Upload
garry-gautama
View
225
Download
9
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Just wanna share what i have found on internet
Citation preview
Catatan Kuliah Metode Numerik
BAB 3
Interpolasi
1. Beda Hingga
2. Interpolasi Linear dan Kuadrat2. Interpolasi Linear dan Kuadrat
3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur
Newton
4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton
5. Polinom Interpolasi Lagrange
1
Catatan Kuliah Metode Numerik
1. Beda Hingga
Misalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris fj = f(xj) dari suatu fungsi f pada titik-titik yang berjarak sama,
x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, …
dengan h > 0 tetap.
Fungsi f(xi) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secaraempiris dari percobaan.
Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapBeda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapnilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.
Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilaibeda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalamtabel.
Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalamkolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolomsebelumnya dari mana beda itu dibangun. Titik (koma) desimal dan nolpemula dari beda-beda itu boleh dihilangkan.
2
Catatan Kuliah Metode Numerik
Terdapat tiga notasi untuk beda-beda yang terjadi dalam suatu tabel beda.
A. Beda-beda Pusat
Bentuk tabel beda-beda pusat sebagai berikut:
0
1
2
x
x
x
−
−
0
1
2
f
f
f
−
−
2
1
2
3
f
f
δ
δ
−
−
2
1
2
f
f
δ
δ −
2
1
3fδ −
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
3
2
1
0
x
x
x
2
1
0
f
f
f
2
3
2
1
2
f
f
δ
δ
1
2
0
f
f
δ
δ
2
1
32
fδ
mmm
fff −= ++
1
2
1δSecara umum diperoleh,
Indeks beda di kiri adalahrataan indeks beda di kanan
2
1
2
1
2
−+−=
mmm fff δδδ
Catatan Kuliah Metode Numerik
B. Beda-beda Maju
Bentuk tabel beda-beda maju sebagai berikut:
1
0
1
2
x
x
x
x
−
−
1
0
1
2
f
f
f
f
−
−
0
1
2
f
f
f
f
∆
∆
∆
∆
−
−
2
1
2
2
2
f
f
f
∆
∆
∆
−
−
1
3
2
3
−
−
∆
∆
f
f
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
4
2
1
x
x
2
1
f
f
1f∆ 0
2f∆ 1−∆ f
mmm fff −=∆ +1
Secara umum diperoleh,
Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke bawah atau maju padatabelmmm fff ∆−∆=∆ +1
2
Catatan Kuliah Metode Numerik
Algoritma Beda-beda maju
Diberikan xj,
Untuk k = 1, 2, …, n lakukan
untuk m = 0, 1, …, n – k, lakukan
njxfff jjj ...,,2,1,0),(0
===∆
m
k
m
k
m
kfff
1
1
1 −
+
−∆−∆=∆
C. Beda-beda Mundur
Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:
5
Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:
2
1
0
1
2
x
x
x
x
x
−
−
2
1
0
1
2
f
f
f
f
f
−
−
2
1
0
1
f
f
f
f
∇
∇
∇
∇ −
2
2
1
2
0
2
f
f
f
∇
∇
∇
2
3
1
3
f
f
∇
∇
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
Catatan Kuliah Metode Numerik
mmm fff −=∇ −1
Secara umum diperoleh, Beda-beda dengan indeks yang samaterletak pada garis yang miring ke atasatau mundur pada tabel
mmm fff ∇−∇=∇ −1
2
Kaitan dari ke tiga notasi beda-beda di atas adalah :
22
nm
n
nm
n
m
nfff
+−∇=∆=δ
Contoh 3.1
6
Contoh 3.1
Nilai dan beda dari f(x) = 1/x, x = 1 (0.2) 2, 4D
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
Beda Keempat
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
5000.0
5556.0
6250.0
7143.0
8333.0
0000.1
556
694
893
1190
1667
−
−
−
−
−
138
199
297
477
61
98
180
−
−
−
37
82
Catatan, bila ditetap-
kan x0 = 1.6, maka di-
peroleh
-0.0893
2
1−= fδ1−∆= f
0f∇=
Catatan Kuliah Metode Numerik
2. Interpolasi linear dan Kuadrat
Diberikan tabel nilai suatu fungsi f(x), seringkali untuk mencari nilai-nilaif(x) untuk nilai x diantara nilai-nilai x yang muncul dalam tabel tersebut.
