Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB I
PENGANTAR STATISTIKA
1.1. Pendahuluhan
Seorang siswa pada jurusan bisnis atau ekonomi membutukan pengetauan dasar
dan keterampilan untuk mengatur atau memanajemen, menganalisis dan
mentrasformasi data serta menampilkan dan juga menjelaskan informasi. Statistika
akan sangat membantu siswa untuk dapat membangun dan mengembangkan
kemampuan dalam bisnis dan ekonomi.
Statistika adalah ilmu mengenai pengumpulan, pengaturan, menampilkan dan
menganalisis serta menginterpretasikan data untuk membantu dalam pengambilan
keputusan yang lebih efektif.
1.2. Mangapa penting mempelajari Statistika Ekonomi
Statistika dipelajari hampir pada seluruh jurusan pada Universitas. Hal yang
mendasari banyaknya jurusan yang menyajikan statistika adalah statistika dinataranya
sebai berikut
1. Selalu terdapat informasi numerik dimanapun.
2. Tekik statistik digunakan untuk pengambilan keputusan dari kehidupan sehari-
hari.
3. Pengetahuan akan metode statistik akan membentu kita memahami cara
mengambil keputusan dan memberi pengetahuan risiko dari keputusan tersebut.
Dengan kata lain dengan memami metode statistika akan membantu mengambil
keputusan yang lebih efektif.
1.3. Jenis Statistika
Jenis Statistika terbagi atas:
1. Statistika deskriptif
Statistika deskriptif merupakan metode untuk mengatur, menyimpulkan, dan
menampilkan data dalam bentuk sebuah informasi. Statistika deskriptif ditampilkan
dalam bentuk ditribusi frekwensi, tabel dan grafik.
2. Statistika inferensial
Statistika inferensial merupakan metode yang digunakan untuk mengestimasi nilai
dari populasi berdasarkan sampel. Populasi adalah hipunan dari objek-objek dalam
satu kategori. Sampel adalah bagian dari populasi dalam satu kategori.
Gambar 1.1 Populasi dan Sampel
1.4. Jenis Variabel
Klasifikasi variabel berdasarkan jenisya yaitu
1. Variabel qualitatif
Contoh: brand dari sepeda motor, jenis kelamin, warna rambut, suku di Indonesia
dan lain-lain.
2. Variabel quantitatif
Variabel quantitatif juga diklasifikasi menjadi varibel diskrit dan kontinu.
Contoh varibel diskrit: jumla adak dalam satu keluarga, banyak goal dalam satu
pertandingan bola, masa pakai sebuah batrai dan lain-lain.
Contoh variabel kontinu: pengasilan seluruh karyawan pada suatu perusaaan, nilai
pembayaran pajak pengasilan, berat badan sekumpulan maasiswa pada suatu
universitas, cura ujan pada suatu kota.
1.5. Jenis Data
Terdapat jenis skala pada data statistika yaitu
1. Data nominal
Data nominal bertujuan hanya mebuat klasifikasi pada data. Contoh kategori jenis
kelamin 1= pria 2=wanita, satus perekonomian suatu negara 1=negara miskin
2=negara berkembang 3= negara maju.
2. Data ordinal
Data ordinal menjadikan data berperingkat atau berurutan. Contoh perngkat nilai
pada suatu kelas, tingakat kepuasan pelanggan restoran A, tingkat huruf mutu dari
asil ujian siswa.
3. Data interval
Data interval menujukan perbedaan antara nilai. Contoh suhu udara, ukuran
pakaian dengan penomeran.
4. Data rasio
Data rasio mengandung makna nilai 0 dan rasio antar nilai. Contoh data return on
asset (ROA=laba bersih/total aset). Return saham= harga saham hari ini/ harga sa
harga saham kemarin.
1.6. Soal Latihan
1. Tentukan apakah pertanyaan dibawah termasuk sampel atau populasi, sertakan
alasannya.
a. Statistik merupakan sala satu mata kuliah pada suatu Unsika. Prof Novi
selama 5 tahun terakhir talah memiliki hampir 1500 mahasiswa.
Dapatkah anda menentukan nilai rata-rata hasil ujian MK tersebut.
b. Pada sebuah proyek penelitian, anda membutuhkan laporan rata-rata
profitablitas dari salah satu perusahaan industry selama 10 tahun
terakhir.
2. Untuk pernyataan dibawah ini, tetntukan apakah termasuk kategori sampel atau
populasi, sertakan alasannya
a. Peserta seminar bahaya narkoba.
b. Jumlah kendaraan yang melewati pintu masuk tol Cikarang dalam1
bulan terakhir.
3. Dcv
BAB 2
MENDESKRIPSIKAN DATA
2.1. Tabel Frekwensi, Distribusi Frekwensi dan Grafik
Pada bab 1 sebelumnya, telah dijelaskan bahwa teknik yang dapat digunakan
untuk mendeskripsikan himpunan dari data adalah deskriptif statistik. Tabel
frekwensi, distribusi frekwensi dan grafik merupakan bagian dari deskriptif statistik.
2.1.1. Tabel Frekwensi
Tabel frekwensi merupakan cara penyajian data dalam bentuk kelompok data
sehigga lebih mudah untuk diliat dan diahami. Penyajian ini bertujuan menjadikan
informasikan data menjadi lebih sederhana.
Gambar 2.1 Jumlah penjualan mobil merek A berdasarkan lokasi
2.1.2. Distribusi Frekwensi
Distribusi frekwensi juga peyajian data dalam bentuk tabel. Penyajian data
dibentuk dalam interval agar menyederhanakan informasi. Contoh diberikan
informasi profit dari perusahaan Applewood Auto Group selama 1 bulan terakhir.
Gambar 2.2 Profit Applewood Auto Group 1 bulan terakhir
Informasi gambar 2.2 akandisusun menjadi distribusi frekwensi sebagai berikut.
Gambar 2.3 Contoh tabel ditribusi frekwensi
2.1.3. Grafik
Penyajian data dalam bentuk sederana agar muda dibaca dan dihami tidak hanya
dengan tabel tetapi juga dapat melalu grafik. Grafik menyajian data dapat berupa
diagram batang, diagram lingkaran, diagram batang daun, istogram, pologon dan lain
sebagainya. Berikut akan diberikan contoh histogram dan poligon berdasarkan tabel
distribusi frekwensi pada gambar 2.2.
Gambar 2.4 Contoh histogram
Gambar 2.5 Contoh Poligon
2.2. Ukuran Pemusatan dari Data
Subbab ini akan fokus pada cara perhitungan numerik dalam mendeskripsikan
data yang disebut ukuran pemusatan. Tujuan menentukan ukuran pemusatan adalah
untuk menentukan lokasi pusat dari sekumpulan data.
3.2.1. Rata-rata atau Mean
Mean atau rata-rata terdiri dari 2 jenis yaitu rata-rata populasi dan rata-rata
sampel.
