1

BAB I

MATRIKS

Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang

dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley (1821 – 1895).

Matriks berkembang karena peranannya dalam cabang-cabang Matematika

lainnya, misalnya bidang ekonomi, industri dan transportasi. Dengan

menggunakan matriks , maka penyelesaian sistem persamaan linear akan lebih

mudah diselesaikan.

Pembahasan bab ini diawali dengan definisi matriks dan operasi dasar

matriks yang sudah dikenal, namun untuk pengenalan sifat-sifat lebih lanjut

penyajian matriks akan menggunakan notasi matriks untuk mempersingkat

penulisan. Meskipun matriks ini bukan hal yang baru, karena sudah pernah

diperoleh di SLTA, namun dengan menguasai materi dalam bab ini akan lebih

mudah mengikuti pembahasan berikutnya.

TIK : Setelah mempelajari materi inidiharapkan mahasiswa dapat:

a. menjelaskan operasi-operasi aljabar matriks

b. menentukan bentuk eselon tereduksi suatu matriks

c. menghitung nilai determinan suatu matriks

d. menentukan invers suatu matriks.

2

1.1. Operasi Aljabar Matriks

Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-

bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung besar atau kurung

siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen dari matriks.

Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

22221

11211

atau A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

22221

11211

Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = ( )ija

dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom

dari matriks A.

Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks

berukuran mxn dan dilambangkan dengan Amxn atau (aij)mxn, ditulis singkat

A = ( )ija . Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke -ij dari matriks A. Matriks

A = ( )ija dengan m=n dikatakan sebagai matriks persegi, elemen a11, a22, ... , ann

disebut elemen diagonal utama dari A. Jumlahan elemen diagonal utama disebut

trace dari A.

Untuk dapat menggunakan matriks perlu dikaji operasi aljabar matriks berikut.

1. Kesamaan Matriks.

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika A dan B

berukuran sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak ) adalah sama.

3

Jika disajikan dalam notasi matriks, A = ( )ija dan B = ( )ijb maka A = B jika

aij = bij , untuk setiap i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n.

Contoh :

Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231452

32xA , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

131452

32xB , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5231

22xC , dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231452

32xD

maka BA ≠ , CA ≠ , CB ≠ , dan A = D. š

2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih, hanya dapat dilakukan

jika matriks tersebut berukuran sama. Penjumlahan atau pengurangan dua

matriks didefinisikan sebagai penjumlahan atau pengurangan elemen yang

bersesuaian.

Jika )( ijaA = dan )( ijbB = , maka )( ijij baBA +=+ dan )( ijij baBA −=− .

Contoh :

Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231452

A dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

231501

B maka ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

402951

BA ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

402951

AB , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

060153

BA , dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=−060153

AB . š

Sifat : Jika A, B, dan C matriks yang berukuran sama maka berlaku:

a. ABBA +=+ (Komutatif)

b. CBACBA ++=++ )()( (Asosiatif)

3. Pergandaan matriks dengan bilangan (skalar).

Pergandaan matriks dengan skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar

dengan setiap elemen matriks tersebut.

4

Jika )( ijaA = dan k sebarang skalar, maka )( ijkaAkkA == .

Contoh :

Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231452

A , maka ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4628104

2A dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−−−

=−231452

A . š

4. Pergandaan matriks.

Pergandaan matriks A dan B, dinotasikan AB, hanya dapat dilakukan jika

banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Jika mxpijaA )(= dan pxnijbB )(= , maka AB = mxnijcC )(= , dengan kj

p

kikij bac ∑

=

=1

.

Contoh :

Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231452

A dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

312134102

B maka

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−+−+−+−++−+

=6314904122125241508204

AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

451091916

.

Matriks BA tidak dapat diperoleh karena banyaknya kolom dari B adalah 3

sedangkan banyaknya baris dari A adalah 2. š

Sifat : Jika A, B, dan C matriks sehingga operasi berikut berlaku, maka :

a. ACABCBA +=+ )( Distributif kiri

CABAACB +=+ )( Distributif kanan

b. ACABCBA −=− )( Distributif kiri

CABAACB −=− )( Distributif kanan

c. CABBCA )()( = Assosiatif

5

1.2. Jenis – jenis Matriks

Beberapa matriks dengan elemen tertentu yang seringkali digunakan disajikan

berikut.

