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Operaciones de conjuntos1- Operaciones de conjuntos
En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos conjuntos.
Sean dos conjuntos, A y B del conjunto universal U.
Las operaciones básicas que podemos definir entre conjuntos son;
Nota: El resultado de las operaciones representado en un diagrama de Venn lo pintaremos del siguiente color;
1.1- Unión de conjuntos:
La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.
Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión se representa;
Propiedades de la unión de conjuntos;
1° (A U A) = A
2° (A U B) = B U A
3° A U (B U C) = (A U B) U C
4° A U ᴓ = A
5° A U U = U
Ejemplo:
Sean los conjuntos;
Representar A U B en un diagrama de Venn.
Para poder resolver este ejercicio, como los conjuntos A y B están definidos por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para poder ver todos sus elementos;
Y luego, representamos la unión en diagrama de Venn;
1.2- Intersección de conjuntos:
La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B pero.
Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ) y se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A, y se representa;
Propiedades de la intersección de conjuntos;
1° (A ∩ A) = A Idempotencia
2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa
3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa
4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad
5° A ∩ U = A Identidad
Nota: La idempotencia es la propiedad para realizar la operación varias veces, y siempre obtener el mismo resultado que se obtendría si se realizara solo una vez.
Ejemplo:
Determina dos conjuntos que puedan dar origen a la intersección;
Para determinar dos conjuntos que den origen a esta intersección debemos buscar conjuntos que contengan estas letras, nosotros haremos los siguientes conjuntos, pero tú puedes formar otros;
Si representamos la intersección en un diagrama de Venn quedaría de la siguiente forma;
1.3- Diferencia de conjuntos:
La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.
La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A y se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ), y se representa;
d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;
Propiedades de diferencia de conjuntos;
1° (A - B) ≠ B - A
2° A - B = A ∩ B’
3° A - ᴓ = A
4° A - U = ᴓ
5° ᴓ - A = ᴓ
6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .
¿Cuál es la diferencia de A - B?
1.4- Conjunto complementario:
Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe Ac, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.
El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;
Es decir, también podemos interpretarlo como;
Propiedades de conjunto complementario;
1° A U AC = U
2° A ∩ AC = ᴓ
3° UC = ᴓ
4° ᴓC = U
5° (AC)C = A
Ejemplo:
Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?
Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos Ac.
1.5- Diferencia simétrica de conjuntos:
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A ∩ B.
La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se representa de la siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B y se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y se representa;
Propiedades de conjunto complementario;
1° A Δ B = B Δ A
2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
3° A Δ A = ᴓ
4° A Δ ᴓ = A
5° A Δ U = U - A
Ejemplo:
Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y B?
Recuerda: Para poder resolver un ejercicio con conjuntos definidos por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para que sea más fácil resolver los ejercicios.