Rata-rata populasi N
X
Rata-rata sampel n
XX
Rata-rata data berkelompok/data interval
n
XfX
ii
dimana
rata-rata populasi
X rata-rata sampel
X data/nilai
X jumlah data pada sampel/ pupulasi
if jumlah frekwensi pada kelas ke-i
iX nilai tengah dari kelas ke-i
N banyak data pada populasi
n banyak data pada sampel
Ciri-ciri dari rata-rata
1. Setiap himpunan data memiliki nilai rata-rata.
2. Semua nilai pada data akan masuk pada rata-rata.
3. Nilai rata-rata pasti tunggal.
4. Jumlah dari penyimpangan data dengan rata-rata adalah nol.
.0)( XX
rata-rata populasi ( ) merupakan sebuah contoh dari parameter. Parameter adalah
sebuah karakteristik dari populasi. Sedangkan, rata-rata sampel ( X ) merupakan sala
satu contoh statistic. Statistik adalah karakteristik dari sampel.
3.2.2. Median
Pada kumpulan data yang memiliki satu atau dua data dengan nilai sangat besar
atau sangat kecil (sering disebut dengan data pencilan), mean atau rata-rata kurang
representatif dalam menjadi ukuran pemusatan. Pusat dari data akan lebih baik jika
dideskrisikan oleh median. Median adalah titik tengah dari data setala data tersebut
diurutkan dari yang terecil hingga yang terbesar, atau sebaliknya. Letak nilai median
untuk data tunggal yaitu data ke dari rumus berikut
2
1
nMe
Untuk data interval nilai median dapat ditentukan melalaui
if
fkn
LMeMe
2
Me Median
n jumlah frekwensi
L Tepi bawa atau batas bawa kelas median
Mefk frekwensi kumulatif sebelum kelas median
f frekwensi kelas median
i range atau panjang kelas
Karakteristik dari median
1. Median tidak akan mendapatkan dampak dari nilai yang terlalu besar atau
terlalu kecil dari data.
2. Median dapat dihitung untuk data ordinal atau yang lebih tinggi.
3.2.3. Modus
Modus merupakan ukuran lain dari ukuran pemusatan. Modus adalah nilai
observasi dari data dengan frekwensi tertinggi. Conto pada observasi sebua merek
sabun various yang ingin mengetaui wangi sabun mana yang paling disukai oleh
pelanggan. Berikut hasil observasi dari beberapa pelanggan yang djadikan sampel.
Hasil observasi dapat diliat pada gambar 2.1.
Gambar 2.1. Jumlah pengguna sabun merek various
Untuk menentukan nilai modus pada data interval yaitu
idd
dLMo
21
1
Mo Modus
L Tepi bawa atau batas bawa kelas modus
1d selisih frekwensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
2d selisih frekwensi kelas modus dengan kelas sesudanya
i range atau panjang kelas
3.2.4. Posisi Relatif dari Mean, Median, dan Modus Data
Berikut beberapa posisi relative dari mean median dan modus pada data.
Gambar 2.2 Mean, Median dan Modus berada pada posisi yang sama
Gambar 2.3 Mean, Median dan Modus berada pada posisi yang berbeda.
Perbadaan dari posisi ketiga ukuran pemusatan ini akan menentukan bentuk
kemirinan dari sebuah data (skewed). Pada gambar 2.2 menunjukan bahwa bentuk
data simetris. Sedangkan gambar 2.3 menunjukan bentuk data yang memiliki
kemiringan positif (gambar kiri) dan kemiringan negative (pada gambar kanan).
2.3. Ukuran Dispersi atau Ukuran Penyebaran
Selain ukuran pemusatan, pada statistika deskriptif dibutukan juga ukuran
penyebaran. Informasi ukuran penyebaran dari data sangat dibutukan untuk
mengetahui penyebaran, selisih atau perbedaan nilai-nilai yang ada pada data dengan
pusat datanya. Selain itu, ukuran penyebaran diperlukan untuk mebandingkan apakah
2 rata-rata data dari 2 kumpulan data yang berbeda memiliki nilai data yang sama?.
Ilustarasi menengenai ukuran penyebaran dapat diliat pada gambar 2.4 dan 2.5.
Gambar 2.4 Jumlah karyawan Ammond 18 taun terakhir
Gambar 2.5 perbandingan jumlah produksi computer harian Boton rouge dan Tucson
Berikut adala ukuran penyebaran yang akan dipelajari pada subbab ini.
2.3.1 Range
Range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederana.
Range= data terbesar/tertinggi- data terkecil/terendah.
2.3.2 Deviasi rata-rata (MD)
n
XXMD
2.3.3 Varians dan Deviasi Standar
Varians dari populasi
N
X
2
2)(
Varians dari sampel
1
)( 2
2
n
XXs
Deviasi standar pupulasi
2
Deviasi standar sampel
2ss
Deviasi standar data berkelompok/data interval
1
)( 2
n
XXfs
ii
dimana
2 Varians dari populasi
2s Varians dari sampel
rata-rata populasi
X rata-rata sampel
X data/nilai
if jumlah frekwensi pada kelas
iX nilai tengah dari kelas
N banyak data pada populasi
n banyak data pada sampel
interpretasi dari standar deviasi adala seberapa jau letak seberan ata dari rata-rata atau
pusat data. Penjelasan ini dapat diliat pada gambar 2.6.
Gambar 2.6 Bentuk lonceng dari kurva ubungan data (mean 100 dan standar deviasi
standar 10) dengan observasi
2.4. Ukuran Letak
Cara lain dalam mendeskripsikan variasi atau penyebaran impunan data adala
ukuran letak atau posisi. Ukuran letak yang akan dipelajari pada subbab ini adalah
kuartil, desil, persentil.
Letak data kuartil data tunggal 4
)1(p
nQ p
Nilai kuartil data interval if
fkpn
LQpQ
p
4
Letak data desil data tunggal 10
)1(p
nDp
Nilai desil data interval if
fkpn
LDpD
p
10
Letak data persentil data tunggal 100
)1(p
nPp
Nilai persentil data interval i
f
fkpn
LPpP
p
100
pQ kuartil ke-p
pD desil ke-p
pP persentil ke-p
n jumlah frekwensi
L Tepi bawa atau batas bawa kelas kuartil/desil/persentil
fk frekwensi kumulatif sebelum kelas kuartil/desil/persentil
f frekwensi kelas kuartil/desil/persentil
i range atau panjang kelas
2.5. Skewness
Karakteristik dari himpunan data yang lainnya adalah ukuran bentuk. Ukuran
bentuk dari data disebut dengan skewness. Ada tiga tipe bentuk dari data seperti yang
dapat diliat pada gambar 2.2 dan 2.3. Gambar 2.2 menunjukan bentuk data yang
simetris. Sedangkan gambar 2.3 (kiri) menunjukan bentuk kemiringan kekanan atau
kemiringan positif. Sedangkan gambar 2..3 (kanan) menunjukan bentuk kemiringan
kekiri atau kemiringan negatif.
Gambar 2.7 Bentuk- bentuk skewness
Nilai skewness dapat ditentukan melalui
s
MedianXSK
)(3
2.6. Kurtosis
Selain skewness dibutuhkan ukuran bentuk dari impuanan data yaitu kurtosis.
Kurtosis adalah ukuran keruncingan dari data. Ukurun kerundingan dari suatu data
diukur berdasarkan standar kurtosis pada kurva normal atau kurva sismetri yaitu 3.
Kurtosis untuk data tunggal dapat ditentukan melali rumus berikut.