1. Matriks Nol.

Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol, dinotasikan 0.

Contoh :

Matriks ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡000000

merupakan matriks nol

Sifat : Untuk sebarang matriks A yang ukurannya bersesuaian sehingga operasi

aljabar berikut dapat dilakukan, berlaku :

a. A + 0 = 0 + A = A.

b. A – A = 0.

c. 0 – A = –A.

d. A . 0 = 0 . A = 0.

2. Matriks Transpos.

Transpos dari matriks A, dinotasikan dengan A1 atau At, adalah matriks

yang kolom pertamanya adalah baris pertama matriks A, kolom keduanya

adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya.

Jika mxnijaA )(= maka nxmjit aA )(=

Contoh :

6

Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

472531

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

4321

B maka ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

457321

tA dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=4231tB . š

Sifat : Untuk sebarang matriks A berlaku :

a. (At)t = A

b. (kA)t = kAt

c. (A + B)t = At + Bt

d. (AB)t = Bt At

3. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.

Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama bernilai 0

disebut matriks segitiga atas. Begitu pula matriks persegi yang semua

elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Jadi nnijaA x)(= disebut matriks segitiga atas jika 0=ija untuk i > j dan

disebut matriks segitiga bawah jika 0=ija untuk i < j.

Contoh :

Matriks A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

2322

131211

000

aaaaaa

dan B= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

2221

11000

aaaaa

aberturut-turut adalah

matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal.

Adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah nol kecuali

elemen pada diagonal utama.

Jadi nnijaA x)(= disebut matriks diagonal jika 0=ija untuk i ∫ j .

7

Contoh : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

500030001

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

000030001

5. Matriks Identitas (Matriks Satuan).

Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1

disebut matriks identitas, dinotasikan dengan In atau I.

Dalam bentuk notasi matriks , dituliskan )( ijaI = dengan aij = 1, untuk i=j

dan aij = 0, untuk i∫j, berlaku untuk i,j=1,2,...,n.

Contoh : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

3I .

Sifat : Untuk sebarang matriks A yang berukuran nxn berlaku In A=A In =A.

6. Matriks invers

Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I. Dalam

hal ini invers matriks A dinotasikan A-1. Matriks yang mempunyai invers

disebut matriks non singular.

Contoh : Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=5321

A maka ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=1325

B adalah invers dari A sebab

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=5321

AB ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1325

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=1001

5321

1325

BA . š

Sifat : a. ( A-1 )-1 = A

b. (AB )-1 = B-1 A -1

8

7. Matriks Simetris.

Suatu matriks persegi A dikatakan simetris jika A = At.

Jika )( ijaA = maka A dikatakan simetris jika jiij aa = , untuk setiap i,j.

Contoh :

Matriks ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

502043231

A adalah simetris sedangkan matriks ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

502143231

B tidak

simetris. Mengapa ?

Untuk sebarang matriks persegi A, matriks A+At merupakan matriks simetris.

Mengapa ?

8. Matriks Skew Simetris (Simetris Miring).

Matriks A dikatakan simetris miring jika At = –A .

Jika )( ijaA = maka A dikatakan simetris miring jika jiij aa −= , untuk setiap

i,j.

Contoh :

Matriks ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=012103

230A adalah matriks simetris miring.

9. Matriks-matriks persegi yang istimewa.

- Jika A dan B matriks-matriks persegi sedemikian sehingga AB = BA,

maka A dan B disebut commute.

- Jika AB = -BA, maka A dan B disebut Anti Commute.

- Matriks A yang memenuhi A k+1 = A (k bilangan positif), disebut periodik

9

- Jika A 2 = A, maka A disebut matriks Idempoten.

- Jika A k = 0, dengan k bilangan bulat positif terkecil maka A disebut

matriks nilpoten. Dalam hal ini bilangan k disebut indeks nilpoten.

Contoh :

a. Matriks ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2112

A dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6446

B adalah Commute, sebab :

AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡16141416

6446

2112

dan BA = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡16141416

2112

6446

.

b. Matriks ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

321431422

A adalah idempoten sebab A2 = A.

c. Matriks ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

312625311

M adalah nilpoten berindeks 3, sebab M3 = 0.