Masalah untuk memperoleh nilai f(x) demikian disebut Interpolasi.
Nilai-nilai f(x) yang ditabulasikan dan digunakan dalam proses ini disebutnilai-nilai pivotal.
Metode interpolasi biasanya didasarkan pada asumsi bahwa disekitar nilaix yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang nilainya pada x tersebut merupakan hampiran dari nilai fungsi f(x).
Interpolasi linear
7
Iterpolasi linear adalah metode interpolasi yang paling sederhana. Kurva fungsi f dihampiri dengan suatu talibusur pada dua nilai tabulasi yang berdekatan x0 dan x1.
Hampiran f pada x = x0 + rh adalah
x0 x1
f(x)
f0
f1h
x
rh)()()(
0101ffrfxpxf −+=≈
00 frf ∆+=
Dimana : 10,0 ≤≤−
= rh
xxr
p1(x)
Catatan Kuliah Metode Numerik
Interpolasi linear sering digunakan untuk menghitung tabel logaritma danfungsi trigonometri.
Interpolasi linear akan memberikan hasil yang baik selama nilai-nilai x dalam tabel sedemikian dekatnya sehingga talibusur-talibusurmenyimpang dari kurva f(x) cukup kecil, katakanlah kurang dari ½ satuanangka terakhir dalam tabel untuk setiap x diantara x0 dan x1.
Galat untuk iterpolasi linear adalah
Taksiran galat tersebut adalah :
)()()()()( 0101 xfffrfxfxpx −−+=−=ε
2
2
8
1)( Mhx ≤ε
Dimana f(x) mempunyai turunan kedua pada dan f’’(x) terbatasdengan
Interpolasi kuadrat
8
10xxx ≤≤
2)('' Mxf ≤
Pada interpolasi kuadrat, kurva fungsi f diantara x0 dan x2 = x0 + 2h dengan parabola kuadrat yang melalui titik-titik (x0, f0), (x1, f1), (x2, f2) sehingga mendapatkan rumus yang lebih teliti.
dimana,
)2(2
)1()()()( 0120102 fff
rrffrfxpxf +−
−+−+=≈
0
2
002
)1(f
rrfrf ∆
−+∆+=
20,0 ≤≤−
= rh
xxr
Catatan Kuliah Metode Numerik
Contoh 3.2
Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972 dan nilai ln 9.5 = 2.2513. Tentukan nilai ln 9.2.
Jawab
Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga
ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)
= 2.1972 + 0.4 ( 2.2513 – 2,1972)
= 2.2188 (eksak sampai 3D)
Contoh 3.3Contoh 3.3
Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972, ln 9.5 = 2.2513 dan nilai ln 10.0 = 2.3026.
Tentukan nilai ln 9.2.
Jawab
Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga
ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)+ (1/2)(0.4)(-0,6)(ln 10.0-(2)(ln 9.5)+ln 9.0)
= 2.197 + 0.4 ( 2.251 – 2,197) +(-0.12)(2.3026 – (2)2.2513 + 2.1972)
= 2.2192 (eksak sampai 4D)
9
Catatan Kuliah Metode Numerik
3. Interpolasi Beda Maju dan Beda Mundur Newton
Hampiran lebih teliti diperoleh bila menggunakan polinom yang derajatnya
lebih tinggi.
Polinom pn(x) berderajat n ditentukan secara tunggal oleh n+1 nilai xi, i = 0, 1,
2, …, n, yang berlainan, sedemikian sehingga diperoleh,
pn(x0) = f0 , pn(x1) = f1, …, pn(xn) = fn
dengan f(x0) = f0 , f(x1) = f1, …, f(xn) = fn
Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:
10
Dimana : nrh
xxr ≤≤
−= 0,0
00
2
00!
)1)...(1(...