4
4
4)(1
s
XnK
Sedangkan untuk data kelompok
4
4
4)(1
s
XfnK
ii
4K Kurtosis
rata-rata populasi
X rata-rata sampel
X data/nilai
if jumlah frekwensi pada kelas
iX nilai tengah dari kelas
s deviasi stadar/simpangan baku
n banyak data pada sampel
2.7. Latihan Soal
1. Hitunglah rata-rata data dari sampel berikut: 1;3;7;3,6;4,1;5 dan tunjukan bahwa
0)( XX .
2. Misalkan anda pergi ke toko pakaian dan berbelanja sebesar $61,85 untuk 14
barang. Tentukan berapa rata-rata harga setiap barang.
3. Seorang investor membeli membeli saham PT. A pada bulan juni sebanyak 300
lembar dengan harga perlembar $20. Sedangkan pada bulan agustus harganya
menjadi $25 dan dibeli sebanyak 400 lembar. Pada bulan November membeli
400 lembar dengan harga $23. Berapakah rata-rata harga salam selama 6 bulan
terakhir?
4. Berikut adalah data pendapatan per tahun dari seorang marketing perumaan
mewah selama 11 tahun. Tentukan mean, median dan modus dari data ini.
5. Sebuah perusahaan akuntan publik mengitung nilai pajak pekerjaan dari beberapa
professional seperti dokter gigi, arsitek, pengacara, dan psikolog. Untuk
keperluan tersebut diambil sampe 11 orang professional pada bidang-bidang
tersebut. Berikut hasil nilai pajak dalam 1 taun terakhir.
58 75 31 58 46 64 60 71 45 58 80
Tentukan mean median dan modus dari data pajak tersebut. Jika anda sala satu
akuntan yang mengitung pajak tersebut ukuran pemusatan mana yang anda
rekomendasikan sebagai bentuk ukuran pemusatan dari data pajak tersebut?.
6. Berikut adalah data 50 perusahaan akuntan publik dengan jumlah relasinya.
Tentukan mean dan deviasi standarnya.
Banyak nasabah Frekwensi
20-30 1
30-40 15
40-50 22
50-60 8
60-70 4
7. Berikut adalah hasil ujian Statistika Mahasiswa Manajemen 2a.
Nilai Jumlah Mahasiswa
30-39 2
40-49 5
50-59 7
60-69 13
70-79 15
80-89 5
90-99 3
Tentukan mean, median, modus, range, standar deviasi, kuartil pertama, kuartil ke-2,
kuartil ke-3, desil ke-5, persentil ke-25, persentil ke-50, persentil ke-75, skewnes dan
kurtosis dari data nilai ujian Statistika tersebut.
BAB III
SAMPLING
3.1 Populasi
Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas: objek atau subjek yang
mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk
dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya (Sugiyono, 1999). Jadi populasi ukan
hanya orang tetapi juga objek dan benda-benda alam lainnya. Populasi bukan hanya
sekedar jumlah yang ada pada objek yang diteliti, tetapi meliputi seluruh karaktaristik
yang dimiliki oleh subjek/ objek itu. Contoh poulasi dalam arti karakteristik dari
subjek/objek seperti motifasi kerja, dan kepemimpinannya.
3.2 Sampel
Sampel adalah bagian dari jumlah dan karakteristik yang dimiliki oleh populasi
tersebut. Hal- hal yang diteliti dari sampel akan dijadikan ukuran yang diberlakukan
untuk populasi (Sugiyono, 1999). Untuk itu sampel yang diambil dari populasi harus
bear-benar representative (mewakili).
3.3 Teknik Sampling
Teknik sampling merupakan teknik pengambilan sampel/penarikan sampel
(Sugiyono, 1999).
Alasan dilakukan sampling adalah
1. Ukuran popolasi yang terlalu besar.
2. Jika menggunakan populasi sebagai objek penelitian membutuhkan biaya yang
terluli tinggi.
3. Jika menggunakan populasi sebagai objek penelitian membutuhkan bayak waktu.
4. Bentuk penelitian akan merusak.
5. Sampel dianngap memadai dalam menarik kesimpulan untuk mewakili populasi.
Teknik pengambilan sampel secara umum terdiri atas probability sampling dan
non probability sampling.
Probability sampling adalah teknik sampling yang memberikan peluang yang
sama bagi setiap unsur (anggota) populasi untuk dipilih menjadi sampel. Teknik ini
meliputi:
Simpel random saling (pengambilan sampel acak sederhana)
Contoh: berikut beberapa nomor sampel yang akan dipili enjadi sampel.
Systematic sampling (pengambilan sampel acak sistematik)
Sampel acak bertingakat (Stratified random sampling)
Contoh: Berikut jumlah dari populasi perusaan dengan profit tertentu, akan
diambil sampel dari setiap strata profit.
Area (cluster) sampling (sampling menurut daerah)
Contoh: Berikut adala suatu wilaya pada propinsi A. akan diambil sampel
pada tiap kabubaten berdasarkan area. Asil sampel seperti pada daera yang
berwarna.
Non probability sampling adalah teknik pengambilan sampel yang tidak memberi
peluang sama bagi setiap unsur atau anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel.
Non probability sampling meliputi:
Sampling kuota
Sampling insidental
Purposive sampling
Sampling jenuh
Snowball sampling
3.4 Ukuran Sampel
Dalam penentuan keputusan tanpa adanya kesalahan penelitian tidak dapat
menggunakan sampel,tetapi harus menggunakan populasi. Jika ingin kesalahan pada
perhitungan sampel sengat kecil maka jumlah sampel harus mendekati populasi.
Jumlah sampel yang tepat digunkan dalam penelitian tergantung pada tingka kesalahn
yang dikehendaki, dimana tingkat kesalahan yang dikehendaki tergantung pada
sumber dana, waktu dan tenaga. Menurut Issac dan Michel, untuk tingkat kesalahan
1%, 5%, 10% rumus untuk menentukan ukuran sampel dari populasi yang diketahui
jumlahnya adalah sebagai berikut:
( )
dimana
s=jumlah sampel
= tingkat kesalahan (1%,5%,10%)
N= populasi
0,5
=0,05
Rumus perhitungan sampel di atas hanya berlaku jika populasi berdistribusi
normal. Jika populasi homogen (data yang diperoleh dari tiap-tiap anggota populasi
menunjukan hasil yang hamper sama) maka perhitungan jumlah sampel tidak perlu
menggunakan rumus cukup dimbil 1% saja dari populasi.
Selain dengan menggunakan rumus Issac dan Michel, terdapat rumus Slovin
dalam menentukan jumlah sampel yaitu:
21 Ne
Nn
dimana
n=jumlah sampel
N=jumlah populasi
E= tingkat kesalahan pengambilan sampel (1%,5%,10%).
3.5 Rancangan Sampling
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam rancangan sampling:
1. Rumusan masalah yang akan diteliti
2. Batas populasi dari rumusan masalah
3. Unit sampling yang diperlukan
4. Cara-cara pengukuran yang akan dilakukan. Skala dan data yang digunakan.
5. Penelitian sejenis terdahulu
6. Ukuran sampel
7. Cara pengumpulan data
8. Metode analisis data
3.6 Kesalahan pada Sampling
Sampel digunakan untuk mengestimasi karakteristik populasi. Sebagai contoh
rata-rata dari sampel dapat mengestimasi rata-rata dari pupulasi. Namun dlam
kenyataannya, menarik kesimpulan penelitian dengan menggunakan sample akan
memungkin terjadi kesalahan. Kesalah yang dimaksud berupa hasil penelitian
menggunakan sampel tidak representative untuk populasi. Representatif yang
dimaksud adalah hasil perhitungan menggunakan sampel diharapkan mendekati nilai
dari hasil perhitungan jika menggunakan populasi sebagai objek. Perbedahaan hasil
perhitungan sampel dengan parameter populasi ini disebut sebagai kesalahan
sampling.
