Upload
eko-supriyadi
View
7.889
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
BAB 3
BARISAN DAN DERETPenerbit Erlangga
Kompetensi Dasar
• Mengidentifikasi pola, barisan, dan deretbilangan.
• Menerapkan konsep barisan dan deretaritmetika.
• Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.
A. POLA BILANGAN, BARISAN
BILANGAN, DAN NOTASI SIGMA1. Pola dan Barisan Bilangan
▫ Barisan bilangan adalah susunan anggota suatuhimpunan bilangan yang diurutkan berdasarkan pola(aturan) tertentu.
▫ Sekumpulan bilangan yang sering ditemui kadangmengikuti pola tertentu. Misalnya, Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Barisan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, 10, . . .
Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, . . .
▫ Anggota barisan bilangan disebut suku barisan yang dinyatakan sebagai berikut.
U1, U2, U3, . . . , Un
2. Notasi Sigma
Untuk menuliskan jumlah dari suku-sukubarisan bilangan dapat digunakan notasi sigma atau notasi penjumlahan sebagai berikut.
Huruf Yunani sigma ( Σ ) digunakan untukmendefinisikan penjumlahan, dengan k disebut indeks penjumlahan.
• Sifat-sifat notasi sigma
B. Barisan dan Deret Aritmetika
1. Barisan Aritmetika• Jika terdapat suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada
barisan, yaitu selisih antara kedua suku yang berurutan selalu tetap(konstan), maka barisan bilangan itu disebut barisan aritmetika.
• Jika suku pertama (U1) dinyatakan dengan a, selisih ( beda) antaradua suku berurutan diberi notasi b, dan suku barisan ke-n dilambangkan dengan Un, maka bentuk umum barisan aritmetikaadalah sebagai berikut.
▫ U1 = a = a + 0 · b = a + (1 – 1) b
▫ U2 = U1 + b = a + b = a + 1 · b = a + (2 – 1) b
▫ U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2 · b = a + (3 – 1) b
▫ U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3 · b = a + (4 – 1) b
• Rumus suku ke-n barisan aritmetika
dimana b = Un – Un–1, dengan b sebuah konstantayang tidak bergantung pada n.
Contoh
2. Deret Aritmetika
Seperti yang telah dijelaskan di depan bahwapenjumlahan berurut suku-suku dari suatubarisan disebut deret.
• Contoh:
▫ 2 + 4 + 6 + 8 + . . . .
▫ 3 + 7 + 11 + 15 + . . . .
• Rumus jumlah n suku pertama dari deretaritmetika dapat dinyatakan sebagai berikut :
Atau
dengan Sn : jumlah n suku pertama
Un : suku ke-n
a : suku pertama
b : beda
n : banyak suku
Contoh
C. Barisan dan Deret Geometri
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan bilanganyang setiap suku berikutnya diperoleh denganmengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap(r = rasio). Apabila diketahui barisan bilangan:
U1, U2, U3, U4,…,Un
Nilai r diperoleh dari
Rumus suku ke-n barisan geometri
• dengan, Un : suku ke-n
a : U1 = suku pertama
r : rasio antara dua suku yang berurutan
n : banyak suku
Contoh
2. Deret Geometri ( Deret Ukur)
Penjumlahan suku-suku dari barisan geometriyang berurutan disebut deret geometri. Sepertipada deret aritmetika, deret geometri jugadinyatakan dengan Sn, yaitu:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn – 1
Rumus jumlah suku ke-n barisan
geometri• untuk r < 1, berlaku:
• atau, untuk r > 1, berlaku:
• dimana, Sn : jumlah n suku pertama.
Contoh
3. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometriyang banyak suku-sukunya tak hingga. Deretgeometri tak hingga terdiri dari 2 jenis, yaitukonvergen dan divergen.
Jika deret geometri tak hingga dengan –1 < r < 1, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah ( konvergen).
Rumus jumlah deret geometri tak
hingga
denganS∞ : jumlah deret geometri tak hinggaa : suku pertamar : rasio
Jika r ≤ –1 atau r ≥ 1, maka deret geometri tak hingganya akandivergen, yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas atau tidakmenuju suatu bilangan tertentu. Hal ini terjadi karena perbedaannilai rasionya (r).
Contoh