!2
)1()()( f
n
nrrrf
rrfrfxpxf
n
n ∆+−−
++∆−
+∆+=≈
0
0
fs
rs
n
s
∆
=∑
=
!
)1)...(2)(1(
s
srrrr
s
r +−−−=
adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)
Catatan Kuliah Metode Numerik
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa pn(xk) = fk untuk k = 0, 1, 2, …, n.
Tetapkan terlebih dahulu r = k, sehingga diperoleh x = x0 + rh = x0 + kh = xk.
dan
Pembuktian secara induksi,
(i). Untuk k = 0 maka f = f , sehingga rumus benar untuk k = 0.
00
2
00 ...2
fk
kf
kfkff
k
k ∆
++∆
+∆+=
0
0
fs
ks
k
s
∆
=∑
=
)( knk xpf =
11
(i). Untuk k = 0 maka f0 = f0, sehingga rumus benar untuk k = 0.
(ii). Misalkan rumus benar untuk k = q, yaitu
maka akan ditunjukkan benar untuk k = q +1.
+=
−+
s
q
s
q
s
q 1
1Pada rumus ini, mempunyai koefisien sehingga
00
2
00 ...210
fq
qf
qf
qf
qf
q
q ∆
++∆
+∆
+
=
qqq fff ∆+=+1
00
2
00 ...210
fq
qf
qf
qf
∆
++∆
+∆
+
= 0
1
0
3
0
2
0 ...210
fq
qf
qf
qf
qq+
∆
++∆
+∆
+∆
+
0f
s∆
0
1
0
2
0011
1...
2
1
1
1
0
1f
q
qf
qf
qf
qf
q
q
+
+ ∆
+
+++∆
++∆
++
+=
Catatan Kuliah Metode Numerik
Galat yang terlibat dalam interpolasi maju Newton adalah
Dengan adalah turunan ke-(n+1) dari fungsi f dan t terletak dalam
interval yang titik-titik ujungnya adalah nilai terkecil dan terbesar dari nilai-nilai
x0, x1, …, xn, x.
)1( +nf
)())...(()!1(
1)()()(
)1(
0 tfxxxxn
xfxpxn
nn
+−−
+=−=ε
Algoritma Rumus Interpolasi Beda-maju Newton
Diberikan xj = x0 + jh, j = 0, 1, 2, … dan nilai-nilai fungsi yang berpadanan
12
j 0
yaitu . Juga diberikan nilai
Tetapkan
Hitung
Untuk k = 0, 1, 2, …, sampai penghentian, lakukan
Periksa untuk penghentian
)(0
jjj xfff ==∆ x̂
00 )ˆ( fxp =
h
xxr 0
ˆ −=
0
1
11
)ˆ()ˆ( fk
rxpxp
k
kk
+
+ ∆
++=
Catatan Kuliah Metode Numerik
Contoh 3.4
Memakai nilai-nilai dari tabel berikut
xi 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
f(xi) 1.414214 1.449138 1.483240 1.516575 1.549193
Terapkan rumus interpolasi beda maju Newton untuk mencari f(2.05) dan
f(2.15).
Jawab
a. Untuk x = 2.05, tetapkan x0 = 2.0 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5
)33()2)(1(
)2()1(
)()05.2()05.2( −+−−−
++−−
+−+=≈ ffffrrr
fffrr
ffrfpf
b. Untuk x = 2.15, tetapkan x0 = 2.1 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5
13
431782.1
)464(!4
)3)(2)(1(
)33(!3
)2)(1()2(
!2
)1()()05.2()05.2(
01234
01230120104
=
+−+−−−−
+
−+−−−
++−−
+−+=≈
fffffrrrr
ffffrrr
fffrr
ffrfpf
466268.1
)33(!3
)2)(1()2(
!2
)1()()15.2()15.2( 01230120103
=
−+−−−
++−−
+−+=≈ ffffrrr
fffrr
ffrfpf
Catatan Kuliah Metode Numerik
Sedangkan rumus untuk interpolasi beda mundur Newton adalah:
Dimana : nrh
xxr ≤≤
−= 0,0
00
2
00!