3.7 Uji Validitas dan Reliabilitas Instrumen
Validitas berasal dari kata validity yang mempunyai arti sejauh mana ketepatan
dan kecermatan suatu alat ukur dalam melakukam fungsi ukurannya (Azwar 1986).
Selain itu validitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan bahwa variabel yang
diukur memang benar-benar variabel yang hendak diteliti oleh peneliti (Cooper dan
Schindler, dalam Zulganef, 2006).
Sedangkan menurut Sugiharto dan Sitinjak (2006), validitas berhubungan dengan
suatu peubah mengukur apa yang seharusnya diukur. Ghozali (2009) menyatakan
bahwa uji validitas digunakan untuk mengukur sah, atau valid tidaknya suatu
kuesioner. Suatu kuesioner dikatakan valid jika pertanyaan pada kuesioner mampu
untuk mengungkapkan sesuatu yang akan diukur oleh kuesioner tersebut.
Reliabilitas berasal dari kata reliability. Pengertian dari reliability (rliabilitas)
adalah keajegan pengukuran (Walizer, 1987). Sugiharto dan Situnjak (2006)
menyatakan bahwa reliabilitas menunjuk pada suatu pengertian bahwa instrumen
yang digunakan dalam penelitian untuk memperoleh informasi yang digunakan dapat
dipercaya sebagai alat pengumpulan data dan mampu mengungkap informasi yang
sebenarnya dilapangan. Ghozali (2009) menyatakan bahwa reliabilitas adalah alat
untuk mengukur suatu kuesioner yang merupakan indikator dari peubah atau
konstruk. Suatu kuesioner dikatakan reliabel atau handal jika jawaban seseorang
terhadap pernyataan adalah konsisten atau stabil dari waktu ke waktu. Reliabilitas
suatu test merujuk pada derajat stabilitas, konsistensi, daya prediksi, dan akurasi.
Pengukuran yang memiliki reliabilitas yang tinggi adalah pengukuran yang dapat
menghasilkan data yang reliabel.
Tinggi rendahnya reliabilitas, secara empirik ditunjukan oleh suatu angka yang
disebut nilai koefisien reliabilitas. Reliabilitas yang tinggi ditunjukan dengan nilai rxx
mendekati angka 1. Kesepakatan secara umum reliabilitas yang dianggap sudah
cukup memuaskan jika ≥ 0.600.
Pengujian reliabilitas instrumen dengan menggunakan rumus Alpha Cronbach
karena instrumen penelitian ini berbentuk angket dan skala bertingkat. Rumus Alpha
Cronbach sevagai berikut :
2
2
11 11
t
t
n
nr
keterangan :
11r :=reliabilitas yang dicari
n :=jumlah item pertanyaan yang diuji
2
t :=jumlah varians skor tiap-tiap item
2
t := varians total
Jika nilai alpha > 0.6 artinya reliabilitas mencukupi (sufficient reliability)
sementara jika alpha > 0.80 ini mensugestikan seluruh item reliabel dan seluruh tes
secara konsisten memiliki reliabilitas yang kuat. Atau, ada pula yang
memaknakannya sebagai berikut:Jika alpha > 0.90 maka reliabilitas sempurna. Jika
alpha antara 0.70 – 0.90 maka reliabilitas tinggi. Jika alpha 0.50 – 0.70 maka
reliabilitas moderat. Jika alpha < 0.50 maka reliabilitas rendah. Jika alpha rendah,
kemungkinan satu atau beberapa item tidak reliabel.
3.8 Latian Soal
Tentukan populasi, jumlah populasi, sampel, jumlah sampel, dan teknik sampling
yang digunakan pada studi kasus berikut.
Suatu penelitian mengenai Pengaruh Iklan Media Cetak dan Word of Mouth Terhadap
Keputusan Berkunjung Fitness Center (Studi Kasus Pada Helios Fitness Technomart
Karawang diketahui data pengunjung sebagai berikut.
Jumlah Pengunjung Helios Fitness Technomart Karawang
Bulan Jumlah Kunjungan
Mei 155
Juni 113
Juli 113
Agustus 169
September 135
Sumber: Manajemen Helios Fitness
Dalam penelitian ini populasinya adalah pengunjung Helios Fitness pada bulan
Agustus tahun 2016. Teknik penentuan sampel berdasarkan ketentuan bahwa siapa
saja yang secara kebetulan bertemu dengan peneliti dapat digunakan sebagai sampel,
bila telah dipastikan bahwa orang tersebut mengunjungi Helios Fitness.
BAB IV
KONSEP PROBABILITAS
4.1 Pengantar Probabilitas
Probabiltas atau yang sering dikenal sebgai peluang adalah suatu ukuran
mengenai kemungkinan suatu peristiwa yang akan terjadi. Nilai probabilitas berada
pada rentang 0-1. Nilai 0 menyatakan bawa peristwa tidak mungkin terjadi. Contoh:
probabilitas seorabg manusia tidak akan mati. Sedangkan nilai 1 menyatakan peritiwa
itu pasti terjadi. Contoh probabilitas seorang manusia mati.
Bicara probabilitas erat kaitanya dengan eksperimen, keluaran dari peristiwa
(outcome) dan kejadian. Eksperimen atau percobaan merupakan proses yang akan
mengasilkan suatu kejadian dari beberapa kejadian yang mungkin terjadi. Outcome
adala suatu asil dari percobaan. Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih
outcome.
4.2 Pendekatan Probabilitas
Sebelum mebahas lebih lanjut mengenai probabilitas, kita akan membaas al-al
yang digunakan dalam mengitung probabilitas. Menghitung probabilitas erarti arus
mengetaui rung sampeli kejadian (S). Ruang sampel merupakan impunan dari semua
kemungkinan hasil dari suatu peristiwa dari suatu percobaan. Contoh: bentuk
perubahan harga maka S={inflasi, defasi}, pelemparan 1 buah dadu S={1,2,3,4,5,6}.
Jumlah dari banyaknya anggota ruang sampel disingkat n(S). Jumlah ruang sampel
pada perubahan harga adala 2 atau ditulis n(s)=2 dan pelemparan 1 buah dadu adala
n(s)=6.
Peristiwa atau kejadian yang mungkin terjadi adalah bagian dari ruang sampel.
Peristiwa atau kejadian disimbolkan dengan huruf kaital. Conto pada pelemparan 1
buah dadu kemungkinan muncul mata dadu genap A={2,4,6}. Jumlah dari peristiwa
atau kejadian disimbolkan dengan n(A), n(B), dan seterusnya sesuai simbol huruf
pada peristiwa.
4.3 Menghitung Probabilitas
Probabilitas dapat diitung melaui pendekatan empirik. Peritungan probabilitas
melalui pendekata emprik yaitu
1)(0)(
)()( APdengan
Sn
AnAP
dimana
P(A) adalah probabilitas pada suatu peristiwa A
n(A) adalah banyaknya kejadian A
n(S) banyaknya ruang sampel.
