy
nhất x ≡ σ𝑖=1𝑘 𝑎𝑖𝑁𝑖𝑀𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑛 = 𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘,
𝑁𝑖 = Τ𝑛 𝑛𝑖 , 𝑀𝑖 = 𝑁𝑖−1 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖 .
Nhóm ℤ𝑛∗
29
Ta gọi nhóm với phép nhân modulo 𝑛 của ℤ𝑛 là:
ℤ𝑛∗ = 𝑎 ∈ ℤ𝑛 𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑛 = 1}
Định nghĩa:
Ví dụ:
• ℤ8∗ = {1, 3, 5, 7}
• ℤ11∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• ℤ𝑛∗ có số phần tử bằng với số các số ≤ 𝑛 và nguyên tố
cùng nhau với 𝑛. Do đó số phần tử của ℤ𝑛∗ là ϕ 𝑛
Nhóm ℤ𝑛∗
30
Ta gọi cấp của ℤ𝑛∗ là số phần tử trong ℤ𝑛
∗ và ký hiệu là |ℤ𝑛∗ |.
Ta có |ℤ𝑛∗ | = ϕ 𝑛
Định nghĩa: (cấp của nhóm ℤ𝑛∗ )
Ví dụ:
• |ℤ25∗ | = ϕ 25 = 20
Nhóm ℤ𝑛∗
31
Kết quả chú ý:
• Nếu 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ thì 𝑎ϕ 𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
• Nếu 𝑝 là số nguyên tố và 𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑝 = 1 thì
𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
• ∀𝑎 ∈ ℤ, 𝑎𝑝≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
Nhóm ℤ𝑛∗
32
Ta gọi cấp của 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ , ký hiệu ord 𝑎 , là số nguyên dương
nhỏ nhất t sao cho 𝑎𝑡 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Định nghĩa: (cấp của phần tử trong ℤ𝑛∗ )
Ví dụ: Trong ℤ21∗ = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}
có |ℤ21∗ | = 12
𝑎 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20
ord 𝑎 1 6 3 6 2 6 6 2 3 6 6 2
❖ Cấp của các phần tử đều là ước số của 12
Nhóm ℤ𝑛∗
33
Giả sử 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ , nếu ord 𝑎 = ϕ 𝑛 thì 𝑎 được gọi là phần tử
sinh của ℤ𝑛∗ .
Nếu ℤ𝑛∗ có phần tử sinh thì ta nói ℤ𝑛
∗ là nhóm cyclic.
Định nghĩa: (phần tử sinh của ℤ𝑛∗ )
Ví dụ:
• ℤ9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, có 2 phần tử sinh là 2 và 5 nên là cyclic
𝑎 1 2 4 5 7 8
ord 𝑎 1 6 3 6 3 2
• ℤ21∗ không có phần tử sinh nên không là nhóm cyclic
Phần tử sinh của ℤ𝑛∗
34
Kết quả chú ý:
• ℤ𝑛∗ có phần tử sinh ⇔ 𝑛 = 2, 4, 𝑝𝑘 ℎ𝑜ặ𝑐 2𝑝𝑘, với 𝑝 là số
nguyên tố lẻ
• Nếu 𝑎 là phần tử sinh của ℤ𝑛∗ thì
ℤ𝑛∗ = 𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 0 ≤ 𝑖 ≤ ϕ 𝑛 − 1}
• Nếu 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ là phần tử sinh thì 𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 cũng là phần tử
sinh của ℤ𝑛∗ . Do đó nếu ℤ𝑛
∗ là cyclic thì ℤ𝑛∗ có ϕ(ϕ 𝑛 )
phần tử sinh
Thặng dư bậc hai modulo 𝑛
35
Giả sử 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ , 𝑎 được gọi là thặng dư bậc hai hay số chính
phương modulo 𝑛 nếu tồn tại 𝑥 ∈ ℤ𝑛∗ sao cho 𝑥2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).
Ngược lại thì 𝑎 gọi là phi thặng dư bậc hai modulo 𝑛.