)1)...(1(...
!2
)1()()( f
n
nrrrf
rrfrfxpxf
n
n ∇+−−
++∇−
+∇+=≈
0
0
fs
rs
n
s
∇
=∑
=
)1)...(2)(1( srrrrr +−−−=
adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)
14
!ss=
adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)
Rumus interpolasi lain yang menggunakan beda hingga adalah rumus Everett
Rumus ini melibatkan beda-beda hingga tingkat genap. Rumus Everett yang
paling sederhana adalah:
1
2
0
2
10!3
)1()1(
!3
))(1)(2()1()( f
rrrf
rrrrffrxf δδ
−++
−−−++−≈
Dimana : 10,0 ≤≤−
= rh
xxr
Catatan Kuliah Metode Numerik
Untuk membuat penerapannya mudah, tabel-tabel fungsi biasanya menyerta-
kan beda-beda kedua yang diperlukan. Galatnya adalah
dimana x0 – h < t < x0 + 2h
Contoh 3.5
Memakai nilai-nilai dari tabel berikut
xi f(xi)
1.2 3.3201 333
1.3 3.6693 367
if2δ
)(4
1)()()(
)4(4tf
rhxfxpx n
+−=−=ε
1.3 3.6693 367
Terapkan rumus Everett untuk mencari f(1.24).
Jawab
Untuk x = 1.24, tetapkan x0 = 1.2 sehingga r = 0.04 / 0.1 = 0.4
15
4556.3
0021.00021.04598.3
)0367.0(6
)6.0)(4.0)(4.1(
)0333.0(6
)4.0)(6.0)(6.1()6693.3)(4.0()3201.3)(6.0()24.1(
=
−−=
−+
−++≈f
Catatan Kuliah Metode Numerik
4. Polinom Interpolasi Beda terbagi Newton
Misalkan diberikan x0, x1, x2 ,…, xn dengan jarak sembarang.
Polinom pn(x) berderajat n melalui titik-titik (x0, f0), (x1, f1), …, (xn, fn) dengan
fj = f(xj) diberikan oleh rumus interpolasi beda terbagi Newton:
Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,
],...,,[))...((...
],,[))((],[)()()(
1010
210101000
nn
n
xxxfxxxx
xxxfxxxxxxfxxfxpxf
−−−++
−−+−+=≈
Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,
16
01
0110
)()(],[
xx
xfxfxxf
−
−=
02
1021
210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
−
−=
0
11021
10
],...,,[],...,,[],...,,[
xx
xxxfxxxfxxxf
k
kkk
−
−= −
.................
Jika xk = x0 + kh berjarak sama, maka bentuk rumus di atas samadengan rumus interpolasi bedamaju Newton.
Catatan Kuliah Metode Numerik
Algoritma Polinom Beda terbagi Newton.
Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n
x, Epsilon
Langkah-langkah :
)( 00 xfb ←
1;0 ←← faktorbpbagi
lakukanniUntuk ,...,,2,1←
)(xfb ←
Catatan:b0, b1, b2,… menyatakanf(x0), f[x0,x1], f[x0,x1,x2]
17
)( ii xfb ←
lakukaniijUntuk ,0...,,2,1 −−←
ji
jj
jxx
bbb
−
−←
+1
).(1−−← ixxfaktorfaktor
faktorbsuku .0
←
sukupp bagibagi +←
SelesaimakaEpsilonsukuJika ≤
Catatan Kuliah Metode Numerik
Contoh 3.6
Diberikan pasangan nilai x0 = 1, f(x0) = 0; x1 = 4, f(x1) = 1.3862944;
x2 = 6, f(x2) = 1.7917595; x3 = 5, f(x3) = 1.6094379;
a. Buat tabel beda terbagi dari data tersebut.
b. Gunakan tabel beda terbagi di atas dalam menerapkan rumus interpolasi
beda terbagi Newton dengan x = 2
Jawab
a. Tabel beda terbaginya adalah
i xi f[ , ]f(xi) f[, ,] f[, , ,]
b.
