Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 II.pdf · Suatu skalar adalah besaran yang hannya ... 2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . ... akar-akar karakteristik ini adalah himpunan

Embed Size (px)

Text of Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 II.pdf · Suatu skalar adalah besaran yang hannya...

  • 17

    Bab 2

    LANDASAN TEORI

    2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi

    Matriks

    Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen

    yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi

    panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris

    serta dibatasi tanda [ ] atau ( ).

    Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti A, X, atau Z dan

    sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis

    sebagai berikut :

    [

    ]

    Atau juga dapat ditulis :

    A = [ ] i = 1, 2,, m ; j = 1, 2,, n

    Contoh :

    *

    +

    Disebut matriks A dengan 2 baris dan 3 kolom. Jika A sebuah matriks, maka

    digunakan untuk menyatakan elemen yang terdapat di dalam baris i dan kolom j

    dari A. Dalam contoh ini i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3 atau dapat ditulis

    Universitas Sumatera Utara

  • 18

    [ ] i = 1, 2 j = 1, 2, 3

    Skalar

    Suatu skalar adalah besaran yang hannya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah.

    Vektor Baris

    Suatu matriks yang hannya terdiri dari satu baris dan n kolom disebut vektor baris.

    [ ] disebut vektor baris

    Vektor Kolom

    Suatu matriks yang hannya terdiri dari m baris dan satu kolom disebut vektor kolom.

    [ ] disebut vektor kolom

    Kombinasi Linier

    Vektor w merupakan kombinasi linier dari vektor vektor jika terdapat

    skalar sehingga berlaku :

    , (2.1)

    Jika vektor maka disebut persamaan homogen dan disebut

    vektor yang bebas linier, yang mengakibatkan tetapi jika

    ada bilangan yang tidak semuanya sama dengan nol, maka

    disebut vektor yang bergantung linier.

    2.1.2 Jenis-jenis Matriks

    Matriks Kuadrat

    Universitas Sumatera Utara

  • 19

    Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak.

    Dalam suatu matriks kuadrat, elemenelemen disebut elemen

    diagonal utama.

    [

    ]

    Matriks Diagonal

    Matriks kuadrat [ ] dinamakan matriks diagonal jika semua elemen diluar

    diagonal utama adalah nol, dan paling tidak satu elemen pada

    diagonal pokok . Jumlah elemen elemen diagonal utama suatu

    matriks kuadrat A disebut trace A ditulis

    ,

    [

    ]

    Matriks Simetris

    Suatu matriks kuadrat [ ] disebut matriks simetris jika elemen

    dibawah diagonal utama merupakan cermin dari elemen diatas diagonal utama.

    Matriks simetris jika artinya .

    Contoh :

    [

    ]

    Matriks Identitas

    Matriks A disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol I.

    [ ] i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n m = n dan untuk

    Universitas Sumatera Utara

  • 20

    Matriks Nol

    Matriks nol adalah suatu matriks dengan semua elemennya mempunyai nilai nol.

    Biasanya diberi simbol , dibaca matriks nol.

    Matriks Elementer

    Suatu matriks nxn dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh

    dari matriks identitas nxn yakni dengan melakukan operasi baris elementer

    tunggal.

    Matriks Segitiga

    Matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah (lower

    triangular) jika untuk i < j dan matriks suatu matriks bujur sangkar

    dikatakan segitiga atas (upper triangular) jika untuk i > j.

    Contoh :

    Segitiga bawah [

    ], segitiga atas [

    ]

    Matriks Singular

    Matriks kuadrat [ ] dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris

    atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom

    sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan

    menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol

    maka matriks tersebut singular.

    Matriks Ortogonal

    Matriks kuadrat [ ] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika

    terdapat mtriks orthogonal P sehingga berlaku Matriks orthogonal

    Universitas Sumatera Utara

  • 21

    didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya,

    sehingga :

    Maka P adalah matriks orthogonal

    2.1.3 Operasi Matriks

    Perkalian Matriks dengan Skalar

    Jika [ ] adalah matriks mxn dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali A dengan

    k adalah [ ] matriks mxn dengan (1 )

    Perkalian Matriks dengan Matriks

    Jika adalah matriks mxp dan adalah matriks pxn maka hasil kali

    dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks mxn. Secara

    matematik dapat ditulis sebagai berikut :

    (1 ) (2.2)

    Penjumlahan Matriks

    Jika adalah matriks mxn dan adalah matriks mxn maka

    penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan

    dengan :

    (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n).

    Pengurangan Matriks

    Jika adalah matriks mxn dan adalah matriks mxn maka

    pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan

    dengan : (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n).

    Transpose Suatu Matriks

    Jika adalah matriks mxn maka matriks nxm dengan

    dan

    (1 ) disebut dengan transpose dari matriks A.

    Universitas Sumatera Utara

  • 22

    Matriks mxn yang umum dapat ditulis :

    [

    ] [ ]

    maka

    [

    ]

    Determinana Matriks

    Misalkan adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det

    (A) atau |A|. Secara matematiknya ditulis :

    Det (A) = |A| =

    Dengan merupakan himpunan S = {1, 2, , n}.

    Teorema

    Jika adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka

    det(A) = 0. Anton (2004, hal: 97)

    Contoh :

    [

    ] | |

    Teorema

    Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka det(A) adalah hasil kali elemen elemen

    pada diagonal utama, yaitu det(A) = Anton (2004, hal: 98)

    Contoh :

    [

    ] maka det(A) = (2)(4)(-5)(3) = -120

    Teorema

    Universitas Sumatera Utara

  • 23

    Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(AT). Anton (2004, hal: 97)

    Teorema

    Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ordonya sama, maka det(AB) = det(A)(B).

    Anton (2004, hal: 108)

    Contoh :

    *

    + *

    + *

    +

    det(A)(B) = (1)(-23) = -23

    det(AB) = -23

    Sehingga det (AB) = det (A) det (B)

    Invers Matriks

    Misalkan A matriks nxn disebut non singular (invertible) jika terdapat matriks B maka

    AB = BA = I

    Matriks B disebut invers dari A. jika tidak terdapat matriks B maka matriks A disebut

    singular (non-invertible).

    Secara umum invers matriks A adalah :

    Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari

    semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan adalah kofaktor elemen-elemen

    . Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

    [

    ]

    dengan :

    Sifat sifat invers :

    a. Jika A adalah matriks non singular, maka A-1 adalah non singular dan

    b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah non singular dan

    Universitas Sumatera Utara

  • 24

    c. Jika A adalah matriks non singular maka

    2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

    Jika A adalah matriks nxn, maka vektor tak nol X di dalam Rn dinamakan vektor eigen

    (eigenvector) dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X yakni :

    AX = (2.3)

    Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan X

    dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

    Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran nxn, dari persamaan (2.3)

    dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen :

    (2.4)

    Dengan I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan

    matriks :

    [

    ], [

    ], X =

    [

    ]

    AX = X

    AX =

    ( = 0

    X | |

    Untuk memperoleh nilai

    | | (2.5)

    |

    |

    Universitas Sumatera Utara

  • 25

    n buah akar

    Jika nilai eigen disubstitusi pada persamaan maka solusi dari

    vektor eigen adalah (2.6)

    Jadi apabila matriks mempunyai akar karakteristik dan ada

    kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan

    akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektorvektor karakteristik yang

    orthogonal (artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan vektor

    karakteristik) sedemikian sehingga :