Contoh 4.1: tentukan probabilitas kejadian muncul mata dadu genap pada pelemparan
1 bua dadu.
Sifat- sifat probabilitas
1. Probabilitas memiliki nilai maksimum 1 dan minimum 0, 1)(0 AP .
2. Probabilitas total dari semua peristiwa sama dengan probabilitas ruang sampel
atau dapat ditulis P(S)=1.
3. Jika terdapat 2 peristiwa A dan B, dimana peristiwa A dan B saling lepas maka
P(A atau B)=P(A U B)= P(A)+P(B)
Contoh 4.2: Pada pelemperan 1 bua dadu, A adalah peristiwa muncul mata dadu
genap, B adala adalah peristiwa muncul mata dadu ganjil.tentukanla probabilitas
A atau B.
4. Jika pada Peritiwa A dan B tidak saling lepas sehingga ada irisan antara kedua
peristiwa tersebut maka
P(A atau B)=P(A B)= P(A)+P(B)-P(A B)
Contoh 4.3: Pada pelemperan 1 bua dadu, A adalah peristiwa muncul mata dadu
genap, B adalah adalah peristiwa muncul mata dadu prima. Tentukanla
probabilitas A atau B.
5. Jika terdapat 2 peristiwa A dan B, dimana peristiwa A dan B saling bebas, maka
P(A dan B)=P(A B)= P(A) P(B)
Catatan: P(AB)= P(BA)
Contoh 4.4: Pada pelemperan 1 buah dadu sebanyak 2 kali, A adalah peristiwa
muncul mata dadu genap pada peemparan pertama, B adalah adalah peristiwa
muncul mata dadu ganjil pada pelemparan kedua. Tentukanla probabilitas A dan
B.
6. Jika terdapat 2 peristiwa A dan B, dimana peristiwa B merupakan komplemen
dari peristiwa A atau peristiwa B dapat ditulis sebagai CA , maka
P( CA )= 1-P(A)
Contoh 4.4: Pada pelemperan 1 buah dadu, A adalah peristiwa muncul mata dadu
genap, B adalah adalah peristiwa muncul mata dadu bukan genap (ganjil).
Tentukanlah probabilitas peristiwa B.
4.4 Teorema Bayes
Sebelum membahas teorema Bayes, terlebih dahulu akan dibahas mengenai
probabilitas bersyarat. Probabilitas bersyarat adalah suatu nilai probabilitas dari suatu
peristiwa dimana peristiwa lain telah terjadi lebih dahulu. Misalkan terdapat 2
peritiwa dimana sebelum peristiwa B terjadi, peristiwa A terjadi lebih dahulu. Maka
P(A dan B)=P(A B)= P(A) )( ABP
atau
)(
)()(
AP
BAPABP
namun jika A dan B saling bebas maka
)()( BPABP
Contoh 4.5: Seorang pemain golf memiliki 12 baju golf yang selalu digunakan pada
saat bermain golf. Diantara 12 baju tersebut, 9 diantaranya berwarna putih dan
sisanya berwarna biru. 2 hari kedepan pemain golf tersebut akan bermain dan harus
menggunakan 2 baju berbeda karena ketentuan dari panitia. Tentukan probabilitas
bahwa pemain golf akan mengambil kedua baju berwarna putih.
Konsep dasar dari probilitas bersyarat dikembangkan oleh Thomas Bayes untuk
menentukan probabilitas bersyarat dengan banyak kejadian.
Teorema Bayes Misalakan terdapat peristiwa nBBBB ,....,,, 321 yang merupakan
peristiwa pada ruang sampel S dan diberikan peristiwa A yang terjadi sebelumnya
sebagai syarat maka probabilitas perisriwa nBBBB ,....,,, 321 dengan syarat A adalah
)()(...)()()()(
)()()(
2211 nn
jj
jBPBAPBPBAPBPBAP
BPBAPABP
Contoh 4.6: Diketaui dari hasil penelitian di Indonesia bahwa 5% dari perokok pasif
pasti terkena kangker paru-paru. 90% yang terkena kangker paru-paru melakukan tes
karena mengeluhkan sesak nafas. Sedangkan terdapat 15% orang yang di tes hasilnya
tidak memiliki kangker paru-paru yang berasal dari perokok pasif tetapi mereka
mengeluhkan sesak nafas. Tentukan probabilitas bawa 1 orang Indonesia yang
diambil secara acak dan mengelukan sesak nafas dan kemudian dites terbukti
memiliki kangker paru-paru
4.5 Permutasi dan Kombinasi
Permutasi merupakan pengmbilan r objek dari suatu grup degan n kemungkinan
objek yang tersedia dengan memperatikan urutan. Permutasi dapat diitung melalui
)!(
!
rn
nPrn
Kombinasi merupakan pengmbilan r objek dari suatu grup degan n kemungkinan
objek yang tersedia tanpa memperatikan urutan. Kombinasi dapat diitung melalui
)!(!
!
rnr
nCrn
4.6 Soal Latihan
1. Sebuah sampel diambil dari 40 perusaaan minyak bumi dan gas untuk keperluan
investigasi. Investigasi melibatkan 1 objek pertanyaan yaitu isu kerusakan
lingkungan akibat aktifitas perusaan.
a. Tentukan eksperimen dari kasus di atas
b. Sebutkan 1 kemungkinan kejadian atau peristiwanya.
c. Hasil investigasi 10 dari 40 perusaaan dinyatakan melakukan kerusakan
lingkungan. Berdasarkan hasil ini tentukan probabilitas bahwa sebuah
perusahaan akan melakukan kerusakan lingkungan.
2. Diketahui bahwa probabilitas terjadinya peristiwa A adalah 0,2 dan terjadinya
probabilitas peristiwa B adalah 0,3. Probabilitas terjadinya peristiwa A dan B
adala 0,15. Tentukan probabiltas terjadinya peristiwa A atau B.
3. Sebuah penelitian pada pengasilan 200 perusahaan periklanan setela kena pajak
megasilkan data berikut:
Pengasilan setalah
kena pajak
Jumlah perusahaan
< $ 1 juta 102
$1 juta-$20 juta 61
>$20 juta 37
a. Berakah probabilitas sebuah perusahaan periklanan memiliki pengasilan
setalah kena pajak< $ 1 juta
b. Berakah probabilitas sebuah perusahaan periklanan memiliki pengasilan
setalah kena pajak $1 juta hingga >$20 juta.
4. Pada suatu tempat training perusaaan PT. A, diketaui bawa 80% dari peserta
training adalah wanita 20% pria. 90% dari peserta training wanita diketaui
mengadiri kelas training dan 78% dari peserta pria juga mengadiri kelas training.
a. Jika manajemen training memilih secara acak 1 peserta training, tentukan
probabilitas bahwa yang terambil adalah peserta wanita dan peserta yang adil
pada kelas training.
b. Apakah antara peritiwa berdasarkan jenis kelamin dan keadiran di kelas saling
bebas?
c. Bentuklah diagram pohon untuk menentukan probabilitas bersyarat dan join
probabilitas dari kasus di atas.
d. Apaka total join probabilitas bernilai 1?
5. Toko Karawang elektronik memiliki persediaan LED tv dari beberapa merek.
20% merek tv diisi oleh Samsung, 30% Sony, 25% Tosiba dan 25% LG.