1.3. Operasi Baris Elementer

Selain operasi aljabar matriks yang sudah diperkenalkan pada subbab 1.1,

ada operasi lain yang dapat dikenakan pada suatu matriks untuk mendapatkan

matriks lain. Operasi ini dinamakan operasi baris elementer karena dikenakan

pada baris-baris suatu matriks. Operasi ini banyak digunakan untuk menentukan

penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas pada bab berikutnya.

Operasi baris elementer meliputi tiga bentuk, yaitu :

a. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.

10

b. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0≠k , dinyatakan

dengan Bi(k).

c. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada baris ke-i,

dinyatakan dengan Bij(k).

Operasi semacam ini juga dapat dilakukan pada kolom, dengan notasi B diganti

K, namun untuk pembahasan ini operasi hanya dikenakan pada baris saja.

Jika kita melakukan operasi baris elementer pada suatu matriks untuk

memperoleh matriks yang lain, matriks awal dan hasilnya dihubungkan dengan

tanda ≈ .

Contoh : Diketahui matriks A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

421312151

.

a. Jika baris ke-1 ditukar dengan baris ke-3, diperoleh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

421312151

13B

≈ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

151312421

Jika operasi K13 dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

124213151

.

b. Jika baris ke-2 dikalikan 3, diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

421312151

)3(2B

≈ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

421936151

Jika operasi K2(2) dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

4413221101

.

11

c. Jika baris ke-1 dikalikan -2 kemudian ditambahkan ke baris ke-2, diperoleh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

421312151

)2(12 −

≈B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

4211110151

Jika operasi K31(-1) dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

321112051

. š

Jika operasi baris elementer dikenakan pada matriks identitas akan

diperoleh suatu matriks yang khas. Sebuah matriks berukuran nxn disebut

matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan In

dengan melakukan satu operasi baris elementer.

Karena ada tiga macam operasi baris elementer, maka ada 3 macam matriks

elementer :

1. Eij, yaitu matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i ditukar dengan

baris ke-j.

Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001010100

13E , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100001010

12E

2. )k(Ei adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i digandakan

dengan skalar .k 0≠

Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100030001

)3(2E , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−

200010001

)2(3E .

12

3. Matriks )k(Eij adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-j

digandakan dengan skalar 0≠k kemudian ditambahkan ke baris ke-i.

Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010041

412 )(E , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=−100110

001)1(23E .

Sifat-sifat matriks elementer:

a. Jika matriks A digandakan dari kiri dengan matriks elementer E, maka EA

adalah suatu matriks baru yang diperoleh bila operasi baris elementer yang

digunakan untuk memperoleh E dari I, diterapkan pada A.

Contoh : Misal ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

457321

A ,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001010100

13E ,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100030001

)3(2E , dan

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010041

412 )(E .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

457321

13B≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

217345

, dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001010100

.13 AE⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

457321

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

217345

.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

457321

)3(2B≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

4527921

, dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100030001

).3(2 AE⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

457321

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

4521921

.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

457321

)4(12B≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

45733013

, dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010041

).4(12 AE⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

457321

.⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

45733013

. š

b. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer.

13

Jika satu operasi baris elementer diterapkan pada I untuk menghasilkan E,

maka terdapat operasi baris elementer yang bila diterapkan pada E akan

menghasilkan I. Berbagai kemungkinan operasi seperti di atas disajikan

sebagai berikut.

Operasi baris pada I untuk menghasilkan E

Operasi baris pada E untuk menghasilkan I

Menukar baris ke-i dan baris ke-j (Bij) Menukar baris ke-j dan baris ke-i (Bji). Menggandakan baris ke -i dengan skalar 0≠k (Bi(k)).

Menggandakan baris ke -i dengan 1/k (Bi(1/k)).

Menambahkan k kali baris ke-j kepada baris ke-i (Bij(k)).

Menambahkan -k kali baris ke-j kepada baris ke-i (Bij(-k)).

Operasi pada kolom kanan merupakan invers (balikan) dari operasi pada

kolom kiri. Jika operasi pada kolom kanan dikenakan pada I maka akan mengha-

silkan matriks elementer, sebut saja E0, yang menurut sifat a berlaku

E.E0 = I dan E0.E = I

Dengan demikian E0 adalah invers dari E. Dari tabel di atas diperoleh :

(Eij)-1 = Eji , (Ei(k))-1 = Ei(1/k)) dan (Eij(k))-1 = Eij(-k).