18
i xi f[ , ]f(xi) f[, ,] f[, , ,]
3
2
1
0
5
6
4
1
6094379.1
7917595.1
3862944.1
0
1823216.0
2027326.0
4620981.0
0204109.0
0518731.0
−
−007865.0
5658444.0)0518731.0)(42)(12()4620981.0)(12(0)2()2( 2 =−−−+−+=≈ pf
6287687.0)007865.0)(62)(42)(12()2()2()2( 23 =−−−+=≈ ppf
Catatan Kuliah Metode Numerik
5. Polinom Interpolasi Lagrange
Metode interpolasi lain dalam kasus nilai pivotal x0 ini didasarkan kepada
rumus interpolasi Lagrange n + 1 titik,
dengan,
i
n
i ii
in f
xl
xlxLxf ∑
=
=≈0 )(
)()()(
))...()(()( 210 nxxxxxxxl −−−=
))...()(()( 201 nxxxxxxxl −−−=
))...()()...()(()( xxxxxxxxxxxl −−−−−=
.................
Dalam hal ini terlihat bahwa untuk x = xi, maka
Rumus Interpolasi Lagrange dapat juga ditulis dalam bentuk
dengan
19
))...()()...()(()( 1110 niii xxxxxxxxxxxl −−−−−= +−.................
))...()(()( 110 −−−−= nn xxxxxxxl
iini fxLxf =≈ )()(
i
n
i
in fxxlxLxf ∑=
=≈0
),()()(
−
−∏=
≠ji
j
iji
xx
xxxxl ),(
Catatan Kuliah Metode Numerik
Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange
Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n ; x
Langkah-langkah :
lakukanniUntuk ,...,,2,1←
lakukannjUntuk ,...,,1,0←
0←plag
1←faktor
− xx
Contoh 3.7
Diberikan pasangan nilai x dan f(x) berikut:
Gunakan Interpolasi Lagrange untuk menghitung f(9.2).
20
)(. ixffaktorplagplag +←
−
−←≠
ji
j
xx
xxfaktorfaktormakaijJika .
X 9.0 9.5 10.0 11.0
f(x) 2.19722 2.25129 2.30259 2.39790
Catatan Kuliah Metode Numerik
Jawab
Dalam hal ini diperoleh,
Sehingga
)0.11)(0.10)(5.9()(0 −−−= xxxxl
)0.11)(0.10)(0.9()(1 −−−= xxxxl
)0.11)(5.9)(0.9()(2 −−−= xxxxl
)0.10)(5.9)(0.9()(3 −−−= xxxxl
ii f
xl
lLf ∑=≈
3
3)(
)2.9()2.9()2.9(
21
i
i ii xl∑
=0
3)(
3
33
3
2
22
2
1
11
1
0
00
0
)(
)2.9(
)(
)2.9(
)(
)2.9(
)(
)2.9(f
xl
lf
xl
lf
xl
lf
xl
l+++=
39790.200000.3
04800.030259.2
50000.0
10800.025129.2
37500.0
28800.019722.2
0000.1
43200.0+
−++
−
−=
21920.2= (Eksak sampai 5D)
Catatan Kuliah Metode Numerik
Masalah pencarian x untuk f(x) yang diberikan dikenal sebagai interpolasibalikan / invers.
Jika fungsi f terdiferensialkan dan df/dx tidak nol dekat titik dimanainterpolasi balikan harus diperhitungkan, balikan x = F(y) dan y = f(x) adasecara lokal didekat nilai f yang diberikan dan mungkin terjadi bahwa F dapat dihampiri dalam lingkungan itu dengan suatu polinom yang derajatnya agak rendah. Kemudian jalankan interpolasi balikan denganmembuat tabulasi F sebagai suatu fungsi y dan menerapkan metode-metode interpolasi yang langsung pada F.
Jika df/dx = 0 dekat atau pada titik yang diinginkan, kemungkinan bergunauntuk memecahkan p(x) = f dengan iterasi. Dalam hal ini, p(x) adalahpolinom yang menghampiri f(x) dan f adalah nilai yang diberikan.
22