Diketahui dari hasil survey bahwa kerusakan LED tv dari merek Samsung 3%,
sony 4%, Tosiba 7% dan LG 6,5.%.
a. Tentukan total probabilitas kerusakan LED tv yang berada di Toko Karawang
elektronik
b. Tentukan probabilitas menemukan bawa ada 1 LED TV yang rusak di gudang,
tentukan probabilitas bawa yang ditemukan rusak tersebut adalah merek
samsung.
6. Diambil 4 orang dari 10 orang yang akan dijadikan sampel untuk poling
pemilihan kepala daerah. Tentukan berapa banyak grup yang terbentuk dari 4
orang tersebut.
7. Tersedia 15 pertanyaan yang akan digunakan sebagai ujian saringan masuk pada
suatu perusaaan BUMN. Dari pertanyaan tersebut akan diambil 10 pertanyaan
yang akan ditanyakan pada peserta seleksi. Tentukan berapa bayak kemungkinan
bentuk pertanyaan yang terbentuk dari 10 soal tersebut.
BAB V
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
5.1 Makna Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas adalah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan
kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil. Karaktristik
distribusi probabilitas
1. Nilai probabilitas suatu kejadian berada pada interval 0-1.
2. Jumla dari seluru kejadian akan menghasilkan nilai peluang total yaitu 1.
5.2 Variabel Acak
Variabel acak adalah ukuran atau nilai hasil suatu percobaanyang bersifat acak
dan dapat diasumsikan memiliki nilai yang berbeda-beda. Variabel acak biasanya
disimbolkan dengan huruf capital misalkan (X). Jenis variabel acak yaitu
1. Variabel acak diskrit
Contoh variabel acak diskrit jumlah absensi mahasiwa Unsika pada mata kuliah
Statistika 1={0,1,3,4,…,16}
2. Variabel acak kontinu
Contoh variabel acak kontinu pengasilan total karyawan PT. A={kurang dari 2,5
jt, 2,5-5 juta, besar dari 5 jt}
Gambar 4.1 Jenis probabilitas akibat jenis varibel acaknya
Variabel acak
Variabel acak diskrit akan
membentuk distribusi probabilitas
diskrit
Variabel acak kontibu akan
membentuk distribusi probabilitas
kontinu
5.3 Mean, Varians, dan Deviasi Standar Distribusi Probabilitas Diskrit
Sebelumnya pada bab 2 kita tela mendiskusikan bahwa pada sekumpulan
infirmasi dalam bentuk data al awal yang perlu untuk diketahui adala mengenai pusat
dan penyebaran data. Pusat dan penyebaran data pada umumnya dapat dilihat dari
mean dan variansi. Begitu juga alnya dengan distribusi probabilitas, untuk
mengetahui informasi dasar dari distribusi probabilitas kita perlu menentukan ukuran
dan penyebaran dari distribusi probabilitas tersebut melaui mean dan variansi. Mean,
varians dan deviasi standar/simangan baku dari distribusi probabilitas diskrit atau
dapat disingkat ditribusi diskrit dapat ditentukan melalui
)(][)( XPXXEMean
)()()( 22 XPXVarians
2 STD
dimana
rata-rata hitung atau mean dati distribusi probabilitas
X variabel acak atau nilai kejadian
)(XP probabilias dari kejadian atau probabilitas dari variabel acak
Contoh 5.1: Sebuh sorum penjualan mobil tipe A telah mengembangkan suatu model
penjualan jumlah mobil yang terjual setiap minggunya. Model penjualan ini
diasumsikan mengikuti distribusi probabilitas diskrit. Adapun bentuk pola
distribusinya adalah
Jumlah mobil terjual (dalam 1 minggu)
X
Probabilitas mobil
terjual
P(X)
0 0,10
1 0,20
2 0,30
3 0,30
4 0,10
total 1
Tuntukan mean dan standar deviasi dari penjualan mobil tersebut.
Terdapat banyak jenis distribusi diskrit.
1. Distribusi Uniform (seragam)
2. Distribusi Bernoulli
3. Distribusi Binomial
4. Distribusi Poisson
5. Distribusi Multinomial
6. Distrubisi Hipergeometik
7. Distribusi Geometrik
8. Distribusi Binomial Negatif
Tetapi dalam modul ini, hanya beberapa yang akan dibahas. Pembahasan dapat diliat
pada subbab berikut ini.
5.4 Distribusi Beroulli
Distribusi Bernoulli merupakan hasil dari percobaan yang terdiri dari 1 usaa
dimana menghasikan 2 keluaran (outcome) yaitu sukses dan gagal. Setiap outcome
tersebut masing masing memiliki probabilitas. Sukses probabilitasnya adalah p dan
gagal adalah (1-p=q)
gagal
suksesX
,0
,1
Misalkan X berdistribusi Bernoulli maka ),(~ pXBerX dan nilai probabiltasnya
adalah
.,0
,...2,1,0,)(
1
lainnya
xqpxXP
xx
Selain nilai probabilitasnya, mean dan variansnya juga dapat diitung melalui
pXE X ][
qpXVar X .][ 2
5.5 Distribusi Binomial
Distribusi Binomial merupakan hasil dari percobaan Binomial yang terdiri atas:
a. Sejumlah n usaha yang berulang
b. Setiap usaa mengasilkan outcome sukss dengan peluang p dan gagal dengan
peluang q
c. Peluang sukses tidak beruba dari usaha yang satu keusaha berikutnya
d. Setiap usaha saling bebas.
Misalkan X berdistribusi Binomial maka ),(~ pnBX . Seingga nilai proabilitas,
mean dan varians dari X dapat ditentukan dengan
xnx
xn qpCxXP ..)(
pnXE X .][
qpnXVar X ..][ 2
Contoh 5.2:Terdapat 5 penerbangan dari Jakarta ke Solo dengan maskapai lionair.
Misalkan probabilitas terjadinya keterlambatan penerbangan adalah 0,20. Berapakah
probabilitas tidak terjadi keterlambatan penerbangan hari ini. Berapakah probabilitas
terjadi keterlambatan penerbangan lebih dari 1 kali?.
Perhitungan nilai probabilitas distribusi Binomial tidak hanya dapat dilakukan
dengan rumus yang telah dijelaskan sebelumnya. Selain dengan rumus nilai
probabilitas dapat dilihat pada tabel distribusi Binomial.
5.6 Distribusi Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik merupakan banyaknya kejadian sukses dalam sampel
acak berukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung S sukses dan N-S
gagal. Kajadian tersebut biasnya disimbolkan dengan X.
Misalkan X berdistribusi hipergeometrik maka S)n,h(N,~X . Sehingga nilai
proabilitas, mean dan varians dari X dapat ditentukan dengan
nN
xnsNxS
C
CCxXP )(
N
SnXE X
][
N
S
N
Sn
N
nNXVar X 1
1][ 2
dimana
N=populasi
S=jumla kejadian sukses
N=jumla sampel
X=0,1,2,…
Contoh 5.3: PT. Novi Inc. memperkerjakan 50 orang karyawan. 40 orang karyawn
diantaranya merupakan karyawan tetap dan sisanya karyawan kontrak. 5 orang
karyawan dipilih secara acak untuk menjadi komite dewan pekerja. Berapaka
probabilitas bahwa 4 dari 5 orang karyawan yang dipilih berasal dari karyawan tetap.