Contoh :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

001010100

.001010100

. 3113 EE dan E31. E13 = I.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

10003/10001

.100030001

)31().3( 22 EE dan E2(1/3). E2(3) = I.

14

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

100010001

100010041

.100010041

)4().4( 1212 EE dan E12(-4) . E12(4) = I. š

Kedua sifat di atas penting untuk digunakan dalam teorema berikut.

Teorema : Jika A matriks nonsingular maka A dapat dinyatakan sebagai hasil

ganda matriks-matriks elementer.

Contoh : Nyatakan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4332

A sebagai hasil ganda matriks-matriks elementer.

Penyelesaian : Kita dapat melakukan operasi baris elementer berhingga kali pada

A sampai diperoleh matriks I sebagai berikut.

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4332

)2/1(1B

≈ B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡43

2/31

)3(21 −

≈B

C

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2/10

2/31

)3(12B

≈ D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2/10

01

)2(2 −

≈B

I

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

.

Menurut sifat a, tentu berlaku : B = E1(1/2). A, C = E21(-3).B, D = E12(3).C, dan I =

E2(-2). D. Dengan demikian diperoleh E2(-2). E12(3). E21(-3). E1(1/2). A = I.

Karena matriks elementer mempunyai invers matriks elementer pula, maka

A =(E1(1/2))-1. (E21(-3) )-1.(E12(3)) -1. (E2(-2))-1 .I

=E1(2). E21(3). E12(-3). E2(-1/2)

Jadi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4332

A = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

1002

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1301

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1031

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2/10

01.

Bentuk perkalian matriks elementer ini tidak tunggal. Periksa bahwa

A = E21.E12.E21(2).E12 (1). Dapatkah kamu cari bentuk perkalian yang lain ? š

15

Definisi : Matriks B dikatakan ekivalen baris (row equivalent) dengan

matriks A, ditulis A ~ B, jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A

dengan berhingga banyak operasi baris elementer

Mengingat sifat a dari matriks elementer, definisi di atas dapat pula dinyatakan

sebagai : matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat

matriks-matriks elementer E1, E2, . . . . . ,Ep sehingga B = EpEp-1. . . E1A.

Contoh.

A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

455302153

dan B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000302153

adalah ekivalen baris, karena

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

455302153

)1(13 −

≈B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

302302153

)1(32 −

≈B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000302153

. š

Sifat : 1. Jika A ekivalen baris dengan B, maka B ekivalen baris dengan A.

2. Jika A ekivalen baris dengan B dan B ekivalen baris dengan C, maka A

ekivalen baris dengan C.

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form)

jika memenuhi :

a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol, maka elemen

pertama yang tidak nol adalah 1, dan disebut 1 utama (pivot)

b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini diletakkan

pada baris paling bawah.

16

c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua elemennya

nol, 1 utama pada baris yang bawah terletak di sebelah kanan dari 1

utama baris di atasnya.

Contoh : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100310241

dan ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

00000210003110050231

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced

row-echelon form) jika matriks tersebut dalam bentuk eselon baris dan

pada masing-masing kolom yang memuat 1 utama, elemen 1 merupakan

satu-satunya elemen yang tidak nol.

Contoh.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000100010001

dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000010000210

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk normal jika matriks tersebut

memuat submatriks identitas.

Ada 4 jenis bentuk normal yaitu :

Ip , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡000 pI

, [ ]0pI , dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0pI

dengan Ip adalah matriks identitas

Contoh. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000100001

Selain untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi, operasi baris elementer

juga dapat digunakan untuk memperoleh invers dari suatu matriks non singular.

17

Jika A adalah matriks non singular, maka dengan melakukan sebanyak

berhingga kali operasi baris elementer pada matriks [A| I] (matriks ini disebut

perluasan dari matriks A) akan didapat matriks [I| B]. Misalkan untuk itu

diperlukan n operasi baris elementer. Karena A dibawa ke I dan I dibawa ke B,

maka I = E1. E2. E3.... En.A dan B = E1. E2. E3.... En.I. Karena matriks elementer

mempunyai invers maka dari perkalian yang pertama diperoleh

IEEEEA nn ...... 11

12

11

1 −−−−

−= sehingga IEEEEEEEEAB nnnn == −−−−

−− )......).(.....( 121

11

12

11

1

dan IEEEEEEEEEEEBA nnnnnn == −−−−

−−

− )...........).(.....( 1211

11

211

112 .