Ký hiệu tập các thặng dư, phi thặng dư bậc hai của ℤ𝑛∗ là 𝑄𝑛, ത𝑄𝑛
Định nghĩa:
Ví dụ:
• ℤ9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, có:
𝑄9= {1, 4, 7}, ത𝑄9 = {2, 5, 8}
Căn bậc hai modulo 𝑛
36
Giả sử 𝑎 ∈ 𝑄𝑛, nếu 𝑥 ∈ ℤ𝑛∗ thỏa mãn 𝑥2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) thì 𝑥 gọi
là căn bậc hai của 𝑎 modulo 𝑛.
Định nghĩa:
Ví dụ:
• Trong ℤ9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8} thì 2 và 7 là căn bậc hai của 4
modulo 9
Căn bậc hai modulo 𝑛
37
Kết quả chú ý:
• Nếu 𝑝 là số nguyên tố lẻ và 𝑝 ∈ 𝑄𝑛 thì 𝑝 có chính xác
hai căn bậc hai
• 𝑛 = 𝑝1𝑒1𝑝2
𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘 , ở đó 𝑝𝑖 là các số nguyên tố lẻ đôi
một khác nhau thì với mỗi 𝑎 ∈ 𝑄𝑛 sẽ có 2𝑘 căn bậc
hai của 𝑎
Ký hiệu Legendre
38
Giả sử 𝑝 là số nguyên tố lẻ, 𝑎 là số tự nhiên. Ký hiệu Legendre
𝑎
𝑝xác định bởi:
𝑎
𝑝= ൞
0 𝑛ế𝑢 𝑝|𝑎
1 𝑛ế𝑢 𝑎 ∈ 𝑄𝑝
−1 𝑛ế𝑢 𝑎 ∈ ത𝑄𝑝
Định nghĩa:
Ví dụ:
•5
9= −1,
4
9=1
Ký hiệu Legendre
39
Kết quả chú ý: Nếu 𝑝 và 𝑞 là hai số nguyên tố lẻ khác nhau thì
• Định lý Euler:𝑎
𝑝≡ 𝑎 ൗ𝑝−1
2 𝑚𝑜𝑑 𝑝 .
Đặc biệt1
𝑝= 1,
−1
𝑝= (−1) ൗ(𝑝−1)
2
•𝑎𝑏
𝑝=
𝑎
𝑝
𝑏
𝑝, nếu 𝑎 ∈ ℤ𝑝
∗ thì𝑎
𝑝
2= 1
• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) thì 𝑎
𝑝=
𝑏
𝑝
• Luật tương hỗ:𝑝
𝑞=
𝑞
𝑝(−1) ൗ(𝑝−1)(𝑞−1)
4
Ký hiệu Jacobi (mở rộng của Legendre)
40
Giả sử 𝑛 ≥ 3 có phân tích ra thừa số nguyên tố 𝑛 = 𝑝1𝑒1𝑝2
𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘.
Khi đó ký hiệu Jacobi 𝑎
𝑛xác định bởi:
𝑎
𝑛=
𝑎
𝑝1
𝑒1 𝑎
𝑝2
𝑒2…
𝑎
𝑝𝑘
𝑒𝑘
Định nghĩa:
Ví dụ:
•5
21=
5
3*
5
7= (−1) ∗ (−1) = 1
Ký hiệu Jacobi
41
Kết quả chú ý: 𝑚, 𝑛 𝑙ẻ 𝑣à ≥ 3
•𝑎
𝑛∈ 0,1, −1 ,
𝑎
𝑛= 0 ⇔ 𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑛 ≠ 1.
•𝑎𝑏
𝑛=
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
•𝑎
𝑛𝑚=
𝑎
𝑛
𝑎
𝑚
• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) thì 𝑎
𝑝=
𝑏
𝑝
•1
𝑛= 1,
−1
𝑛= (−1) ൗ(𝑛−1)
2, 2
𝑛= (−1) ൗ(𝑛2−1)
8
• Luật tương hỗ:
𝑚
𝑛=
𝑛
𝑚(−1) ൗ(𝑚−1)(𝑛−1)
4