5.7 Distribusi Poison
Distribusi Poisson juga menghasilkan outcome sukses dan gagal. Ciri-ciri
distribusi Poisson:
1. Memiliki n kejadian yang berulang
2. Nilai sampel n besar (n>50)
3. Probabilitas sukses adalah p dan gagal adalah q. nilai probablitas sukses
0,1.
Misalkan X berdistribusi Poisson maka )(~ PoisX . Sehingga nilai
proabilitas, mean dan varians dari X dapat ditentukan dengan
!)(
x
exXP
x
pnXE X .][
pnXVar X .][ 2
dimana
=rata-rata
e=2,71828
x=0,1,2,…
Contoh 5.4: Diperoleh data pada sampel acak dari 1000 penerbangan nasional
terdapat 300 kasus kehilangan tas. Tentukan probabilitas bahwa tidak akan terdapat
keilangan tas pada penerbangan kali ini.
Selain dengan rumus nilai probabilitas dapat dilihat pada tabel distribusi Poisson.
5.8 Latian Soal
1. Tentukan jenis varibel acak berikut, apakah variabel acak diskrit atau kontinu
a. Rentang waktu ynag dibutuhkan untuk memotong rambut seorang pelanggan
pada sebuah salon
b. Banyaknya pasian yang melakukan pemeriksaan pada RSUD Karawang
c. Jumlah pelanggan pada Oak Street Wendy yang menggunakan fasiltas
drive-true
d. Jarak kota bandung dengan seluruh kota/kota kabupaten diseluruh Jabar-
Banten
2. Seorang investor yang berinvestasi pada perusahaan X dijanjikan akan
mendapatkan hasil invesatsi $1000, $2000 dan $5000 pada akhir tahun onvestasi
dengan peluang masing-masing 0,25, 0,60 dan 0,15. Tentukan rata-rata, varians
dan standar deviasi hasil investasi yang mungkin diterima investor.
3. Seorang auditor perusahaan asuransi mencatat bahwa 40% dari pemegang polis
asuransi yang berumur 50 tahun atau lebih melaporkan claim sepanjang tahun.
Sebanyak 15 pemegang polis diambil secara acak untuk melihat laporan.
Tentukan
a. Rata-rata banyak pemegang polis yang melaporkan klaim.
b. Berapakan probabilitas bahwa 10 orang pemegang polis melaporkan
kliam pada akhir tahun.
c. Berapakan probabilitas bahwa lebih besar sama dengan 10 orang
pemegang polis melaporkan kliam pada akhir tahun.
d. Berapakan probabilitas bahwa lebih dari 10 orang pemegang polis
melaporkan kliam pada akhir tahun.
4. Hasil penelitian di USA menunjukan bahwa 7,5% pekerja memiliki masalah
ketergantungan obat penenang. Diambil sampel sebanyak 20 oarang pekerja
untuk diteliti. Tentukan:
a. Berapakah rata-rata dan simpangan baku dari jumah pekerja yang
memiliki masalah ketergantungan obat penenang
b. Berapakah probabilitas bahwa tidak ada pekerja dari sampel yang
ketergantungan obat penenang
c. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit ada 1 orang pekerja dalam
sampel yang ketergantungan obat penenang
5. Firma hukum Hagel berlokasi didaerah Cincinnati. Merka meliliki 7 patner di
Ohio dan 3 patner di Kentucky. Ms Wendy sebagai Manager menginginkan 3
patnernya untuk pindah kantor dari Kentucky. Tentukan Probablitas bahwa
terdapat 1 patner yang pindah dari Kentucky dan probabilitas bahwa minimal 1
patner yang pindah kantor dari Kentucky.
6. The National Aeronautics and Space Administration (NASA) memiliki
pengalaman terhadap 2 kegagalan pada 113 misi kebulan yang pernah dilakukan
sebelumnya. Untuk tahun ini NASA akan kembali melakukan misi yang sama
sejumlah 23 kali. Tentukan peluang terdapat 2 kegagalan pada misi tahun ini.
Tentukan peluang bahwa tidak akan ada misi yang gagal.
BAB VI
DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU
6.1 Pengantar distribusi probabilitas Kontinu
Pembahasan sebeblumnya pada bab 6 kita mengkaji sebuah informasi dimana
data pada variabel acaknya berbentuk bilangan bulat. Bagaimana jika kita
menemukan data bukan dalam bentuk bilangan bulat atau dalam bentuk data
interval?. Informasi data ini tidak dapat diselesaikan dengan distribusi probabilitas
diskrit. Karena data dalam bentuk bialangan interval ataupun bilangan decimal bukan
termasuk dalam kategori variabel acak diskrit tetap merupakan jenis variabel acak
kontinu. Sehingga diperlukan jenis ditribusi khusu untuk menyelesaikan persoalan
data kontinu tersebut. Distribusi itu dinamakan ditribusi probabilitas kontinu. Berikut
akan disajikan beberapa distribusi probabilitas kontinu yang digunakan dalam
meneylesaikan permasalahan Ekonomi.
6.2 Distribusi Normal
Misalkan X berdistribusi Normal maka ),(~ 2NX . Sehingga nilai proabilitas
dapat ditentukan dengan
2
2
2
)(
2
1)(
x
eXP ,
14159,3
718,2
e
x
Karakteristik distribusi normal
1. Bentuk kurva distribusi normal seperti lonceng
2. Memiliki bentuk symetrik dengan mean berada ditengah sebagai sumbu simetri.
3. Ukuran pusat dari dari distribusi normal ditentukan oleh rata-ratanya dan ukuran
penyebaran ditentukan oleh deviasi standar.
Adapun karakteriktik distribusi normal dapat diliat pada gambar 6.1. Seperti yang
telah dijelaskan sebelumnya bahwa bentuk distribusi normal ditentukan dari ukuran
pemusatan dan penyebarannya. Ukuran yang dmaksud adala mean dan dan deviasi
standar. Perbedaan dari nilai mean dan deviasi standar akan menyebabkan perubaan
bentuk kurva normal. Gambar 6.2, gambar 6.4 dan gambar 6.4 berikut akan
memperliatkan perubahankuva normal akibat perubahan men dan deviasi standar.
Gambar 6.1 Karakteristik distribusi Normal
Gambar 6.2 Kurva distribusi normal dengan nilai mean yang sama dan standar
deviasi standar yang berbeda
Gambar 6.3 Kurva distribusi normal dengan mean berbeda dan deviasi standar yang
sama
Gambar 6.4 Kurva distribusi normal dengan mean dan deviasi standar yang berbeda
Luas dibawah kurva normal merupakan probabilitas total yaitu 1, atau dapat ditulis
sebagai P(X)=1.
6.3 Distribusi Normal Baku
Penyelesaian permasalahan distribusi normal sulit dikerjakan jika menggunakan
probabilitas dari distribusi normal tersebut. Sehingga untuk membantu
mempermudah memeberikan solusi pada kasus-kasus distribusi normal dapat
digunakan pendekatan distribusi normal baku atau normal standar.
Misalkan X berdistribusi Normal ),(~ 2NX , maka )1,0(~ NZ merupakan
distribusi normal baku. Perubahan ditribusi normal X menjai normal baku Z adala
perubaan nilai mean ( ) yang mutlak bernilai 0 dan nilai varians( 2 ) yang mutlak
bernilai 1.