Ini berarti B adalah invers dari A, atau B = A-1.

Contoh :

Jika A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 122202111

maka invers dari A dapat ditentukan sebagai berikut.

Dibentuk matriks [A| I] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 100122010202001111

Selanjutnya dengan melakukan operasi baris berikut ini : B21(-1), B 31(-2),

B12(1/2), B2(1/2), B32(-2), B13(1), B3(-1), akan diperoleh matriks :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

12210002/1101012/32001

. Jadi A-1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

12202/1112/32

. š

Definisi : Rank dari matriks A dapat didefinisikan sebagai banyaknya baris

(kolom) tak nol dari bentuk eselon baris yang diperoleh dari matriks A.

18

Karena banyaknya baris (kolom) tak nol selalu kurang dari minimum diantara

baris dan kolom, maka rank(Amxn) ≤ min {m, n}.

Contoh :

Carilah rank dari matriks A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

344212132

Jawab : Jika matriks A dikenai operasi baris elementer B1(1/2), B21(-2), B31(-4),

B2(-1/2), dan B32(2) kita memperoleh ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

0002/110

2/12/31 . Jadi rank(A) = 2. š

1.4. Determinan.

Determinan suatu matriks persegi sangat banyak gunanya dalam berbagai

cabang matematika. Sebagai contoh pada aljabar, determinan digunakan untuk

mencari jawab n persamaan linear dengan n variabel. Ada dua definisi

determinan dilihat dari segi pendekatannya, pertama dengan pendekatan klasik,

yaitu bertitik tolak pada fungsi permutasi, kedua dengan pendekatan bukan

klasik, yaitu pada fungsi multilinear. Pada pembahasan kali ini kita

mendefinisikan determinan dengan pendekatan klasik, yaitu melalui fungsi

permutasi.

Definisi : Permutasi bilangan asli, dinotasikan s, adalah susunan bilangan-

bilangan asli menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi

bilangan tersebut. Himpunan semua permutasi dari n ditulis dengan Sn.

Contoh :

19

Permutasi dari barisan bilangan 1 dan 2 adalah (1,2) dan (2,1). Jadi S2 = {(1,2), (2,1)}

Permutasi dari bilangan 1,2, dan 3 adalah (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), dan

(3,2,1). Jadi S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), (3,2,1)}.

Kita lihat bahwa banyaknya permutasi 2 bilangan adalah 2, banyaknya

permutasi 3 bilangan adalah 6. Secara umum banyaknya permutasi n bilangan

adalah n!. Penulisan permutasi k bilangan adalah (j1,j2,...,jk) dengan ki jj ≠ untuk

ki ≠ .

Definisi : Inversi pada suatu permutasi adalah terdapatnya bilangan yang lebih

besar mendahului bilangan yang lebih kecil, atau ji > jk untuk i < k.

Contoh :

Pada permutasi (2,1,3) terdapat 1 inversi yaitu 2 mendahului 1.

Pada permutasi (3,2,1) terdapat 3 inversi yaitu : 3 mendahului 2, 3 mendahului 1,

dan 2 mendahului 1.

Definisi : Jika jumlah inversi dari suatu permutasi adalah genap, maka disebut

permutasi genap dan jika jumlah inversi suatu permutasi ganjil maka

disebut permutasi ganjil.

Definisi : Tanda dari permutasi s, dinotasikan sgn(s), didefinisikan sebagai

⎩⎨⎧−+

=gasal inversijumlah jika,1genap inversijumlah jika,1

)(σσ

sign σ

Contoh :

Jika s = (2,1,3) maka sgn(s) = -1.

Jika s = (3,2,1) maka sgn(s) = -1.

