Matematika IBab 2 : Sistem Persamaan Linier

Oleh :Devie Rosa Anamisa

Pembahasan

Sistem Koordinat KartesiusGaris Lurus / Persamaan Garis singgungPersamaan KuadratSistem Persamaan Linier

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem koordinat kartesius dalam bidang dimensi 2 terdiri dari 2 komponen, yaitu:

– Absis (sumbu x)– Ordinat (sumbu y)

Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 bagian yang disebut kuadran

– Kuadran I : {(x,y)|x > 0 dan y > 0 }– Kuadran II : {(x,y)|x < 0 dan y > 0 }– Kuadran III : {(x,y)|x < 0 dan y < 0 }– Kuadran IV : {(x,y)|x > 0 dan y < 0 }

III

III IV

Rumus jarak antara 2 buah titik :d(p,q) = √(x1-x0)²+(y1-y0) ²

P(x0,y0)

Q(x1,y1)

R(x2,y2)

Soal 4

1. Buktikan bahwa dua sisinya sama panjangdengan titik sudut P(1,1), Q(2,4) dan R(8,0) adalah sama kaki?

2. Sebutkan persamaan pada lingkarandengan jari-jari 3 berpusat di (-1,2)?

Persamaan Garis singgung

Garis singgung adalah himpunan titik-titik dibidangyang mempunyai kemiringan garis yang sama.Kemiringan garis, m yang melalui titk p (x0,y0) danq(x1,y1) dengan x0 ≠ x1.m = (y1-y0)/(x1-x0)Persamaan garis yang melalui P dan Q adalah:y-y0 y1-y0

------- = --------- atau y-y0 = m (x-x0)x-x0 x1-x0

Contoh :– Carilah persamaan garis yang melalui (4,2) yang

sejajar dengan garis 3x-2y = 10.– Jawab:

3x-2y = 10 Pada (4,2)-2y = 10 – 3x y-2 = 3/2 (x-4)

y = 3/2 x – 10 2y-4 = 3 (x-4):. m = 3/2 2y-4 = 3x-12

.: 3x-2y = 8

Soal 5

1. Carilah persamaan garis yang melalui titikP(4,3) dan Q(6,9)!

2. Cari persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan tegak lurus dengan garis 12x+5y=7!

3. Tentukan persamaan garis singgung y= x² -2x + 4 melalui titik (4,4)!

Persamaan Kuadrat

Parabola merupakan salah satu bentukpersamaan kuadrat. Persamaan kuadratdengan sumbu simetri yang sejajar dengansumbu y diberikan oleh persamaan kuadrat;Y= ax²+bx+c dengan a,b dan c bilangan real dan a ≠ 0.Deskriminan = d = b² - 4ac

Sifat-Sifat Grafik Parabola

Kecekungan Grafik parabola cekung terbuka keatasbila a > 0, dab cekung terbuka kebawah bila a < 0.Sumbu simetri garis x = -b/2a, a≠0 adalah sumbusimetri parabola.Titik potong dengan sumbu y, grafik parabola memotong sumbu y di titik (0,c).

Titik potong dengan sumbu x:– Pada kasus D >0, grafik parabola

memotong sumbu x didua titik yang berbeda yakni (x1,0) dan (x2,0) dengan :

– Pada kasus D=0, grafik parabola menyinggung sumbu x (-b/2a,0).

– Pada kasus D < 0, grafik parabola tidakmemotong sumbu x.

Contoh :Buatlah sketsa grafik parabola yang diberikan olehpersamaan y = x²-3x-4!Jawab:

– Titik potong terhadap sumbu x , y=0:F(x) = x² - 3x – 4

(x-4)(x+1)x = 4 dan x = -1

– Titik potong terhadap sumbu y , x=0: F(x) = x² - 3x – 4F(x) = 4

– Sumbu simetri : x = -b/2a = 3/2= 1.5y = D/-4a = -25/4 = 6¼

Soal 6

1. Buatlah sketsa grafik parabola yang diberikan oleh persamaan y = x²-4x+3!

2. Buatlah sketsa grafik parabola diberikanoleh persamaan y = 5 + 4x - x²!

Sistem Persamaan Linier

Bentuk umum dari persamaan linier:a11x1+a12x2+.....+a1nxn = b1

a12x1+a22x2+.....+a1nxn = b2

....... ....... ...... ....... ....am1x1+am2x2+.....+amnxn = bm

Sistem persamaan linier adalah suatu sistemyang dinyatakan dalam gabungan beberapapersamaan linier.

Persamaan tersebut dalam matriks akanditulis sebagai berikut:a11 a12 ..... a1n x1 b1

a12 a22 ..... a1n x2 b2

.... .... ..... .... .... ....am1 am2 ..... amn xn bm

Notasi matriks:– Matrik adalah larik bilangan-bilangan yang berbentuk empat

persegi panjang:

a11 a12 ..... a1n

A = a12 a22 ..... a1n

.... .... ..... .... am1 am2 ..... amn

– Augmentasi matriks adalah matriks yang merupakanperluasan matriks A dengan menambahkan vektor B padakolom terakhir.Augmentasi A = [AB]

Operasi matriks :– A+B = B+A– (A+B)+C = A+(B+C)

a b c ß ø µ a + ß b+ø c+µd e f + V Þ ð = d + V e+Þ f +ð

– (AB)C=A(BC)– (A+B)C = AC +BC

a b e f ae+bg af+bhc d g h = ce +dg cf+dh

Metode Persamaan. Linier

Metode untuk menyelesaikan persamaanlinier adalah:– Metode Invers Matriks– Metode Eliminasi Gaus Jordan– Metode Eliminasi Gaus

Metode Invers

Ax = Bx = A Bx = a b e

c d f= 1/(ad-bc) d -b e

-c a f

-1

-1

Metode Eliminasi Gaus Jordan

a11 a12 ..... a1n b1 1 0 ..... 0 d1

A = a12 a22 ..... a1n b2 0 1 ..... 0 d2

.... .... ..... .... ..... ... ... ..... .... .....am1 am2 ..... amn bn 0 0 ..... 1 dn

Contoh Eliminasi Gaus Jordan

Selesaikan sistem persamaan linier berikut :x1 + x2 = 3

2x1 + 4x2 = 8Jawab:1 1 3 1 1 3 1 0 22 4 8 b2 – 2b1 0 2 2 b2/2 0 1 1

.: X1 = 2 dan X2 = 1

Selesaikan sistem persamaan linier :x1 + x2 + x3 = 6x1 + 2x2 - x3 = 22x1 + x2 + 2x3 = 10

Jawab:1 1 1 6 1 1 1 6 b1 – b21 2 -1 2 b2- b1 0 1 -2 -42 1 2 10 b3-2b1 0 -1 0 -2 b3 + b2

1 0 3 10 1 0 3 10 b1-3b3 1 0 0 10 1 -2 -4 0 1 -2 -4 b2+ 2b3 0 1 0 20 0 -2 -6 b3/-2 0 0 1 3 0 0 1 3

Contoh Eliminasi Gaus

Selesaikan sistem persamaan linier berikut :x1 + x2 = 3

2x1 + 4x2 = 8Jawab:1 1 3 1 1 3 x1 + x2 = 32 4 8 b2 – 2b1 0 2 2 2x2 = 2

.: X1 = 2 dan X2 = 1

Soal 7

Selesaikan sistem persamaan linier berikut :x1 + x2 = 52x1 + 4x2 = 14Selesaikan sistem persamaan linier :x1 + x2 + x3 = 0x1 - 2x2 + 2x3 = 4x1 + 2x2 - x3 = 2