Menentukan peluang atau probabiitas pada distribusi normal itu artinya
menentukan peluang dibawa kurva distribusi normal. Nilai probabilitas/peluang dapat
ditentukan memalui tabel distribuis normal standar atau normal baku. Nilai
probabiltas yang dimaksud dalam tabel distribusi normal baku adalah luas daerah
dibawah kurva normal yang lebih kecil dari z tertentu. Biasanya dapat ditulis dengan
)( zZP . Nilai dari z ditentukan. Gambar berikut pemeperlihatkan nilai dari
probabilitas yang lebih kecil sama dengan 1,00 dimana mengikuti distribusi normal.
Dapat ditulis sebagai )00,1( ZP .
Gambar 6.5 )00,1( ZP
Menentukan nilai probabilitas dari gambar 6.5 sama artinya menentukan luas yang
diarsir. Untuk dapat menentukan nilai dari probabilitas tersebut kita dapat melihat
tabel distribusi normal baku atau normal standar. Berikut contoh bagian dari tabel
distribusi normal baku. Untuk lebih legkapnya tabel ditribusi normal baku biasanya
disajikan pada bagian akhir/lampiran atau apendiks buku-buku statistika.
Gambar 6.6 Contoh tabel distribusi normal baku atau normal standar
Menentukan nilai )00,1( ZP kita dapat melihat tabel normal baku. Hal pertama
yang arus diperatikan adalah kolom z. Karena kita ingin menentukan z<1,00 maka
liat nilai 1.0 pada kolom z (baris ke 12) dan 0,00 pada kolom 0,00. Pertemuan antara
keduanya adalah nilai 0,3413, sehingga 3413,0)00,1( ZP . Contoh lainnya,
misalakan kan ditentukan nilai dari )87,0( ZP . Maka liat kolom z yang
menunjukan nilai 0,8 (baris ke 10 kolom pertama). Kemudian karena 0,87 masih
harus melihat angka terair yaitu 0,07. Lihat kolom 0,07 (kolom ke 9). Pertemuan dari
0,8 dan 0,07 adalah nilai 0,3078 jadi 3078,0)87,0( ZP . Bagaimana jika kita ingin
menentukan nilai z sementara nilai probabilitasnya sudah diketahui?. Misalakan ingin
ditentukan nilai z dari 3830,0)( zZP . Maka perlu dilihat nilai 0,3830 pada nilai-
nilai yang terdapat pada tenagah kolom. Setela nilai 0,3830 ditemukan pada pojok
kanan bawah kolom , maka dapat ditentukan z adla nilai pada kolom z dan kolom
atasnya yaitu 1,1 dan 0,09 sehingga 3830,0)( zZP maka z=1,19.
6.4 Penyelesaian Distribusi Normal Melalui Distribusi Normal Baku
Seperti yang dijelaskan pada subbab 6.3, untuk membantu penyelesaian kasus
kasus pada distribusi normal digunakan penyelesaian distribusi normal baku. Adapun
distribusi normal baku Z dapat ditentukan melalui
XZ (6.1)
dimana
nilai rata-rata distribusi normal
nilai standar deviasi distribsi normal
Perubahan nilai distribusi normal menjadi normal baku dapat dilihat dari kurva
dibawah ini.
Gambar 6.7 Transformasi nilai distribusi normal menajadi normal baku
Contoh 6.1: Upah karyawan sebuah industri tahu di karawang diketahui mengikuti
distribusi normal dengan rata-rata upah adalah $1000 dan deviasi standar $100
perbulan. Berapakah probabilitas bahwa seorang karyawan akan mndapatkan upah
kecil dari sama dengan $900?. Berapakah probabilitas seorang karyawan akan
membawa pulang upah antara $900-$1100?. Berapakah proprobabilitas bahwa
seorang karyawan akan mendapat uapah lebih dari $1100.
6.5 Pendekatan Ditribusi Binomial dengan Normal
Sebelumnya pada bab 6 kita telah mempelajari distribusi Binomial sebagai
distribusi probabilitas diskrit. Dalam penentuannya distribusi Binomial jika n
diperbesasr ternyata dapat mendekati bentuk ditribusi probabilitas normal. Sehingga
distribusi binomial dapat diaproksimasi atau didekati melalui distribusi normal.
Gamabaran mengenai hal tersebut dapat dilihat pad gambar 6.8 berikut.
Gambar 6.8 Distribusi binomial dengan n=1, n=3, n=20 dan p=0,5
Pendekatan ditribusi binomial dengan normal ini juga menggunakan rumus (6.1)
pada subbab 6.4 dimana nilai mean dan deviasi standar diperoleh dari
qpn
pn
..
.
6.6 Distribusi Probabilitas Eksponensial
Distribusi probabilitas eksponensial atau sering disebut ditribusi eksponensial
merupakan distribusi yang menggambarkan situasi data yang bersifat kontinu. Contoh
masa pakai dari komponen litrik, waktu antar panggilan pada antrian pendaftaran
ruma sakit, waktu pularitas sebua website dan lain sebagainya. Umumnya distribusi
eksponensial merupakan gambaran mengenai waktu.
Misalkan terdapat peubah acak X yang mengikuti distribusi eksponensial. Maka
)(~ ExpX . Probabilitas mean dan varians dari ditribusi eksponensal dapat
ditentukan melalui
xexXP 1)(
1][ XXE
2
2 1][
XXVar
dimana = rata-rata waktu antar kedatangan dan x = waktu antar kedatangan
Gambar 6.9 Kurva ekponensial dengan berbeda
Contoh 6.2: Rata- rata waktu tunggu mendapatkan obat pada sebauah apotik di Teluk
Jambe adalah 20 menit. Berpakah probabilitas seorang pembeli obat akan
mendapatkan obatnya dalam waktu kurang dari 5 menit, antara 5-40 menit dan lebih
dari 40 menit.
6.7 Latihan Soal
1. Pendapatan karyawan suatu perusahaan perhari berdistribusi normal dengan rata-
rata = Rp 5.850 dan standar deviasi = Rp 1.250.
a. Berapa peluang karyawan yang mempunyai pendapatan antara Rp 4.500,-
sampai Rp 5.600,-
b. Jika diketahui terdapat 100 orang karyawan pada perusahaan tersebut,
tentukan berapa jumlah karyawan yang mempunyai pendapatan antara Rp
4.500,- sampai Rp 5.600,
2. Berdasarkan soal no 1, tentukan pendapatan minimal dari 15,15% kelompok
karyawan dengan pendapatan tertinggi.
3. Disuatu perusahaan perakitan mesin diberlakukan system bonus (insentif) dengan
ketentuan bagi karyawan yang mampu merakit lebih cepat diberi bonus Rp
1.000,- per menit. Apabila waktu perakitan sebuah mesin berdistribusi normal
dengan rata-rata 300 menit dan simpangan baku 40 menit, berapa probabilitas
seorang karyawan yang merakit sebuah mesin akan dapat menerima bonus
sebanyak :
a. Antara Rp 5.000,- sampai dengan Rp 10.000,-
b. Jika diketahuia terdapat 100 orang karyawan pada perusahaan perakitan
mesin, tentukan berapa jumlah karyawan menerima bonus antara Rp 5.000,-
sampai Rp 10.000,