20

Definisi : Determinan dari matriks Anxn didefinisikan sebagai :

nn

njjjS

j aaaaA .....).sgn()det(321 321∑

∈=σ

σ

Contoh :

Jika ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A maka S2 = {(1,2), (2,1)} dengan sgn(1,2) = +1, sgn(2,1) = -1

sehingga 21122211)det( aaaaA −=

Jika ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A maka S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), ((2,1,3), (3,1,2),(3,2,1)}

dengan sgn(1,2,3) = +1, sgn(2,3,1) = +1, sgn(3,1,2) = +1, sgn(1,3,2) = -1, sgn(2,1,3)=-1,

dan sgn(3,2,1) = -1. Sehingga

det(A) = 332211 aaa + 312312 aaa + 322113 aaa - 322311 aaa - 332112 aaa - 312213 aaa .

Apabila contoh tersebut diterapkan pada matriks ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4332

A dan B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542123

maka det(A) = 2.4 - 3.3 = -1 dan det(B) = 3.4.6 + 2.5.0 + 1.2.1 - 3.5.1 - 2.2.6 -

1.4.0 = 35. š

Dari definisi di atas, apabila A suatu matriks segitiga (atas ataupun bawah)

maka det(A) pasti bernilai nol sebab satu-satunya suku tidak nol adalah perkalian

elemen-elemen diagonal utama. Jadi jika Anxn = ( )ija maka det(A) = a11.a22. ... .ann.

Selanjutnya sifat-sifat yang berlaku pada determinan adalah :

1. Nilai determinan matriks A sama dengan nilai determinan transposenya, yaitu

det(A) = det(At)

21

Contoh : Jika A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa

maka A t = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2212

2111

aaaa

. Sehingga

21122211)det( aaaaA −= dan 21122211)det( aaaaAt −= .

2. Jika setiap elemen pada suatu baris atau kolom matriks A bernilai nol, maka

det(A) = 0.

Contoh : B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000542123

maka det(B) = 3.4.0 + 2.5.0 + 1.2.0 - 3.5.0 - 2.2.0 -

1.4.0 = 0.

3. Jika matriks A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sama (elemen yang

bersesuaian bernilai sama), maka det(A) = 0.

Contoh : C = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

542542123

maka det(C) = 3.4.5 + 2.5.2 + 1.2.4 - 3.5.4 - 2.2.5 -

1.4.2 = 0.

4. Jika matriks B diperoleh dengan menukar dua baris atau dua kolom matriks A

maka det(B) = - det(A).

Contoh : Matriks A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542123

, det (A) = 35. Dengan menukar baris 1 dan

baris 3 matriks A diperoleh matriks C = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

123542610

dengan det(C) = 0.4.1 +

1.5.3 + 6.2.2 - 0.5.2 - 1.2.1 - 6.4.3 = -35.

22

5. Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan satu baris atau satu kolom matriks

A dengan skalar k ≠0, maka det(B) = k.det(A).

Contoh :

Matriks A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542123

, det (A) = 35. Dengan mengalikan baris ke tiga matriks

A dengan 3, diperoleh matriks C = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1830542123

dengan det(C) = 3.4.18 + 2.5.0 +

1.2.3 - 3.5.3 - 2.2.18 - 1.4.0 = 105.

6. Jika A, B, dan C matriks yang identik (sama) kecuali pada satu baris. Pada baris

yang tidak identik ini, baris matriks C merupakan jumlahan dari baris matriks

A baris matriks B, maka det(C) = det(A) + det (B).

Contoh :

Misalkan A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542123

, B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542101

, dan C = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542224

. Maka det(A) = 35,

det(B) = 1.4.6 + 0.5.0 + 1.2.1 - 1.5.1 - 0.2.6 - 1.4.0 = 21.

det(C) = 4.4.6 + 2.5.0 + 2.2.1 - 4.5.1 - 2.2.6 - 2.4.0 = 56.

7. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambah satu baris dengan k

kali baris yang lain, maka det(B ) = det(A).

Contoh :

23

Misalkan A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542123

dan B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

610421123

. Maka det(A) = 35, det(B) = 3.2.6

+ 2.4.0 + 1.(-1).1 - 3.4.1 - 2.(-1).6 - 1.2.0 = 35.

Dari 7 sifat di atas kita dapat mengubah sebarang matriks menjadi matriks

segitiga dengan operasi baris elementer jenis tersebut, tanpa mengubah nilai

determinannya.

Contoh :

Misal A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

610542123

, dengan operasi B21(-2/3) dilanjutkan B32(-3/8) diperoleh

matriks B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

8/35003/133/80

123, sehingga det(A) = det(B )

835.

38.3 = 35.

1.5. Ekspansi Kofaktor

Definisi : Jika A adalah matriks persegi maka minor dari elemen aij, dinyatakan

dengan Mij, adalah determinan tingkat (n-1) yang diperoleh dengan

mencoret baris ke i dan kolom ke j dari matriks A.

Bilangan (-1)i+j Mij, dinyatakan dengan Kij, dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh :

24

Misal A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 122202111

, maka M11 = det ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 12

20 = 4 dan K11 = (-1)1+1M11 = 1.4 = 4.

Selanjutnya M12 = det ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1222

= -2 dan K12 = (-1)1+2 M12 = -1.( -2) = 2. Secara

sama diperoleh M13 = -4 , M21 = 3, M22 = -1 , M23 = -4 , M31 = 2, M32 = 0, dan

M33 = -2. Kemudian didapat K13 = -4 , K21 = -3, K22 = -1 , K23 = 4 , K31 = 2, K32 =

0, dan K33 = -2. š

Dari penghitungan kofaktor elemen suatu matriks kita dapat menghitung

determinan dan invers dari suatu matriks.

Definisi : Jika A = ( )ija , maka determinan A didefinisikan sebagai :

∑∑==

+ =−=n

jijij

n

jijij

ji KaMaA11

)1()det( (ekspansi baris ke i), atau

∑∑==

+ =−=n

iijij

n

iijij

ji KaMaA11

)1()det( (ekspansi kolom ke j)

Contoh :

Jika A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 122202111

maka det(A) = 1. K11 + 1. K12 + 1. K12 = 4 + 2 + (-4) = 2. Atau

det(A) = 2. K21 + 0. K22 + 2. K23 = 2.(-3) + 0. (-1) + 2.4 = .(-6) + 8 = 2. Cobalah

hitung dengan ekspansi kolom. š

Definisi : Jika A = ( )ija matriks persegi maka matriks K = ( )ijK dengan ijK adalah

kofaktor dari ija dinamakan matriks kofaktor dari A. Transpose dari

matriks kofaktor disebut matriks adjoin dari A, dinotasikan adj(A).

25

Contoh :

Jika A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 122202111

, maka K = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

202413424

, dan adj(A) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

244012234

.

Teorema : Jika A matriks yang mempunyai invers maka )()det(

11 AadjA

A =− .

Contoh :

Jika A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 122202111

, maka A-1 = 21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

244012234

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

12202/1112/32

.

Latihan 1.

1. Diberikan matriks ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=0212

31A , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1212

B , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

211301

C , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=334110

122D ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=312

013E , [ ]321=F , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

G , dan [ ]110=H . Manakah di antara

operasi berikut yang dapat dilakukan ? Jika dapat dilakukan tentukan

hasilnya, jika tidak dapat dilakukan berikan alasannya.

a. A + B

b. 2A + C

c. B - 2D

d. 3H - F

e. AB + FE

f. 3BA

g. ED - BA

h. BG + GH

i. HD - At

j. Ft + Gt

k. (F + G)t

l. (AB)t

26

2. Berikan satu contoh matriks simetris ukuran 3 x 3.

3. Berikan satu contoh matriks simetris miring A yang berukuran 3 x 3. Apakah

A + At juga simetris miring ? Berikan alasannya.

4. Jika ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

514301121

C dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=334110

122D , hitunglah :

a. C (C + D)

b. C 2 + CD)

c. C (CD)

d. C 2D

e. (C - D)C

f. C 2 - DC

5. Lakukan operasi baris elementer B2(-2), B21(2), B13, B23(-2), B12(-1),dan B1(3)

pada matriks berikut.

a. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=0212

31A b.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=334110

122B c.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

314301121

C

6. Dapatkan invers dari matriks elementer berikut.

a. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

010100001

b. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100110001

c. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 200010001

7. Tentukan bentuk eselon baris dari matriks berikut. Catatlah operasi baris

elementer yang dilakukan untuk mendapatkan bentuk eselon barisnya.

Dapatkan pula bentuk eselon baris tereduksinya

a. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=0212

31A b.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=334110

122B c.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

314301121

C

27

8. ll